I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN Nguyn Th Thu KH PHN K BNG PHNG PHP CT XUNG LNG LN TRONG Lí THUYT TRNG LNG T LUN VN THC S KHOA HC H Ni 2012 I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN Nguyn Th Thu KH PHN K BNG PHNG PHP CT XUNG LNG LN TRONG Lí THUYT TRNG LNG T Chuyờn ngnh: Vt lý lý thuyt v Vt lý toỏn Mó s: 60.44.01 LUN VN THC S KHOA HC CN B HNG DN: GS.TSKH.TON Lí NGUYN XUN HN H Ni - 2012 Lời cảm ơn Lun ny c thc hin ti b mụn Vt lý lý thuyt thuc khoa Vt lý Trng i hc Khoa hc t nhiờn - i hc Quc gia H Ni khuụn kh chng trỡnh o to thc s khoa hc ca nh trng, di s hng dn khoa hc trc tip ca GS TSKH Nguyn Xuõn Hón Li u tiờn, em xin gi li bit n chõn thnh v sõu sc nht ti Thy giỏo, GS TSKH Nguyn Xuõn Hón, ngi ó trc tip ch bo tn tỡnh, trc tip giỳp em sut thi gian hc v hon thnh Bn lun thc s khoa hc ny Em cng xin gi li cm n chõn thnh nht ti tt c cỏc Thy Cụ, Tp th cỏn b B mụn Vt lý lý thuyt ó giỳp , dy bo, ng viờn, v trc tip úng gúp, trao i nhng ý kin khoa hc quý bỏu em cú th hon thnh Bn lun ny Em cng xin c cm n ti Ban ch nhim khoa ó quan tõm v to mi iu kin thun li giỳp em sut thi gian hc ti trng Cui cựng, em xin c gi li cm n ti gia ỡnh ó to iu kin tt nht cho em tip tc nghiờn cu khoa hc, nhng bn hc cựng lp, nhng ng nghip tt bng ó cú nhng tho lun khoa hc v úng gúp quý bỏu, chõn thnh gúp ý cho em thi gian hon thnh bn lun ny H Ni, thỏng 12 nm 2012 Hc viờn Nguyn Th Thu MC LC Tra ng M u CHNG I CC GIN PHN K MT VềNG 1.1 S-ma trn v gin Feynman 1.2 Hm Green v hm nh 1.3 Bc hi t ca cỏc gin Feyman .9 CHNG II TCH PHN K TRONG GIN MT VềNG 2.1 Gin phõn cc ca photon 15 2.2 Gin nng lng riờng ca electron 22 2.3 Hm nh bc ba 32 2.4 ng nht thc Ward Takahashi 42 CHNG III: TI CHUN HểA IN TCH V KHI LNG CA ELECTRON 3.1 K d lý thuyt trng lng t .44 3.2 Tỏi chun húa in tớch .46 3.3 Tỏi chun húa lng 50 3.4 Tỏi chun húa gin mt vũng QED 58 KT LUN .60 TI LIU THAM KHO 61 PH LC A: Metric gi Euclide 63 PH LC B: Phng phỏp ct xung lng ln .68 PH LC C: Kh phõn k mụ hỡnh L int = gf 74 DANH MC HèNH V Trang Hỡnh 1.1 Hm truyn y ca photon v ten x phõn cc ca chõn khụng Hỡnh 1.2 Cỏc th cho hm truyn y ca electron v phn nng lng riờng Hỡnh 1.3 nh riờng y Gm v s xng L * m.Cỏc ng ngoi b b i Hỡnh 1.4 Gin nng lng riờng ca electron 12 Hỡnh 1.5 Gin nng lng riờng ca photon 12 Hỡnh 1.6 Gin nh bc 12 Hỡnh 1.7 Quỏ trỡnh tỏn x ỏnh sỏng ỏnh sỏng 12 Hỡnh 2.1 Gin phõn cc photon 15 Hỡnh 2.2 Gin nng lng riờng ca electron 22 Hỡnh 2.3 Gin nh .32 Hỡnh 2.4 Chng minh bng gin ng nht thc Ward Du chộo ký hiu vic thay ng photon vi xung lng bng khụng vo ng electron .43 Hỡnh 3.1 Tỏn x hai electron khỏ nng 47 Hỡnh 3.2 Cỏc th cho hm truyn y ca electron v phn nng lng riờng 50 Hỡnh 3.3 .51 Hỡnh 