ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC KIỀU THU HIỀN ĐƯA CÂU CHUYỆN TOÁN HỌC VÀO BÀI GIẢNG NHẰM KÍCH THÍCH SỰ ĐAM MÊ TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN) Mã số: 60 14 01 11 HÀ NỘI - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC KIỀU THU HIỀN ĐƯA CÂU CHUYỆN TOÁN HỌC VÀO BÀI GIẢNG NHẰM KÍCH THÍCH SỰ ĐAM MÊ TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN) Mã số: 60 14 01 11 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM Ơ N S au t h ời gi a n h ọ c t ậ p v n g hi ê n c ứ u t i t r n g Đ i h ọ c G i o d ụ c - Đ i h ọ c Q u ố c g i a H N ộ i , t c g i ả đ ã h o n t h n h L u ậ n v ă n T h c s ĩ S p h m t o n v i đề tài "Đưa câu chuyện toán học vào giảng nhằm kích thích đam mê toán học học sinh" Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả trình học tập nghiên cứu luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS TS Nguyễn Minh Tuấn trực tiếp hướng dẫn tác giả thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy giáo, cô giáo em học sinh trường Trung học phổ thông Trần Hưng Đạo - Hà Đông giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả học tập nghiên cứu Trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014 Tác giả: Kiều Thu Hiền i DANH MỤC VIẾT TẮT STT Cụm kí tự viết tắt ĐC GV HS TN Nội dung Đối chứng Giáo viên Học sinh Thực nghiệm ii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i DANH MỤC VIẾT TẮT ii MỤC LỤC iii DANH MỤC HÌNH v MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Vai trò toán học 1.2 Vai trò câu chuyện toán học 11 CHƯƠNG CÁC BÀI GIẢNG 12 2.1 Bài giảng Nhà toán học Pythagoras 12 2.1.1 Cuộc đời nghiệp 12 2.1.2 Định lý Pythagoras 13 2.1.3 Bài tập 19 2.2 Bài giảng Nhà toán học, Vật lý học, Thiên văn học, Triết học Newton 21 2.2.1 Cuộc đời nghiệp 21 2.2.2 Nhị thức Newton 24 2.2.3 Bài tập 27 2.3 Bài giảng Nhà toán học Gauss 29 2.3.1 Cuộc đời nghiệp 29 2.3.2 Giải hệ phương trình bậc nhiều ẩn số phương pháp Gauss 33 2.3.3 Bài tập 37 2.4 Bài giảng Nhà toán học Augustin-Louis Cauchy 39 2.4.1 Cuộc đời nghiệp 39 2.4.2 Bất đẳng thức Cauchy ứng dụng 42 2.4.3 Bài tập 48 2.5 Bài giảng Một số toán dân gian 49 2.5.1 Bài toán điển hình 49 2.5.2 Bài tập 51 2.6 Bài giảng Fibonacci dãy số kỳ diệu 55 2.6.1 Fibonacci 55 2.6.2 Dãy số kỳ diệu 56 2.6.3 Bài tập 64 CHƯƠNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 65 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 65 3.1.1 Mục đích thực nghiệm 65 iii 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 65 3.2 Phương pháp thực nghiệm 65 3.3 Tiến hành thực nghiệm 65 3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 65 3.3.2 Nội dung thực nghiệm 66 3.3.3 Tổ chức thực nghiệm 66 3.3.4 Điều tra 66 3.4 Kết 66 3.4.1 Kết thống kê, tổng hợp phiếu điều tra 66 3.4.2 Phân tích, đánh giá kết điều tra 71 KẾT LUẬN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 PHỤ LỤC 75 iv DANH MỤC HÌNH Trang Hình 2.1: Pythagoras 12 Hình 2.2: Hình minh học định lý Phitago 14 Hình 2.3: Cách