Chun đề 1: Tập hợp bổ túc số tự nhiên ƠN TẬP TẬP HỢP VÀ NHỮNG DẠNG TỐN LIÊN QUAN Số phần tử tập hợp.Tập hợp 1.Một tập hợp có ,có nhiều phần tử, có vơ số phần tử,cũng khơng có phần tử 2.Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng.tập rỗng kí hiệu : Ø 3.Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B tập hợp A gọi tập hợp tập hợp B, kí hiệu A ⊂ B hay B ⊃ A Nếu A ⊂ B B ⊃ A ta nói hai tập hợp nhau,kí hiệu A=B *.D¹ng 1: RÌn kÜ n¨ng viÕt tËp hỵp, viÕt tËp hỵp con, sư dơng kÝ hiƯu Bµi 1: Cho tËp hỵp A lµ c¸c ch÷ c¸i cơm tõ “Thµnh Hå ChÝ Minh” a H·y liƯt kª c¸c phÇn tư cđa tËp hỵp A b §iỊn kÝ hiƯu thÝch hỵp vµo « vu«ng b A c A h A Bµi 2: Cho tËp hỵp c¸c ch÷ c¸i X = {A, C, O} a/ T×m chơm ch÷ t¹o thµnh tõ c¸c ch÷ cđa tËp hỵp X b/ ViÕt tËp hỵp X b»ng c¸ch chØ c¸c tÝnh chÊt ®Ỉc trng cho c¸c phÇn tư cđa X Bµi 3: Cho c¸c tËp hỵp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; B = {1; 3; 5; 7; 9} a/ ViÕt tËp hỵp C c¸c phÇn tư thc A vµ kh«ng thc B b/ ViÕt tËp hỵp D c¸c phÇn tư thc B vµ kh«ng thc A c/ ViÕt tËp hỵp E c¸c phÇn tư võa thc A võa thc B d/ ViÕt tËp hỵp F c¸c phÇn tư hc thc A hc thc B Bµi 4: Cho tËp hỵp A = {1; 2; a; b} a/ H·y chØ râ c¸c tËp hỵp cđa A cã phÇn tư b/ H·y chØ râ c¸c tËp hỵp cđa A cã phÇn tư c/ TËp hỵp B = {a, b, c} cã ph¶i lµ tËp hỵp cđa A kh«ng? Bµi 5: Cho tËp hỵp B = {x, y, z} Hái tËp hỵp B cã tÊt c¶ bao nhiªu tËp hỵp con? *D¹ng 2: C¸c bµi tËp vỊ x¸c ®Þnh sè phÇn tư cđa mét tËp hỵp Bµi 1: Gäi A lµ tËp hỵp c¸c sè tù nhiªn cã ch÷ sè Hái tËp hỵp A cã bao nhiªu phÇn tư? Bµi 2: H·y tÝnh sè phÇn tư cđa c¸c tËp hỵp sau: a/ TËp hỵp A c¸c sè tù nhiªn lỴ cã ch÷ sè b/ TËp hỵp B c¸c sè 2, 5, 8, 11, …, 296 c/ TËp hỵp C c¸c sè 7, 11, 15, 19, …, 283 Bµi 3: Cha mua cho em mét qun sè tay dµy 256 trang §Ĩ tiƯn theo dâi em ®¸nh sè trang tõ ®Õn 256 Hái em ®· ph¶i viÕt bao nhiªu ch÷ sè ®Ĩ ®¸nh hÕt cn sỉ tay? C.HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ: Bµi 1.H·y x¸c ®Þnh c¸c tËp hỵp sau b»ng c¸ch liƯt kª c¸c phÇn tư cđa tËp hỵp ®ã a, A lµ tËp hỵp c¸c ch÷ sè sè 2002 b, B lµ tËp hỵp c¸c ch÷ c¸i cơm tõ “ c¸ch m¹ng th¸ng t¸m” c, C lµ tËp hỵp c¸c sè tù nhiªn cã mét ch÷ sè d, D lµ tËp hỵp c¸c sè tù nhiªn cã hai ch÷ kh¸c vµ vµ cã ch÷ sè tËn cïng b»ng Bµi §iỊn kÝ hiƯu thÝch hỵp vµo « vu«ng N {1,2,3,4} N N* N N* Φ N* N* Bµi H·y x¸c ®Þnh c¸c tËp hỵp sau b»ng c¸ch chØ tÝnh chÊt ®Ỉc trng cđa c¸c phÇn tư thc tËp hỵp ®ã a A = {1;3;5;7; ;49} b B = {11;22;33;44; ;99} c C = { 3;6;9;12; .;99} d D = { 0;5;10;15; ;100} Bµi H·y viÕt c¸c tËp hỵp sau b»ng c¸ch chØ râ tÝnh chÊt ®Ỉc trng cđa c¸c phÇn tư thc tËp hỵp ®ã a A = {1;4;9;16;25;36;49} b B = {1;7;13;19;25;31;37} A = { 1; 4;9;16; 25;36; 49;64;81;100} B = { 2;6;12; 20;30; 42;56;72;90} Bµi to¸n 5: Cho a) A = { x ∈ N x M2; x M3; x < 100} { } A = x ∈ N x = ab; a = 3.b b) B = { x ∈ N x M6; x < 100} B = { x ∈ N 20Mx} c) C = { x ∈ N x = 11.n + 3; n ∈ N ; x ≤ 300} H·y viÕt c¸c tËp hỵp A, B b»ng c¸ch liƯt kª c¸c phÇn tư Bµi T×m sè phÇn tư cđa c¸c tËp hỵp sau ®©y a A = { Φ} b B = { x ∈ N / x 2 ; ≤ x ≤ 100} c C = { x ∈ N / x + = 0} d D = { x ∈ N / x 3} Bµi ViÕt c¸c tËp hỵp sau råi t×m sè phÇn tư cđa c¸c tËp hỵp ®ã a TËp hỵp A c¸c sè tù nhiªn x mµ : x = b TËp hỵp B c¸c sè tù nhiªn x mµ x + < c TËp hỵp C c¸c sè tù nhiªn x mµ x – = x + d TËp hỵp D c¸c sè tù nhiªn x mµ x : = x : e TËp hỵp E c¸c sè tù nhiªn x mµ x + = x Bµi Cho A = {1 ; ;3} T×m tÊt c¶ c¸c tËp hỵp cđa tËp hỵp A Bµi Ta gäi A lµ tËp hỵp thùc sù cđa B nÕu A ⊂ B vµ A ≠ B H·y viÕt c¸c tËp hỵp thùc sù cđa tËp hỵp B = {1;2;3;4} Bµi Cho tËp hỵp A = {a, b, c, d, e } a ViÕt c¸c tËp cđa A cã mét phÇn tư b ViÕt c¸c tËp cđa A cã hai phÇn tư c Cã bao nhiªu tËp hỵp cđa A cã ba phÇn tư d Cã bao nhiªu tËp hỵp cđa A cã phÇn tư e TËp hỵp A cã bao nhiªu tËp hỵp Bµi 11 Gäi A lµ tËp hỵp c¸c sè tù nhiªn cã ch÷ sè, B lµ tËp hỵp c¸c sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè , C lµ tËp hỵp c¸c sè tù nhiªn lỴ cã ba ch÷ sè , D lµ tËp hỵp c¸c sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè tËn cïng b»ng Dïng kÝ hiƯu ⊂ vµ s¬ ®å ®Ĩ biĨu thÞ quan hƯ gi÷a c¸c tËp hỵp ë trªn Bµi 12 Cho tËp hỵp A = { 4;5;7} , h·y lËp tËp hỵp B gåm c¸c sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè kh¸c tõ c¸c phÇn tư cđa tËp hỵp A B¶o r»ng tËp hỵp A lµ tËp hỵp cđa tËp hỵp B ®óng hay sai? T×m tËp hỵp chung cđa hai tËp hỵp A vµ B Bµi 13 T×m c¸c tËp hỵp b»ng c¸c tËp hỵp sau a A = { 9;5;3;1;7} b B lµ tËp hỵp c¸c sè tù nhiªn x mµ x = c C lµ tËp hỵp c¸c sè lỴ nhá h¬n 10 d D lµ tËp hỵp c¸c sè tù nhiªn x mµ x : = Bµi 17 Trong mét líp häc , mçi häc sinh ®Ịu häc tiÕng Anh hc tiÕng Ph¸p Cã 25 ngêi häc tiÕng Anh , 27 ngêi häc tiÕng Ph¸p, cßn 18 ngêi häc c¶ hai thø tiÕng Hái líp häc ®ã cã bao nhiªu häc sinh Bµi 18 KÕt qu¶ ®iỊu tra ë mét líp häc cho thÊy : cã 20 häc sinh thÝch bãng ®¸ ; 17 häc sinh thÝch b¬i; 36 häc sinh thÝch bãng chun; 14 häc sinh thÝch bãng ®¸ vµ b¬i;13 häc sinh thÝch b¬i vµ bãng chun; 15 häc sinh thÝch bãng ®¸ vµ bãng chun; 10 häc sinh thÝch c¶ ba m«n ;12 häc sinh kh«ng thÝch mét m«n nµo.T×m xem líp häc ®ã cã bao nhiªu häc sinh Bµi 19 Trong sè 100 häc sinh cã 75 häc sinh thÝch to¸n , 60 häc sinh thÝch v¨n a NÕu cã häc sinh kh«ng thÝch c¶ to¸n vµ v¨n th× cã bao nhiªu häc sinh thÝch c¶ hai m«n v¨n vµ to¸n b Cã nhiỊu nhÊt bao nhiªu häc sinh thÝch c¶ hai m«n v¨n vµ to¸n c Cã Ýt nhÊt bao nhiªu häc sinh thÝch c¶ hai m«n v¨n vµ to¸n Bµi to¸n 1: Cho tËp hỵp A = { a, b, c, d , e} a) ViÕt c¸c tËp hỵp cđa A cã mét phÇn tư b) ViÕt c¸c tËp hỵp cđa A cã hai phÇn tư c) Cã bao nhiªu tËp hỵp cđa A cã ba phÇn tư ? cã phÇn tư ? d) TËp hỵp A cã bao nhiªu tËp hỵp ? Bµi to¸n 2: XÐt xem tËp hỵp A cã lµ tËp hỵp cđa tËp hỵp B kh«ng c¸c trêng hỵp sau a) A = { 1;3;5} ; B = { 1;3;7} b) A = { x, y} ; B = { x, y, z} c) A lµ tËp hỵp c¸c sè tù nhiªn cã tËn cïng b»ng 0, B lµ tËp hỵp c¸c sè tù nhiªn ch½n Bµi to¸n 3: Ta gäi A lµ tËp thùc sù cđa B nÕu A ⊂ B; A ≠ B H·y viÕt c¸c tËp thùc sù cđa tËp hỵp B = { 1; 2;3} Bµi to¸n 4: Cho c¸c tËp hỵp A = { 1; 2;3; 4} ; B = { 3; 4;5} ViÕt c¸c tËp hỵp võa lµ tËp hỵp cđa A, võa lµ tËp hỵp cđa B Bµi to¸n 5: Cho tËp hỵp A = { 1; 2;3; 4} a) ViÕt c¸c tËp hỵp cđa A mµ mäi phÇn tư cđa nã ®Ịu lµ sè ch½n b) ViÕt tÊt c¶ c¸c tËp hỵp cđa tËp hỵp A Bµi to¸n 6: Cho tËp hỵp A = { 1;3;6;8;9;12} vµ B = { x ∈ N * / ≤ x ≤ 12} a)T×m tËp hỵp C cđa c¸c phÇn tư võ thc tËp hỵp A võa thc tËp hỵp B T×m tËp hỵp D cđa c¸c phÇn tư thc Ýt nhÊt mét hai tËp hỵp A Hc tËp hỵp B Bµi to¸n 10: Cho tËp hỵp M = { 30; 4; 2005; 2;9} H·y nªu tËp hỵp cđa tËp M gåm nh÷ng sè: a) Cã mét ch÷ sè b) cã hai ch÷ sè c) Lµ sè ch½n Bµi to¸n 11: Cho A = { x ∈ N x M2; x M4; x < 100} ; B = { x ∈ N x M8; x < 100} a) H·y liƯt kª c¸c phÇn tư cđa tËp hỵp