T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG ET TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA *** VIE TM ATH S.N THỦ THUẬT Giải toán PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ Tác giả: ĐOÀN TRÍ DŨNG HÀ NỘI, THÁNG NĂM 2016 THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CHỦ ĐỀ 1: KỸ NĂNG CƠ BẢN CẦN BIẾT TRONG QUÁ TRÌNH GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO I Kỹ 1: Kỹ nâng lũy thừa: Kỹ nâng lũy thừa quan trọng trình giải toán mà trình giải toán, ta thường gọi với tên quen thuộc “bình phương hai vế”, “lập phương hai vế” Học sinh cần nắm vững đẳng thức nâng lũy thừa sau:    2 3 ET  a  b  a  b  2ab a  b  a  3a b  3ab  b a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c   a  b  c  a  b  b  c  c  a  a  b  c   a  b  c  a  b  c ab  bc  ca   3abc 2 2 2 3 3 3 ATH S.N  3 II Kỹ 2: Phân tích nhân tử biểu thức chứa dạng bản: Ví dụ 1: Phân tích nhân tử: x  x  Đặt x   t  x  t  Khi đó: x  x   t  2t    t  1 t  3 Do thay ngược t  x  ta được:  VIE TM x2 x3   x  1  x3 3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Phân tích nhân tử: 2x   x    Đáp án: x   x 1 2  Bài 2: Phân tích nhân tử: 2x   2x  Đáp án:   2x   2x    III Kỹ 3: Phân tích nhân tử hai biến không chứa căn: Ví dụ 2: Phân tích nhân tử: x2  2xy  y2  x  y (Tối đa bậc 2) Thay y  100 , biểu thức trở thành: x2  2xy  y2  x  y  x2  201x  10100 Bấm máy phương trình bậc ta nghiệm: x  100,x  101 T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Do đó: x2  201x  10100   x  100  x  101 Vì 100  y,101  100   y  , vậy: x2  2xy  y2  x  y   x  y  x  y  1 Ví dụ 3: Phân tích nhân tử: x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y Thay y  100 , biểu thức trở thành: ET x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y  x3  200x2  10103x  10300 Sử dụng SOLVE ta x  100  y Ta có hai cách xử lý sau: ATH S.N Cách 1: Sử dụng CALC: Thay x  1000, y  ta có: 100 x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y  1000013.01 xy 1  3  x2  xy  y  100 100 Hay nói cách khác phân tích đa thức nhân tử ta kết quả:  10002  1000  x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y   x  y  x2  xy  y   VIE TM Cách 2: Sơ đồ Hoorne: 200 10103 10300 x 100 103 100 x  200x  10103x  10300 Vậy  x2  100x  103 x  100 Hay x3  2x2 y  xy2  y2  xy  3x  3y   x  y  x2  xy  y    Chú ý: Phƣơng pháp có ích cho toán chủ đề tƣơng giao đồ thị hàm số bậc IV Kỹ 4: Kỹ tìm max/min phân số Hƣớng 1: Tìm max/min TABLE Ví dụ ta muốn tìm max/min : x2 2 Với chức TABLE máy tính Casio ta được: THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG max x2 2  0.5  Chú ý rằng: max A  a biểu Do sau liên hợp: Xuất  A   , ta tìm minA  Xuất  A  , ta tìm max A ATH S.N  ET thức  a  A   VIE TM Hƣớng 2: Sử dụng đánh giá ƣớc lƣợng: c c  Ước lượng theo số:   b,c   a b b x1 x     Ước lượng theo bậc cao nhất: 2 x  2x   x x x Chú ý: Lớn hay nhỏ để chắn ta sử dụng TABLE để kiểm tra, điều giúp khám phá giá trị min/max đặc biệt, chẳng hạn sau: x2  x  x2  x x     x2  x   x x2  x  x2  x  x 1 Kiểm tra    TABLE với điều kiện có 2   x x 1  x để kiểm tra cẩn thận nhóm biểu thức dương hay âm T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CHỦ ĐỀ 2: TỔNG QUAN CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI Các phương pháp giải toán phương trình: Tƣ đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ: Mục đích đưa phương trình, bất phương trình Vậy đặt ẩn phụ? Quan sát hệ số, phát lặp lặp lại:    4x    x  1 2    5x     x     x 1  ET  Ví dụ 5: 25x2  18x   4x   x  1   4x   x  1  x 1  ATH S.N Thông thường đến bước cần phải định thực phép biến đổi đưa ẩn phụ (Cộng, trừ, nhân, chia) Nếu lựa chọn phép chia phải triệt tiêu biến:   4x 2   4x   4x   2  1   5  3    x  1  x  x    x1    Thường học sinh hay nản bước định có ẩn phụ hóa hay không này, cần biến đổi biểu thức lạc loài ẩn phụ cần đặt, hệ số bất định hóa: 16  4x     x 1 x1  x 1 4      4  Tới ta quy đồng đồng hệ số:    16   16 VIE TM  Hay nói cách khác ta biến đổi phương trình dạng:   4x 2  4x  4x    4x     5 2    16   3     x 1  x   x     x 1    Đến toán xử lý đơn giản nhiều Mời bạn đọc tiếp tục với hai toán áp dụng sau: 3x2  4x  Áp dụng 1: x2  3x   x  x2  3x   x   Áp dụng 2: x3  x     x2  x3  2x   x3  x  THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Đặt ẩn phụ trở lên: Mục đích để nhóm nhân tử sử dụng hàm đặc trưng Bản chất hàm đặc trưng phép đặt ẩn phụ, ta tư liệu có hàm đặc trƣng đƣợc hay không, ta nên chuyển tư thành dồn hai ẩn phụ hay không? 2x3  3x2  23x  11  x2  4x  0 x2  2x   x2  4x  Trước tiên học sinh cần biết rút gọn phương trình dạng:  x  1 ET Ví dụ 6: x   x2  2x    x   x2  4x   2x3  3x2  23x  11   x  1  x  1 ATH S.N Tới đây, ta tư xếp hai sang hai phía quan sát dễ dàng thấy hai ẩn phụ:   2x3  3x2  23x  11    x  2  x 1 Tuy nhiên nói trên, khó khăn xử lý nhóm biểu thức lại, theo kinh nghiệm tôi, sử dụng phương pháp hệ số bất định đồng hệ số: 2x3  3x2  23x  11         x  1    x    x  1    x     x  1    x  3 2  VIE TM Để tìm hệ số, việc phá vỡ biểu thức nhóm theo bậc biến x, ta thay giá trị x vào để tìm: x  1  27  9  3  39    x   7  3    11      x   65  15  5  85    x   133  21    161 Tại ẩn mà cần phương trình? Vì cần có phương trình để kiểm tra đó! Không phải lúc đâu nhé, nên phải cẩn thận ! Vậy ta viết lại thành:  x  1 Áp dụng 3:  x  1 x2  x  1    x  1   x  1   x  1    x   x     x    x    x  2x   4x x    x  1 2 2 (Trích đề Thi Thử Trung Tâm Diệu Hiền –Cần Thơ 2016 Lần 1) T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Tƣ tạo đẳng thức: Đây phép biến đổi tay táo bạo lại giúp ích nhiều  Nếu xuất hiện: ab  Tạo  a  b   Nếu xuất hiện: ab  a  b   Tạo  a  b   Ví dụ 7: x2  x    x  1 x    x    ET Phương trình  x2  2x    x  1 x   x    x    x   x    x   x   x  1    x   x  2x   x     x   1    1  3   3  2 x2  ATH S.N   x 1 x  x  x  3 x  x  2x   x  2x  x   x3   x 1     x  1  x3 x 2 1 0  Ví dụ 8: 3x x  x  x   7x  12x  5x    VIE TM 3x x  x  x   7x  12x  5x     x3  x   3x x  x  x   8x  12x  6x    x x7    2x  1  x  x   2x   x   x      x  1  x   x3  3x2  2x     x  1 x2  4x    x     3  8x  9x2 Ví dụ 9:    x    x 3x  2x   Điều kiện xác định: x  Bất phương trình cho tương đương với:  2x  3  x   9x   2x  1 x 1 1 3x  2x  THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG   2x  3    3x  x 1 1 x 2x    Do x  Do BPT   2x   x    3x  2x 2x       x   x  1  Vì:  x   x    0;  x  2x    0;  x   x  1  , x    x   x     x  2x     x   x  1  2  x   x   x  2x   