chứng minh định lý Pythagoras Garfield .15 Hình 2.4: Cách chứng minh định lý Pythagoras Bkha-xka-ra .16 Hình 2.5: Cách chứng minh định lý Pythagoras người Ấn Độ cổ .16 Hình 2.6: Cách 4, chứng minh định lý Pythagoras .17 Hình 2.7: Cách chứng minh định lý Pythagoras Jamie deLemos 17 Hình 2.8: Hình minh họa ví dụ áp dụng định lý Pythagoras .18 Hình 2.9: Isaac Newton, 1642-1727 21 Hình 2.10: Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855 29 Hình 2.11: Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857 39 Hình 2.12: Fibonacci, khoảng 1170 - khoảng 1250 55 Hình 2.13: Tượng Fibonacci Camposanto, Pisa 56 Hình 2.14: Hình minh họa toán nuôi thỏ 57 Hình 2.15 58 Hình 2.16: Hoa có cánh 61 Hình 2.17: Hoa có hai cánh 61 Hình 2.18: Hoa có ba cánh .61 Hình 2.19: Hoa có năm cánh 62 Hình 2.20: Hoa có tám cánh .62 Hình 2.21: Hoa có mười ba cánh 62 Hình 2.22: Bông hướng dương 63 Hình 2.23: Quả thông 63 v MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học coi ông hoàng đồng thời người đầy tớ khoa học [7] Từ xa xưa, người thấy Toán học gần gũi đời sống chúng ta, việc đếm vật dụng, tính toán chi tiêu tài gia đình thân, Bên cạnh đó, Toán học vừa phương tiện tiếp cận vừa công cụ nhiều ngành khoa học Triết học, Hóa học, Vật lý học, Sinh học, Địa lý, Kinh tế, Giao thông, Hàng hải, khoa học máy tính, ngành khoa học xã hội, tưởng chừng định lượng, tượng xã hội mô hình hóa ngôn ngữ toán học, chẳng hạn thuyết dân số Thomas Malthus (1798), Malthus lập luận dân số tăng theo cấp số nhân thực phẩm tăng theo cấp số cộng Toán học hữu cách tự nhiên xung quanh chúng ta, nhận ra, chí có nhiều người cho toán học vai trò sống mà Toán học đơn ngành khoa học khép kín, giải vấn đề toán học mà không ảnh hưởng đến ngành khoa học khác, ngành khoa học tự nhiên Như vậy, toán học có vai trò quan trọng cá nhân phát triển nhân loại Đối với người học nói chung, học sinh phổ thông nói riêng, học tốt môn toán mang lại nhiều thuận lợi việc tiếp thu kiến thức khoa học khác Muốn vậy, trước hết, em cần có tình yêu, đam mê môn toán, từ nâng cao tính tò mò, ham học hỏi thân, tiến đến nắm chắc, hiểu sâu vận dụng linh hoạt kiến thức toán học vào tập, tình cụ thể học tập sống ngày Những câu chuyện toán học đưa học sinh đến gần với hoàn cảnh, cách tiếp cận vấn đề điều kiện cụ thể, đồng thời giúp cho học sinh có thêm hiểu biết tiểu sử nhà toán học, toán cổ Từ đó, hình thành củng cố cho học sinh tình yêu niềm đam mê việc học môn toán thay Toán học thường biết đến lĩnh vực lý thuyết túy, khô khan với số phép tính phức tạp đau đầu, làm ảnh hưởng không tốt đến tâm lý học sinh học tập Vì vậy, em chọn đề tài "Đưa câu chuyện toán học vào giảng nhằm kích thích đam mê toán học học sinh" nhằm giúp người học có nhìn, có cách tiếp cận môn toán theo hướng mềm hơn, gần gũi hơn, để có kết tốt học tập, mở rộng giới quan họ Mục tiêu nghiên cứu Gây hứng thú, kích thích đam mê toán học học sinh Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu tiểu sử số nhà toán học lỗi lạc số