A ; tËp hỵp B b) Hai tËp hỵp A, B cã b»ng nahu kh«ng ? V× ? Bµi to¸n 13: Cho A lµ tËp hỵp sè tù nhiªn ®Çu tiªn, B lµ tËp hỵp sè ch½n ®Çu tiªn a) CMR: B ⊂ A b) ViÕt tËp hỵp M cho B ⊂ M , M ⊂ A Cã bao nhiªu tËp hỵp M nh vËy Bµi to¸n 14: Cho A = { x ∈ N x = 7.q + 3; q ∈ N ; x ≤ 150} a) X¸c ®Þnh A b»ng c¸ch liƯt kª c¸c phÇn tư ? b) TÝnh tỉng c¸c phÇn tư cđa tËp hỵp A Bµi to¸n 15: Cho M = { 1;13; 21; 29;52} T×m x; y ∈ M biÕt 30 < x − y < 40 Bµi to¸n 10: Cho a) A = { 1; 2} ; B = { 1;3;5} b) A = { x, y} ; B = { x, y , z , t } H·y viÕt c¸c tËp hỵp gåm phÇn tư ®ã mét phÇn tư thc A, mét phÇn tư thc B C¸c phÐp to¸n N Tính chất giao hốn phép cộng phép nhân a + b = b + a ; a.b = b.a Khi đổi chỗ số hạng tổng tổng khơng đổi Khi đổi chõ thừa số tích tích khơng đổi Tính chất kết hợp phép cộng phép nhân: (a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c); Tính chất phân phối phép nhân phép cộng.: a(b+ c) = ab + ac Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b ∈ N ; b ≠ 0) có số tự nhiên p cho a= b.p Trong phép chia có dư số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r) số dư khác nhỏ số chia NÕu a b= th× a = hc b = II Bµi tËp *.D¹ng 1: C¸c bµi to¸n tÝnh nhanh Bµi 1: TÝnh tỉng sau ®©y mét c¸ch hỵp lý nhÊt b) 189 + 424 +511 + 276 + 55 a/ 67 + 135 + 33 b/ 277 + 113 + 323 + 87 c) (321 +27)+ 79 Bµi 2: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh sau: d) 185 +434 + 515 + 266 + 155 a/ 17 125 b/ 37 25 e) 652 + 327 + 148 + 15 + 73 Bµi 3: TÝnh nhanh mét c¸ch hỵp lÝ: f) 347 + 418 + 123 + 12 a/ 997 + 86 b/ 37 38 + 62 37 c/ 43 11; 67 101; 423 1001 đ, 998 34 c/ 43 11 Bµi 8: TÝnh b»ng c¸ch hỵp lÝ nhÊt: d/ 67 99; 67 101 a) 125 41 b) 25 10 Bài 4: TÝnh nhanh c¸c phÐp tÝnh: c) 12 125 a/ 37581 – 9999 c/ 485321 – 99999 Chó ý: Quy t¾c ®Ỉt thõa sè chung : a b+ a.c = b/ 7345 – 1998 d/ 7593 – 1997 a (b+ c) hc a b + a c + a d = a.(b + c + d) Bµi 5: TÝnh nhanh: e) 25 + 37 + 38 12 Bµi 9: TÝnh b»ng c¸ch hỵp lÝ nhÊt: a) 15 18 b) 25 24 c) 125 72 d) 55 14 Bµi :TÝnh nhanh: a) 25 12 b) 34 11 c) 47 101 d) 15.302 125.18 g) d) 36 25 50 38 63 + 37 38 e) 123 1001 b) 12.53 + 53 172– 53 84 c) 35.34 +35.38 + 65.75 + 65.45 Bµi 7: Thùc hiƯn phÐp tÝnh b»ng c¸ch hỵp lÝ nhÊt: d, 39.8 + 60.2 + 21.8 a) 463 + 318 + 137 + 22 e, 36.28 + 36.82 + 64.69 + 64.41 *Chú ý: Muốn nhân số có chữ số với 11 ta cộng vd : 34 11 =374 chữ số ghi kết váo chữ số *Chú ý: muốn nhân số có chữ số với Nếu tổng lớn ghi hàng đơn vị váo 101 kết số có cộng vào chữ số hàng chục cách viết chữ số lần khít ; 69.11 =759 vd: 84 101 =8484 ; 63 101 =6363 ; c) C = + + 10 + 13 + + 301 *Chú ý: muốn nhân số có chữ số với 1001 d) D = + + 13 + 17 + .+ 201 kết số có cách viết Bµi 2: TÝnh c¸c tỉng: chữ số lần khít a) A = + + 11 + 14 + + 302 b) B = VÝ dơ:123.1001 = 123123 + 11 + 15 + 19 + .+ 203 *.D¹ng 2: C¸c bµi to¸n cã liªn quan ®Õn d·y c) C = + 11 + 16 + 21 + + 301 sè, tËp hỵp =8 + 15 + 22 + 29 + + 351 1:D·y sè c¸ch ®Ịu: Bµi 3: Cho tỉng S = + + 11 + 14 + VD: TÝnh tỉng: S = + + + + + 49 a)T×m sè h¹ng thø100 cđa tỉng Ta tÝnh tỉng S nh sau: b) TÝnh tỉng 100 sè h¹ng ®Çu tiªn Bµi 1:TÝnh tỉng sau: Giải: lưu ý: số cuối = (số số hạng - 1) a) A = + + + + + 100 khoảng cách +số đầu Số số hạng dãy là: (100-1):1+1 = 100 A= (100 + 1) 100 : = 5050 d) D a số thứ 100 = (100-1) +5 = 292 b S= (292 + 5) 100:2 = 23000 b) B = + + + + + 100 Bµi 4: Cho tỉng S = + 12 + 17 + 22 + số số hạng là: (100-2):2+1 = 49 a)T×m sè h¹ng thø50 cđa tỉng B=(100 +2).49 :2 = 551 49 = 2499 b) TÝnh tỉng cđa 50 sè h¹ng ®Çu tiªn Bµi 5:TÝnh tỉng cđa tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn x, biÕt x lµ sè cã hai ch÷ sè vµ 12 < x < 91 Bµi 6: TÝnh tỉng cđa c¸c sè tù nhiªn a , biÕt a cã ba ch÷ sè vµ 119 < a < 501 TÝnh tỉng c¸c ch÷ sè cđa a Bµi 7: TÝnh + + + + 1998 + 1999 Bµi 8: TÝnh tỉng cđa: a/ TÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã ch÷ sè b/ TÊt c¶ c¸c sè lỴ cã ch÷ sè b/ S2 = 101+ 103+ + 997+ 999 Bµi 9TÝnh tỉng a/ TÊt c¶ c¸c sè: 2, 5, 8, 11, ., 296 b/ TÊt c¶ c¸c sè: 7, 11, 15, 19, ., 283 Bµi 10: Cho d·y sè: a/ 1, 4, 7, 10, 13, 19 b/ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 c/ 1, 5, 9, 13, 17, 21, H·y t×m c«ng thøc biĨu diƠn c¸c d·y sè trªn Ghi chó: C¸c sè tù nhiªn lỴ lµ nh÷ng sè kh«ng chia hÕt cho 2, biĨu diƠn lµ 2k + , k ∈ N C¸c sè tù nhiªn ch½n lµ nh÷ng sè chia hÕt cho 2, c«ng thøc biĨu diƠn lµ 2k , k ∈ N) *D¹ng 3: T×m x Bµi 1:Tìm x ∈ N biết a)(x –15) 15 = b) 32 (x –10 ) = 32 Bµi 2:Tìm x ∈ N biết : a ) (x – 15 ) – 75 = b)575- (6x +70) =445 a)x –105 :21 =15 c) 315+(125-x)= 435 b) (x- 105) :21 =15 Bµi 3:Tìm x ∈ N biết : Bµi 4: Tìm số tự nhiên x biết a( x – 5)(x – 7) = b/ 541 + (218 – x) = 735 c/ 96 – 3(x + 1) = 42 d/ ( x – 47) – 115 = e/ (x – 36):18 = 12 BTNC a) Tính tổng sống tự nhiên từ đến 999; b) Viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 999 thành hang ngang ,ta số 123….999 tính tổng chữ số số 1.Tìm số có hai chữ số,biế viêt chữ số xen hai chữ số số có ba chữ số gấp lần số có hai chữ số ban đầu 2.a)Hãy viết liên tiếp 20 chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen chữ số để tổng 1000 b) Hãy viết liên tiếp tám chữ số thành hàng ngang,rồi đặt dấu + xen chữ số để tổng 1000 3.Chia số tự nhiên từ đến 100 thành hai lớp : lớp số chẵn lớp số lẻ.hỏi lớp có tổng chữ số lớn lớn bao nhiêu? Điền chữ số thích hợp vào chữ để phép tính : a) 1ab + 36 = ab1 ; b) abc + acc + dbc = bcc Cho ba chữ số a,b,c với < a < b < c ; a) Viết tập hợp A số có ba chữ số ,mỗi số gồm ba chữ số a, b ,c: b) Biết tổng hai số nhỏ tập hợp A 488.tìm tổng chữ a + b + c Cho bảng vng gồm vng hình vẽ điền vào bảng số tự nhiên từ đến 10 10 (mỗi số viết lần) cho tổng số hang ,mỗi cột ,mỗi đường chéo Kí hiệu n! tích số tự nhiên từ đến n : n! = 1.2.3…n Tính : S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + 5.5! Trong tờ giấy kẻ vng kích thước 50.50 vng người ta viết số tự nhiên biết bốn tạo thành hình vẽ tổng số bốn chứng tỏ số 8.Một số có bảy chữ số ,cộng với số viets bảy chữ số theo thứ tự ngược lại tổng số có bảy chữ số.hãy chứng tổ tổng tìm có chữ số chẵn 9.Cho bảng gồm 16 vng hình vẽ điền vào bảng bảng số tự nhiên lẻ từ đến 31 (mỗi số 15 29 viết lần.) cho tổng số hàng, 23 cột , đường chéo 17 10.Cho dãy số 1,2,3,5,8,13,21,34,….( dãy số phi bơ na xi) số (bắt đầu từ số thứ ba) tổng hai số đứng liền trước nó.chọn dãy số số liên 27 tiếp tùy ý.chứng minh tổng số khơng phải số dãy cho 11 Một số chắn có bốn chữ số, số hàng trăm số hang chục lập thành số gấp ba lần chữ số hàng nghìn gấp hai lần chữ số hang đơn vị.tìm số 12.Tìm số a,b,c,d phếp tính sau: abcd + abc + ab + a = 4321 13.Hai người chơi trò chơi bốc viên bi từ hai hộp ngồi.mỗi người đến lượt bốc số viên bi tùy ý người bốc viên bi cuối cacr hai hộp người thắng cuộc.biết hộp thứ có 190 viên bi ,hộp thứ hai có 201 viên bi.hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc bi người thắng Bài tập cđng cè Tính giá trị biểu thức cách hợp lí: A = 100 + 98 + 96 + ….