3.4 .53 Hỡnh 3.5 .53 Hỡnh 3.6 Tỏn x ỏnh sỏng ỏnh sỏng bc bn 54 Hỡnh 3.7 Tỏn x electron vi trng ngoi .56 Hỡnh 3.8 Tỏn x electron trng ngoi tớnh moment t d thng 57 Hỡnh 3.9 nh y cú th biu din bng tớch ca nh riờng y v cỏc hm truyn y 58 Hỡnh C.1 74 Hỡnh C.2 74 DANH MC BNG BIU Trang Quy tc Feynman cho tng tỏc in t khụng gian xung lng Cỏc gin phõn k bc thp nht ca QED 13 S khỏc c bn gia c hc lng t v lý thuyt trng 45 Ma trn Dirac cú s liờn h vi .65 M U Nhng thnh tu ca in ng lc hc lng t (Quantum Electrodynamics QED) da trờn c s ca lý thuyt nhiu lon hip bin vi phng phỏp tỏi chun húa lng v in tớch ó cho phộp tớnh toỏn cỏc quỏ trỡnh vt lý phự hp khỏ tt vi s liu thu c t thc nghim, vi chớnh xỏc n bc bt k theo hng e2 s tng tỏc theo lý thuyt nhiu lon a = Trong cỏc lý thuyt trng = 4p 137 tng tỏc thỡ QED l lý thuyt c xõy dng hon chnh nht Mụ phng cỏc phng phỏp tớnh toỏn ca cỏc quỏ trỡnh vt lý QED ngi ta cú th xõy dng cụng c tớnh toỏn cho Sc ng hc lng t (Quantum Chromodynamics - QCD) lý thuyt tng tỏc gia cỏc ht quark - gluon, tng tỏc yu hay cỏc lý thuyt thng nht cỏc dng tng tỏc nh lý thuyt in yu v tng tỏc mnh v c gi l mụ hỡnh chun [5, 6,7, 14,17, 22] Vic tớnh cỏc quỏ trỡnh vt lý theo lý thuyt nhiu lon bc thp ca lý thuyt nhiu lon hip bin (cỏc gin cõy Feynman, khụng cha vũng kớn) ta khụng gp cỏc tớch phõn phõn k, nhng tớnh cỏc b chớnh lng t bc cao cho kt qu thu c, ta gp phi cỏc tớch phõn k vựng xung lng ln ca cỏc ht o, tng ng vi cỏc gin Feynman cú vũng kớn ca ht o Cỏc gin ny din t s tng tỏc ca ht vi chõn khụng vt lý ca cỏc trng tham gia tng tỏc v quan nim ht im khụng cú kớch thc cng nh khụng cú th tớch Vic tỏch phn hu hn v phn phõn k ca cỏc tớch phõn phõn k phi tin hnh theo cỏch tớnh toỏn nh th no? Phn phõn k v phn hu hn s c gii thớch vt lý sao? B phn phõn k vo õu cú kt qu thu c cho quỏ trỡnh vt lý l hu hn Lu ý: vic loi b phõn k lý thuyt trng l nhim v trng yu ca vt lý lý thuyt k t i n nay, vy ta cn phi nghiờn cu, tỡm hiu v gii quyt í tng tỏi chun húa gp phn phõn k vo in tớch hay lng ca electron u tiờn c Kraumer Bethe, sau c cỏc tỏc gi Schwinger Feynman Tomonaga hin thc húa QED [14,20] Cỏch xõy dng chung S - ma trn v phõn loi cỏc phõn k thuc Dyson F [10] Cỏch chng minh tng quỏt s trit tiờu phõn k cỏc s hng c tỏi chun húa ca chui lý thuyt nhiu lon Bogoliubov Parasyk tin hnh [8] Trong QED s dng vic tỏi chun húa in tớch v lng ca electron, giỳp ta gii quyt hp lý phn phõn k tớnh toỏn, kt qu ta thu c thu c l hu hn cho cỏc biu thc c trng cho tng tỏc (bao gm tit din tỏn x, tc phõn ró v thi gian sng ca ht) Khi so sỏnh vi thc nghim kt qu thu c, khỏ phự hp vi s liu thc nghim Lý thuyt trng lng t sau tỏi chun hoỏ cho kt qu hu hn i vi c trng ca cỏc quỏ trỡnh vt lý, c