KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI: TOÁN - CHUYÊN Ngày thi : 16/6/2016 (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu 1: (2,0 điểm) 1) Cho đa thức P  x   x9  17 x8  m Tìm m biết a    13  12 nghiệm P  x  2) Cho 2016 số dương a1 , a2 ,  , a2015 , a2016 thỏa mãn tính giá trị biểu thức A  a1 a2 a a     2015  2016 Hãy a2 a3 a2016 a1 a12  a22    a2016  a1  a2    a2016  Câu 2: (3,0 điểm) 1) Giải phương trình: x   x  x     x  y   xy 2) Giải hệ phương trình:   y  z   yz   x  z   xz  3) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn x  y  z x  y  z  Tìm giá trị x z z y nhỏ biểu thức B    y Câu 3: (2,0 điểm) 1) Tìm cặp số nguyên tố (m, n) cho: m  2n2   2) Cho hai số tự nhiên a, b cho a  b  ab chia hết cho 10 Chứng minh a  b2  ab chia hết cho 100 Câu 4: (1,5 điểm) AB Trên cạnh BC lấy điểm M cho đường thẳng AM cắt đường thẳng CD I Lấy điểm P thuộc cạnh AB, điểm Q thuộc  cắt CD H cạnh CD cho PQ vuông góc với AM Đường phân giác góc MAD Chứng minh rằng: 1 a) PQ  BM  DH b)   AB AM AI Cho hình chữ nhật ABCD, biết AD  Câu 5: (1,5 điểm) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP (MP < MN), đường thẳng vuông góc với MI I cắt NP kéo dài Q Gọi H hình chiếu vuông góc I MQ   INP  a) Chứng minh PIQ b) Chứng minh điểm H nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Ngu yễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới th iệu) trang SƠ LƯỢC BÀI GIẢI Câu 1: (2,0 điểm) 1) Ta có: a    13  12    2  1  3   1 1 Vì a  nghiệm P  x  , nên ta có: P 1   19  17 18  m   m  16 2) Ta có: a a a a a  a    a2015  a2016 a1 a2 a a     2015  2016      2015  2016  1 a2 a3 a2016 a1 a2 a3 a2016 a1 a1  a2    a2015  a2016  a1  a2    a2015  a2016  k  k   Do A  a12  a22    a2016  a1  a2    a2016   2016k  2016k   2016 Câu 2: (3,0 điểm)   2x   x   * )   x  x      x  x    1) (ĐK:  x   x  x    x    x  x   x   x  25 x  25  10 x3  10 x  50 x  x2 x      x  10 x3  35 x  52 x  28    x    x  x       x    x  6x   x    x  2, x   thỏa mãn (*) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  2, x   2) Rõ ràng x  y  z  nghiệm hệ phương trình Với x  0, y  0, z  , ta có   1  11 1  1 11 1 2      x  y  x  y  z   x 1 x y z        x  y   xy   x 1 1  1   1 1           y    y  z   yz       y z y z y z   x  z   xz    y z 3   1   1 1 1            z x z z x  z x  (TMĐK) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y; z    0; 0;  , 1; 2;  x z z y x y 3) Vì x  y  z   x  z  y  z    xy  z  xz  yz      yz   x y Do P   y   x  2y  y    x  y     x  y  z    32   y Ngu yễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới th iệu) trang  x yz0  x y z 3  Vậy Min P =   x  z  y  z    x  y  z   x  2y   3y y  Câu 3: (2,0 điểm) 1) Ta có m  n     m  1 m  1  2n   m lẻ   m  1 m  1   2n2   n   n  (do n số nguyên tố) Khi m2   22   m  Vậy cặp số nguyên tố (m, n) cần tìm (3; 2) 2) Ta có a  b  ab  10   a  b   a  b  ab   a  b  10  a  b3  mod10   a  b  mod10   ab  a  mod10  , a  b2  mod10   a  ab  b  3a  mod10   3a   mod10   a  10 (vì  3;10   )  a 10  a  100  a  ab  b  3a   mod100  Vậy a  b2  ab chia hết cho 100 F Câu 4: (1,5 điểm) BM  DH Kẻ HK // PQ (K  AB), PK // HQ (AB // CD)  PQ = HK Lại có HK // PQ, PQ  AI (gt)  HK  AI (tại E, E giao điểm HK AI) ADH = AEH (cạnh huyền-góc nhọn)  AD = AE, DH = EH AEK ABM (g-g) a) Chứng minh PQ  EK AE AD  2      AD  AB   EK  BM BM AB AB  3  Do PQ  HK  EK  EH  BM  DH  A 1   AB AM AI Kẻ AF  AM (F thuộc đường thẳng BC) D Q Xét ABF ADI, ta có:    DAI  (cùng phụ với BAM ) ABF   ADI  900  gt  , BAF P b) Chứng minh Vậy ABF ADI  K B E H M C I AI AD     AF AB AF AI   900  gt  , AB  MF  AB  BC       (đpcm) Xét AMF: MAF 2 2 AB AM AF AM AI Câu 5: (1,5 điểm)   INP  a) Chứng minh PIQ Ngu yễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới th iệu) trang M H I Q P N K Kẻ MK  NP (K  NP)   MKQ   900  gt  , nên tứ giác MIKQ tứ giác nội tiếp Tứ giác MIKQ có: MIQ    IMK   IMP   KMP   NMP  90  MPN   IQK  Lại có  MPN   PIQ   IQK  (góc IPQ)  IPN   PIQ         MPN   MPN   NMP  900  MPN    900  MPN  NMP  900  180  MNP  IQK 2 2      MNP  (đpcm)  INP b) Chứng minh điểm H nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP   INQ   cmt  , Q  (góc chung) Xét PIQ INQ, ta có: PIQ Vậy PIQ INQ  QI QP   QI  QP.QN QN QI   900  gt  , IH  MQ  gt   QI  QH QM Xét MIQ: MIQ Do QP.QN  QH QM  QP QM  , nên QPH QH QN   QMN  QMN (c-g-c)  QPH Vậy tứ giác MNPH tứ giác nội tiếp, nên H nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP (đpcm) Ngu yễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới th iệu) trang