+ - 97 – 95 - …- ; B = + – – + + – – + + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302; Tính nhanh a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21 b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40; c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42 3.Tìm x biết: a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); ab) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130 Tổng hai số 78293.số lớn hai số co chữ số hàng dơn vị ,chữ hàng chục 1,chữ số trăm 2.nếu ta gạch bỏ chữ số ta số số nhỏ tìm hai số 5.Một phếp chia có thương dư tổng số bị chia ,số chia số dư 195.tìm số bị chia số chia 6.Tổng hai số có a chữ số 836.chữ số hàng trăm số thứ ,của số thứ hai gạch bỏ chữ số hai số có hai chữ số mà số gấp lần số kia.tìm hai số 7.Một học sinh giải tốn phải chia số cho cộng thương tìm với nhâm lẫn em nhân số với sau lấy tích tìm trừ kết hỏi số cần phải chia cho số nào? Tìm số có ba chữ số biết chữ số hàng trăm hiệu chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị.chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thương dư 2.tích số phải tìm với số có chữ số tận Tìm số tự nhiên a ≤ 200 biết chia a cho số tự nhiên b thương dư 35 10 Viết số A có chữ số ,viết tiếp chữ số lần ta số B có chữ số.chia số B cho 13 ta số C chia C cho 11 ta số D.lại chia số D cho 7.tìm thưởng phép chia 11 Khi chia số M gồm chữ số giống cho số N gồm chữ số giống thương 233 số dư số r sau bỏ chữ số số M chữ số số N thương khơng đổi số dư giảm 1000.tìm số M N? * C¸c bµi to¸n vỊ d·y sè viÕt theo quy lt Bµi to¸n 1: TÝnh c¸c tỉng sau a) + + + + + n b) + + + + + 2.n c) + + + + (2.n + 1) d) + + + 10 + + 2005 e) 2+5+8+ +2006 g) 1+5+9+ +2001 Gi¶i; a) (n+ )n b)sè sè h¹ng (2n – 2) : + 1= n Tỉng = Bµi to¸n 2: TÝnh nhanh tỉng sau: A = + + + + 16 + + 8192 Bµi to¸n 3: a) TÝnh tỉng c¸c sè lỴ cã hai ch÷ sè b) TÝnh tỉng c¸c sè ch½n cã hai ch÷ sè Bµi to¸n 4: a) Tỉng 1+2+3+ +n cã bao nhiªu sè h¹ng ®Ĩ kÕt qu¶ cđa tỉng b»ng 190 b) Cã hay kh«ng sè tù nhiªn n cho + + + + n = 2004 c) Chøng minh r»ng: [ (1 + + + + n) − ] kh«ng chia hÕt cho 10 ∀n ∈ N Bµi to¸n 5: a) TÝnh nhanh 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 1999.2000 b) ¸p dơng kÕt qu¶ phÇn a) tÝnh nhanh B = 1.1 + 2.2 + 3.3 + + 1999.1999 c) TÝnh nhanh : C = 1.2.3 + 2.3.4 + + 48.49.50 H·y x©y dùng c«ng thøc tÝnh tỉng a) vµ c) trêng hỵp tỉng qu¸t Bµi to¸n 6: T×m sè h¹ng thø 100, sè h¹ng thø n cđa c¸c d·y sè sau: a) 3;8;15; 24;35; b) 3; 24;63;120;195; c) 1;3;6;10;15; 2;5;10;17; 26; e) 6;14; 24;36;50; g) 4; 28;;70;130; d) Bµi to¸n 7: Cho d·y sè 1;1 + 2;1 + + 3;1 + + + 4; Hái d·y sè trªn cã sè nµo cã ch÷ sè tËn cïng lµ kh«ng ? T¹i ? Bµi to¸n 8: Cho S1 = + 2; S = + + 5; S3 = + + + 9; S4 = 10 + 11 + 12 + 13 + 14; TÝnh S100 Bµi to¸n 9: TÝnh b»ng c¸ch hỵp lý a) A = 41.66 + 34.41 + + 11 + + 79 b) B = + + + + 200 + + 10 + + 34 c) C = 5.6 + 2.10.12 + 4.20.24 + 9.45.54 1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 9.27.45 Bµi 21 H·y chøng tá r»ng hiƯu sau cã thĨ viÕt thµnh mét tÝch cđa hai thõa sè gièng : 11111111 – 2222 Bµi 22 T×m kÕt qu¶ cđa phÐp nh©n sau { { { { a) A = 33 3.99 b) B = 33 3.33 2005 c s 2005 c s 2005 c s 2005c s Bµi 23 Chøng tá r»ng c¸c sè sau cã thĨ viÕt ®ỵc thµnh tÝch cđa hai sè tù nhiªn liªn tiÕp { 123 a 111222 b 444222 c A= 11 122 n c.s1 n c.s2 Gi¶i : Do 111222 : 111 = 1002 nªn 111222 = 111.1002 = 111 334 = 333.334 Bµi to¸n 1: Cho ba ch÷ sè a, b, c Gäi A lµ tËp hỵp c¸c sè tù nhiªn gåm c¶ ba ch÷ sè trªn a) ViÕt tËp hỵp A b) TÝnh tỉng c¸c phÇn tư cđa tËp hỵp A Bµi to¸n 2: Cho ba ch÷ sè a, b, c cho < a < b < c a) ViÕt tËp A c¸c sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè gåm c¶ ba ch÷ sè trªn b) BiÕt tỉng cđa hai sè nhá nhÊt tËp A b»ng 448 T×m ba ch÷ sè a, b, c nãi trªn Bµi to¸n 11: Ngêi ta viÕt liỊn d·y sè tù nhiªn b¾t ®Çu tõ 1: 1,2,3,4,5,…Hái ch÷ sè thø 659 lµ ch÷ sè nµo ? Bµi to¸n 12: Cho S = + 10 + 13 + + 100 a) TÝnh sè sè h¹ng cđa tỉng trªn b) T×m sè h¹ng thø 22 cđa tỉng c) TÝnh tỉng S { 123 lµ tÝch cđa hai sè tù nhiªn liªn tiÕp Bµi to¸n 14: Chøng tá r»ng sè A= 11 122 n c.s1 n c.s2 Bµi to¸n 15: Trong hƯ thËp ph©n sè A ®ỵc viÕt b»ng 100 ch÷ sè 3, sè B ®ỵc viÕt b»ng 100 ch÷ sè H·y tÝnh tÝch A.B C¸c bµi to¸n vỊ sè vµ ch÷ sè Bµi1 Mét sè cã ch÷ sè, tËn cïng b»ng ch÷ sè NÕu chun ch÷ sè ®ã lªn ®Çu th× ta ®ỵc mét sè míi mµ chia cho sè cò th× ®ỵc th¬ng lµ d 21 T×m sè ®ã Bµi T×m sè tù nhiªn cã ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu viÕt thªm ch÷ sè vµo ®»ng tríc sè ®ã th× ®ỵc mét sè lín gÊp lÇn so víi sè cã ®ỵc b»ng c¸ch viÕt thªm ch÷ sè vµo sau sè ®ã Bµi T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu viÕt thªm mét ch÷ sè vµo bªn ph¶i vµ mét ch÷ sè vµo bªn tr¸i cđa nã th× sè Êy t¨ng gÊp 36 lÇn Bµi NÕu ta viÕt thªm ch÷ sè vµo gi÷a c¸c ch÷ sè cđa mét sè cã hai ch÷ sè ta ®ỵc mét sè míi cã ch÷ sè lín h¬n sè ®Çu tiªn lÇn T×m sè ®ã Bµi NÕu xen vµo gi÷a c¸c ch÷ sè cđa mét sè cã hai ch÷ sè cđa chÝnh sè ®ã, ta ®ỵc mét sè míi cã ch÷ sè vµ b»ng 99 lÇn sè ®Çu tiªn T×m sè ®ã Bµi NÕu xen vµo gi÷a c¸c ch÷ sè cđa mét sè cã hai ch÷ sè mét sè cã hai ch÷ sè kÐm sè ®ã ®¬n vÞ th× sÏ ®ỵc mét sè cã ch÷ sè lín gÊp 91 lÇn so víi sè ®Çu tiªn H·y t×m sè ®ã Bµi T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng sè míi viÕt theo thø tù ngỵc l¹i nh©n víi sè ph¶i t×m th× ®ỵc 3154; sè nhá hai sè th× lín h¬n tỉng c¸c ch÷ sè cđa nã lµ 27 Bµi Cho sè cã hai ch÷ sè NÕu lÊy sè ®ã chia cho hiƯu cđa ch÷ sè hµng chơc vµ hµng ®¬n vÞ cđa nã th× ®ỵc th¬ng lµ 18 vµ d T×m sè ®· cho Bµi Cho hai sè cã ch÷ sè vµ ch÷ sè mµ tỉng cđa hai sè ®ã b»ng 2750 NÕu c¶ hai sè ®ỵc viÕt theo thø tù ngỵc l¹i th× tỉng cđa hai sè nµy b»ng 8888 T×m hai sè ®· cho Bµi 10 T×m sè cã ch÷ sè kh¸c nhau, biÕt r»ng nÕu viÕt thªm mét ch÷ sè vµo gi÷a hµng ngh×n vµ hµng tr¨m th× ®ỵc sè míi gÊp lÇn sè ph¶i t×m Bµi 11 T×m sè tù nhiªn cã ch÷ sè, cho nh©n sè ®ã víi ta ®ỵc sè gåm ch÷ sè Êy viÕt theo thø tù ngỵc l¹i Bµi 12 T×m sè tù nhiªn cã ch÷ sè, cho nh©n sè ®ã víi ta ®ỵc sè gåm ch÷ sè Êy viÕt theo thø tù ngỵc l¹i Bµi 13 T×m sè tù nhiªn cã n¨m ch÷ sè, cho nh©n sè ®ã víi ta ®ỵc sè gåm n¨m ch÷ sè Êy viÕt theo thø tù ngỵc l¹i Bµi 14 T×m sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu xo¸ ch÷ sè hµng tr¨m th× sè Êy gi¶m lÇn Bµi 15 T×m sè tù nhiªn cã ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu xo¸ ch÷ sè hµng ngh×n th× sè Êy gi¶m lÇn Bµi 16 T×m sè tù nhiªn cã ch÷ sè, biÕt r»ng ch÷ sè hµng tr¨m b»ng vµ nÕu xo¸ ch÷ sè ®ã th× sè Êy gi¶m lÇn Bµi 17 Mét sè tù nhiªn t¨ng gÊp lÇn nÕu viÕt thªm mét ch÷ sè vµo gi÷a c¸c ch÷ sè hµng chơc vµ hµng ®¬n vÞ cđa nã T×m sè Êy Bµi 18 T×m sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè, biÕt r»ng sè ®ã võa chia hÕt cho vµ chia hÕt cho , hiƯu gi÷a sè ®ã víi sè viÕt theo thø tù ngỵc l¹i b»ng 297 Bµi TÝnh nhanh a.417 + 235 + 583 + 765 b.5 +8 +11 +14 + + 38 + 41 c.4 16 25 d.13 250 c.