gi l lý thuyt tỏi chun hoỏ [7,11,18,22] Cỏc phng phỏp kh phõn k thụng dng lý thuyt trng hin bao gm: phng phỏp ct xung lng ln [7], phng phỏp Pauli Villars, phng phỏp iu chnh th nguyờn v phng phỏp R - toỏn t N.N Bogoliubov xng [8] Mc ớch ca bn lun Thc s ny dng cỏch kh phõn k t ngoi bng phng phỏp ct xung lng ln ca ht o gn ỳng mt vũng kớn v minh quỏ trỡnh tỏi chun húa lng v in tớch ca electron QED bc thp nht ca lý thuyt nhiu lon hip bin cho quỏ trỡnh vt lý Bn lun Thc s gm phn m u, ba chng, phn kt lun, ti liu tham kho v mt s ph lc Chng 1: Cỏc gin phõn k mt vũng Chng ny dnh cho vic gii thiu lý thuyt nhiu lon hip bin Trong mc 1.1 gii thiu tt S - ma trn v quy tc Feynman mụ t cỏc quỏ trỡnh vt lý Mc 1.2 dnh cho vic trỡnh by cỏc hm Green ca photon, electron, v hm nh QED Phõn tớch cỏc bc phõn k QED bc thp nht c trỡnh by mc 1.3 Phng phỏp ct xung lng ln c gii thiu v cỏc vớ d minh Chng 2: Tỏch phõn k gin mt vũng bng phng phỏp ct xung lng ln Trong chng ny chỳng ta tỏch phn hu hn v phn phõn k bng phng phỏp ct xung lng ln QED Mc 2.1 xem xột toỏn t phõn cc bc hai ca photon gin nng lng riờng ca photon Trong mc 2.2 xem xột gin nng lng riờng ca electron Trong mc 2.3 xem xột hm nh bc thp nht ng nht thc Ward Takahashi c chng minh bng th mc 2.4 Chng 3: Tỏi chun húa in tớch v lng QED Trong chng ny ta tỏi chun húa cho gin mt vũng QED Mc 3.1 dnh cho vic tỏi chun húa in tớch electron Mc 3.2 dnh cho vic tỏi chun húa lng Mc 3.3 tỏi chun húa hm nh Chng minh mt cỏch nh tớnh: vic tỏi chun húa in tớch v lng ca electron, cỏc tớch phõn phõn k bin mt vo in tớch vt lý v lng vt lý ca electron Trong mc 3.4 trỡnh by vic chng minh vic tỏi chun húa gn ỳng mt vũng QED Phn kt lun: Túm tt li cỏc kt qu thu c lun v tho lun kh nng dng hỡnh thc lun ó tớnh toỏn cho cỏc lý thuyt trng tng t Trong bn lun ny chỳng tụi s s dng h n v nguyờn t h = c = v metric gi Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [8]) tt c bn ( r ) thnh phn vộct - chiu ta chn l thc A = A , A gm mt thnh phn thi gian v cỏc thnh phn khụng gian, cỏc ch s m= ( 0,1, 2, 3) ,v theo quy c ta gi l cỏc thnh phn phn bin ca vộct - chiu v ký hiu cỏc thnh phn ny vi ch s trờn CHNG CC GIN PHN K MT VềNG Trong chng ny chỳng ta gii thiu tt nhng lun im c bn ca lý thuyt nhiu lon hip bin S - ma trn cho tng tỏc in t, quy tc Feynman, cỏc gin phõn k thng gp gn ỳng mt vũng 1.1 S - ma trn v gin Feynman Biờn xỏc sut ca cỏc quỏ trỡnh tỏn x c xỏc nh bng cỏc yu t ca S ma trn tỏn x, m chỳng liờn h cỏc trng u v cỏc trng thỏi cui ca quỏ trỡnh ( S = T exp i ũ L int (x )d 4x vt lý: ( ) ) (1.1) ( ) m m Trong ú L int (x ) = N J (x )A m(x ) = e 0N y (x ) g y(x )A m(x ) l Lagrangian ca tng tỏc in t, e l in tớch trn ca electron Mi nh tng tỏc s cú ba ng vo ra, ú cú mt ng photon, hai ng electron hay positron zn z2 = 1+ z + + ta cú th vit S dng phộp khai trin hm m e = n ! 