Đang tải... (xem toàn văn)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;1)G(1;1), đường cao từ đỉnh A có phương trình 2x−y+1=02x−y+1=0 và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng Δ:x+2y−1=0Δ:x+2y−1=0. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C biết diện tích tam giác ABC bằng 6Lời giải.....................
Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Hình hoïc khoâng gian 2016 Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C , cạnh huyền 3a Hình chiếu vuông góc S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC SB a 14 Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC Lời giải Gọi M , N trung điểm AB, AC Suy G CM BN trọng tâm tam giác ABC Theo giả thiết, ta có SG ABC Tam giác ABC vuông cân C , suy CA CB Ta có CM AB AB 3a CM AB 3a a , suy GM CM ; S a 10 ; SG SB GB a 9a2 Diện tích tam giác vuông ABC S ABC CA.CB 3a Thể tích khối chóp S ABC V S ABC S ABC SG (đvtt) Ta có d B, SAC 3d G, SAC BG BM GM M A B K N Kẻ GE AC E AC G E C Gọi K hình chiếu G SE , suy GK SE 1 GE AC AC SGE , Ta có AC SG suy AC GK 2 Từ 1 2 , suy GK SAC nên d G, SAC GK Do GE AC suy GE BC Ta có Trong tam giác vuông SGE , ta có BC a GE NG suy GE BC NB SG.GE a GK SG GE Vậy d B, SAC 3d G, SAC 3GK a Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M , N trung điểm AB , A D Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ M đến mặt phẳng SCN Lời giải Tam giác SAB có M trung điểm AB nên SM AB Mà SAB ABCD theo giao tuyến AB nên SM ABCD S Do SM đường cao tam giác SAB cạnh a nên SM a B Diện tích hình vuông ABCD cạnh a S ABCD a2 Thể tích khối chóp S ABCD V S ABCD S ABCD SM (đvtt) 1|Trang M a3 A C K E N D http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Hình hoïc khoâng gian 2016 AMD DNC Ta có AMD DNC suy ADM DCN ADM 90 DNC 90 suy Mà AMD ADM Gọi E DM CN Kẻ MK SE K SE CN DM Ta có CN SMD CN MK hay CN DM 1 2 CN SM Từ 1 2 , suy MK SCN nên d M , SCN MK Ta có DM AD AM Suy ME DM DE a ; DE 3a 10 DC DN DC DN 2 a 5 Trong tam giác vuông SME , ta có MK SM ME SM ME 2 3a 3a Vậy d M , SCN MK Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với BC a , cạnh bên SA 2a Hình chiếu vuông góc S mặt đáy trùng với tâm đáy, mặt phẳng SBC tạo với đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách đường thẳng BC mặt phẳng SAD Lời giải Gọi O AC BD Theo giả thiết ta có SO ABCD Gọi M trung điểm BC , suy OM BC BC OM Ta có BC SOM BC SM Do BC SO 600 SBC , ABCD SM , OM SMO Tam giác SAC có SO vừa trung tuyến vừa đường cao nên cân S Suy SC SA 2a a 15 3a ; Trong tam giác vuông SOM , ta có SO SM sin SMO a 15 a 15 OM SM cos SMO ; AB 2OM a 15 Diện tích hình chữ nhật ABCD S ABCD AB.BC 5a3 Thể tích khối chóp S ABCD VS ABCD S ABCD SO (đvtt) Trong tam giác vuông SMC , ta có SM SC MC 2|Trang http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Hình hoïc khoâng gian 2016 S K B A M N O C D Ta có d BC, SAD d M , SAD 2d O, SAD Kéo dài MO cắt A D N , suy ON AD Kẻ OK SE K SE 1 AD ON Ta có AD SON AD OK 2 AD SO Từ 1 2 , suy OK SAD nên d O, SAD OK Trong tam giác vuông SON , ta có OK SO.ON SO ON 2 SO.OM SO OM 2 3a 3a Vậy d BC , SAD 2d O, SAD 2OK Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông với AB BC a , cạnh bên SA 2a vuông góc với đáy Gọi M trung điểm AC Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách hai đường thẳng SM BC Lời giải Từ giả thiết suy tam giác ABC vuông cân B Diện tích tam giác vuông ABC S ABC AB.BC Thể tích khối chóp S ABC VS ABC S ABC SA a2 S a3 (đvtt) Gọi N trung điểm AB , suy BC MN nên BC SMN Do d BC, SM d BC, SMN d B, SMN d A, SMN Vì BC MN mà BC AB nên MN AB Kẻ AK SN K SN 1 A MN AB Ta có MN SAB , M C N MN SA suy MN AK K B 2 Từ 1 2 , suy AK SMN nên d A, SMN AK Trong tam giác vuông SAN , ta có AK Vậy d BC, SM d A, SMN AK 3|Trang a 17 17 SA AN SA AN 2 a 17 17 http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Hình hoïc khoâng gian 2016 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , tam giác SAD nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng SA BD Lời giải Gọi H trung điểm A D , suy SH AD Mà SAD ABCD theo giao tuyến A D nên SH ABCD Ta có SH đường cao tam giác SAD cạnh a nên SH a Diện tích hình vuông ABCD S ABCD a S Thể tích khối chóp S ABCD VS ABCD S ABCD SH a3 (đvtt) C D x F K H O E B A Kẻ Ax BD Khi d BD, SA d BD, SAx d D, SAx 2d H , SAx Kẻ HE Ax E Ax Gọi K hình chiếu H SE , suy HK SE HE Ax Ta có Ax SHE Ax HK 1 2 Ax SH Từ 1 2 , suy HK SAx nên d H , SAx HK AO a SH HE a 21 Trong tam giác vuông SHE , ta có HK 2 14 SH HE Gọi F hình chiếu H BD Ta có HE HF Vậy d BD , SA 2d H , SAx HK a 21 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a Gọi M , N trung điểm A D DC Hai mặt phẳng SMC SNB vuông góc với đáy, SB hợp với đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng CM SB Lời giải Gọi H CM BN Ta có SMC SNB SH Mà SMC SNB vuông góc với ABCD nên SH ABCD Do hình chiếu vuông góc SB ABCD HB nên 600 SB , ABCD SB , HB SBH BNC Ta có CMD BNC c c c , suy CMD DCM 90 nên BNC DCM 90 Suy CM BN Mà CMD 4|Trang http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Trong vuông BCN , ta có BN BC NC a , suy 4a Trong tam giác vuông SHB , ta có SH BH tan SBH Hình hoïc khoâng gian 2016 BC 4a BH BN Diện tích hình vuông ABCD S ABCD a2 Thể tích khối chóp S ABCD VS ABCD S ABCD SH 16 a 15 (đvtt) 15 S Gọi K hình chiếu H SB , suy HK SB 1 MC BN Ta có MC SHB , MC SH suy MC HK M K D A N 2 H Từ 1 2 , suy HK đoạn vuông góc chung C B CM SB nên d CM , SB HK SH HB Trong tam giác vuông SHB , ta có HK Vậy d CM , SB HK SH HB 2 2a 15 a 15 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB 3a , BC 2a Hình chiếu vuông góc điểm S mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác BCD , góc mặt phẳng SBC đáy ABCD 60 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng A D SC Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác BCD Theo giả thiết SG ABCD BC SG Kẻ GI BC I BC Ta có BC SGI BC SI Do BC GI 600 SBC , ABCD SI , GI SIG Trong tam giác ABC , ta có GI CG AB CA 3 suy GI AB a a Trong tam giác vuông SGI , ta có SG GI tan SIG Diện tích hình chữ nhật ABCD S ABCD AB BC a Thể tích khối chóp S ABCD VS ABCD S ABCD SG a3 (đvtt) S K D C O A Ta có d AD, SC d AD, SBC d A , SBC I G B AC d G , SBC 3d G , SBC GC Gọi K hình chiếu G SI , suy GK SI 5|Trang 1 http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Theo chứng minh BC SGI , suy BC GK 2 Hình hoïc khoâng gian 2016 Từ 1 2 , suy GK SBC nên d G, SBC GK Trong tam giác vuông SGI , ta có GK Vậy d AD, SC 3d G, SBC 3GK SG.GI SG GI a 3a Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B , AB BC a , AD a Cạnh bên SA a vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng CD SB Lời giải 3a 2 a3 S ABCD SA (đvtt) Diện tích hình thang ABCD S ABCD AD BC AB Thể tích khối chóp S ABCD VS ABCD Gọi M trung điểm A D , suy MA MD a BC Suy BCDM hình bình hành; ABCM hình vuông Gọi I AC BM , ABCM hình vuông nên AI BM AI AC a 2 Do BCDM hình bình hành nên BM CD suy CD SBM Ta có d CD, SB d CD, SBM d C, SBM d A, SBM S Gọi H hình chiếu A SI , suy AH SI 1 AI BM Ta có BM SAI , BM SA suy BM AH H 2 Từ 1 2 , suy AH SBM nên Trong tam giác vuông SAI , ta có AH a 10 D I C B d A, SBM AH Vậy d CD, SB d A, SBM AH M A SA AI SA AI 2 a 10 Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB 2a , BC a ; cạnh bên a vuông góc với đáy Gọi M trung điểm AB Tính theo a thể tích khối chóp S ABC sin góc hai mặt phẳng SMC , ABC SA Lời giải Diện tích tam giác vuông ABC S ABC AB.BC 2a Thể tích khối chóp S ABC VS ABC S A BC SA a3 (đvtt) Trong tam giác AMC , kẻ đường cao AK K MC , suy AK MC 6|Trang 1 http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 MC AK Ta có MC SAK , MC SA suy MC SK Hình hoïc khoâng gian 2016 S 2 Từ 1 2 , suy SMC , ABC SK , AK SKA Ta có MKA ∽ MBC nên MA MC KA BC Trong tam giác vuông SAK , ta có suy KA MA.BC a MC SA SA sin SKA 2 SK SA AK C A K Vậy SMC hợp với ABC góc thỏa mãn sin M B 120 ; cạnh bên Bài 10 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân AB AC a , BAC SA a vuông góc với đáy Gọi P , Q trung điểm SB AC Tính theo a thể tích khối chóp S ABC góc hai đường thẳng AP , BQ Lời giải S a2 Diện tích tam giác ABC S ABC AB AC sin BAC Thể tích khối chóp S ABC VS ABC S ABC SA a3 12 (đvtt) P Trong mặt phẳng ABC dựng hình bình hành AQBE , suy A Q AE BQ Do AP , BQ AP , AE Ta có I AP a SB ; 2 E B a a Gọi I trung điểm AB , suy PI SA ; 2 EA EB AB 3a EI ; EP EI PI a 4 Theo định lí hàm số côsin tam giác APE , ta có AE BQ AB AQ AB AQ cos120 cos PAE AP AE EP 0 AP AE 14 Vậy hai đường thẳng AP BQ hợp với góc thỏa mãn cos 14 Bài 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a , SO vuông góc với đáy Gọi M , N trung điểm SA BC Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD góc đường thẳng MN với mặt phẳng ABCD , biết MN a 10 Lời giải Kẻ MK SO , SO ABCD , suy MK ABCD với K AO Khi NK hình chiếu vuông góc MN mặt phẳng ABCD Do MN , ABCD MN , NK MNK 7|Trang http://thayhuy.net C Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Hình hoïc khoâng gian 2016 Xét tam giác SAO , ta có M trung điểm SA MK SO Suy MK đường trung bình 3a 4 CN CK KN a 10 Xét tam giác CNK , ta có cos 450 KN 2CN CK tam giác SAO nên K trung điểm AO Suy CK CA S M Trong tam giác vuông MNK , ta có MK MN KN NK , cos MNK MN a 30 a 30 , suy SO MK ; A 60 suy MNK B K a Thể tích khối chóp S ABCD VS ABCD S ABCD SO N O 30 D C (đvtt) Vậy đường thẳng MN hợp với mặt đáy ABCD góc 60 Bài 12 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a, AD a Hình chiếu vuông góc S lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng SAC tạo với đáy góc 60 Gọi M , N trung điểm cạnh BC SC Tính thể tích khối chóp S ABCD góc đường thẳng MN với mặt đáy ABCD Lời giải Gọi H trọng tâm tam giác ABC , theo giả thiết ta có SH ABCD Gọi F hình chiếu H lên AC , suy HF AC AC HF Ta có AC SHF AC SF AC SH Do 600 SAC , ABCD SF , HF SFH Trong tam giác vuông ABC , kẻ BE AC E AC suy BE AB BC AB BC a 3 , suy HF BE S a a AB AD a Trong tam giác SHF , ta có SH HF tan SFH Diện tích hình chữ nhật ABCD S ABCD Thể tích khối chóp S ABCD VS ABCD a3 S ABCD SH N (đvtt) A D E F Ta có MN đường trung bình tam giác SBC nên MN SB Do B MN , ABCD SB, ABCD O H M C Do SH ABCD nên hình chiếu vuông góc SB mặt đáy ABCD HB Vì MN , ABCD SB , ABCD SB , HB SBH BD a 3 SH tan SBH BH Ta có BD AB AD 2a ; BH Trong tam giác SHB , ta có Vậy đường thẳng MN tạo với mặt đáy ABCD góc thỏa mãn tan 8|Trang http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Hình hoïc khoâng gian 2016 Bài 13 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA a vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABC tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC Lời giải a2 a3 (đvtt) S ABC SA 12 Diện tích tam giác ABC cạnh a S ABC Thể tích khối chóp S ABC VS ABC S x Gọi M trung điểm BC ; H tâm tam giác ABC Kẻ Hx vuông góc với mặt phẳng ABC N I Khi Hx trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hx SA Trong mặt phẳng SA, Hx , kẻ đường trung trực đoạn SA Gọi I Hx Ta có ● I Hx nên IA IB IC ● I nên IA IS A C H 1 M B 2 Từ 1 2 , suy IA IB IC IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC Ta có AH AM a a , IH NA SA 2 Bán kính mặt cầu R IA AH IH a 30 Bài 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD Lời giải Gọi H trung điểm AB , suy SH AB Mà SAB vuông góc với đáy ABCD theo giao tuyến AB nên SH ABCD Ta có SH đường cao tam giác SAB cạnh a nên SH a Diện tích hình vuông ABCD cạnh a S ABCD a Thể tích khối chóp S ABCD VS ABCD S ABCD SH a3 (đvtt) S Gọi O AC BD , ABCD hình vuông nên O tâm đường tròn ngoại tiếp Kẻ Ox ABCD , suy Ox trục đường tròn ngoại tiếp x hình vuông ABCD Ox SH Gọi G trọng tâm tam giác SAB , tam giác SAB nên G tâm đường tròn ngoại tiếp Trong mặt phẳng SH , Ox , kẻ Gy HO 1 OH AB Ta có OH SAB OH SH 2 G I A y D H O B C Từ 1 2 , suy Gy trục đường tròn 9|Trang http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 ngoại tiếp tam giác SAB Hình hoïc khoâng gian 2016 Gọi I Gy Ox Ta có ● I Ox nên IA IB IC ID 3 4 ● I Gy nên IA IB IS Từ 3 4 , suy IA IB IC ID IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD SH a 21 Bán kính mặt cầu R IB BO OI BO2 GH BO2 Bài 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , cạnh bên SA 2a vuông góc với đáy Gọi E trung điểm CD Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABE Lời giải Diện tích hình vuông ABCD cạnh a S ABCD a Thể tích khối chóp S ABCD VS ABCD S ABCD SH a3 (đvtt) S Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB Kẻ Jx ABCD , suy Jx trục đường x tròn ngoại tiếp tam giác AEB Jx SA Trong mặt phẳng SA, Jx , kẻ đường trung trực M I đoạn SA Gọi I Jx Ta có ● I Jx nên IA IB IE 1 ● I nên IA IS A F 2 Từ 1 2 , suy IA IB IE IS nên I B tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABE Bán kính mặt cầu R IA AJ IJ ● IJ D J E C SA a 2 ● Ta có S ABE AB AD AB AE BE AJ , suy AJ AE BE 5a AD 5a a 89 Vậy R a2 8 Bài 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB a , AD 2a Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Cạnh bên SA hợp với đáy góc 30 Gọi H trung điểm AB Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S AHC Lời giải Ta có H trung điểm AB , tam giác SAB cân S Suy SH AB Mà SAB vuông góc với đáy ABCD theo giao tuyến AB nên SH