( 1999 + 313) – 1999 d.( 1435 + 213) – 13 e.2023 - ( 34 + 1560) f 1972 – ( 368 + 972) e.364 – ( 364 – 111) f 249 – ( 75 – 51) Bµi TÝnh nhanh c¸c tỉng sau a 1+2+3+4+5+ +n b e 2+5+11+ +47+65 c 1+3+5+7+ + ( 2n – 1) d g 3+12+48+ +3072+12288 e 2+4+6+8+ +2n f h 2+5+7+12+ +81+131 g 1+6+11+16+ +46+51 i 49-51+53-55+57-59+61-63+65 Bµi a TÝnh nhÈm 204 36 499.12 601.42 199.41 b TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nh©n thõa sè nµy, chia thõa sè cho cïng mét sè 66.50 72.125 38.5 15.16.125 c TÝnh nhÈm b»ng c¸ch nh©n c¶ sè bÞ chia vµ sè chia víi cïng mét sè kh¸c kh«ng 2000 : 25 7300 : 50 4970 : 81000 : 125 d TÝnh nhÈm b»ng c¸ch ¸p dơng tÝnh chÊt ( a ± b ) : c = a : c ± b : c 169 : 13 660 : 15 119 : 204 : 12 Bµi T×m x a (158 - x) :7 = 20 b 2x – 138 = 23 32 c 231 - (x – ) =1339 :13 d 10 + 2x = 45 : 43 a 70 - 5.(2x - 3) = 45 b 156 – (x + 61) = 82 c 6.(5x + 35) = 330 d 936 - (4x + 24) = 72 a 5.(3 x + 34) = 515 b (158 - x) : = 20 c (7x - 28) 13 = d 218 + (97 - x) = 313 a) (2x – 39) + = 80 b)[(3x + 1)3 ]5 = 150 c) 2436 (5x + 103) = 12 d) 294 - (7x - 217) = 38 311 : 316 + 62 a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 35); b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130 a 420 + 65 = ( x + 175) : + 30 b [ ( x + 32) − 17] = 42 c ( 32 15 ) : = ( x + 70 ) : 14 – 40 d [ 61 + (53 − x)] 17 = 1785 e x – 4867 = ( 175 2050 70 ) : 25 + 23 15.x + 364 = 17 x x + 350 g 92.4 – 27 = + 315 x f 697 : Bµi TÝnh nhanh 168.168 − 168.58 (456.11 + 912).37 110 13.74 864.48 − 432.96 45.16 − 17 b 864.48.432 28 + 45.15 7256.4375 − 725 (315 + 372).3 + (372 + 315).7 c 3650 + 4375.7255 26.13 + 74.14 1978.1979 + 1980.21 + 1958 d 1980.1979 − 1978.1979 27.45 + 27.55 + + + + 14 + 16 + 18 26.108 − 26.12 e 32 − 28 + 24 − 20 + 16 − 12 + − a a.127 36 + 64 127 – 27 100 b.12 : {390 : [500 – (125 + 35 7)]} a 57 : 55 - 70 b.125.18 + 36.252 + 4.223.9 a 50 + 51 + 52 + + 99 + 100 b 12 62 32 + 32 + 72 + 20 a 24:{300 : [375 – (150 + 15 5]} b.1449 : {[216 + 184 : 8).9]} 56 : 53 + 32 2195.1952 - 952 427 - 1952 1768 20 + 22 + 24 + 96 + 98 H = 30 + 31 + 32 + 33 + 30 31 32.33 10 35 + 38 + 41 + + 92 + 95 11 A = { 46 – [( 16 + 71.4) : 15 ] }– 12 B = 24 – [ 131 – ( 13 – )2 ] 13 222 + 224 + 226 + + 444 14 3 35 : 34 + 22 20 15 (5346 – 2808) : 54 + 51 16 187 (38 + 62) – 87 (62 + 38) 17 16 - 23 14 18 25.{32 : [12 – + (16 : 8)]} 19 25.{32 : [12 – + (16 : 8)]} ⇒ abc0M27 ⇒ 1000a + bc 0M27 ⇒ 999a + a + bc0M27 ⇒ 27.37a + bca M27 ⇒ bca M27 ( Do 27.37a M27) LUYỆN TẬP 1) CMR tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 2) CMR Tổng số chẳn liên tiếp chia hết cho 10, tổng số lẽ liên tiếp không chia hết cho 10 3) Tìm n ∈ N để: a) 27 – 5n Mn b) n + Mn + c) 2n + Mn – d) 3n + M11 – 2n 11 abc deg M 11 4) Cmr ab + cd + eg M 5) Cho abc + deg M37 Cmr abc deg M37 6) Cho 10 k – M19 với k > CMR: 102k – M19 7) Cho n số tự nhiên CMR: a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho 8) Chứng minh ab = 2cd ⇒ abcd M67 Giải: 1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) M3 Thật ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + M3 Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + không chia hết cho 4n chia hết cho không chia hết cho Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 2) Gọi số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + với n số tự nhiên Ta có: 2n + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 20 = 10(n + 2) M10 Gọi số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + với n số tự nhiên Ta có: 2n + + 2n + + 2n + + 2n + + 2n + = 10n + 25 = 10(n + 2) + M 10 3) a) 27 – 5n Mn ; 5n Mn => 27 Mn => n ∈ Ư(27) = { 1;3;9; 27} 5n < 27 nên n < Vậy n ∈ { 1;3} b) n + Mn + => n + + Mn + 2, mà n +2 Mn + => Mn + => n + ∈ { 1; 2; 4} => n ∈ { 0; 2} c) 2n + Mn – => 2(n – 2) + Mn -2 => Mn - => n – ∈ { 1;7} => n ∈{ 3;9} d*) 3n + M11 – 2n (n < 6) => 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) M11 – 2n => 35 M11 – 2n => 11 – 2n ∈ { 1;5;7;35} n < nên n ∈ { 5;3; 2} 4) Ta có : abc deg = 10000ab + 100cd + eg = 9999ab + 99cd + ( ab + cd + eg ) Do 9999M 11; 99M 11;(ab + cd + eg )M 11 11 Vậy : abc deg M 5) Tacó : abc deg = 1000abc + deg = 999abc + (abc + deg) = 27.37 abc + (abc + deg) Do 27.37abc M37; (abc + deg)M37; Vậy : abc deg M37 6) Ta có: 102k – = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1) Do 10k - M19 nên 10k(10k – 1) + (10k – 1) M19 Vây 102k – M19 7) a/ (n + 10 ) (n + 15 ) Khi n chẵn => n = 2k (k ∈ N) Ta có: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho 2.Khi n lẽ => n = 2k + (k ∈ N) Ta có: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho b/ Đăt A = n (n + 1)(n + 2) + Trong hai số tự nhiên liên tiếp có số chẳn số lẽ, số chẳn chia hết A chia hết cho + Trường hợp: n = 3k (k ∈ N) n chia hết A chia hết cho (1) Trường hợp: n không chia hết cho n = 3k + n = 3k + Khi n = 3k + => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết A chia hết cho (2) Khi n = 3k + => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết A chia hết cho (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: A chia hết cho Vậy A chia hết cho 8) Ta có abcd = 100ab + cd ab = 2cd Mà: Suy ra: abcd = 2cdcd = 200cd + cd = 201cd = 3.67cd M67 abcd M67 Vậy: Bài Dùng ba chữ số 9, ,5 để ghép thành số co ba chữ số thỏa mãn điều kiên sau: a) Số chia hết cho 5; a) Số chia hết cho cho Giải a) Một số chia hết cho số tận có ba số có chữ số chia hết cho là: 950 ; 590 ; 905 b)Một số chia hết cho cho số tận có hai số có chữ số chia hết cho cho là: 950 ; 590 ; Bài Cho số 123x43 y thay x,y chữ số để số cho chia hết cho Giải Số 123x43 y  nên y = y = •Với y = , ta có số 123x 430 số phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3  hay 12 + (x+ 1)  , 1≤ x + ≤ 10 ,nên x + = ; ; - Nếu x + = x = ,ta 1232430 - Nếu x + = x = ,ta 1235430 - Nếu x + = x = ,ta 1238430 Với y = , ta có số 123x 435 số phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3 +  hay 18 + x  ,nên x = ; ; ; ta có số sau : 1230435; 1233435; 1236435 1239435 Bài 5: Điền chữ số vào dấu * để số : a) Chia hết cho : * 46 ; 199 * ; 20 *1 ; a) Chia hết cho : 16 * ; 174 * ; 53 * ; Dùng ba số 5,6,9 để ghép thành số tự nhiên có ba chữ số: a) Lớn chia hết cho 5; a) Nhỏ chia hết cho 2; Tìm tập hợp số tự nhiên n vừa chia hết cho vừa chia hết cho 1995 ≤ n ≤2001 Chứng tỏ năm số tự nhiên liên tiếp luốn có số chia hết cho 5 Chứng tỏ rằng: a) Trong ba số tự nhiên chọn hai số có hiệu chia hết cho 2; b) Trong sáu số tự nhiên chọn hai số có hiệu chia hết cho 5; Chứng tỏ rằng: a) (5n + )(4n + 6)  với số tự nhiên n; b) (8n + )(6n + 5) với số tự nhiên n; Người ta viết số tự nhiên tùy ý cho số số lẻ gấp đơi số số chẵn tổng số viết có chia hết cho hay khơng? Vì sao? Có tờ giấy người ta xé tờ giấy thành mảnh lại lấy số mảnh giấy đó, xé mảnh thành mảnh.cứ sau số lần , người ta đếm 2001 mảnh giấy.hỏi người ta đếm hay sai? Cho sáu chữ số : , ,5 ,6 ,7 ,9 a) cố số có ba chữ số ,các chữ số số khhacs nhau, lập thành từ chữ số trên? b) Trong số lập thành có số nhỏ 400? Bao nhiêu số số lẻ ? số chia hết cho 5? Bài tập cđng cè: 1.