toán dân gian - Nghiên cứu mối liên quan câu chuyện toán học với đam mê, hứng thú học sinh với môn học nói chung môn toán nói riêng - Đưa câu chuyện toán học vào giảng để học sinh thấy vẻ đẹp môn toán, thấy gần gũi môn toán đời sống ngày, ứng dụng rộng rãi toán học lĩnh vực đời sống, biết điều kiện, hoàn cảnh sống làm việc số nhà toán học lỗi lạc nhằm kích thích đam mê, hứng thú với môn toán học sinh Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tiểu sử số nhà toán học lỗi lạc câu chuyện toán học gần gũi đời sống người liên quan đến chương trình toán học Trung học phổ thông - Nghiên cứu vai trò câu chuyện toán học yêu thích môn toán học sinh - Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính hiệu luận văn - Đánh giá hiệu luận văn ưu, nhược điểm luận văn để rút học kinh nghiệm cho tác giả Phạm vi nghiên cứu - Cuộc đời nghiệp số nhà toán học chương trình toán phổ thông - Một số câu chuyện toán học vài ứng dụng toán học, tượng thiên nhiên tuân theo quy luật toán học - Một số toán dân gian Lịch sử nghiên cứu Có nhiều tác giả nước nghiên cứu sưu tầm câu chuyện toán học, toán dân gian như: - Hai tác giả Nguyễn Việt Hải Vũ Thị Thanh Hương sưu tầm biên soạn Các toán dân gian, tập một, NXB Giáo dục, Hà Nội năm 2003 - Hai tác giả Nguyễn Bá Đô Nguyễn Hồng Minh sưu tầm biên soạn Các câu chuyện toán học, tập một, NXB Giáo dục, Đà Nẵng năm 2003 - Các tác giả Nguyễn Bá Đô (chủ biên), Đặng Khánh Hội Nguyễn Văn Túc sưu tầm biên soạn Các câu chuyện toán học, tập bốn NXB Giáo dục, Đà Nẵng năm 2003 - Tác giả Trần Đức Lịch với Suy nghĩ vai trò toán học xã hội tạp chí tiasang.com.vn, ngày 08 tháng 02 năm 2002 Tuy nhiên, theo biết, chưa có tác giả nghiên cứu vấn đề đưa câu chuyện toán học vào giảng để kích thích đam mê, hứng thú với môn toán học sinh Giả thuyết nghiên cứu Giới thiệu, lồng ghép câu chuyện toán học học khóa tổ chức học tự chọn, học ngoại khóa tìm hiểu câu chuyện toán học để học sinh thêm yêu đam mê môn toán GV: Dẫn dắt học sinh ngành khoa học mỹ thuật thực tính toán, so sánh để Bình phương số dãy Fibonacci, ta kết đến đặc tính tương ứng dãy số Fibonacci 1 25 64 169 … Cộng hai số liền dãy số trên, ta số dãy số Fibonacci Cộng số liên tiếp dãy số trên, ta kết tương ứng 1 25 64 169 … 15 40 104 273 … Thú vị là, tổng lại tích hai số liên tiếp dãy Fibonacci Như  12 12  1  12 12  22   15  12 12  22  32  3 40  12 12  22  32  52  5 104  12  12  22  32  52  82  813 273  12 12  22  32  52  82 132  13 21… 83 GV: Phân tích hình minh họa Điều minh họa hình GV: Giới thiệu vài loài hoa có số * Dãy số Fibonacci thiên nhiên Theo nhà cánh số Fibonacci khoa học, giới thực vật, dãy số Fibonacci hữu Số cánh hầu hết loài hoa tuân thủ theo dãy số Fibonacci Hoa có cánh Hoa có hai cánh Hoa có ba cánh 84 Hoa có năm cánh Hoa có tám cánh Hoa có mười ba cánh Số đường xoắn hay đường chéo số loài hoa tuân theo dãy số Fibonacci Bông hướng dương Hay thông, số đường xoắn theo hai chiều và 13… 85 Quả thông Như vậy, dãy số Fibonacci tưởng chừng số