Sỏch gii Ngi thy ca bn Chuyên đề: http://sachgiai.com/ Bất đẳng thức A- Mở đầu: Bất đẳng thức mảng kiến thức khó toán học phổ thông Nhưng thông qua tập chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ sâu sắc giải biện luận phương trình , bất phương trình ,về mối liên hệ yếu tố tam giác tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Trong trình giải tập , lực suy nghĩ , sáng tạo học sinh phat triển đa dang phong phú tập bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc khuôn mẫu Nó đòi hỏi người đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách lôgíc có hệ thống Cũng toán bất đẳng thức cách giải mẫu , không theo phương pháp định nên học sinh rât lúng túng giải toán bất đẳng thức học sinh không theo hương Do hầu hết học sinh làm toán bất đẳng thứcvà vận dụng bất đẳng thức để giải loại tập khác Trong thực tế giảng dạy toán trường THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức vận dụng bất đẳng thức vào giải tập có liên quan công việc quan trọngvà thiếu người dạy toán ,thông qua rèn luyện Tư lôgic khả sáng tạo cho học sinh Để làm điều người thầy giáo phải cung cấp cho học sinh số kiến thức số phương pháp suy nghĩ ban đầu bất đẳng thức Chính lí nên tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục đích giúp học sinh học tốt Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ Danh mục chuyên đề S.t.t Nội dung Phần mở đầu trang Nội dung chuyên đề Các kiến thức cần lưu ý Các phương pháp chứng minh bát đẳng thức Phương pháp 1:dùng định nghiã Phương pháp 2:dùng biến đổi tương đương Phương pháp 3:dùng bất đẳng thức quen thuộc 8 Phương pháp 4:dùng tính chất bắc cầu 10 Phương pháp 5: dùng tính chấtbủa tỷ số 12 10 Phương pháp 6: dùng phương pháp làm trội 14 11 Phương pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác 16 12 Phương pháp 8: dùng đổi biến 17 13 Phương pháp 9: Dùng tam thức bậc hai 14 Phương pháp 10: Dùng quy nạp toán học 18 19 15 Phương pháp 11: Dùng chứng minh phản chứng 21 16 Các tập nâng cao 23 17 28 18 ứng dụng bất dẳng thức Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 19 Dùng bất đẳng thức để: giải phương trình hệ phương trình 31 20 Dùng bất đẳng thức để : giải phương trình nghiệm nguyên 33 21 Tài liệu tham khảo 29 Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ B- nội dung Phần : kiến thức cần lưu ý 1- Định nghĩa 2- Tính chất 3-Một số bất đẳng thức hay dùng Phần 2:một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1-Phương pháp dùng định nghĩa 2- Phương pháp dùng biến đổi tương đương 3- Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Phương pháp sử dụng tính chất bắc cầu 5- Phương pháp dùng tính chất tỉ số 6- Phương pháp làm trội 7- Phương pháp dùng bất đẳng thức tam giác 8- Phương pháp đổi biến số 9- Phương pháp dùng tam thức bậc hai 10- Phương pháp quy nạp 11- Phương pháp phản chứng Phần :các tập nâng cao PHầN : ứng dụng bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải phương trình bất phương trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyên Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ Phần I : kiến thức cần lưu ý 1-Đinhnghĩa A B A B A B A B 2-tính chất + A>B B A + A>B B >C A C + A>B A+C >B + C + A>B C > D A+C > B + D + A>B C > A.C > B.C + A>B C < A.C < B.C + < A < B < C B > A n > B n n + A > B A n > B n với n lẻ + A > B A n > B n với n chẵn + m > n > A > A m > A n + m > n > 1 A B 3-một số bất đẳng thức + A với A ( dấu = xảy A = ) + An với A ( dấu = xảy A = ) + A với A (dấu = xảy A = ) + -A 0) + A B A B ( dấu = xảy A.B < 0) Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ Phần II : số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp : dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta chứng minh A B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M