Điền chữ số vào dấu * để: a) 2001 + * chia hết cho 3; b) * 793 * chia hết cho 9; Điền chữ số vào dấu * để số chia hết cho mà khơng chia hết cho : 51 * 745 * 3.Dùng ba chữ số 3,6,9,0 ghép thành số tự nhiên có ba chữ số cho số đó: a) Chia hết cho 9; b) Chia hết cho mà khơng chia hết cho Phải thay chữ số x, y chữ số để số 123 x44 y  Tổng (hiệu) sau có chia hết cho , cho khơng? 102001 + ; 102001 – Tìm chữ số x,y biết số 56 x3 y chia hết cho Tìm chữ số x,y biết số 71x1 y chia hết cho 445 Tìm tất số có dạng 6a14b , biết số chai hết cho , cho cho Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , có chữ số chia hết cho , biết tổng hai số thỏa mãn điều kiện sau: a) Là só có ba chữ số; b) Là số chia hết cho 5; c) Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng đơn vị số chia hết cho 9; d) Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số chia hết cho 4; C¸c ph¬ng ph¸p chøng minh chia hÕt Ph ¬ng ph¸p 1: ®Ĩ chøng minh AMb ( b ≠ ) Ta biĨu diƠn A = b.k ®ã k ∈ N Bµi 1: Cho n ∈ N Chøng minh r»ng: (5n)100 M 125 2004 Bµi 2: Cho A = + + + Chøng minh r»ng: a) AM6 b) AM7 c) AM30 1998 Bµi 3: Cho S = + + + Chøng minh r»ng : a) S M b) sM39 12 100 Bµi 4: Cho B = + + + Chøng minh r»ng: BM 120 Bµi 5: Chøng minh r»ng a) 3636 − 910 M45 b) 810 − 89 − 88 M55 c) 55 − 54 + 53 M7 d) + −7 M e) 2454.5424.210 M7263 g) 817 − 279 − 913 M45 11 h) 3n +3 + 3n +1 + 2n +3 + 2n + M6∀n ∈ N i) (210 + 211 + 212 ) : lµ mét sè tù nhiªn Ph ¬ng ph¸p 2: Sư dơng hƯ qu¶ tÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng NÕu a ± b Mm vµ a Mm ⇒ bMm Ph ¬ng ph¸p 3: §Ĩ chøng minh mét biĨu thøc chø ch÷ (Gi¶ sư chøa n) chia hÕt cho b ( b ≠ )Ta cã thĨ xÐt mäi tr êng hỵp vỊ sè d chia n cho b Bµi 6: a) Chøng minh r»ng: TÝch cđa hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho b) Chøng minh r»ng: TÝch cđa ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho c) Chøng minh r»ng: TÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24 d) Chøng minh r»ng: TÝch cđa sè tù nhiªn liªn liÕp chia hÕt cho 120 (Chó ý: C¸c bµi to¸n trªn ®©y ®ỵc sư dơng chøng minh chia hÕt, kh«ng cÇn CM l¹i) Bµi 7: Chøng minh r»ng: a) (5n + 7)(4n + 6)M2∀n ∈ N b) (8n + 1)(6n + 5) kh«ng chia hÕt cho ∀ ∈ N Bµi 8: Chøng minh r»ng: A = n(n + 1)(2n + 1)M6∀n ∈ N Bµi 9: a) Cho n ∈ N Chøng minh r»ng: n M3 hc n chia d b) CMR: Kh«ng tån t¹i n ∈ N ®Ĩ n + = 300 Bµi 10: Chøng minh r»ng: ∀m, n ∈ N ta lu«n cã m.n(m − n ) M3 Bµi 11: Chøng minh r»ng: (n + 20052006 )(n + 20062005 )M2∀n ∈ N 44 4 43 Bµi 12: CMR kh«ng tån t¹i n ∈ N ®Ĩ n + = 20042004 2004 15 so 2004  Ph¬ng ph¸p 4: §Ĩ chøng minh AMb Ta biĨu diƠn b díi d¹ng b = m.n Khi ®ã + NÕu (m, n)=1 th× t×m c¸ch chøng minh AMm vµ AMn ⇒ AMm.n hay AMb + NÕu (m; n) ≠ ta biĨu diƠn A = a1.a2 råi t×m c¸ch chøng minh a1 Mm; a2 Mn th× tÝch a1.a2 Mm.n tøc AMb Bµi 13: a) Chøng minh r»ng: TÝch cđa hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho b) Chøng minh r»ng: TÝch cđa ba sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho c) TÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 24 d) TÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 120 Bµi 14 : Chøng minh r»ng: nÕu a lµ mét sè lỴ kh«ng chia hÕt cho th× a − 1M6 Bµi 15: a) Chøng minh r»ng: TÝch cđa hai sè ch½n liªn tiÕp th× chia hÕt cho b) Chøng minh r»ng: TÝch cđa ba sè ch½n liªn tiÕp th× chia hÕt cho 48 c) Chøng minh r»ng: TÝch cđa sè ch½n liªn tiÕp th× chia hÕt cho 384 Bµi 16 : Chøng minh r»ng: B = 10n + 18n − 1M27 Bµi 16: Chøng minh r»ng: a) 10n − 36n − 1M27∀n ∈ N ; n ≥ { M27 b) sè 11 27 c / s1  Ph ¬ng ph¸p 5: Dïng dÊu hiƯu chia hÕt Bµi 17: Chøng minh r»ng: 1020006 + 8M72 { Bµi 18: Chøng minh r»ng: a) Sè 55 kh«ng chia hÕt cho 125 ( nc / s b) 10n + 23 M9 c) 3737 − 2323 M 10 Bµi 19: Chøng minh r»ng: a) 1033 + 8M2;9 b) 1010 + 14M3; c) 1050 + 5M3;5 d) 1025 + 26M2;9 Bµi 20: T×m hai sè tù nhiªn liªn tiÕp cã ba ch÷ sè biÕt r»ng mét sè chia hÕt cho 125, sè chia hÕt cho Bµi 21: Chøng minh r»ng ∀n ∈ N th× a) 24 n+1 + 3M5 b) 24 n+ + 1M5 c) 92 n+1 + 1M 10 n n+ d) − 1M5 e) + 2M5 10 Bµi 22 : Chøng minh r»ng (2 + 1)10 M25 Bµi 23: Cho sè tù nhiªn ab b»ng ba lÇn tÝch c¸c ch÷ sè cđa nã a) Chøng minh r»ng: b Ma b) Gi¶ sư b=k.a Chøng minh r»ng k lµ íc cđa 10 c) T×m c¸c sè ab nãi trªn  Ph ¬ng ph¸p 6: ®Ĩ chøng minh AMb ta biĨu diƠn A = A1 + A2 + + An vµ chøng minh c¸c Ai (i = 1, n)Mb Bµi 1: CMR: { M3 a) ∀n ∈ N th× A = 2.n + 11 nc / s1 { − n).bM9 b) ∀a, b, n ∈ N th× B = (10 − 1).a + (11 n nc / s1 { − + nM9 c) 88 nc / s Bµi 24: Hai sè tù nhiªn a vµ 2a ®Ịu cã tỉng c¸c ch÷ sè b»ng k Chøng minh r»ng aM9 Bµi 25: T×m c¸c ch÷ sè x, y ®Ĩ 1994 xyM72 •C¸c bµi to¸n tỉng hỵp: Bµi 1: T×m n ∈ N ®Ĩ a) n + 6Mn b) 4.n + 5Mn c) 38 − 3n Mn d) n + 5Mn + e) 3n + 4Mn − g) 2n + 1M 16 − 3n Bµi 2: T×m n ∈ N ®Ĩ: a) 3n + 2Mn − b) n + 2n + Mn + c) n + 1Mn − d) n + 8Mn + e) n + 6Mn − g) 4n − 5M2n − h) 12 − n M8 − n i) 20Mn k) 28Mn − l) 113 + n M7 m) 113 + n M 13 Bµi 3: T×m n ∈ N ®Ĩ c¸c ph©n sè sau cã gi¸ trÞ lµ sè tù nhiªn a) n+2 Bµi 4: T×m n ∈ N ®Ĩ a) 4n − 5M 13 c) 25n + 3M53 b) n −1 c) n +1 n −1 b) 5n + 1M7 d) 18n + 3M7 d) 2n + n − 5 Bµi 5: T×m sè tù nhiªn n cho c¸c ph©n sè sau cã gi¸ trÞ lµ sè tù nhiªn 3n + n +1 2n + 13 n −1 a) n + 13 n +1 3n + e) n−2 3n + 15 n +1 6n + g) 2n + b) c) d) Bµi 6: T×m c¸c sè tù nhiªn n cho a) n + 11Mn − b) nMn − c) n + 2n + 6Mn + d) n + n + 1Mn + Bµi 4: Chøng minh r»ng: 88 + 220 M 17 Bµi 5: Chøng minh r»ng: m + 4n M 13 ⇔ 10m + n M 13 ∀m, n ∈ N Bµi 6: Cã hay kh«ng hai sè tù nhiªn x, y cho ( x + y )( x − y ) = 2002 Bµi : Chøng minh r»ng nÕu ab + cd M 11 th× abcd M 11 Bµi : Cho hai sè tù nhiªn abc vµ deg ®Ịu chia 11 d Chøng minh r»ng sè abc deg M 11 Bµi 10 : Cho abc − deg M 13 Chøng minh r»ng: abc deg M 13 Bµi 11:Cho biÕt sè abcM7 Chøng minh r»ng: 2a + 3b + c M7 Bµi 12 : Cho sè abcM4 ®ã a, b lµ c¸c ch÷ sè ch½n Chøng minh r»ng: a) cM4 b) bacM4 Bµi 13: T×m c¸c ch÷ sè a, b cho a − b = 4;7a5b1M3 Bµi 14: Cho 3a + 2b M 17( a, b ∈ N ) Chøng minh r»ng: 10a + bM 17 Bµi 15:Cho a − 5b M 17(a, b ∈ N ) Chøng minh r»ng: 10a + bM 17 n Bµi 16: Chøng minh r»ng: 9.10 + 18M27 ∀n ∈ N Bµi 17: Chøng minh r»ng: nÕu abcd M99 th× ab + cd M99 vµ ngỵc l¹i Bµi 3: BiÕt a + b M7 Chøng minh r»ng: abaM7 Bµi 4: BiÕt a + b + c M7 Chøng minh r»ng: nÕu abcM7 th× b=c Bµi 5: T×m sè tù nhiªn ab cho 567 a9bM45 Bµi 6: T×m c¸c cỈp sè tù nhiªn (a,b) cho a) 1 b = + a b) Bµi 7: Cho sè N = dcba Chøng minh r»ng: a) N M4 ⇔ a + 2bM4 b) N M8 ⇔ a + 2b + 4c M8 c) N M 16 ⇔ a + 2b + 4c + 8d M 16 víi b ch½n Bµi 8: Chøng minh r»ng: a) x + y M 17 ⇔ x + y M 17 b) a + 4b M 13 ⇔ 10a + b M 13 c) a + 2b M 17 ⇔ 10a + bM 17 Bµi 9: Chøng minh r»ng: a) 10n + 72n − 1M81∀n ∈ N a − = b 81 { M b) 11 81c / s1 Bµi 11: Chøng minh r»ng mét sè cã hai ch÷ sè chia hÕt cho vµ chØ tỉng cđa ch÷ sè hµng chơc vµ lÇn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ chia hÕt cho Bµi 12: Víi a, b lµ c¸c ch÷ sè kh¸c Chøng minh r»ng: a) abbaM b) aaabbbM37 11 c) abababM7 d) abab − baba M9 vµ 101 víi a>b Bµi 13: Cho sè tù nhiªn A, Ngêi ta ®ỉi chç c¸c ch÷ sè cđa sè A ®Ĩ ®ỵc sè B gÊp ba lÇn sè A Chøng minh r»ng B chia hÕt cho 27 SỐ NGUYÊN TỐ – HP SỐ PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ A/ LÝ THUYẾT: + Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước + Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước + Để chứng tỏ số tự nhiên a > hợp số, cần ước khác a Chú ý: 10n = 10….0 = 2n.5n n chữ số + Cách xác đònh số lượng ước số: Khi phân tích M thừa số nguyên tố, ta có M = ax.by….cz ước M (x + 1)(y + 1)…(z + 1) + Nếu ab MP với P số nguyên tố a MP b MP Đặc biệt: Nếu an MP a MP B/ VÍ DỤ: D¹ng 1: Bµi 1: Tỉng (hiƯu) sau lµ sè nguyªn tè hay hỵp sè: a/ 3150 + 2125 b/ 5163 + 2532 c/ 19 21 23 + 21 25 27 d/ 15 19 37 – 225 Bµi 2: Chøng tá r»ng c¸c sè sau ®©y lµ hỵp sè: a/ 297; 39743; 987624 b/ 111…1 cã 2001 ch÷ sè hc 2007 ch÷ sè c/ 8765 397 639 763 Híng dÉn a/ C¸c sè trªn ®Ịu chia hÕt cho 11 Dïng dÊu hiƯu chia hÕt cho 11 ®ª nhËn biÕt: NÕu mét sè tù nhiªn cã tỉng c¸c ch÷ sè ®øng ë vÞ trÝ hµng ch½n b»ng tỉng c¸c ch÷ sè ë hµng lỴ ( sè thø tù ®ỵc tÝnh tõ tr¸i qua ph¶i, sè ®Çu tiªn lµ sè lỴ) th× sè ®ã chia hÕt cho 11 Ch¼ng h¹n 561, 2574,… b/ NÕu sè ®ã cã 2001 ch÷ sè th× tỉng c¸c ch÷ sè cđa nã b»ng 2001 chia hÕt cho VËy sè ®ã chia hÕt cho T¬ng tù nÕu sè ®ã cã 2007 ch÷ sè th× sè ®ã còng chia hÕt cho c/ 8765 397 639 763 = 87654.100001 lµ hỵp sè Bµi 3: Chøng minh r»ng c¸c tỉng sau ®©y lµ hỵp sè a/ abcabc + b/ abcabc + 22 c/ abcabc + 39 Híng dÉn a/ abcabc + = a.105 + b.104 + c.103 + a 102 + b.10 + c + = 100100a + 10010b + 1001c + = 1001(100a + 101b + c) + V× 1001 M7 ⇒ 1001(100a + 101b + c) M7 vµ M7 Do ®ã abcabc + M7, vËy abcabc + lµ hỵp sè b/ abcabc + 22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 1001 M11 ⇒ 1001(100a + 101b + c) M11 vµ 22 M11 Suy abcabc + 22 = 1001(100a + 101b + c) + 22 chia hÕt cho 11 vµ abcabc + 22 >11 nªn abcabc + 22 lµ hỵp sè c/ T¬ng tù abcabc + 39 chia hÕt cho 13 vµ abcabc + 39 >13 nªn abcabc + 39 lµ hỵp sè Bµi 4: a/ T×m sè tù nhiªn k ®Ĩ sè 23.k lµ sè nguyªn tè b/ T¹i lµ sè nguyªn tè ch½n nhÊt? Híng dÉn a/ Víi k = th× 23.k = kh«ng lµ sè nguyªn tè víi k = th× 23.k = 23 lµ sè nguyªn tè Víi k>1 th× 23.k M23 vµ 23.k > 23 nªn 23.k lµ hỵp sè b/ lµ sè nguyªn tè ch½n nhÊt, v× nÕu cã mét sè ch½n lín h¬n th× sè ®ã chia hÕt cho 2, nªn íc sè cđa nã ngoµi vµ chÝnh nã cßn cã íc lµ nªn sè nµy lµ hỵp sè Bµi 5: T×m mét sè nguyªn tè, biÕt r»ng sè liỊn sau cđa nã còng lµ mét sè nguyªn tè Híng dÉn Ta biÕt hai sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê còng cã mét sè ch½n vµ mét sè lỴ, mn c¶ hai lµ sè nguyªn tè th× ph¶i cã mét sè nguyªn tè ch½n lµ sè VËy sè nguyªn tè ph¶i t×m lµ D¹ng 2: DÊu hiƯu ®Ĩ nhËn biÕt mét sè nguyªn tè Ta cã thĨ dïng dÊu hiƯu sau ®Ĩ nhËn biÕt mét sè nµo ®ã cã lµ sè nguyªn tè hay kh«ng:“ Sè tù nhiªn a kh«ng chia hÕt cho mäi sè nguyªn tè p mµ p2 < a th× a lµ sè nguyªn tè VD1: Ta ®· biÕt 29 lµ sè nguyªn tè Ta cã thĨ nhËn biÕt theo dÊu hiƯu trªn nh sau: - T×m c¸c sè nguyªn tè p mµ p2 < 29: ®ã lµ c¸c sè nguyªn tè 2, 3, (72 = 49 19 nªn ta dõng l¹i ë sè nguyªn tè 5) - Thư c¸c phÐp chia 29 cho c¸c sè nguyªn tè trªn Râ rµng 29 kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè nµo c¸c sè 2, 3, VËy 29 lµ sè nguyªn tè VD2: H·y xÐt xem c¸c sè tù nhiªn tõ 1991 ®Õn 2005 sè nµo lµ sè nguyªn tè? Híng dÉn - Tríc hÕt ta lo¹i bá c¸c sè ch½n: 1992, 1994, ., 2004 - Lo¹i bá tiÕp c¸c sè chia hÕt cho 3: 1995, 2001 - Ta cßn ph¶i xÐt c¸c sè 1991, 1993, 1997, 1999, 2003 è nguyªn tè p mµ p2 < 2005 lµ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 - Sè 1991 chia hÕt cho 11 nªn ta lo¹i - C¸c sè cßn l¹i 1993, 1997, 1999, 2003 ®Ịu kh«ng chia hÕt cho c¸c sè nguyªn tè tªn VËy tõ 1991 ®Õn 2005 chØ cã sè nguyªn tè lµ 1993, 1997, 1999, 2003 C.HDVN: xem lại chữa,nắm vững dấu hiệu nhận biết số ngun tố,hợp số Bài tập Ví dụ 1: Cho A = + 52 + 53 +……+5100 a) Số A số nguyên tố hay hợp số? b) Số A có phải số phương không? Giải: a) Có A > 5; A M5 ( Vì số hạng chia hết cho 5) nên A hợp số b) Có 52 M25, 53 M25;… ;5100 M25, M25 nên A M25 Số A M5 A M25 nên A không số phương Ví dụ 2: Số 54 có ước Giải: Có: 54 = 33 Số ước 54 là: (1 + 1)(3 + 1) = 2.4 = ước Tập hợp ước 54 là: Ư(54) = { 1; 2;3;6;9;18; 27;54} Ví dụ 3: Tìm số nguyên tố p cho p + , p + số nguyên tố Giải: Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + = số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm C/ BÀI TẬP: 1) Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nhỏ ba số đó? 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 hay không? 3) Tìm số nguyên tố p, cho số sau số nguyên tố a) p + p + 10 b) P + 10 p + 20 4) Cho p số nguyên tố lớn Biết p + số nguyên tố Chứng minh p + 1chia hết cho 5) Cho p p + số nguyên tố (p > 3).Chứng minh p + hợp số 6) Cho a, n ∈ N*, biết an M5 Chứng minh: a2 + 150 M25 Giải: 1) Tổng số nguyên tố 1012 số chẳn nên ba số nguyên tố phải có số chẳn số số số nhỏ ba số nguyên tố cho 2) Tổng hai số nguyên tố 2003 số lẽ nên hai số nguyên tố phải số số thứ hai là: 2003 – = 2001 chia hết hợp số Vậy không tồn tai hai số nguyên tố có tổng 2003 3) a/ Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + = 5; p + 10 = 13 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết cho lớn nên p + hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm b/ Vì p số nguyên tố nên p có ba dạng sau: 3k; 3k + 1; 3k + với k số tự nhiên Nếu p = 3k p = (Vì p số nguyên tố) => p + 10 = 13; p + 20 = 23 số nguyên tố Nếu p = 3k + p + 20 = 3k + 21 chia hết cho lớn nên p + 20 hợp số, trái với đề Nếu p = 3k + p + 10 = 3k + 12 chia hết cho lớn nên p + 10 hợp số, trái với đề Vậy p = số nguyên tố cần tìm 4) Do p số nguyên