2! n =0 z Ơ biu thc S ma trn (1.1) di dng: S =S ( 0) +S ( 1) +S ( 2) + = = + iT ũL ( i) T (x )d x + int 2! ũL (1.2) int (x )L int (y )d xd y + Yu t ma trn trn ca cỏc quỏ trỡnh vt lý cú th biu din di dng: < f | S | i > = dfi + i ( 2p) d4 ( Pf - Pi ) M f i 10 (1.3) Metric gi Euclide Thụng thng ngi ta s dng hai loi metric: metric Euclide (metric Pauli) vi thnh phn th t l o - khụng phõn bit ch s trờn v di Ba thnh ca vộct chiu - cỏc thnh phn khụng gian vộct chiu, ta chn l thc, cũn thnh phn th t l o Am=A m=( A1 =Ax ,A2 =Ay ,A3 =Az ,A4 =iA0 ) cỏc ch s m= ( 1, 2, 3, 4) ; Ngc li, trng hp metric gi Euclide (metric Feynman - hay r A = A , A Bogoliubov [8]) tt c bn thnh phn vộct - chiu ta chn l thc ( ) gm mt thnh phn thi gian v cỏc thnh phn khụng gian, cỏc ch sụ m= ( 0,1, 2, 3) ,v theo quy c ta gi l cỏc thnh phn phn bin ca vộct 4chiu v ký hiu cỏc thnh phn ny vi ch s trờn r def A = A 0, A = A 0, A 1, A 2, A = Am ( ) ( ) (A.1) Cỏc vộct phn bin l ta : r x m = x = t , x = x, x = y, x = z = ( t , x ) ( ) (A.2) Thỡ cỏc vộct ta hip bin: r x m = gmnx n = ( x = t , x = - x , x = - y , x = - z ) = ( t , - x ) Vộct nng xung lng : r p m = ( E , px , py , pz ) = ( E , p ) Tớch vụ hng ca hai vộct c xỏc nh: 70 (A.3) (A.4) r r A B = gmnA mB n = A mB m = A 0B - A B (A.5) Tensor metric cú dng : gmn = g mn ổ 0 0ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ 0 ỗ ữ ữ =ỗ ỗ ữ ỗ ữ 0 ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ0 ữ - 1ứ ữ ỗ ố (A.6) mn Chỳ ý, tensor metric l tensor i xng gmn = gnm v gnm = g Thnh phõn ca vộct hip bin c xỏc nh bng cỏch sau: A m = gmnA n , A = A 0, Ak = - A k o hm hip bin: ả m = ổả ổả ả ả ả ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ = , ẹ ẹ = , , , ỗ ỗ ữ ữ m ỗ ỗ ữ ữ ảx ốả t ứ ốả x ả y ả z ứ o hm phn bin: ả mA m = ảm = (A.7) ổả ả ữ ữ =ỗ , ẹ ỗ ữ ỗ ữ , Div bn chiu: ả x m ốả t ứ r r ả A0 + ẹ.A ảt S liờn h ca cỏc hm truyn hai loi metric khỏc nhau: D mn(k ) = - dmn i ( 2p) kP2 (ô )D k = mn( ) 71 gmn i ( 2p) k F2 1 ip P - m =4 2 ( 2p) p P + im ( 2p) pP + m i i p F + m (ô )S F ( p ) = = 4 2 ( 2p) p F - m ( 2p) pF - m S P ( p) = - Lu ý k P - xung lng vi ch s P l ký hiu metric Pauli, k F - vi ch s F l kớ hiu metric Feynman Ma trn Dirac cú s liờn h vi bng sau: Metric Pauli Metric Feynman - Bogoliubov ổ I 0ử r ữ ữ ỗ gm = ( g, g4 ) , g4 = b = ỗ ữ ỗ ữ I ỗ ữ ố ứ ổ I 0ử r ữ ữ ỗ gm = ( g0, g) , g0 = b = ỗ , ữ ỗ ữ I ỗ ữ ố ứ rử s r r ổ ữ ữ ỗ g = - i ba = ỗ r ữ ỗ ữ s ỗ ữ ố ứ gmgn + gngm = 2dmn g5 = g1g2 g3 g4 ổ0 ỗ = eabsr ga gb gs gr , = ỗ ỗ ỗ 4! ố- I g4 = g0 = b, gj = ba j , g5+ = g5, Sp gm = 0, r sử ữ r ữ , ma trn Pauli s ữ ữ 0ứ ữ r r ổ ỗ g = ba = ỗ r ỗ ỗ ố- s gmgn + gngm = 2g mn - Iử ữ ữ ữ ữ 0ứ ữ -i eabsr ga gb gs gr 4! ổ Iử ữ ỗ ữ ỗ =ỗ ữ ữ I ỗ ữ ố ứ g5 = - i g0 g1g2 g3 = g0 = g4 = b, gj = ba j , g5 g5 = g5+ = g5, Sp ( gmgn ) = 4dmn, Sp gm = 0, 72 g5g5 = { } Sp gmgn = 4g mn { Sp { gmgngs gr } Sp gmgngs gr ( = dmndmn + g mr g nv - g ms g nr ) ( = g mng sr + g mr g nv - g ms g nr Sp g5 = Sp ( g5 gmgn ) = ( ) Sp ( g5 gmgngr gs ) m= 4emnrs Sp g5 gmgngr gs m= 4emnr s Ly tng v ly trung bỡnh theo phõn Ly tng v ly trung bỡnh theo ( { u r  ( p Â) Qu r ( p ) = r, r  = Sp Q ( p + m ) Q ( p  + m ) } { Chun húa spinor v toỏn t chiu Chun húa v toỏn t chiu u r  ( p ) u r ( p ) = 2m dr Âr p u ( p ) u ( p ) = u +r  ( p ) u +r ( p ) m = dr Âr r r u r  ( - p) u r ( - p) = = - dr Âr } Q = g0Q + g0 Q = g4Q + g4 u r  ( - p ) u r ( - p ) = - 2m dr Âr p0 r  u - ( p ) u -r ( p ) m u ( p)u ổp + im ữ ữ u ( p )u ( p ) = L ( p ) = ỗ ỗ ữ ỗ ữ ố 2im ứ r ) phõn cc ca ht u r ( p Â) Qu r ( p ) = r, r = Sp Q ( p - im ) Q ( p Â- im ) r ) m n Sp g5 = 0, Sp g g g = cc ca ht } r r r 73 r ( p ) = L F ( p ) = ( p + m ) u (- p)u r r u (- p)u (- p) = - L ( - p ) = - ( - p + m ) (- p) = L ( - p ) r r r F r ổ - p + im ữ ữ =ỗ ỗ ữ ữ ỗ ố 2im ứ Thay i cỏch chun húa spinor ta cú th biu din toỏn t chiu cú dng tng t ổp + m ổ - p + m ữ ữ ỗ ữ ữ L F ( p) = ỗ , L p = ỗ ỗ ( ) F ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố 2m ứ ố 2m ứ L ( p ) = L ( p ) L ( p) + L ( - p) = u ( p)u r L ( p) L ( - p) = L ( - p) L ( p) = r r ( p ) = 2m L F ( p ) u (- p)u r r r Lagrangian tng tỏc: Lint ( x ) = eJ A , 74 J = e e (- p) = - 2m L F ( - p ) PH LC B PHNG PHP CT XUNG LNG LN Ta tin hnh tớnh toỏn t m cỏc hng s tỏi chun húa khuụn kh ca lý thuyt nhiu lon hip bin Vic trỡnh by y ny rt phc tp, nờn õy ta ch dn nhng kt qu c bn dng n gin nht, mụ hỡnh tng tỏc Lint = g Mụ hỡnh tng tỏc n gin Lint = g cho phộp ta thc hin cỏc tớnh toỏn c th, chi tit ng thi cú th s dng d dng cỏc phng phỏp toỏn hc hu hiu Theo nh lý v giỏ tr thng d, kt qu ca phộp ly tớch phõn mt phng phc s khụng thay i nu nh chu tuyn c bin dng nhng cỏc cc ca biu thc di dõu tớch phõn nm chu tuyn S bin dng õy khụng gian xung lng, ta chuyn t metric gi Euclide sang metric Euclide, cú ngha ta quay ng ly tớch phõn quanh gc ta C mt gúc , (chỳ ý p0 = ip0 , p0 l thc) cho bỡnh phng di bng tng bỡnh phng ca tt c r r bn ta vi thnh phn th t ta l thc p = p p02 = p + p02 (Trong khụng gian Euclide bỡnh phng vect chiu chiu nng xung lng bng tng bỡnh phng ca cỏc d p = id p.dp0 i zdz , thnh phn, v tt c l thc) Nh vy z = p2 * Cỏch tớnh tớch phõn trng hp ct xung lng ln Tớnh tớch phõn: K = f ( p) (p +l ) n d4 p (B.1) 75 Tớnh tớch phõn (B.1.1), rừ rng ch cn gii hn trng