ABCD Hình chiếu vuông góc SA mặt đáy ABCD HA nên 30 SA , ABCD SA , HA SAH Trong tam giác SAH , ta có SH HA tan SAH a Diện tích hình chữ nhật ABCD S ABCD AB AD a2 10 | T r a n g http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Hình hoïc khoâng gian 2016 Thể tích khối chóp S ABCD VS ABCD S ABCD SH a 3 (đvtt) Gọi J , r tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC Ta có r AH HC AC AH HC AC 4S AHC 2S ABC AB BC AB BC AB AB.BC a 85 S Kẻ Jx ABCD , suy Jx trục x đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC Jx SH I M Trong mặt phẳng SH , Jx , kẻ đường trung trực đoạn SH Gọi I Jx Ta có ● I Jx nên IA IH IC A D H 1 2 ● I nên IH IS J C B Từ 1 2 , suy IA IC IH IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S AHC SH 777a 24 Bán kính mặt cầu R IH HJ IJ r Bài 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , đường chéo AC a , tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, góc SCD đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABD Lời giải Gọi H trung điểm AB suy SH AB Mà SAB vuông góc với ABCD theo giao tuyến AB nên SH ABCD Gọi M trung điểm CD , tam giác ADC cạnh a nên AM CD , suy HC CD Do 45 SCD , ABCD SC , HC SCH AD a AM tan SCH a Suy SH HC tan SCH 2 2 a Diện tích hình thoi ABCD S ABCD 2S ABC S a3 Thể tích khối chóp S ABCD VS ABCD S ABCD SH Ta có AM (đvtt) Do CA CB CD a nên C tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Kẻ Cx ABCD suy Cx trục đường tròn ngoại x G A tiếp ABD Cx SH SA SB AB a nên tam AB a giác SAB D H a Xét tam giác cân SAB , ta có SH I M B C Gọi G trọng tâm tam giác SAB nên G 11 | T r a n g http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Hình hoïc khoâng gian 2016 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Qua G ta kẻ đường thẳng song song HC , suy trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Gọi I Cx Ta có ● I Cx nên IA IB ID 1 ● I nên IA IB IS 2 Từ 1 2 , suy IA IB ID IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABD 2SH 2SH 13 2 HC AM a 12 Bán kính mặt cầu R IS SG GI 2 Bài 18 Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông với AB AC a , góc BC ' mặt phẳng ABC 450 Gọi M trung điểm B ' C ' Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ABC ' Lời giải Từ giả thiết suy tam giác ABC vuông cân A nên BC a Ta có CC ' ABC nên 450 BC ', ABC BC ', BC C ' BC Suy tam giác BCC ' vuông cân C nên CC ' BC a Diện tích tam giác ABC S ABC AB AC a2 Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' V ABC A ' B 'C ' S ABC CC ' 2 Gọi K hình chiếu C AC ' , Ta có d M , ABC ' d B ', ABC ' d C , ABC ' suy CK AC ' a3 (đvtt) B' A' M 1 C' CA AB Ta có AB ACC ' AB CC ' suy AB CK 2 K Từ 1 2 , suy CK ABC ' nên d C, ABC ' CK A B Trong tam giác vuông ACC ' , ta có CK AC CC ' AC CC '2 Vậy d M , ABC ' CK a C a Bài 19 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , AB a , AC a ; cạnh bên AA ' a Hình chiếu vuông góc A ' mặt đáy ABC trùng với chân đường cao hạ từ B tam giác ABC Gọi M trung điểm A ' C ' Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng A ' BC Lời giải Gọi H chân đường cao hạ từ B tam giác ABC Theo giả thiết, suy A ' H ABC 12 | T r a n g http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Hình hoïc khoâng gian 2016 Trong tam giác vuông ABC , ta có BC AC AB2 a ; AH AB a AC Trong tam