tố lớn nên p lẽ, => p + số chẵn nên p + M2 p số nguyên tố lớn nên có dạng 3k + 3k + (k ∈ N) Dạng p = 3k + không xãy Dạng p = 3k + cho ta p + = 3k + M3 (2) Từ (1) (2) suy p + M6 (1) 5) p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k + 3k + (k ∈ N) Nếu p = 3k + p + = 3k + chia hết hợp số, trái với đề Vậy p có dạng 3k + p + = 3k + chia hết p + hợp số 6) Có an M5 mà số nguyên tố nên a M5 => a2 M25 Mặt khác 150 M25 nên a2 + 150 M25 Bµi 1: T×m hai sè nguyªn tè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 2005 Bµi 2: T×m c¸c sè nguyªn tè p ®Ĩ p + 11 lµ sè nguyªn tè nhá h¬n 30 Bµi 3: Cho A = + 52 + + 5100 a) Sè A lµ sè nguyªn tè hay hỵp sè b) Sè A cã lµ sè chÝnh ph¬ng kh«ng ? Bµi 4: Tỉng hiƯu sau lµ sè nguyªn tè hay hỵp sè a) A = 13.15.17 + 91 b) B = 2.3.5.7.11 + 13.17.19.21 c) C = 12.3 + 3.41 + 240 d) D = 45 + 36 + 72 + 81 e) E = 91.13 − 29.13 + 12.13 g) G = 4.19 − 5.4 h) H = 32 + 3.17 + 34.33 i) I = + + 73 + + 75 k) A = 1.3.5.7 13 + 20 l) B = 147.247.347 − 13 { { Bµi 5: Cho n ∈ N * Chøng minh r»ng sè A = 11 1211 lµ hỵp sè nc / s1 nc / s1 Bµi 6: a) Cho n lµ mét sè kh«ng chia hÕt cho Chøng minh r»ng: n chia d b) Cho p lµ sè nguyªn tỉ lín h¬n Hái p + 2003 lµ sè nguyªn tè hay hỵp sè ? Bµi 7: Cho n ∈ N ; n > vµ n kh«ng chia hÕt cho Chøng minh r»ng: n − vµ n + kh«ng thĨ ®ång thêi lµ sè nguyªn tè Bµi 8: Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n a) Chøng tá r»ng: p cã d¹ng 6k + hc 6k + víi k ∈ N * b) BiÕt p + còng lµ sè nguyªn tè Chøng minh r»ng: p + lµ hỵp sè Bµi 9: Cho p vµ p + ®Ịu lµ sè nguyªn tè (p>3) Hái p+100 lµ sè nguyªn tè hay hỵp sè Bµi 10: Cho n = 29k víi k ∈ N Víi gi¸ trÞ nµo cđa k th× n: a) Lµ sè nguyªn tè b) Lµ hỵp sè c) Kh«ng lµ sè nguyªn tè còng kh«ng lµ hỵp sè Bµi 11: Chøng minh r»ng: nÕu 8p-1 vµ p lµ sè nguyªn tè th× 8p+1 lµ hỵp sè Bµi 12: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè p, q cho p + q vµ pq + 11 ®Ịu lµ sè nguyªn tè Bµi 13: T×m ba sè tù nhiªn lỴ liªn tiÕp ®Ịu lµ sè nguyªn tè Bµi 14: T×m sè nguyªn tè p cho a) p + lµ sè nguyªn tè b) p+8 vµ p+10 ®Ịu lµ sè nguyªn tè Bµi 16: Cho n = 2.3.4.5.6.7 CMR: sè tù nhiªn liªn tiÕp sau ®Ịu lµ hỵp sè: n+2; n+3; n+4; n+5; n+6; n+7 Bµi 17: T×m sè nguyªn tè p cho p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 ®Ịu lµ sè nguyªn tè Bµi 18:Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n Chøng minh r»ng: ( p − 1)( p + 1) chia hÕt cho 24 Bµi 19:Cho p vµ 2p+1 lµ hai sè nguyªn tè (p>3) Chøng minh r»ng: 4p+1 lµ hỵp sè Bµi 20:Cho p vµ 10p+1 lµ hai sè nguyªn tè (p>3) Chøng minh r»ng: 5p+1 lµ hỵp sè Bµi 21:Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn tè p >3, ba sè p, p+2, p+4 kh«ng thĨ ®ång thêi lµ nh÷ng sè nguyªn tè Bµi 22: Hai sè 2n − vµ 2n + víi n >2 cã thĨ ®ång thêi lµ sè nguyªn tè hay ®ång thêi lµ hỵp sè ®ỵc kh«ng ? Bµi 23: T×m sè nguyªn tè p ®Ĩ cã a) p+10 vµ p+14 ®Ịu lµ sè nguyªn tè b) p+2; p+6 vµ p+8 ®Ịu lµ sè nguyªn tè c) p+6;p+12; p+24; p+38 ®Ịu lµ sè nguyªn tè d) p+2; p+4 còng lµ sè nguyªn tè Bµi 24: T×m c¸c sè nguyªn tè a, b, c cho 2a + 3b + 6c = 78 Bµi 25: CMR: 2001.2002.2003.2004 +1 lµ hỵp sè Bµi 26: T×m sè nguyªn tè p cho p + 44 lµ sè nguyªn tè Bµi 27: CMR: Hai sè 1994100 − vµ 1994100 + kh«ng thĨ ®ång thêi lµ sè nguyªn tè Bµi 28: T×m sè nguyªn tè p cho p + 94 vµ p+1994 còng lµ sè nguyªn tè Bµi 29: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè p ®Ĩ p + p còng lµ sè nguyªn tè ¦íc chung vµ béi chung, ¦CLN, BCNN C/ Néi dung chuyªn ®Ị I/ KiÕn thøc c¬ b¶n 1- TÝnh chÊt chia hÕt liªn quan a m a n => a  m.n (m,n)=1 a.b  m=> b  m (a, m) =1 Bµi 1: T×m ¦CLN cđa c/ ¦CLN(150,50) = 50 v× 150 chia hÕt cho 50 a/ 12, 80 vµ 56 d/ ¦CLN(1800,90) = 90 v× 1800 chia hÕt cho 90 b/ 144, 120 vµ 135 Bµi 2: T×m c/ 150 vµ 50 a/ BCNN (24, 10) d/ 1800 vµ 90 b/ BCNN( 8, 12, 15) Híng dÉn Híng dÉn a/ 12 = 22.380 = 24 556 = 33.7 a/ 24 = 23 ; 10 = VËy ¦CLN(12, 80, 56) = 22 = BCNN (24, 10) = 23 = 120 b/ 144 = 24 32 120 = 23 135 = 33 b/ = 23 ; 12 = 22 3; 15 = 3.5 VËy ¦CLN (144, 120, 135) = BCNN( 8, 12, 15) = 23 = 120 5/ Tìm số tự nhiên a lớn biết 480  a 600  a Hướng dẫn : 480  a 600  a a lớn Nên a ∈ ƯC LN (480,600) Ta có 480= 25.3.5 600 = 23.3.52 => ƯCLN (480,600) =23.3.5= 120 Vậy a =120 6/ Tìm số tự nhiên x biết 126  x 210  x 15 < x < 30 Hướng dẫn: Vì 126  x 210  x 15 < x < 30 nên x ∈ Ư C (126,210) 15 < x Ư C (126,210) = 2.3.7 = 42 Do Ư C (126,210) =ƯC (42) = {1,2,3,6,7,.14,21,42} Vì 15 < x < 30 nên x =21 7/ Tìm số tự nhiên a nhỏ khác biết a  15 a  18 Hướng dẫn : Vì a  15 a  18 a nhỏ khác nên a ∈ BCNN(15,18) Ta có 15 =3.5 18 = 2.32 => BCNN(15,18) = 2.32.5 = 90 Vậy a = 90 8/ Tìm bội chung 15 25 mà nhỏ 400 Hướng dẫn: Ta có : 15=3.5 25= 52 => BCNN(15,25) = 3.52 =75 Nên BCNN(15,25) = B(75) = { 0,75,150,225,300,375,450, } Các bội chung 15 25 mà nhỏ 400 0, 75, 150, 225,300, 375 Ví dụ1 Tìm số tự nhiên a biết chia 39 cho a dư 4, chia 48 cho a dư Giải Chia 39 cho a dư , nên a ước 39 – = 35 a > chia 48 cho a dư nên a ước 48 – = 42 a > a ước chung 35 42 dơng thồng a > Ư(35) = { 1, 5, 7, 35} ; Ư(42) = {1,2,3,6,7,14,21,42} ƯC(35,42) = { 1,7} Vậy a = Ví dụ 2Tìm số tự nhiên a, biết chia 264 cho a dư 24 , chia363 cho a dư 43 D¹ng 3: C¸c bµi to¸n thùc tÕ Bµi 1: Mét líp häc cã 24 HS nam vµ 18 HS n÷ Cã bao nhiªu c¸ch chia tỉ cho sè nam vµ sè n÷ ®ỵc chia ®Ịu vµo c¸c tỉ? Bµi 2: Mét ®¬n vÞ bé ®éi xÕp hµng, mçi hµng cã 20 ngêi, hc 25 ngêi, hc 30 ngêi ®Ịu thõa 15 ngêi NÕu xÕp mçi hµng 41 ngêi th× võa ®đ (kh«ng cã hµng nµo thiÕu, kh«ng cã ë ngoµi hµng) Hái ®¬n vÞ cã bao nhiªu ngêi, biÕt r»ng sè ngêi cđa ®¬n vÞ cha ®Õn 1000? Híng dÉnGäi sè ngêi cđa ®¬n vÞ bé ®éi lµ x (x ∈ N) x : 20 d 15 ⇒ x – 15 M20 x : 25 d 15 ⇒ x – 15 M25 x : 30 d 15 ⇒ x – 15 M30 Suy x – 15 lµ BC(20, 25, 35) Ta cã 20 = 22 5; 25 = 52 ; 30 = 5; BCNN(20, 25, 30) = 22 52 = 300 BC(20, 25, 35) = 300k (k ∈ N) x – 15 = 300k ⇔ x = 300k + 15 mµ x < 1000 nªn 300k + 15 < 1000 ⇔ 300k < 985 ⇔ k < 17 (k ∈ N) 60 Suy k = 1; 2; ChØ cã k = th× x = 300k + 15 = 615 M41 VËy ®¬n vÞ bé ®éi cã 615 ngêi Bµi 3: khèi – – theo thø tù cã 300 häc sinh- 276 häc sinh – 252 häc sinh xÕp hµng däc ®Ĩ ®iỊu hµnh cho hµng däc mçi khèi nh Cã thĨ xÕp nhiỊu nhÊt thµnh mÊy hµng däc ®Ĩ mçi khèi kh«ng lỴ ? kho ®ã mçi khèi cã bao nhiªu hµng ngang? Bµi 4: Cã 100 qun vë vµ 90 bót ch× ®ỵc thëng ®Ịu cho mét sè häc sinh cßn l¹i qun vë vµ 18 bót ch× kh«ng ®đ chia ®Ịu TÝnh sè häc sinh Gi¶i: Gäi sè häc sinh lµ a: => 100 –  a; 90 – 18  a Bµi 5: T×m sè tù nhiªn nhá h¬n 500 cho chia nã cho 15, cho 35 ®ỵc c¸c sè d lµ vµ 13 Gäi sè ph¶i t×m lµ a => a-  15 => a – + 30  15 a – 13  35 a – 13 + 35  35 Gi¶i => a + 22  35 a + 22  15 Bµi 6: T×m d¹ng chung cđa sè tù nhiªn a cho chia 4; 5; lÇn lỵt cã sè d lµ 3; 4; vµ chia hÕt cho 13 