2 2 ET VIE TM ATH S.N x   x   Vậy để BPT xảy  VT   x  2x   x  x    Tƣ tìm nhân tử: A Tìm nhân tử nghiệm đơn hữu tỷ bản: Liên hợp bậc Liên hợp bậc Liên hợp bậc 2 3 a b a  b3 a b ab ab ab ab a  ab  b2 a  ab  b2 1 Chú ý: a  ab  b2  a  b2   a  b   0, a, b 2 Giả sử phương trình f  x   có nghiệm x  phương trình x  , với x   x   x69 x3 Vậy sử dụng liên hợp: x     x6 3 x6 3 xuất nhân tử  x   rút làm nhân tử chung có chứa thức x6   x x  x   x  3 x   Vậy sử dụng liên hợp: x  x   ta  x x6 x x6 rút nhân tử  x   Tuy nhiên, x  nên ta đánh giá Nhƣ chất phƣơng pháp nhân liên hợp rút nhân tử chung để nghiệm phƣơng trình Khi hai đại lƣợng a b có T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG giá trị nhau, ta sử dụng nhân liên hợp hai đại lƣợng Phƣơng pháp nhân liên hợp truy ngƣợc dấu cấp độ 1:   Nếu phương trình hay bất phương trình có chứa  a a  b sử dụng liên hợp: đồng thời có đánh giá  a x   ta sử dụng liên hợp: Ví dụ:   x 1   x 1 x 1   ATH S.N x1   a b ab a ET  Nếu phương trình hay bất phương trình có chứa  a đồng thời Ví dụ: a  b sử dụng liên hợp:  a b  a b  a  a  b2 a x   ta sử dụng liên hợp:  x5 2  x5 2  x   x  543 x  Phƣơng pháp nhân liên hợp truy ngƣợc dấu cấp độ 2: Giả sử VIE TM toán chứa  x  phương trình có nghiệm x  Khi ta đánh sau: x    x   2x  x2   2x2  Do ta sử dụng phương án liên hợp sau: x2  x   x  1 x    2x  x    x 1 x    2x  x   2 x  1 x  4x2  x  2x  x     x  1 x  2 x 1 x   x  1 4x  3 2x  x  x4  2x2  x  x  1 x  4x4  x  2x2  x     x  1  x  x2  3x  x  1 x    x  1  4x  4x2  4x   2x2  x  THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Việc lựa chọn liên hợp nghệ thuật người sử dụng liên hợp trình làm cần phải nghệ sĩ, phải biết phối hợp điều kiện toán đưa ban đầu để từ định đâu liên hợp cần tìm  x    3x   2x   x      2x   2x     ET Ví dụ 10:  x    3x   2x   x   3x    x   x   ATH S.N  2x  x3    x  4        x   2x   3x   x     B Tƣ tìm nhân tử nghiệm vô tỷ: Ví dụ 11: x3  x2  x    x   x    Phân tích Sử dụng TABLE SOLVE tìm được: x  3.302775638 Thay vào thức tìm nhân tử: x   2.302775638  x  Hƣớng dẫn cách sử dụng TABLE SOLVE Bƣớc 1: Truy cập Mode (Table):  VIE TM f  x   x3  x  x    x   x  Lựa chọn Start = 2 , End = 7, Step = 0.5 Bƣớc 2: Nhận bảng giá trị: Từ bảng giá trị ta nhận thấy hàm số có đổi dấu  3; 3.5  Như phương trình có nghiệm khoảng Vì ta sử dụng SOLVE với giá trị khởi đầu x  3.2   3; 3.5  để tìm nghiệm 10 T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CHỦ ĐỀ 4: NHỮNG QUY TẮC KHAI THÁC ĐIỀU KIỆN Có nhiều phương pháp dùng để khai thác điều kiện từ phương trình tưởng chừng có điều kiện gì: ATH S.N ET Ví dụ 24: Khai thác điều kiện từ: x2  x   x2   x2  x  Ta có: x2  x   x2   x2     x2  x     x  1 Mặt khác theo AM – GM ta có: x2   x   x2  x   x2   x    x 2 Vậy ta thu được:   x  1 x  Ví dụ 25: Khai thác điều kiện tử: Ta có: x2  15  3x   x2  x2  15  x2  cho nên: x2  15  3x   x2   x2   x  Mặt khác, làm trội ta có: x2  15  4x2  32  x2  Do vậy: 3x   x2   x2   3x   x2  Vì x  nên bình phương hai vế ta được: 3  17  17 x 4 VIE TM 9x2  12x   x2    17 (Ép điều kiện chặt!) x Ví dụ 26: Khai thác điều kiện từ: Vậy ta thu được: 2x2   x2  x   x2   x2  4x  Vì: 2x2   x2  cho nên: x2  x   x2  4x   x  1 Chú ý: Kể không phát đƣợc