hp hm f ( p ) l hm vụ hng p2 ca Tht vy, nu ( ) f ( p ) = pà f1 p thỡ K = Nu ( ) f ( p ) = pà p f p thỡ: ( ) p +l d ( ) pà p f p 2 n ( ) ) p2 f2 p2 p = d p n p +l ( (B.2) , thc cht ta thay i t metric gi Euclide Sau phộp quay Wick mt gúc sang metric Euclide, ú bỡnh phng di bng tng bỡnh phng ca tt c r r bn ta vi thnh phn th t ta l thc p = p p02 = p + p02 iu ny cho phộp khụng gian chiu,ta cú th a vo h ta cu: p( 1) = sin , p( 2) = sin 1cos p( 3) = sin 1cos cos , p( ) = sin 1cos sin (B.3) D dng kim tra t cụng thc (A.3) suy h thc: p(12) + p(22) + p(32) + p(02) = (B.4) Yu t th tớch p - khụng gian chiu vi h ta cu c xỏc nh: r d pdp(0) = d p = H1 H H H d d1d d (B.5) Cỏc h s metric H i c tớnh bng cụng thc: p(1) Hi = i u p(2) + ữ ữ u i p(3) + ữ ữ u i p(0) + ữ ữ u i 76 ữ ữ (B.6) õy: u1 = , u = , u = , u = S dng cỏc cụng thc (B.3), t (B.6) ta cú: H1 = 1, H = , H = sin , H = sin sin (B.7) Theo cụng thc (B.7), th tớch (B.5) cú dng: d p = sin sin d d1d d (B.8) Thay biu thc ny cho d p vo tớch phõn (B.1) ( ) p +l ( ) f p2 R = i d p= ( ) f p2 n ( ) n p p( ) + l ữ r d p = i ( ) f p2 n p + p(0 ) + l ữ r d4p = (B.9) f p sin sin d d1d d ( 0 0 +l ) Trong ú R l bỏn kớnh ca hỡnh cu khụng gian xung lng chiu Ly tớch phõn theo cỏc bin , v , ta tỡm c: ( ) f p2 d p (p +l ) n = ( ) i ( p +l) R f p 3d p n R2 = i ( ) f z zdz ( z +l) n (B.10) S dng cụng thc ny d dng tớnh cỏc tớch phõn: d4 p R2 = i R l ln ữ p2 + l l (B.11) R2 = 2i ln 1ữ l (B.12) d4 p (p +l ) 77 d4 p (p +l ) n = 2i l n ( n 1) ( n ) ( n 3) (B.13) õy l , cụng thc cui cựng ta cho R Trong cụng thc (A.13) phộp thay th p p k v l + k l ta nhn c: d4p (p pk + l ) n = 2i ( l k ) ( n 1) ( n ) n (k l; n Trong trng hp riờng, F ( p ) , cụng thc (B.14) cú dng: ) (B.14) ( pà d p =0 (B.15) n p +l ) Trong (B.15) thc hin phộp thay th p p k v l + k l theo cụng thc (A.14) ta tỡm c: d4p (p pk + l ) n = 2ik ( l k ) ( n 1) ( n ) n2 ( n 3) (B.16) tớnh c tớch phõn phõn k loga: I1 ( k , l ) = N d4 p (p pk + l ) (B.17) Ta tin hnh phộp thay th cụng thc (B.12) Kt qu ta tỡm c: d4 p (p pk + l ) R2 = i ln ữ l k 2 (B.18) Trong ú vựng ly tớch phõn khỏc vi m õy ta ly tớch phõn (B.17) Ta chng minh rng tớch phõn (B.17) vi vic tng bỏn kớnh R tựy ý, khỏc vi tớch phõn ng v trỏi (B.18) Tht vy, bỏn kớnh R ca siờu hỡnh cu khụng gian xung lng chiu, khỏc vi bỏn kớnh R ca siờu hỡnh cu mt lng hu 78 hn T õy ta rỳt ra: cựng vi vic tng R t s tin n n v, thỡ loga ca t s ny tin n khụng Vỡ vy, cho hiu cỏc tớch phõn ó núi trờn, ta cú: lim R d4 p (p pk + l ) d R ln ln1 = R (B.19) Chỳ ý iu ny cú th vit: d4 p (p pk + l ) R2 = 2i ln 1ữ l k (B.20) Bõy gi tớnh tớch phõn phõn k loga : I2 = (p p p d p pk + l ) (B.21) Thc hin phộp thay th p k p bin tớch phõn (A.21) v