SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ CẤP THCS NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 12/ 4/ 2016 (Đề thi gồm 01 trang) Bài (2,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức với b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện: Rút gọn biểu thức: Bài (2,0 điểm) hai nghiệm phương trình a) Giả sử nghiệm phương trình hai Chứng minh: b) Giải hệ phương trình: Bài (2,0 điểm) a) Tìm ba số x, y, z nguyên dương thỏa số nguyên tố b) Cho x, y, z ba số dương thoả mãn x + y + z = Chứng minh rằng: mãn: Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A ( ), vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với hai cạnh AB, AC điểm B, điểm C Trên cung BC (O) nằm tam giác ABC lấy điểm M Gọi I; H; K theo thứ tự hình chiếu điểm M BC; CA; AB P giao điểm MB với IK, Q giao điểm MC với IH Gọi (O 1) (O2 ) đường tròn ngoại tiếp MPK MQH Gọi D trung điểm đoạn BC; N giao điểm thứ hai (O1) (O2) Chứng minh: a) PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn (O1) (O2 ) b) ba điểm M, N, D thẳng hàng Trên dây cung AB (O) (AB không qua tâm O) lấy hai điểm P Q cho AP = PQ = QB Vẽ bán kính OK, OH thứ tự qua điểm P điểm Q Chứng minh Bài (1,0 điểm) Cho 2017 đường thẳng phân biệt cắt hai cạnh đối hình vuông thành hai phần có tỉ số diện tích 1:2 Chứng minh 2017 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy -Hết (Cán coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Năm học 2015 - 2016 MÔN: Toán (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa Tổng điểm thi: 10 điểm - Bài Bài (2 điểm) Đáp án Điểm 1a) (1,0 điểm) + Đặt u = 20 + 14 20 − 14 ;v = u + v3 = 40 Ta có x = u + v (20 + 14 2)(20 − 14 2) = u.v = x = u + v ⇒ x = u + v3 + 3uv(u + v) = 40 + 6x x − 6x = 40 hay Vậy A = 2016 1b) (1,0 điểm) x + y + z + xyz = ⇔ 4(x + y + z) + xyz = 16 Ta có x(4 − y)(4 − z) = x(16 − 4y − 4z + yz) Khi ta có: 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ = x(yz + xyz + 4x) = x ( yz + x ) = xyz + 2x (1) y(4 − z)(4 − x) = xyz + 2y Tương tự z(4 − x)(4 − y) = xyz + 2z (2) 0,25 đ (3) B = 2(x + y + z + xyz ) = 2.4 = Bài (2 điểm) Từ (1), (2), (3) suy 2a) (1,0 điểm) 0,25 đ x1 + x = −p; x1x = Áp dụng định lí Vi-ét ta có: 0,25 đ x + x = −q; x 3x = ⇒ ( x − x ) ( x − x ) = x 1x − x ( x + x ) + x = + x 3p + ( −1 − qx ) (vì 0,25 đ x + qx + = ⇒ x + qx + = x3 nghiệm phương trình nên x = −qx − ) ⇒ ( x1 − x ) ( x − x ) = x ( p − q ) ( 1) 0,25 đ ( x1 + x ) ( x + x ) = − px + ( −qx − 1) = − x ( p + q ) ( ) Tương tự Từ (1) (2) suy đpcm 2b) (1,0 điểm) 0,25 đ Cộng vế với vế hai phương trình hệ ta được: 2x + y + 3xy − 7x − 5y + = ⇔ y − (5 − 3x)y + 2x − 7x + = 0,25 đ ⇔ (y + 2x − 3)(y + x − 2) =   y + 2x − = (1) (I)  2   x + y + xy = (2)  y+x−2 = (3) (II)  2   x + y + xy = (4) Hệ cho đương đương với 0,25 đ , Giải hệ phương trình (I): Rút y (1) thay vào (2) ta được: x = ⇒ y = x − 3x + = ⇔   x = ⇒ y = −1 0,25 đ Giải hệ phương trình (II): Rút y (3) thay vào (4) ta được: x − 2x + = ⇔ x = ⇒ y = 0,25 đ (1; 1); (2; −1) Bài (2 điểm) Vậy hệ phương trìnhcó hai nghiệm 3a (1,0 điểm) ( ) ( 2016 x − y 2001 = 