với M Ví dụ x, y, z chứng minh : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy 2xz + 2yz c) x + y + z +3 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x + y + z - xy yz - zx = ( x y ) ( x z ) ( y z ) với x;y;z R = ( x + y + z - xy yz zx) Vì (x-y)2 vớix ; y Dấu xảy x=y (x-z)2 vớix ; z Dấu xảy x=z (y-z)2 với z; y Dấu xảy z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z b)Ta xét hiệu x + y + z - ( 2xy 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz 2yz =( x y + z) với x;y;z R Vậy x + y + z 2xy 2xz + 2yz với x;y;z R Dấu xảy x+y=z c) Ta xét hiệu x + y + z +3 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) 2+ (y-1) 2+(z-1) Dấu(=)xảy x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh : Sỏch gii Ngi thy ca bn a2 b2 a b a) ;b) http://sachgiai.com/ a2 b2 c2 a b c 3 c) Hãy tổng quát toán giải 2 a b a b a b a 2ab b = 4 = 2a 2b a b 2ab = a b a) Ta xét hiệu a2 b2 a b Vậy Dấu xảy a=b b)Ta xét hiệu a2 b2 c2 a b c 3 = a b b c c a a2 b2 c2 a b c Vậy 3 Dấu xảy a = b =c c)Tổng quát a12 a 22 a n2 a1 a a n n n Tóm lại bước để chứng minh A B tho định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) + +(E+F) Bước 3:Kết luận A B Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta có m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Giải: Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ m2 m2 m2 m2 2 mn n mp p mq q m m m n 2 2 m m p q (luôn đúng) m n0 m p0 Dấu xảy m q m m n m m2 p n p q m q m Bài tập bổ xung Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Lưu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Chú ý đẳng thức sau: A B A AB B A B C A B C AB AC BC A B A3 A B AB B Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh b2 a) a ab b) a b ab a b c) a b c d e ab c d e Giải: b2 ab 4a b 4ab 4a 4a b (bất đẳng thức đúng) 2a b a) a b2 ab (dấu xảy 2a=b) b) a b ab a b 2(a b 2(ab a b) Vậy a a 2ab b a 2a b 2b Bất đẳng thức cuối (a b) (a 1) (b 1) Vậy a b ab a b Dấu xảy a=b=1 a b c d e ab c d e c) a b c d e 4a b c d e a 4ab 4b a 4ac 4c a 4ad 4d a 4ac 4c 2 a 2b a 2c a 2d a 2c Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a10 b10 a b a b a b Giải: Sỏch gii Ngi thy ca bn a http://sachgiai.com/ b10 a b a b a b a 12 a10 b a b10 b12 a 12 a b a b b12 a 8b a b a 2b8 b a a2b2(a2-b2)(a6-b6) a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 10 Bất đẳng thứccuối ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 x.y Chứng minh x2 y2 2 x y Giải: 2 x y 2 :x y nên x- y x2+y2 2 ( x-y) x y x2+y2- 2 x+ 2 y x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2 x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- )2 Điều luôn Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: 1)CM: P(x,y)= x y y xy y x, y R a2 b2 c2 a b c 2)CM: (gợi ý :bình phương vế) 3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: x y.z 1 x y z x y z Chứng minh :có ba số x,y,z lớn (đề thi Lam Sơn 96-97) Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 x y z 1 x y z x y z =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( )=x+y+z - ( ) (vì < x+y+z theo gt) số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dương Nếủ trường hợp sau xảy x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trường hợp tức có ba số x ,y ,z số lớn Sỏch gii Ngi thy ca bn Phương pháp 3: http://sachgiai.com/ dùng bất đẳng thức quen thuộc A/ số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) x y xy b) x y xy dấu( = ) x = y = c) x y xy a b b a d) 2)Bất đẳng thức Cô sy: a1 a a3 a n n a1 a a3 a n n Với 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski a 2 a22 an2 x12 x22 2n a1 x1 a2 x2 an xn 4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép: abc A B C abc Nếu A B C abc Dấu xảy A B C Nếu aA bB cC a b c A B C 3 aA bB cC a b c A B C 3 b/ ví dụ ví