mối quan hệ lớn lúc đầu, A  C, B  D ta xử lý nhƣ sau: A  B  C  D   A  C, B  D  Ví dụ 27: Khai thác điều kiện từ: x3  x2  x    x   x   29 THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 3   x   x   x  x  x   x  x  x   Ta có:   x  2 x  2   ATH S.N ET Vì bất phương trình x3  x2  x   có nghiệm lẻ phương trình bậc 3, nhiên chương trình Trung học phổ thông, ta không nên sử dụng phương pháp Cardano để xử lý phương trình bậc ba Vậy làm để hóa giải bất phương trình trên? Chú ý bất phương trình x3  x2  x   có nghiệm lẻ sau: x  2.34025083 Do khẳng định chắn ta có x  Vậy để x  ? Ta sử dụng xét f  X   X  X  X Bấm CALC ta kết Như phương trình x3  x2  x   nghiệm Thật vậy, ta có: x3  x2  x   x3  x2  x       x   x2  x    x  Do cách đánh giá ta  30 VIE TM có điều kiện quan trọng cần tìm Mặt khác, theo bất đẳng thức AM – GM, ta có:  x  4 x    x   x  22   x3  x2  x    x   x  22   2x3  3x2  9x  22   2x3  3x2  9x  44    x   2x2  5x  11   x  Vậy:  x  !  T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CHỦ ĐỀ 5: BỔ ĐỀ CỦA HÀM SỐ LOGARIT TRONG CHỨNG MINH VÔ NGHIỆM Bổ đề: Chứng minh với x  lnx  x  Chứng minh: Xét hàm số: f  x   ln x  x  với x  1 x 1   với x  Vậy f  x  hàm số nghịch x x biến liên tục x  Do vậy: f  x   f 1  Hay nói cách khác, ET Ta có: f '  x   với x  lnx  x  TQ: loga x  x  1, x  1,a  e (Dành cho bạn đọc tự chứng minh) ATH S.N Bổ đề thứ hai: ex  x  1, x  (Dành cho bạn đọc tự chứng minh)   Ví dụ 28: x3    x  1 x2  x    x  1 ln x2  Ta dễ x  x  1 dàng nhóm nhân   x  1   x   ln  x  1  x (Áp dụng bổ đề)  tử: x2  x   ln x2  Xét: x2  x   x2 2  x  x  (Vô nghiệm)  x2  x   x     x  x   x  2x  x  1  Vậy: x  1 Ta có: x x    x  x   x   VIE TM Ví dụ 29: x x    x  x     x 1   x   x    x   ln x  x   ln x   x   ln x  x  ln x x4    x  5   0  x 1  x     Ta có: x  lnx   lnx (Theo bổ đề), đó: x  BÀI TẬP ÁP DỤNG: Giải phương trình sau: x2  x   xln x  Giải phương trình sau: x2  x   x    x   ln  x  1 31 THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CHỦ ĐỀ 6: KỸ NĂNG ÉP TÍCH Phƣơng pháp ép tích cổ điển:  Ví dụ 30: x3  4x2  x  3x2  2x  x1 Phân tích: Sử dụng máy tính ta hai nghiệm đơn: x  0, x  t  x   1, t  x   Giải: Đặt t  x  phương trình trở thành:  1    t  t2         t2   2     t2   t   ET t Không cần phải phá cho khổ, phá dễ sai Chia đa thức vế trái cho  t  1 t   ta được: ATH S.N   được: x  4x  x   3x  2x  x    x   1 x     x   x    Phương trình  t  1t   t  t  t   Thay ngược t  x  ta 2 Rút gọn    x 1 1 x        x   x2  x   x    Ví dụ 31: x4  6x3  3x2  13x  12  3x3  3x2  6x   x3 VIE TM Phân tích: Có nghiệm kép x  2  t  x   nghiệm vô tỷ x  2.302775638 Thay vào ta x   2.302775638  x Do đặt t  x  ta t   t  t  t     Vậy phương trình có nghiệm kép t  có nhân tử t  t  Giải: Đặt t  x  , phương trình trở thành: t          t   t   13 t   12       Chia vế trái cho  t  1  t  t  3 ta có phương trình trở thành: t  1 t  t  3t  6t  t  9      t2   t2   t2    t    2 2 Thay ngược t  x  phương trình trở thành:  x4  6x3  3x2  13x  12  3x3  3x2  6x  32  x3 T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG     x   1  x  2  x    x   x     x   x   x          x  x2  x   BÀI TẬP ÁP DỤNG TỰ LUYỆN Bài 1: x2  10x  21 x   5x2  21x  28   x2 2  Bài 2: x3  2x2  2x   