dng : p p d p (p +l ) = ( p + k ) ( p + k ) d p (p pk + l ) (B.22) Tip theo ta cú : I1 = p p d p (p +l ) = p2d p (p +l ) = d4p d4p i ( p2 + l ) ( p2 + l ) (B.23) Theo cỏc cụng thc (A.12) v (A.13) t õy ta nhn c : 2i I2 = ln R ln l (B.24) Ngoi ta cú : 79 p d p (p +l ) =0 ; d4 p (p +l ) = 2i 2l (B.25) Chỳ ý cỏc cụng thc (B.23) v (B.24) ta nhn c : (p p p d p pk + l ) R2 2i k k = 2i ln ữ+ ữ 2 l k2 lk (B.26) Tớch phõn cụng thc (B.25) theo k ta cú : ( p d p p pk + l ) R2 = 2ik ln ữ+ c ( Vi c l hng s) 2 lk (B.27) Mun tỡm hng s c , ta thay vo cụng thc (B.26) k Lỳc ú tớch phõn phớa trỏi (B.26) theo cụng thc (B.26) bng khụng v t (B.26) suy Theo cụng thc (B.27) thỡ cụng thc (B.26) s cú dng : (p p d p pk + l ) R2 = 2ik ln ữ 2 l k 80 (B.28) PH LC C KH PHN K TRONG Mễ HèNH L int = gf Trong tt c cỏc mụ hỡnh tng tỏc ca cỏc ht c bn, xột v mt toỏn hc u cú th dn n hai mụ hỡnh tng tỏc c bn: mụ hỡnh t tng tỏc ca cỏc ht vụ hng thc L int = gf Mụ hỡnh tng tỏc ny n gin, nú cho phộp ta thc hin cỏc tớnh toỏn c th, chi tit Qua vớ d L int = gf ta minh rừ rng cỏc phng phỏp kh phõn k, c s dng lý thuyt trng lng t Trong lý thuyt L int = gf tn ti hai gin gn ỳng mt vũng: Gin tng ng vi phn nng lng riờng ca ht vụ hng Hỡnh C.1 Gin khỏc ng vi mt gin nh ba Hỡnh C.2 81 Theo quy tc i ng ca Feynman gin nng lng riờng mụ hỡnh ny tng ng vi tớch phõn n gin sau õy: i p2 I ( k) : ũ ( dp ộ ự m - p - i e ờm - ( p - k ) - i eỳ ỳ ỷ ) (C.1) Tng ng vi gin mt vũng Feynman cựng vi hai ng vụ hng (xem hỡnh C.1) Biu thc (C.1) chớnh l gin nng lng riờng ca ht vụ hng Tớch phõn (C.1) l nh Fourier ca tớch hai hm truyn vi cỏc bin s chp nhau: I ( k ) : 16 2i eikx Dc ( x ) dx Cỏc tớch phõn (C.2) cha cỏc hm k d suy rng dng , (trong ú = x ) Vỡ vy, cụng thc (C.2) khụng phi l i lng xỏc nh Xột v mt toỏn hc, chỳng ta cn tin hnh nh ngha li i lng (C.2) õy cú cỏch gii quyt : Phng phỏp ct xung lng ln l phng phỏp d hiu hn c, nú bao gm vic ct cỏc tớch phõn cú bin l ng xung lng gii hn trờn no ú Sau chuyn cỏc tớch phõn theo xung lng bn chiu v dng tớch phõn khụng gian Euclide thỡ s iu chnh ny cú th c biu din di dng toỏn hc: dp = i ( d p ) 2 = i dp4 d p reg dp = dp = + p + p r E = i d p 3dp +p ( ) (C.2) Phng phỏp ct xung lng ln cú th ỏp dng khỏ tt cho cỏc phõn k dng loga Trong trng hp n gin nú s dn n cỏc kt qu tng t nh phng phỏp kh phõn k Pauli Villars 82 Bõy gi chỳng ta s ỏp dng phng phỏp ny cho biu thc (C.1): i I ( k ) reg I ( k ) = (m )( dp ) + p i m + ( p k ) i i dp 1 = ữ 2 2 m + ( p k ) i m + p i + p i m + p i 2 (C.3) Thc hin cỏc phộp bin i tớch phõn tng t nh chỳng ta ó lm phng phỏp iu chnh Pauli Villar, sau cho , chỳng ta s thu c: reg I ( k ) = m2 + x ( x ) k 2 dx ln 2 2 m xm + ( x ) + x ( x ) k (C.4) Bin i