giác vuông A ' HA , ta có A ' H AA '2 AH Diện tích tam giác ABC S ABC AB.BC a a2 Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' V ABC A ' B ' C ' S ABC A ' H a3 21 (đvtt) M A' C' B' K H A C E B Ta có d M , A ' BC d C ', A ' BC d A , A ' BC 2 AC AC Mà d A, A ' BC d H , A ' BC d H , A ' BC d H , A ' BC HC AC AH Suy d M , A ' BC d H , A ' BC Kẻ HE AB E BC , suy HE BC 1 Gọi K hình chiếu H A ' E , suy HK A ' E BC HE Ta có BC A ' H BC A ' HE suy BC HK 2 Từ 1 2 , suy HK A ' BC nên d H , A ' BC HK Do HE AB nên theo Talet, ta có HE CH suy HE AB 3a AB CA Trong tam giác vuông A ' HE , ta có HK Vậy d M , A ' BC HK a 37 4 A ' H.HE A ' H HE 3a 37 Bài 20 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A , AB AC a Biết A ' A A ' B A ' C a Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách hai đường thẳng BB ' , A ' C Lời giải Từ giả thiết suy A ' cách ba điểm A , B, C nên A ' thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I trung điểm BC , tam giác ABC vuông A nên I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suy A ' I ABC Trong tam giác vuông ABC , ta có BC AB AC a Suy BI Trong tam giác vuông A ' IB , ta có A ' I A ' B BI 13 | T r a n g a a http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Diện tích tam giác ABC S ABC Hình hoïc khoâng gian 2016 a2 AB AC 2 Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' V ABC A ' B ' C ' S ABC A ' I a3 (đvtt) Ta có d BB ', A ' C d BB ', AA ' C d B, AA ' C 2d I , AA ' C B' Gọi E trung điểm AC , suy IE AB nên IE AC Gọi K hình chiếu vuông góc I A ' E , suy IK A ' E 1 C' A' IE AC AC A ' IE Ta có AC A ' I uy AC IK 2 B Từ 1 2 , suy IK AA ' C nên K I C E A d I , AA ' C IK a Do IE đường trung bình tam giác ABC nên IE AB Trong tam giác vuông A ' IE , ta có IK Vậy d BB ', A ' C 2d I , AA ' C IK A ' I IE A ' I IE 2 a 6 a Bài 21 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh 3a Hình chiếu vuông góc C ' mặt phẳng ABC điểm H thuộc cạnh BC thỏa mãn HC HB Mặt phẳng ACC ' A ' tạo với đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' côsin góc hai đường thẳng AH , BB ' Lời giải Từ giả thiết có C ' H ABC Gọi K hình chiếu vuông góc H AC suy HK AC AC HK Ta có AC C ' HK AC C ' K AC C ' H ACC ' A ' ABC AC Do C ' K ACC ' A ', C ' K AC 600 ACC ' A ', ABC C ' K , HK C ' KH HK ABC , HK AC BC Trong HKC , ta có HK HC sin 60 sin 60 a Trong tam giác C ' HK , ta có C ' H HK tan C ' KH 3a Diện tích tam giác ABC S ABC 9a2 Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' V ABC A ' B 'C ' S ABC C ' H 14 | T r a n g 27 a3 (đvtt) http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Hình hoïc khoâng gian 2016 B' A' C' B A H K Do AA ' BB ' nên C BB ', AH AA ', AH Ta có AH AB BH AB.BH cos 600 a ; AA ' CC ' CH C ' H a 13 ; A ' H C ' H A ' C '2 3a Áp dụng định lí hàm số côsin tam giác A ' AH , ta có cos A ' AH AA '2 AH A ' H 91 AA ' AH 91 Vậy côsin góc hai đường thẳng BB ' AH 15 | T r a n g 91 91 http://thayhuy.net [...]... khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng A ' BC Lời giải Gọi H là chân đường cao hạ từ B trong tam giác ABC Theo giả thiết, suy ra A ' H ABC 12 | T r a n g http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Hình hoïc khoâng gian 2016 2 Trong tam giác vuông ABC , ta có BC AC 2 AB2 a 3 ; AH AB a AC Trong tam giác vuông A ' HA , ta có A ' H AA '2 AH 2 1 2 Diện tích tam giác ABC là... SAB , ta có SH 2 I M B C Gọi G là trọng tâm tam giác SAB nên G cũng 11 | T r a n g http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Hình hoïc khoâng gian 2016 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Qua G ta kẻ đường thẳng song song HC , suy ra là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Gọi I Cx Ta có ● I Cx nên IA IB ID 1 ● I nên IA IB IS 2 Từ 1 và... I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suy ra A ' I ABC Trong tam giác vuông ABC , ta có BC AB 2 AC 2 a 2 Suy ra BI Trong tam giác vuông A ' IB , ta có A ' I A ' B 2 BI 2 13 | T r a n g a 2 2 a 2 2 http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Diện tích tam giác ABC là S ABC Hình hoïc khoâng gian 2016 1 a2 AB AC 2 2 Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' là... HK ABC , HK AC 2 BC Trong HKC , ta có HK HC sin 60 0 sin 60 0 a 3 3 Trong tam giác C ' HK , ta có C ' H HK tan C ' KH 3a Diện tích tam giác đều ABC là S ABC 9a2 3 4 Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' là V ABC A ' B 'C ' S ABC C ' H 14 | T r a n g 27 a3 3 (đvtt) 4 http://thayhuy.net Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Hình hoïc khoâng gian 2016 B' A' C' B A H K Do AA... Hình hoïc khoâng gian 2016 1 3 Thể tích khối chóp S ABCD là VS ABCD S ABCD SH a 3 3 9 (đvtt) Gọi J , r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC Ta có r AH HC AC AH HC AC 4S AHC 2S ABC AB BC 2 AB 2 BC 2 2 2 AB 2 AB.BC a 85 8 S Kẻ Jx ABCD , suy ra Jx là trục của x đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC và Jx SH I M Trong mặt phẳng SH... Ta có BC A ' H BC A ' HE suy ra BC HK 2 Từ 1 và 2 , suy ra HK A ' BC nên d H , A ' BC HK Do HE AB nên theo Talet, ta có HE CH 3 suy ra HE 3 AB 3a AB CA Trong tam giác vuông A ' HE , ta có HK 2 3 Vậy d M , A ' BC HK a 7 37 4 4 A ' H.HE 2 A ' H HE 2 3a 7 2 37 4 Bài 20 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB ... , ABC ' suy ra CK AC ' a3 2 (đvtt) 2 B' A' M 1 C' CA AB Ta có AB ACC ' AB CC ' suy ra AB CK 2 K Từ 1 và 2 , suy ra CK ABC ' nên d C, ABC ' CK A B Trong tam giác vuông ACC ' , ta có CK AC CC ' AC 2 CC '2 1 2 Vậy d M , ABC ' CK a 6 3 C a 6 6 Bài 19 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , AC 2 a... ' IE Ta có AC A ' I uy ra AC IK 2 B Từ 1 và 2 , suy ra IK AA ' C nên K I C E A d I , AA ' C IK 1 2 a 2 Do IE là đường trung bình của tam giác ABC nên IE AB Trong tam giác vuông A ' IE , ta có IK Vậy d BB ', A ' C 2d I , AA ' C 2 IK A ' I IE A ' I IE 2 2 a 6 6 a 6 3 Bài 21 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh... AHC SH 777a 2 24 Bán kính mặt cầu R IH HJ 2 IJ 2 r 2 2 Bài 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , đường chéo AC a , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SCD và đáy bằng 450 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABD Lời giải Gọi H là trung điểm AB suy ra... Do AA ' BB ' nên C BB ', AH AA ', AH Ta có AH AB 2 BH 2 2 AB.BH cos 600 a 7 ; AA ' CC ' CH 2 C ' H 2 a 13 ; A ' H C ' H 2 A ' C '2 3a 2 Áp dụng định lí hàm số côsin trong tam giác A ' AH , ta có cos A ' AH AA '2 AH 2 A ' H 2 91 2 AA ' AH 91 Vậy côsin của góc giữa hai đường thẳng BB ' và AH bằng 15 | T r a n g 91 91 http://thayhuy.net