Đáp án: x   x   Bài 3: x2  8x Đáp án:     x  1  x   x3  x2  x     x   x2  x   2x   x2  8x 2x     x2 3 x3 x2 0 ET Đáp án:  ATH S.N   1  2x   Ép tích đại:  2x   Ví dụ 32:  2x   x    x  5 x   x2  5x   4x   Phân tích: Đặt t  x  Sử dụng máy tính Casio ta thu hai nghiệm đơn x  1, x  1 ta có hai nghiệm đơn t  t  Giải: Đặt t  x  Phương trình trở thành:  t     t  t  3 2  VIE TM    t   4t t   t    Rút gọn  2t  4t  2t  t  4t  t   Vì có nghiệm t  t   xấu xí quá, biểu thức lại chứa nhân tử t  1 Thật vậy, phương trình  2t t  1  t  1t  3   t  1  2t  2t   t   t    t2   Bấm máy tính phần ngoặc có nghiệm t    t     t2     nhân tử cần tìm Do phương trình:    t  1  t    t      t       t   2 t   2  t  Do đó:   t  1   t    t      t    t        Nhớ rằng: 2 2 2 33 THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG   t  1       t   2 t   t   Thay ngược t  x  ta có:  x   1  x  1    x      x3 2   x    x   1    x  x 1  ET Phân tích sâu hơn: Thật kỹ ép tích mà sài tay hiệu   ATH S.N  x   x     Nhớ với nghiệm:   x  1  x      x   1 x3 2 nhân tử cần nhóm Tuy nhiên phải khéo léo nhóm Ta có:  2x   x    x  5 x   x2  5x   4x    x   x  x    x   x    x  1 x   x      x   x    2x    x     x  1 x   2x      x   2  x   1 x   x      x  1  x     x   1 x   x      x   1 x   1 x   1 x    x   x   1  x   2x   x    x  1 VIE TM        x3 2 0 Ví dụ 33:  x  3 x2  x   x3   x   x   Bài toán có nghiệm đơn nhất: x  Đặt t  x  , ta có: t 2   t    t   t2    t  t2  t        t  3t   t  t    t  1 t    Dễ mất, đặt ngược t  x  ta có:   x 1 1     t2    t  t2     x2  x    t  3t     x 1   Ép tích tay:  x  3 x2  x   x3   x   x     x   x2  x     x   x2  x   34    x  x2  x   x2  x   x   x    x 1 1 x2  x     x     x  2  T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG   x   1 x  x   1    x   1 x   1  x  x   1   x   1  x  x   1    x   1  x  x   1  x       x  2  x2  x    2 2 Ví dụ 34: x2  22   x  1 x    x  1 x2  2x    ta có: t  5t  2t  21  t  2t t2   541 21 t   2.1  t   2.9   2.1   t 100 10  ATH S.N Chú ý với x   541 Đặt t  x  Khi 100 ET Sử dụng máy tính có nghiệm x   Vậy có chứa nhân tử:  t  t  Khi ta tách:          t  5t  2t  21  t  2t   t   t  2t  t  t     5  t   t    t        t  t   t  t   t  2t  t  t    t   t  2t  Thay ngược t  x  ta kết quả:   x 1  x   x x 1  x    VIE TM  541 100  x   2.1, x   2.9  x   x   Ép tích tay: Vì x  Do có nhân tử:   x 1  x   Đến rõ ban ngày: x2  22   x  1 x    x  1 x2  2x    21   x  1 x    x  1 x  x    x  1 x  1    21   x  1 x    x  1 x    x  1 x   x    21  10 x    x  1 x   x   x      21   x  1 x    x  1 x  Ép đến bị thiếu  x   x 1   x 1   x  để ép tiếp nên tách bớt  x  1   x   1 ra: 35 THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG  21  x   x  x   x   x x  Cái phần x  đè thêm 5    x   x 1   x  vào ép nhân tử:  x 1  x    x   x  x 1 5 x   x x    x   x 1   Chịu khó trời thương mềnh! Đến xử nốt thôi<  x x     x   x 1  x   x 1     x 1  x   x x 1  x     ATH S.N   x 1  x    x  ET 5 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Giải phương trình: 5x   x   x2   Đặt t  x  , phương trình trở thành: 5t   5t  t t          3t   t   t   3t   t   3t     3t   t   2t   t      3t   t  t  8t  6t    t2   2    x 1  x 1 1  VIE TM  x 1  x 1 1 Bài 2: Giải phương