Bài Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính thể tích hình chóp Giải:  Gọi O tâm mặt đáy SO  (ABCD ) SO đường cao hình chóp hình chiếu SB lên mặt đáy BO,  SBO  600 (là góc SB mặt đáy)   BD  SO  Ta có, tan SBO   SO  BO tan SBO  tan SBO BO B  a tan 60  a  Vậy, thể tích hình chóp cần tìm S A 60 D O C 2a 1 4a B.h  AB.BC SO  2a.2a.a  3 3  Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, BAC = 300 ,SA = AC = a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Tính VS.ABC khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) V  Giải  Theo giả thiết, SA  AB , BC  AB , BC  SA Suy ra, BC  (SAB ) BC  SB  Ta có, AB  AC cos 300  a a BC  AC sin 300  2 SB  SA2  AB  a  S a a A 3a a  C B  S ABC 1 a a a2 a3  AB.BC      VS ABC  SA  S ABC  2 2 24  S SBC 1 a a a2  SB.BC     2 2  VS ABC 3VS ABC a3 a 21  d(A,(SBC )).S SBC  d (A,(SBC ))   3   S SBC 24 a 7 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải (SAB )  (ABCD )   (SAD )  (ABCD )  SA  (ABCD )  (SAB )  (SAD )  SA  S A a 60 D  B  Suy hình chiếu SC lên (ABCD) AC, SCA  600 2a C   SA  tan SCA   SA  AC tan SCA  AB  BC tan 600  a  (2a )2  a 15 AC  S ABCD  AB.BC  a.2a  2a 1 2a 15  Vậy, thể tích khối chóp S.ABCD là: V  SA.SACBD   a 15  2a  (đvtt) 3 Bài Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích hình chóp Giải  Gọi O tâm mặt đáy SO  (ABCD ) nên SO đường cao S hình chóp Gọi M trung điểm đoạn CD Theo tính chất hình chóp CD  SM  (SCD )   CD  OM  (ABCD)  SMO  600 (góc mặt (SCD ) mặt đáy)   A D CD  (SCD )  (ABCD )  60 M O   BC SO  Ta có, tan SMO   SO  OM tan SMO  tan 60  a B C 2a OM  Vậy, thể tích hình chóp cần tìm là: V  1 4a 3 B.h  AB.BC SO  2a.2a.a  (đvtt) 3 3 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, cạnh SA vuông góc với đáy Gọi D, E hình chiếu vuông góc A lên SB, SC Biết AB = 3, BC = SA = Tính thể tích khối chóp S.ADE Giải 2 2  SB  SA  AB    SC  SA2  AC  SA2  AB  BC  62  32  22  S SD SA2 62  SA  SD.SB     E SB SB (3 5)2 SE SA2 62 36 D  SA  SE SC     SC 49 A SC 1  VS ABC   SA   AB  BC   6.3.2  B VS ADE SA SD SE SD SE 36 864      VS ADE   VS ABC   6  VS ABC SA SB SC SB SC 49 245 C Bài Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân B, SA= a, SB hợp với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải SA  (ABC )    SA  AB hình chiếu SB lên (ABC) AB  (ABC )   AB, SBA  300 S a A 30 C B  AB   cot SBA   BC  AB  SA.cot SBA  a.cot 300  a SA 1 3a  S ABC  AB.BC  a 3.a  2 1 3a a3  Vậy, thể tích khối chóp S.ABC là: V  SAS ABC   a   (đvtt) 3 2 Bài Cho hình lăng trụ ABC A B C  có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Mặt bên (AA C C ) tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối lăng trụ Giải  Gọi H,M,I trung điểm đoạn AB,AC,AM  Theo giả thiết, A H  (ABC ), BM  AC Do IH đường trung bình tam giác ABM nên IH || BM  IH  AC  Ta có, AC  IH , AC  A H  AC  IA  Suy góc (ABC ) (ACC A) A IH  45o A' C' A a  A H  IH tan 45  IH  MB  H I a M B C o  Vậy, thể tích lăng trụ là: V  B.h  B' 1 a a 3a BM AC A H   a   (đvdt) 2 2 Bài Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC tam giác vuông C, SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi I trung điểm cạnh AB 1) Chứng minh rằng, đường thẳng SI vuông góc với mặt đáy (ABC ) 2) Biết mặt bên (SAC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải  Do SAB vuông cân S có SI trung tuyến nên SI  AB (SAB )  (ABC )   AB  (SAB )  (ABC )  SI  (ABC )  AB  SI  (SAB )   Gọi K trung điểm đoạn AC IK ||BC nên IK  AC Ta có, AC  SI AC  SK  Suy ra, góc mặt phẳng (SAC) (ABC) SKI  600   Ta có, SI  IK tan SKI   BC  tan 600  a S I A B 60 K 2a C AB  2SI  2a  AC  AB  BC  2a  Vậy, VS ABC  1 1 2a  S ABC  SI    AC  BC  SI   2a  2a  a  (đvtt) 3 Bài Cho khối chóp S.ABC có ABC SBC tam giác có cạnh 2, SA  a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a S Giải  Gọi M trung điểm đoạn BC, O trung điểm đoạn AM  Do ABC SBC có cạnh 2a nên SM  AM  2a  SA  SAM SO  AM (1) BC  SM  Ta có,   BC  SO (2) BC  OM   Từ (1) (2) ta suy SO  (ABC ) (do AM , BC  (ABC ) )  Thể tích khối chóp S.ABC V  C A O M B 1 1 a 3 a 3  B  h    AM  BC  SO   a  2a   (đvtt) 3 2  Bài 10 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A AC = a, C  600 Đường chéo BC' mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ theo a Giải: AB  AC  Ta có,   AB  (ACC A) , AC  hình chiếu AB  AA  vuông góc BC  lên (ACC A) Từ đó, góc BC  (ACC A)  BC A  300  Trong tam giác vuông ABC, AB  AC tan 600  a  Trong tam giác vuông ABC  , AC   AB cot 300  a 3  3a a A 60 C B 30 A' C' B'  Trong tam giác vuông ACC  , CC   AC   AC  (3a )  a  2a 2 2 1  Vậy, thể tích lăng trụ là: V  B.h  AB.AC CC    a  a  2a  a (đvdt) 2 Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón có đỉnh S đáy đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp cho BÀI GIẢI CHI TIẾT  Gọi O tâm hình vuông ABCD Do S.ABCD hình chóp nên SO  (ACBD )  Suy ra, OB hình chiếu vuông góc SB lên mp(ABCD)  a Do đó, SBO  600 Kết hợp, r  OB  ta suy ra: S A 60 B D O C a a  3 2 OB a l  SB   a cos 600  cos 600 h  SO  OB tan 600   Diện tích xung quanh mặt nón: S xq  .r l    a  a  a (đvdt) 1 a2 a a  Thể tích hình nón: V  .r h      (đvtt) 3 2 12 Câu 12 Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân B, SA= a, SB hợp với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC BÀI GIẢI CHI TIẾT SA  (ABC )    SA  AB hình chiếu SB lên (ABC) AB  (ABC )   AB, SBA  300  AB   cot SBA   BC  AB  SA.cot SBA  a.cot 300  a SA 1 3a  S ABC  AB.BC  a 3.a  2 1 3a a3  Vậy, thể tích khối chóp S.ABC là: V  SAS ABC   a   (đvtt) 3 2 Câu 13 Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy cầu ngoại tiếp hình chóp , đường cao h = Hãy tính diện tích mặt BÀI GIẢI CHI TIẾT  Giả sử hình chóp cho S.ABC có O chân đường cao xuất phát từ đỉnh S Gọi I điểm SO cho IS = IA, IS  IA  IB  OC  R Do đó, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  Theo giả thiết, SO =  IO   R 2 AM    3  Trong tam giác vuông IAO, ta có OA  IA2  OI  OA2  R2  (2  R)2    4R    R   Vậy, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  2 S  4R  4    9 (đvdt) 2  Câu 14 Cho hình lăng trụ ABC A B C  có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Mặt bên (AA C C ) tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối lăng trụ BÀI GIẢI CHI TIẾT  Gọi H,M,I trung điểm đoạn AB,AC,AM  Theo giả thiết, A H  (ABC ), BM  AC Do IH đường trung bình tam giác ABM nên IH || BM  IH  AC  Ta có, AC  IH , AC  A H  AC  IA  Suy góc (ABC ) (ACC A) A IH  45o  A H  IH tan 45o  IH  a MB   Vậy, thể tích lăng trụ là: V  B.h  1 a a 3a BM AC A H   a   (đvdt) 2 2 Câu 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, cạnh SA vuông góc với mặt đáy Góc  SCB  600 , BC = a, SA  a Gọi M trung điểm SB 1) Chứng minh (SAB) vuông góc (SBC) 2) Tính thể tích khối chóp MABC BÀI GIẢI CHI TIẾT BC  SA  (SAB )    BC  (SAB ) (do SA cắt BC) BC  AB  (SAB )   Mà BC  (SBC ) nên (SBC )  (SAB )   Ta có, SB  BC tan SCB  a tan 600  a 2 S a 2 AB  SB  SA  (a 3)  (a 2)  a  S MAB 60 C A 1 a2   S SAB    SA  AB  2  Thể tích khối chóp M.ABC: V  M a B 1 a2 a3  B  h   S MAB  BC   a  (đvdt) 3 12 Câu 16 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C  có đáy ABC tam giác vuông B, BC = a, mặt (A BC ) tạo với đáy góc 300 tam giác A BC có diện tích a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C  BÀI GIẢI CHI TIẾT BC  Do  BC  BC   Và BC  BC   AB  AA  BC  A B (hơn nữa, BC  (ABB A) )  AB  (ABC )  AB  (A BC )   ABA góc (ABC ) (A BC )  (ABC )  (A BC )  Ta có, S A BC 2.S A BC 2.a    A B.BC  A B    2a BC a  AB  A B cos ABA  2a cos 300  3a  AA  A B sin ABA  2a 3.sin 300  a  Vậy, Vl.t ruï  B.h  SABC AA  1 3a 3   AB  BC  AA   3a  a  a  (đvtt) 2 Câu 17 Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC tam giác vuông C, SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi I trung điểm cạnh AB 1) Chứng minh rằng, đường thẳng SI vuông góc với mặt đáy (ABC ) 2) Biết mặt bên (SAC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC BÀI GIẢI CHI TIẾT  Do SAB vuông cân S có SI trung tuyến nên SI  AB (SAB )  (ABC )   AB  (SAB )  (ABC )  SI  (ABC )  AB  SI  (SAB )   Gọi K trung điểm đoạn AC IK ||BC nên IK  AC Ta có, AC  SI AC  SK  Suy ra, góc mặt phẳng (SAC) (ABC) SKI  600   Ta có, SI  IK tan SKI   BC  tan 600  a AB  2SI  2a  AC  AB  BC  2a  Vậy, VS ABC  1 1 2a  S ABC  SI    AC  BC  SI   2a  2a  a  (đvtt) 3 Câu 18 Cho khối chóp S.ABC có ABC SBC tam giác có cạnh 2, SA  a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a BÀI GIẢI CHI TIẾT  Gọi M trung điểm đoạn BC, O trung điểm đoạn AM  Do ABC SBC có cạnh 2a nên SM  AM  2a  SA  SAM SO  AM (1) BC  SM  Ta có,   BC  SO (2) BC  OM   Từ (1) (2) ta suy SO  (ABC ) (do AM , BC  (ABC ) )  Thể tích khối chóp S.ABC V  1 1 a 3 a 3  B  h    AM  BC  SO   a  2a   (đvtt) 3 2 Câu 19 Cho hình trụ có độ dài trục OO   ABCD hình vuông cạnh có đỉnh nằm hai đường tròn đáy cho tâm hình vuông trung điểm đoạn OO  Tính thể tích hình trụ BÀI GIẢI CHI TIẾT  Giả sử A, B  (O ) C , D  (O )  Gọi H,K,I trung điểm đoạn AB,CD OO   Vì IO    IH nên O  H  Theo tính chất hình trụ ta có OIH OHA tam giác vuông O H  Tam giác vuông OIH có OH  IH  OI   Tam giác vuông OHA có r  OA  OH  HA2   Vậy, thể tích hình trụ là: V  B.h  .r h  .52.2  50 (đvtt) Câu 20 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A AC = a,  C  600 Đường chéo BC' mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ theo a BÀI GIẢI CHI TIẾT AB  AC : Ta có,   AB  (ACC A) , AC  hình chiếu AB  AA  vuông góc BC  lên (ACC A) Từ đó, góc BC  (ACC A)  BC A  300  Trong tam giác vuông ABC, AB  AC tan 600  a  Trong tam giác vuông ABC  , AC   AB cot 300  a 3  3a A a 60 C B 30 A'  Trong tam giác vuông ACC  , CC   AC 2  AC  (3a )2  a  2a C' B' 1  Vậy, thể tích lăng trụ là: V  B.h  AB.AC CC    a  a  2a  a (đvdt) 2 Câu 21 Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vuông cân có cạnh góc vuông a a) Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón tương ứng S BÀI GIẢI CHI TIẾT  Giả sử SAB thiết diện qua trục hình nón (như hình vẽ)  Tam giác SAB cân S tam giác cân nên SA = SB = a a AB  2  Vậy, diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình nón : Do đó, AB  SA2  SB  a SO  OA  a a a S xq  rl      ; 2 a 2 a    a S  S xq  r       2  A 2 a  a a  Thể tích khối nón: V  r h       3   12 O B