dụ Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: x y xy Tacó a b 4ab ; b c 4bc ; c a 4ac 2 a b b c c a 64a b c 8abc (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu = xảy a = b = c 1 a b c CMR:x+2y+z 4(1 x)(1 y )(1 z ) ví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 a+b+c=1 CMR: 2)Cho x,y,z>0 x+y+z=1 3)Cho a>0 , b>0, c>0 10 (403-1001) Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ Phương pháp 11: Chứng minh phản chứng Lưu ý: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta giả sử bất đẳng thức sai kết hợp với giả thiết để suy điều vô lý , điều vô lý điều trái với giả thiết , điều trái ngược Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề G K phép toán mệnh đề cho ta : Như để phủ định luận đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết luận Ta thường dùng hình thức chứng minh phản chứng sau : A - Dùng mệnh đề phản đảo : K G B Phủ định rôi suy trái giả thiết : C Phủ định suy trái với điều D Phủ định suy điều trái ngược E Phủ định suy kết luận : Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > , ab+bc+ac > , abc > Chứng minh a > , b > , c > Giải : Giả sử a từ abc > a a < Mà abc > a < cb < Từ ab+bc+ca > a(b+c) > -bc > Vì a < mà a(b +c) > b + c < a < b +c < a + b +c < trái giả thiết a+b+c > Vậy a > tương tự ta có b > , c > 24 Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ Ví dụ 2: Cho số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac 2.(b+d) Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: , c 4d a 4b Giải : Giả sử bất đẳng thức : a 4b , c 4d cộng vế ta (1) a c 4(b d ) Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2) Từ (1) (2) a c 2ac hay a c (vô lý) Vậy bất đẳng thức a 4b c 4d có bất đẳng thức sai Ví dụ 3: Cho x,y,z > xyz = Chứng minh Nếu x+y+z > 1 có ba số lớn x y z Giải : Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz xy- yz + x + y+ z 1 x y z =x + y + z ( ) xyz = theo giả thiết x+y +z > 1 x y z nên (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 có số dương Thật ba số dương x,y,z > xyz > (trái giả thiết) Còn số dương (x-1).(y-1).(z-1) < (vô lý) Vậy có ba số x , y,z lớn 25 Sỏch gii Ngi thy ca bn Phần iii : http://sachgiai.com/ tập nâng cao 1/dùng định nghĩa 1) Cho abc = a 36 Chứng minh a2 b2+c2> ab+bc+ac Giải Ta có hiệu: a2 b2+c2- ab- bc ac a2 a2 = b2+c2- ab- bc ac 12 a2 a2 = ( b2+c2- ab ac+ 2bc) + 3bc 12 a a 36abc =( -b- c)2 + 12a a a 36abc =( -b- c)2 + >0 (vì abc=1 a3 > 36 nên 12a a2 Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh 2) Chứng minh a) x y z x.( xy x z 1) b) với số thực a , b, c ta có a 5b 4ab 2a 6b a 2b 2ab 2a 4b c) Giải : a) Xét hiệu H = x y z x y x xz x = x y x z x 12 26 a >0 ) Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ H ta có điều phải chứng minh b) Vế trái viết H = a 2b 12 b 12 H > ta có điều phải chứng minh c) vế trái viết H = a b 12 b 12 H ta có điều phải chứng minh Ii / Dùng biến đổi tương đương 1) Cho x > y xy =1 Chứng minh x y2 x y Giải : Ta có 2 x y x y xy x y x 2 y x y 2 (vì xy = 1) 4. x y Do BĐT cần chứng minh tương đương với x y 4x y 8.x y x y 4x y x y 22 BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy Chứng minh 1 2 x y xy Giải : 1 2 x y xy 1 1 2 x y y xy Ta có xy x xy y x xy y xy x ( y x) y( x y) x .1 xy y .1 xy 27 Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ y x xy x y .1 xy BĐT cuối xy > Vậy ta có điều phải chứng minh Iii / dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chứng minh a b c Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) (a,b,c) Ta có 1.a 1.b 1.c 1.a b c a b c 3.a b c a2 b2 c2 (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) Cho a,b,c số dương 1 Chứng minh a b c . a b c Giải : a a b b c c b c a c a a a b a c b c b a c a c b x y áp dụng BĐT phụ Với x,y > y x (1) Ta có BĐT cuối a b c Vậy a b c . (đpcm) 28 (1) Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ Iv / dùng phương pháp bắc cầu 1) Cho < a, b,c Ta có x x y x x y x y2 x Đặt x k (k nguyên dương x nguyên dương ) Ta có k (k 1) y 2 Nhưng k k k k k y k 36 Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ Mà k k+1 hai số nguyên dương liên tiếp không tồn số nguyên dương Nên cặp số nguyên dương thoả mãn phương trình x y Vậy phương trình có nghiệm : Tài liệu tham khảo ************ 1- toán nâng cao chuyên đề đại số -nxb giáo dục 1998 Tác giả : Nguyễn Ngọc Đạm Nguyễn Việt Hải Vũ Dương Thụy 2- toán nâng cao cho học sinh - đại số 10 -nxb Đại học quốc gia hà nội 1998 Tác giả : Phan Duy Khải toán bồi dưỡng học sinh đại số -nhà xuất hà nội Tác giả : Vũ Hữu Bình Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều sách giáo khoa đại số 8,9,10 -nxb giáo dục 1998 37 Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ toán nâng cao đại số 279 toán chọn lọc -nhà xuất trẻ Tác giả : Võ Đại Mau 1995 Giáo trình đại số sơ cấp trường đhsp i hà nội &&& - 38 [...]... giải : b d Không mất tính tổng quát ta giả sử : a b a b a ab b Từ : c d c d c cd d a 1 vì a+b = c+d c b a b 99 8 99 9 d c d a b 1 99 9 b, Nếu: b =99 8 thì a=1 = Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c =99 9 c d c d a b 1 Vậy giá trị lớn nhất của =99 9+ khi a=d=1; c=b =99 9 c d 99 9 a, Nếu :b 99 8 thì 15 Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ Phương pháp 6: Phương pháplàm trội Lưu ý: Dùng các tính bất... 2b 3 2c 3 3 a 2 b b 2 c c 2 a b)Chứng minh rằng : Nếu a 2 b 2 c 2 d 2 199 8 thì ac+bd = 199 8 (Chuyên Anh 98 99 ) Giải: 2 Ta có (ac + bd) + (ad bc ) 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2 2 abcd a 2 d = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 199 82 rỏ ràng (ac+bd)2 ac bd 2 ad bc 2 199 8 2 2 b 2 c 2 - 2abcd = ac bd 199 8 2-Bài tập : 1, Cho các số thực : a1; a2;a3 =1 ;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + 2... giải phương trình và hệ phương trình Ví dụ 1 : Giải phương trình sau 4 3x 2 6 x 19 5 x 2 10 x 14 4 2 x x 2 Giải : Ta có 3x 2 6 x 19 3.( x 2 2 x 1) 16 3.( x 1) 2 16 16 2 5 x 2 10 x 14 5 x 1 9 9 Vậy 4 3x 2 6 x 19 5 x 2 10 x 14 2 3 5 Dấu ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1 Vậy 4 3x 2 6 x 19 5 x 2 10 x 14 4 2 x x 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1 Ví dụ 2... a+b+c 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có x y z 3 3 xyz 1 1 1 1 3 3 x y z xyz 19 Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ x y z . 1 1 1 9 x y z Mà x+y+z < 1 Vậy 1 1 1 9 (đpcm) x y z Ví dụ3: Cho x 0 ,... a2 b2 c2 1 3 (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) Cho a,b,c là các số dương 1 1 1 Chứng minh rằng a b c . 9 a b c Giải : a a b b c c b c a c a a a b a c b c 3 9 b a c a c b x y áp dụng BĐT phụ 2 Với x,y > 0 y x (1) 1 1 1 9 Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng 1 a 1 b 1 c Vậy a b c . 9 (đpcm) 28 (1) Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ Iv / dùng phương pháp bắc cầu 1) Cho 0 0 , b > 0 , c > 0 CMR: 25a 16b c 8 bc ca ab 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc 1 bc ca ab 2 20 2 m n p m n p Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ Phương pháp 9: dùng tam thức bậc hai Lưu ý : Cho tam thức bậc hai f x ax 2 bx c Nếu 0 thì a f x 0 x R b a với x x1 hoặc x x2 với x1 x x2 Nếu 0 thì a f x 0 x Nếu 0 thì a f x 0 a f x 0 Ví dụ1:... a d a d ac abcd d ab abcd (1) (2) (3) Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có : 2 ab bc cd d a 3 abc bcd cd a d ab 2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác Chứng minh rằng 1 a b c 2 bc ca ab 29 (đpcm) Sỏch gii Ngi thy ca bn http://sachgiai.com/ Giải : Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác nên ta có a,b,c > 0 Và a < b +c ; b