trình: 4x    x2   x  Đặt t   x , phương trình trở thành:     4t  4t   2t  t   2t t    t  2t  2t      t  t    2t t    t  t    t   3t      1 x  1 x 1  t     t2   t2   1 x  1 x 1  Bài 3: Giải phương trình: 5x  15   x  12  x  15  x2  Đặt t   x , phương trình trở thành: 5t  20  6t  15t  12   t   10t  40  12t  15t  12  2  t  36 T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG     15t  12   t  2  t    5t      15t  12   t  2  t    t  2  t t  2  t     t  2  t  5t  10  t  15t  12     t  2  t   t  5t      15t  12  t  2  t  25t  40  2 2 2   ET   1 x  1 x 1 x  1 x   ATH S.N Bài 4: Giải phương trình: 3x  10   x   x  4  x2  Đặt t   x Khi phương trình trở   thành: t   10  3t   t  4t  t     3t  3t  16   4t    t     2t   t   t  5t  16        2t   t   t  t   t   t  2   2x 2 2x 2x  2x 3 0 VIE TM    t2  t   t   2t  3   t   t  t     t   t2  t  Bài 5: Giải phương trình: x2  x    x  x Đặt t  x  Khi đó: x2  x    x  x  t  t  t    t    t     t  t  2t   t    t           t  t2  t   t    t2   2t      2t  t  t   t    t  t   t   t   t    t t  t  1  t    t    t    t    t   t  t  1       t   t    t  t  1  t     t2 2 2 2 2 37 THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG      t    t2 t3   t2  t   t2   x 1  x x x 1 x  x   x  Bài 6: Giải bất phương trình: x    x  x2  8x  18 Đặt t  x   0;  , ta biến đổi bất phương trình trở thành:                 ET t   t  t   t   18  t  2t  t    t     t  2t    t   t    t  1  t  1   t   t             ATH S.N 2  t   t 2  t   t t  1   t   t  2 1    t   t   t   t  t  1    2      1   2 x3  5x  2 x3  5x x    1  2        x     x2  8x  15      x  x    1        x     Bài 7: Giải phương trình:  x   x   x2  x2  x  2  x   x   x2  x2  x  Đặt t   x   t  Ta có:      VIE TM  t   t2  t  t2  t2   t2    t  1  t  2t  6t  t    t   t  1  2t  7t  t  3   t   t  1   2t  7t  t      2t  2t  3 t  t  1   t    t   t  1    t    t  t    t   t  t  1   t    t  t  1    t    t    t    t   t  t  1  t        t    t   t  t    t  t  1  t    t    t2 2 2 2 2 2 38 2 2 2 T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG              t    t  t  2t  t  t  t  t    t      t    t  t t    t  1  t  t    t      t    t  2t  t   t    t  1  t   t   t    t              Chú ý rằng: 2t  t    t    t t    t Do đó:  t    t    t2    x 1   t  t    t  t   t   t  1   t  t      ET  t2 t  4t   2t  3t   t    x   x    x    x   x   2x    t2 ATH S.N t    x  1   x   x2  Bài 8: Giải phương trình:   x2  x   x2   Đặt t  x  , phương trình trở thành: t  2t   t  t    t   t  t  2t  2t  2t    2t   t   t  1  1  2t    2t   t   t  1   t   t  1 t   t  1   t  2t 2 2 2  t  2t  t   t   VIE TM   t   t  2t  t  t  2t    x2  x   x     t2   t    x 1  x 1 1  Bài 9: Giải phương trình: 3x   2x2  5x    x2    x  5 2x   Đặt t  x  Khi phương trình trở thành:  2t  3t   t  2t    2t  2t  4t     t  2t    4t  8t  8t  t  2t  2   2t   2t   2t     2t   2t   39 THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG            2t   2t  2t   2t   t  2t     2t   2t  1 3t   2t 2t    2t   2t  1   2t    2t 2t   t   2t   t   2t   2t  1    2t   2t   2t   2t   2t 2t   2t   t  2t      2 2 2 2 ET  2t 2x   x    2x   x       x   x2  ATH S.N Bài 10: Giải phương trình: 3x2  3x   x2   x 0 Đặt t  x Khi phương trình trở thành:  t  3t  