Gi¶i ; a + ∈ BC (4; 5; 6) => a +  60 => vµ a  13 a + – 300  60 => a – 13 23  13 a – 299  60 a – 299  13 => a – 299  BCNN (60; 13) a – 299  780 => a = 780b + 299 (b∈ N) Bµi 7: T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt chia cho 5; cho 7; d lµ 3; 4; Gi¶i ; Gäi sè ph¶i t×m lµ A => 2a chia cho 5; 7; ®Ịu d 2a – = BCNN (5; 7; 9) = 315  2a – = 315 => a = 158 Bµi 8: Sè HS cđa mét trêng kho¶ng tõ 2500 ®Õn 2600 NÕu toµn thĨ HS cđa trêng xÕp hµng th× thõa mét b¹n, xÕp hµng th× thõa b¹n, xÕp hµng th× thõa b¹n, xÕp hµng th× thõa b¹n TÝnh sè HS cđa trêng ? Lêp gi¶i: Gäi sè HS cđa trêng lµ x (x ∈ N, 2500 < x < 2600) Tõ gi¶ thiÕt suy a + lµ sè chia hÕt cho c¶ 3, 4, vµ Mµ BCNN(3,4,5,7) = 420 nªn a + chia hÕt cho 420, v× 2503 chia cho 420 b»ng d 403 vµ 2601 chia 420 b»ng d 81 nªn a + = 420.6 tøc lµ a = 2518 VËy sè HS cđa trêng lµ 2518 em Bµi 9: Mét thiÕt bÞ ®iƯn tư 605 ph¸t tiÕng bÝp; chiỊu thø 625 bÝp lóc 10h s¸ng c¶ cïng kªu hái lóc mÊy giê c¶ cïng kªu (10h 31p) Bµi 10: Sè HS cđa mét trêng THCS lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt cã ch÷ sè mµ chia sè ®ã cho hc cho 6, hc cho ®Ịu d Gäi sè HS cđa trêng lµ x (x ∈ N) x : d ⇒ x – M5 x : d ⇒ x – M6 x : d ⇒ x – M7 Suy x – lµ BC(5, 6, 7) Ta cã BCNN(5, 6, 7) = 210 BC(5, 6, 7) = 210k (k ∈ N) x – = 210k ⇔ x = 210k + mµ x sè tù nhiªn nhá nhÊt cã ch÷ sè nªn x ≥ 1000 suy 210k + ≥ 1000 ⇔ k ≥ 53 (k ∈ N) nªn k nhá nhÊt lµ k = 70 VËy sè HS trêng ®ã lµ x = 210k + = 210 + = 1051 (häc sinh) Bµi 11 Có 100 90 bút bi Cơ giáo chủ nhiểm muốn chia số bút thành số phần thưởng gơm bút để phát phần thuopwngr cho học sinh Như lại 18 bút bi khơng thể chia cho học sinh.tính sơ học sinh thưởng? Bµi 12 Có số sách giáo khoa Nếu xếp thành chồng 10 vừa hết ,thàng chồng 12 thừa cuốn, thành chồng 18 thừa biết số sách khoảng từ 715 đến 1000 cuốn.tìm số sách Bµi 13 Một lớp học có 28 nam 24 nữ.có cách chia số học sinh lớp thành tổ cho số nam nữ chia cho tổ Bµi 14 Người ta muốn chia 240 bút bi , 210 bút chì 180 tập giấy thành số phần thưởng Hỏi chia nhiều phần thưởng,mỗi phần thưởng Có bút bi , bút chì, tập giấy? Bµi 15: Một số tự nhiên chia cho 2, cho , cho , cho , cho dư , chia cho khơng dư a) Tìm số nhỏ có tính chất a) Tìm dạng chung số có tính chất Giải a) Gọi x số phải tìm x –  ( ,3 ,4, , 6) nên x – bội chung 2, 3, 4, 5, BCNN ( 2,3,4,5,6) = 60 Vậy x – nhận giá trị: 60 ,120,180,240,300,… x nhân giá trị: 61 ,121 ,181,241,301,… Trong số trên, số nhỏ chia hết cho số 301 a) Vì x – bội 60 nên x- = 60n hay x = 60n + (n ∈ N*) x  ta có : x = 60n + = 7.8n – + (n + 2) Vì 7.8n  ,do để x  phải có 4(n + 2)  hay n + 7 dặt n + = 7k n = 7k – (k ∈ N*) x = 60n + = 60 (7k - 2) + = 420k – 119 để tìm x ta việc cho k giá trị : k = 1, 2, 3, … Bµi 17 Ba em An , Bảo , Ngọc học trường lớp khác An ngày trực nhật lần , Bảo 10 ngày trực nhật lần, Ngọc trực nhật lần.lần đầu ba em trực nhật ngày hỏi ngày sau ba em lại trực nhật vào ngày? Đến ngày em trực nhật lần? Bµi 18 Bạn Nam nghĩ số có ba chữ số bớt số số chia hết cho bớt số chia hết cho ,nếu bớt 10 số chia hết cho hỏi bạn Nam nghĩ số nào? Bµi 19 Một vườn hình chữ nhật có chiều dài 105 m chiều rộng 60 m người ta muốn trồng xung quanh vườn cho góc vườn có khoảng cách hai liên tiếp Tính khống cách lớn hai liên tiếp (Khoảng cách số tự nhiên với đơn vị mét ) Khi tổng số ? Hướng dẫn :Gọi khoảng cách liên tiếp a (mét) góc vườn có khoảng cách liên tiếp lớn nên 105  a 60  a a lớn ∈ => a ƯCLN(105,60) Ta có 105 = 3.5.7 60 = 22.3.5 ƯCLN (105,60) = 3.5.=15 Vậy khoảng cách lớn liên tiếp 15 m Chu vi mãnh vườn (105+60).2 =330 m Tổng số 330 : 15 = 22 9/ Một khối học sinh xếp hàng hàng hàng hàng hàng thừa em xếp hàng vừa đủ Biết số học sinh chưa đến 300 Tính số học sinh Hướng dẫn: Gọi số hs cần tìm a (0[...]... a) 166 : 42 b) 278 : 94 c) 1255 : 253 d) 414.528 e) 12n : 22 n g) 64 4. 165 : 420 6 4 5 2 453.204.182 213 + 25 a, 38 : 34 + 22 23 b, 3 42 – 2 32 c, 4 312.9 d, 21 14.125 e, g, 3 5 10 2 6 3 e 72 g54 108 10 2 4 g 3 10 11 + 3 5 9 4 3 2 10 h 2 35 6 2 +2 180 10 13 + 2 65 8 2 104 y ( 1253 75 – 1755 : 5 ) : 20012002 k 16 64 82 : ( 43 25 16) Bµi tËp 3: Cho A = 5 415 99 – 4 320 89 B = 5.29 .61 9- 7.229.2 76 C... rằng 480  a 60 0  a Hướng dẫn : vì 480  a 60 0  a và a là lớn nhất Nên a ∈ ƯC LN (480 ,60 0) Ta có 480= 25.3.5 60 0 = 23.3.52 => ƯCLN của (480 ,60 0) =23.3.5= 120 Vậy a =120 6/ Tìm số tự nhiên x biết rằng 1 26  x 210  x và 15 < x < 30 Hướng dẫn: Vì 1 26  x 210  x và 15 < x < 30 nên x ∈ Ư C (1 26, 210) và 15 < x Ư C (1 26, 210) = 2.3.7 = 42 Do đó Ư C (1 26, 210) =ƯC (42)... n + 6 không chia hết cho 5 Giải: Với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n = n(n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng bằng 0; 2; 6 Do đó n 2 + n + 6 tận cùng bằng 6; 8; 2 nên không chia hết cho 5 4) CMR: a/ 94 260 – 35137chia hết cho 5 b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5 Giải: a/ 94 260 – 35137= 9424.15 – 35137= … .61 5 - …1 = 6 - …1 = …5 M5 b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - 6 +... c, 166 : 42 d, 178: 94e, 1254 : 253f, 414 528 = (g, 12n: b, a a a + b b b b = 22n = h 84 165 b 540 1252 62 53 i 274 8110 d 103 1005 10004 n n k 410.230 b) 925.27 4.813 c) 2550.1255 d) 64 3.48. 164 a) 5 x.5 x.5 x b) x1.x 2 .x 20 06 c) x.x 4 x 7 .x100 d) x 2 x5 x8 .x 2003 a) 38 : 36 ; ; 197 :193 210 : 83 ; 127 : 67 ; 275 : 813 Bµi tËp 2: TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc b) 1 06 :10 ; 58 : 252 ; 49 : 64 2... Bµi 6 a) 95 vµ 273 b) 3200 vµ 2300 3032 = 33 1012 = 9.1012 a) Ta cã: 95 = (32)5 = 310 3 3 3 9 27 = (3 ) = 3 vËy 303202 < 2002303 V× 310 > 39 nªn 95 > 273 f, 321 vµ 231 b) Ta cã: 3200 = (32)100 = 9100 300 3 100 100 2 = (2 ) =8 321 = 3 3 20 = 3 910 ; 231 = 2 230 = 2 810 V× 9100 > 8100 ; nªn 3200 > 2300 3 910> 2 810 => 321 > 231 g, 111979 < 111980 = (113 )66 0 = 133 166 0 371320 = (372 )66 0 = 1 369 660 V×... Gọi x là số phải tìm thì x – 1  ( 2 ,3 ,4, 5 , 6) nên x – 1 là bội chung của 2, 3, 4, 5, 6 BCNN ( 2,3,4,5 ,6) = 60 Vậy x – 1 nhận các giá trị: 60 ,120,180,240,300,… do đó x nhân các giá trị: 61 ,121 ,181,241,301,… Trong các số trên, số nhỏ nhất chia hết cho 7 là số 301 a) Vì x – 1 là bội của 60 nên x- 1 = 60 n hay x = 60 n + 1 (n ∈ N*) và x  7 ta có : x = 60 n + 1 = 7.8n – 7 + 4 (n + 2) Vì 7.8n  7 ,do... (25.23 ) a) TÝnh A : B TÝnh C : D 210.13 + 210 .65 2 8.104 b) (1 + 2 +….+ 100)(12 + 22 + …+ 102) (65 111 – 13 15 37) 10 10 a) A = 3 119 + 43 5 3 2 4 5 e) E = 4 312.9 6 6 10 10 b) B = 2 138 + 2 65 c) C = 4 364 + 64 9 2 104 f) F = 210 + 22 13 2 +2 5 4 3 d) D = 72 544 2 16 100 108 22 7 3 4 2 11.3 3 − 915 45 20 18 i) g) G = 21 14.125 h) I = H= (2.314 ) 2 355 .6 1805 2 Bµi tËp 5: T×m x ∈ N biÕt a, 2x 4 =... nh©n (a