nghiên lý thuyết mà Nhưng vậy, dãy số hữu thực tế cách kì diệu đầy lý thú Dãy số Fibonacci cho công thức truy hồi F (0)  F (1)  F (n)  F (n  1)  F (n  2), n , n GV: Hãy tính số đôi thỏ tháng thứ 12? HS: Trả lời Củng cố Ví dụ Tính số cặp thỏ tháng thứ 12? Câu Fibonacci có tên thật A Leonardo Fibonacci B Leonardo Bonacci C Leonardo Pisa D Leonardo Pisano Câu Fibonacci nhà toán học người nước A Pháp B Đức C Ý D Mỹ 86 Câu Trong dãy số Fibonacci, tổng bình phương n số tích A Số số cuối B Số thứ n số thứ n  C Số thứ n  số thứ n D Số thứ số thứ n Câu Trong dãy số Fibonacci, tổng hai số số dãy A Số đầu số dãy B Hai số vị trí lẻ liền C Hai số vị trí chẵn liền D Hai số liền Câu Trong dãy số Fibonacci, tỷ số hai số cho kết tỷ số vàng (hay số thần thánh) A Số số trước B Số số sau C Số số thứ năm D Số thứ năm số Câu Ở hướng dương, số đường xoắn theo chiều số dãy số Fibonacci A Chỉ xuôi chiều quay kim đồng hồ B Chỉ ngược chiều quay kim đồng hồ C Cả hai chiều D Cả hai chiều không Hướng dẫn công việc nhà - Thống kê số cánh loài hoa, số đường xoắn loài hoa hay mà em biết, với số số Fibonacci - Xây dựng dãy số theo quy luật khác quy luật dãy số Fibonacci 87 Phụ lục Phiếu điều tra sau tiết thực nghiệm thứ PHIẾU ĐIỀU TRA HỨNG THÚ, ĐAM MÊ TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH Họ tên học sinh: Giới tính (Nam/Nữ): Lớp: Trường Quận (Huyện): Tỉnh (Thành phố): Em vui lòng cho biết ý kiến qua việc trả lời câu hỏi sau: Câu Cảm nghĩ em môn toán Rất thích Thích Bình thường Không thích Rất sợ Ý kiến khác: Câu Các hoạt động em học môn toán Hứng thú với học, tích cực suy nghĩ, nghiên cứu sách giáo khoa để trả lời câu hỏi, gợi ý thầy cô Nghe thầy, cô giảng ghi đầy đủ Không quan tâm Cảm thấy nặng nề, mệt mỏi Ý kiến khác: Câu Em thấy công thức toán học dễ nhớ không? Dễ nhớ Tùy công thức Khó nhớ Ý kiến khác: 88 Câu Em thấy môn toán có thiết thực sống ngày? Có thiết thực Không thiết thực Em Ý kiến khác: Câu Sau học, em có hiểu không? Có hiểu Không hiểu Hiểu sơ qua, mơ hồ Ý kiến khác: Câu Sau học, em có vận dụng kiến thức vào giải tập hay tình không? Em vận dụng Em đưa kết trình bày, giải thích, lập luận Em không vận dụng Ý kiến khác: Câu Em thấy toán học Lôi cuốn, thu hút Tẻ nhạt, thiếu thực tế Trừu tượng, khó hiểu Ý kiến khác: Câu Em có thường xuyên làm tập nhà môn toán không? Thường xuyên Thỉnh thoảng Không 89 Câu Em có làm thêm tập môn toán tập thầy, cô yêu cầu không? Thường xuyên Thỉnh thoảng Không Câu 10 Em có thường xuyên chuẩn bị bài, môn toán, trước đến lớp không? Thường xuyên Thỉnh thoảng Không 90 Phụ lục Phiếu điều tra trước sau tiết thực nghiệm thứ hai PHIẾU ĐIỀU TRA HỨNG THÚ, ĐAM MÊ TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH Họ tên học sinh: Giới tính (Nam/Nữ): Lớp: Trường Quận (Huyện): Tỉnh (Thành phố): Em vui lòng cho biết suy nghĩ qua việc trả lời câu hỏi sau: Câu Nhà toán học Fibonacci người nước Mỹ Đức Ý Pháp Ý kiến khác: Câu Khi nói đến Fibonacci, em nghĩ đến điều gì? Dãy số Fibonacci Em không nghĩ Ý kiến khác: Câu Dãy số Fibonacci xuất phát từ toán sinh sản Dê Thỏ Bò Ý kiến khác: Câu Dãy số Fibonacci dãy số Hữu hạn Vô hạn Em 91 Câu Dãy số Fibonacci xây dựng sở Một số tự nhiên Hai số tự nhiên Em Câu Ngoài dãy số Fibonacci, em biết dãy số khác không? Có Không Nếu biết dãy số khác, em kể tên mô tả quy luật dãy số: Câu Theo em, số cánh loài hoa có theo quy luật không? Có Không Em Câu Em có quan tâm số cánh loài hoa không? Em có quan tâm Em bắt đầu tò mò, thắc mắc Em không quan tâm Câu Theo em, toán học có ứng dụng lĩnh vực nào? Chỉ môn khoa học tự nhiên Chỉ sống ngày (đi mua hàng hóa, tính tiền) Tất lĩnh vực đời sống xã hội Em không thấy ứng dụng toán học việc tính toán hình thức giấy Ý kiến khác: Câu 10 Em thấy toán học Lôi cuốn, thu hút Tẻ nhạt, thiếu thực tế Trừu tượng, khó hiểu 92 Câu 11 Theo em, học môn toán có cần thiết không? Cần thiết Không cần thiết Nếu phải thi phải học Câu 12 Em có yêu thích môn toán không? Thích Bình thường Không thích 93 Phụ lục Bài tập Một số toán giải cách lập phương trình, hệ phương trình BÀI TẬP Bài tập Vừa công vừa thỏ Ba mươi sáu Chân công nhiều Chân thỏ tá Hỏi bao công, thỏ? Bài tập Thương cau sáu bổ ba Ghét cau sáu bổ làm mười Số người đếm đủ tám mươi Cau mười lăm tính người ghét, thương? Bài tập Lũ trẻ đua hái hồng Mỗi thằng sáu thằng không Mỗi thằng năm quả, thừa Lũ trẻ bao nhiêu? Mấy hồng? Bài tập Mai ngày chợ phiên Anh gửi tiền Mua cam quýt Không kể nhiều, Ba chục trái 94 Cam ba đồng Quýt đồng đôi Bao trái loại? (Một tiền sáu mươi đồng) Bài tập Mai em chợ phiên Anh gửi tiền Cam, yên, quýt Không nhiều Mua lấy trăm Cam ba đồng Quýt đồng năm Thanh yên tươi tốt Năm đồng trái Hỏi mua thứ trái? Bài tập Lừa ngựa thồ hàng chợ Ngựa thở than chở nhiều Lừa "Anh điều" Tôi bị chất nhiều Anh đưa bao sang bớt Thì thồ nhiều gấp đôi anh Chính phải trút cho anh Một bao gánh đỡ thành Hỏi lừa, ngựa chở bao? 95 [...]... thức, bài toán ấy có ứng dụng gì trong thực tế cuộc sống Để gợi hứng thú, kích thích sự đam mê, tinh thần hăng say tìm tòi, khám phá của người học, người dạy cần đưa ra các bài tập, tình huống thực tế phong phú, phù hợp khả năng của người học và tăng dần độ khó Bên cạnh đó, trong bài học, người dạy cần lồng ghép khéo léo các câu chuyện toán học để người học thêm yêu môn học này Các câu chuyện toán học có... thể phủ nhận ảnh hưởng của toán học dẫn đến hình thành và củng cố thế giới quan triết học Ngược lại, triết học khoa học của toán học đã tác động tích cực đến sự phát triển của toán học Mối quan hệ giữa toán học và triết học duy vật biện chứng là mối quan hệ khách quan, hợp quy luật trong tiến trình phát triển nhận thức của con người [6] Nhiều tri thức toán học, ngay cả toán học đơn giản ở bậc phổ thông,... pozitron Khả năng vượt trước của toán học đã luận chứng, hoàn thiện, cụ thể hoá quan điểm của chủ nghĩa duy vật về điện tử là vô cùng, vô tận Các cuộc cách mạng trong hoá học (hoá học lượng tử), trong sinh học (lý thuyết di truyền), sinh học phân tử đều dựa vào những thành tựu của toán