3t  4t   t       t2     3t  6t   t  t   t          t   t2  t   t2   t4  t   t2       t   t2  t4  t   t2    x 2 x3 3   x  x   x2   VIE TM  Bài 11: Giải phương trình: x    x   x   x2  Đặt t   x Khi phương trình trở thành: t   t   t  3t  t   t  t    3t  1  t       3t  1  t   t    t   t  t   t     t   t    3t  1   t   t      t   t  2t     3t  1 t   t  2t   2   2     t2  1 x  1 x 1 x  1 x 1  Bài 12: Giải phương trình: 3x2  3x    x2   x    x2   x  Đặt t  x Khi phương trình trở thành:  3t  3t   t  40    t2   t4  t  T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG   t  3t  3t  4t   t   t2    t     t   t   t   t     t   t   t    t   t      t   t   t  t   t      t    t    t  t   t   3t  6t   2   x 2 x3 3 2   ET x  x   x2   Bài 13: Giải phương trình: ATH S.N x2  x    x    x2   x    x   x    x  Đặt t   x Khi phương trình trở thành:    t   2t  1  t   t  t  4t  4t   2t  2t  t  1  t   t  t  1  4t t  1   2t t  1  t  1  t    t  1  t  4t   2t  1  t     t  1  5t  2t   2t  1  2t   t      t  1  t  5t     2t  1  2t   t     t  1  t  2t   t  2t   t    2t  1  2t   t   t  1  2t   t  t  2t   t    2t  1   t  t  4t  4t  2t  t 3 2 2 2 VIE TM 2    2 2   t  1  t  2   t  1  t 2   t  1  t 2  1 x 1 1 x  1 x  t  t  1   2t   2t  t    2t   t  2t  t    t     2t  t   t     t  1 2t   t  2  2 3  2  2 1 x  1 x  0 41 THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Bài 14: Giải phương trình: x x3  3x  x2   x   x  Đặt t  x Khi phương trình trở thành: t t  3t  t   t   t   t t   t   t  t     t  t   t  t    t  1  t   t   t  1  t   t    t   t  t   t    t3    4    x  1  t2    t4   t t3  t   t4   x2   x ET   x  x2    ATH S.N Bài 15: Giải phương trình:   x2  x   x  x   x   2x   x2   3x  Đặt ẩn phụ t  2x  Khi phương trình trở thành:   4t  2t  8t  32t  4t  30  t  2t  4t     6t  10    20t  32t  12  t  2t  4t  4t   6t  10        10t  16t   t  2t  4t  4t   6t  10      4t   6t  10 4t   6t  10     2t  4t  4t   6t  10     4t       6t  10  6t  10  t  2t  12t    VIE TM t  4t   6t  10 4t   6t  10  t  2t  4t     2 2  3x   1   2x   3x   3x   12 2x   4x2   42 2x    x   3x   x   T THỦ THUẬT GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG CHỦ ĐỀ 7: BÀI TẬP TỰ LUYỆN  1  1    x2  2x      x  2x    x  x (3x2  11) x2   3.x  8x  11 3.x  x3 x1  x 9x x  (x  6) x    2x x   x 1 9x2  14x  25   2x   ET x3  x2  8x   x3  20  2(x  1) ATH S.N ( x   1)(2x  4) x 3x   2x  3x  3x   3x  10 x  x   3x  x2 2(x  1)2  x  20 (3   2x)2 11 6x2 ( 2x   1)2  2x  x   VIE TM 10 6  x2  3x   x2 3x  x2   1  1 12  x    x   x    x  x 2 2   13 2x    4x2   2x  x 14 x4  2x3  2x2  2x   (x3  x)  x2 x 15 x3  (1  x2 )3  x  2x2 43 [...]...T THỦ THU T GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Bƣớc 3: Quay trở lại Mode 1, ta gõ phương trình: x3  x 2  x  5   x  4  x  2  0 ET Bƣớc 4: Bấm Shift Calc (Solve) với giá trị x  3.3 , ta thu được nghiệm: x  3.302775638 Bƣớc 5: Thay vào căn thức ta có: x  1  x2  ATH S.N x  2  2.302775638...  