2015 y − z 2001 ) 0,25 đ Ta có ⇔ 2016x − 2015y = 2001(2016y − 2015z) (1) 2001 Vì ( 1) ⇒ số vô tỉ x, y, z số nguyên dương nên ta có 2016x – 2015y = 2016y – 2015z = 2016x = 2015y ⇒ ⇒ xz = y 2016y = 2015z 0,25 đ x + y + z = ( x + z ) − 2xz + y 2 2 Ta lại có: = ( x + z ) − y2 = ( x + y + z ) ( x − y + z ) x + y2 + z2 Vì số nguyên tố x + y + z số nguyên lớn nên x – x + y2 + z = x + y + z 0,25 đ y + z = Do x ≥ x ; y2 ≥ y ; z ≥ z Nhưng x, y, z số nguyên dương nên x = x, y = y, z = z ⇒ x = y = z = Suy x = y = z =1 ( ) ( 2016 x − y 2001 = 2015 y − z 2001 Thử vào thỏa mãn) Vậy không tìm x, y, z thỏa mãn yêu cầu toán 3b) (1,0 điểm) ) (không 0,25 đ 3x + yz = ( x + y + z ) x + yz = ( x + y ) ( x + z ) Ta có ( zx + xy ) (vì x + y +z = 3) ≤ ( x + y) ( z + x ) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki: ⇒ ( ) zx + xy ≤ ( x + y) ( y + z) = 3x + yz 0,25 đ ⇒ x + zx + xy ≤ x + 3x + yz ⇒ x x x ≤ = x + 3x + yz x + zx + xy x+ y+ z y y ≤ y + 3y + zx x+ y+ z Chứng minh tương tự ta được: ; z z ≤ ; z + 3z + xy x+ y+ z 0,25 đ Cộng vế bất đẳng thức chiều ta được: x y z + + ≤1 x + 3x + yz y + 3y + zx z + 3z + xy 0,25 đ (đpcm) Bài (3 điểm) Dấu ‘=’ xảy x = y = z = Hình vẽ: 0,25 đ 4.1a (1,0 điểm) Tứ giác BIMK CIMH nội tiếp · · · · ⇒ KIM = KBM; HIM = HCM 0,25 đ · · · · · ⇒ PIQ = KIM + HIM = KBM + HCM Mà · · KBM = ICM (cùng 2 · · HCM = IBM sđ ¼ BM ) 0,25 đ · · · ¼ ⇒ PIQ = ICM + IBM CM (cùng sđ ) ·PMQ + ICM · · + IBM = 1800 Ta lại có · · ⇒ PMQ + PIQ = 1800 (tổng ba góc tam giác) · · ⇒ MQP = MIK Do tứ giác MPIQ nội tiếp (cùng sđ · · · · · ⇒ MQP = MCI MIK = MCI KBM Mà (vì ) Ta có: · · MHI = MCI (cùng sđ » IM » PM ) 0,25 đ ) ¼ · · ⇒ MQP = MHI = sđMQ · · MQP = MCI mà (chứng minh trên) Hai tia QP;QH nằm khác phía QM ⇒ PQ tiếp tuyến đường tròn (O2) tiếp điểm Q (1) Tương tự ta có: PQ tiếp tuyến đường tròn (O1) tiếp điểm P (2) Từ (1) (2) ⇒ PQ tiếp tuyến chung đường tròn (O1) (O2) S S 4.1b (1,0 điểm) Gọi E; D’lần lượt giao điểm NM với PQ BC PE = EM.EN ∆ ∆ Ta có (vì PEM NEP) QE = EM.EN ∆ ∆ (vì QEM NEQ) ⇒ 2 0,25 đ PE = QE (vì PE;QE >0) ⇒ PE= QE 0,5 đ Xét nên: ∆ · · MQP = MCI MBC có PQ // BC (do chứng minh trên) 0,25 đ EP EQ = D 'B D 'C (hệ định lí Thales) ≡ Mà EP = EQ D’B = D’C D’ D Suy N, M, D thẳng hàng 4.2(1,0 điểm) -Vẽ đường kính AN (O) ∆AQN Suy OP đường trung bình ⇒ 0,25 đ 0,25 đ · · = ONQ ⇒ PO / /QN ⇒ AOP · · POQ = OQN (đồng vị) (so le trong) · · · · ⇒ ONQ < OQN ⇒ AOP < POQ Bài (1 điểm) Xét ONQ có OQ < ON » < KH » · · » » ⇒ AK AOK < KOH ⇒ AK KH hay sđ < sđ (1,0 điểm) Gọi MN; EF đường nối trung điểm hai cạnh đối hình vuông (hình vẽ) Giả sử đường thẳng d1 cắt cạnh AB A1 cắt MN I cắt cạnh CD B1 Ta có tứ giác AA1B1D BCB1A1 hình thang có MI, NI đường trung bình hai hình thang SAA1B1D SA1BCB1 Khi Suy AD ( AA1 + DB1 ) 2IM IM =2 = = = 2IN IN BC ( A1B + B1C ) MI = MN nên MI = MN điểm I cố định 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ (theo GT) 0,25 đ Lập luận tương tự ta tìm điểm H; J; K cố định (hình vẽ) Có điểm cố định mà có 2017 đường thẳng qua nên theo nguyên lý Đirichlet phải có 505 đường thẳng đồng quy - Hết 0,25 đ 0,25 đ