học hiện đại Đối với khoa học nhân văn, khả năng hình thành toán kinh tế, toán tâm lý, toán xã hội sẽ góp phần củng... thể là bài toán cổ được đố bằng thơ, vè về các tình huống trong cuộc sống lao động sản xuất Các câu chuyện toán học là tiểu sử, giai thoại, thành tích, công lao trong khoa học của các nhà toán học mà trong đó nêu bật sự cố gắng vượt khó trong cuộc sống, học tập và làm việc của các nhà toán học; hoàn cảnh, điều kiện ra đời của các định luật, định lý Qua đó, người học biết được nghị lực phi thường của các... thực tiễn, toán học hiện đại đóng vai trò nền tảng trong quá trình nhất thể hoá các khoa học Sự thống nhất của toán học với thế giới quan triết học biểu hiện ở chỗ chúng xác nhận những tư tưởng cơ bản của chủ nghĩa duy vật: tư tưởng về sự thống nhất vật chất của thế giới và tính có thể nhận thức được của thế giới đó Các khoa học khác như vật lý học, sinh học đã có những đóng góp quan trọng vào việc luận... khoa học khác, để hiểu được tất cả là không thể Thậm chí toán học thuần túy, hay ngay cả một bộ phận nào đó của toán học thuần túy đã đơn giản là rộng lớn đến nỗi vượt quá khả năng thấu hiểu của con người [4] Như vậy, toán học đóng vai trò quan trọng trong đời sống hằng ngày, trong việc hình thành và phát triển của các ngành khoa học như Hóa học, Vật lý học, Sinh học, Y học, Địa lý, Kinh tế, Tin học. .. tâm học thật giỏi để đứng đầu lớp Năm 1961, may mắn là do không làm ruộng giỏi nên Newton được đưa đến Đại học Cambridge, sử dụng học bổng của trường với điều kiện phải phục dịch các học sinh đóng học phí Mục tiêu ban đầu của Newton tại Đại học Cambridge là tấm bằng luật sư với chương trình nặng về triết học của Aristotle, nhưng ông nhanh chóng bị cuốn hút bởi toán học của Descartes, thiên văn học của. .. đại lượng biến đổi Thời kỳ hiện đại, thành tựu nổi bật của toán học là tư tưởng cấu trúc, một trong những cơ sở lý luận cho sự ra đời của các khoa học tổng hợp như logic toán, điều khiển học, tin học, toán lý, toán sinh, toán kinh tế Về phương diện thực tiễn, trên cơ sở sự tương tự về cấu trúc giữa các quá trình diễn ra trong giới tự nhiên vô sinh, sự sống và xã hội (tư duy) người ta đã chế tạo ra hệ... góp quan trọng vào việc luận chứng cho sự thống nhất này Có thể nói rằng cùng với sự phát triển của khoa học và thực tiễn các lý thuyết toán học ngày càng có khả năng đi sâu vào việc luận chứng cho tư tưởng về sự thống nhất vật chất 8 của thế giới Chẳng hạn, cùng một phương trình có thể diễn tả sự phân huỷ chất phóng xạ, sự sinh sản của vi khuẩn, sự tăng trưởng của nền kinh tế Những kết quả trên đây... hai khoa học này góp phần vào cuộc cách mạng của Copecních thay hệ địa tâm bằng hệ nhật tâm Sự phát triển của một thế giới quan mới gắn liền với cuộc cách mạng mà Copecních thực hiện đòi hỏi phải có một nền toán học mang những tư tưởng mới về chất ra đời (đó là toán học về các đại lượng biến đổi ở thời kỳ cổ điển) Do sự phát triển của thực tiễn và nhận thức, tất yếu dẫn tới sự ra đời của toán học về