1  0 Phƣơng pháp nhận diện bằng SOLVE và d/dx: Bƣớc 1: Bấm phương trình trên máy tính Casio và sử dụng SHIFT CALC (SOLVE) ta thu được x  1 Bƣớc 2: Kiểm tra điều kiện nghiệm bội bằng cách xét:   d 2 x  x  1  2x  1 0 x 1 dx Vậy x  1 là nghiệm bội kép 12 T THỦ THU T GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Phân biệt nghiệm đơn và bội qua d/dx:  x  a là nghiệm bội của f  x   0 nếu... x  1  2x  1  1 Vậy a  2x  1, b  1 (AM – GM cho 2 số) 15 THỦ THU T GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 2x  1  1  2x  1  x 2 2 Mà x2  x  1  2x  1 Do đó: x 2  x  1  x   x  1  0  x  1 Ta có: 2x  1.1  2 ET Cách 4: Đặt ẩn phụ và phân tích nhân tử (Phƣơng pháp này hoàn toàn độc lập và không bị lệ thu c vào máy tính): t2  1 Đặt 2x  1  t  0  x  Khi đó phương trình... nghiệm của phương trình bậc 2, ta thu được   x2  1  x2  2 x  3 x2  x  2 t   2 2 hai nghiệm sau :   x2  1  x2  2 x  3 t   x1 2   Đến đây phương trình sẽ được viết dưới dạng nhân tử như sau :  x2  x  2  2 t    t  x  1  0  2t  x  x  2  t  x  1  0 2         x2  x  2  2 x3  x  1 x  1  x3  x  1  0 20 T THỦ THU T GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ... Khai thác điều kiện từ: Vậy ta thu được: 2x2  3  x2  x  1  x2  2  x2  4x  6 Vì: 2x2  3  x2  2 cho nên: x2  x  1  x2  4x  6  x  1 Chú ý: Kể cả không phát hiện đƣợc mối quan hệ lớn hơn lúc đầu, A  C, B  D ta cũng có thể xử lý nhƣ sau: A  B  C  D   A  C, B  D  Ví dụ 27: Khai thác điều kiện từ: x3  x2  x  5   x  4  x  2  0 29 THỦ THU T GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ... Cách 2: Sử dụng liên ngƣợc:     Ta có: x3  x2  x  5   x  4  x  2  0    x3  2x2  4x  1   x  4  x  1  x  2  0       x  1 x2  3x  1   x  4  x  1  x  2  0 11 THỦ THU T GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG Liên hợp ngƣợc: Xét biểu thức liên hợp: x  1   x  2 x  1  x  2   x  1   x  2   x 2  3x  1 2   Do đó:  x  1  x  1  x  2... 9.5, Step = 0.5 Bƣớc 2: Nhận bảng giá trị của TABLE: Ta thấy: Phương trình có vẻ như không có nghiệm bởi tất cả các giá trị đều mang dấu dương Tuy nhiên, điều này có thể được lý giải như sau: 16 T THỦ THU T GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG VIE TM ATH S.N Với lựa chọn Start = 0.5, End = 9.5, Step = 0.5, TABLE sẽ chỉ hiển thị được các giá trị hoành độ hữu tỷ, còn các giá trị hoành độ vô tỷ... hữu vô tỷ nhƣ thế nào? Bƣớc 4: Thay vào căn thức ta được:  3x  1  2.618033887  x   5x  3.618033866  x  1 x  3x  1 Vậy ta có đánh giá  x  1  5x  Cách 1: Tạo hằng đẳng thức: 17 THỦ THU T GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG x2  5x  x 3x  1   x  1 5x  x2  5x  x 3x  1   x  1 5x  0  2x2  10x  2x 3x  1  2  x  1 5x  0    2  x  3x  1  x  1  5x... 25   0 Thay ngược t  5x :  5t  5  15t 2  25 2 2 3 2 2 2 2 2  5 5x  5  75x  25 18 5x  1  3x  1 2   4x  2 2 2 2 2 2 2   20x  2 2 2 2 2   2  5x 75x  25  0  5x 3x  1  0 T THỦ THU T GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 4 Tƣ duy giải toán bằng ẩn phụ không hoàn toàn: Đây là một dạng phương pháp giải quyết các phương trình có dạng A B  C bằng cách nhóm về nhân tử mà không...  nguyên sao cho f     có giá trị hữu tỷ: Xét công cụ TABLE (mode 7) cho: F( X )  101 2  4X  223  1009X  Với các giá trị:  START = 9 X 9 8 7 F(X) 587.4904< 525.0152< 462.8271< 19 THỦ THU T GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ - ĐOÀN TRÍ DŨNG 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 401.0598< 339.9426< 279.9017< 221.8129< 167.7170< 123 101 115.5205< 156.7194< 209.4015< 266.8501< 326.5593< 387.4854