biu thc di du tớch phõn (C.4): m2 + x( x ) k xm +( x ) + x( x ) k m2 + x( x ) k =ln ln ln 2 xm +( x ) + x( x ) k à Khi thỡ: v: m2 xm + ( x ) + x ( x ) k dx ln à2 ( x ) = dx ln + ln x = ln + dx ln x dx ln ( ) ( ) à2 Chỳ ý rng: dx ln ( x ) = Kt qu cui cựng, biu thc (C.4) tr thnh: reg I ( k ) = ln Vi phn hu hn: + I definite ( k ) m2 m2 + x ( x ) k I definite ( k ) = + dx ln à2 83 (C.5) So sỏnh cỏc kt qu thu c t ba phng phỏp kh phõn k khỏc trờn, chỳng ta u thy rng phn phõn k u c tỏch thnh phn kỡ d v phn hu hn: I ( k ) = I anomalous + I definite Phn kỡ d phng phỏp Pauli Villars l ln chnh th nguyờn l à2 , phng phỏp iu M2 m2 , phng phỏp ct xung lng ln l ln = ln m 84 [...]... xung lng trong ca p 1 p2 Fe : s ng xung lng trong ca electron N e : s ng xung lng ngoi ca electron Fp : s ng xung lng trong ca photon N p : s ng xung lng ngoi ca photon v : s nh Trong mi vũng kớn (loop) cỏc ng xung lng trong, s cỏc ng trong bng s nh: n = v , ng thi lu ý hai im sau: 15 + Mi nh tng ng vi 1 ng photon, nh vy s nh bng tng s ng photon, cng phi chỳ ý rng s ng trong phi c tớnh n hai ln vỡ nú... din xung lng), theo qui tc chung chỳng ta phi ly tớch phõn theo tt c cỏc ng xung lng trong ca gin Tt c cỏc tớch phõn ny u cú dng: J = ũ F ( p1, p2, , pn )d 4 p1d 4 p2 d 4 pn (1.8) Trong ú: F ( p1, p2, , pn ) l hm hu t v l t s ca hai a thc: n l s ng xung lng trong Tng ng vi mi ng xung lng trong ca fermion - electron ta cú hm truyn S ~ photon ta cú hm truyn D ~ Ta gi: 1 , tng ng vi mi ng xung lng trong. .. - k ) 1.2 Hm Green v hm nh Trong QED cỏc gin Feynman sau õy: Cỏc phn nng riờng ca photon Cỏc phn nng lng riờng ca ca electron 12 Cỏc phn nh Phn tỏn x photon photon din t s tng tỏc ca ht vi chõn khụng vt lý Cỏc gin ny liờn quan n vic tớnh cỏc s hng b chớnh bc cao theo lý thuyt nhiu lon hip bin, hay c th hn l tớnh hm Green ca photon, hm Green ca electron v hm nh trong lý thuyt tng tỏc gia trng... hai ln vỡ nú v = 2Fp + N p ni vi hai nh: (1.9) + Mi nh tng ng vi hai ng xung lng electron, tng s nh bng 2v = 2Fe + N e mt na s ng xung lng electron: (1.10) T (1.9) v (1.10) ta thu c: 1 1 Fp = v - N p 2 2 Fe = v - (1.11) 1 N 2 e (1.12) S bin ly tớch phõn l n, nhng ti mi nh cỏc giỏ tr xung lng vo ra phi tuõn theo nh lut bo ton nng xung lng nh lut ny c th hin dng ca hm delta Theo tớnh cht ca hm delta:... nng xung lng nh lut ny c th hin dng ca hm delta Theo tớnh cht ca hm delta: ũ f ( p)d( p )d 0 4 p = f ( p0 ) thỡ s bin c lp phi ly tớch phõn s gim xung Nu cú n ng trong thỡ s hm delta ch cha bin l cỏc ng trong s l (n-1), v s bin s tip tc gim i Tng s ng trong l (Fe + Fp ) Vy s cỏc bin c lp s l: K 1 = (Fe + Fp ) - (n - 1) Do S ~ 1 1 v D ~ 2 , bc lu tha ca mu s l: p p 16 (1.13) K 2 = 2Fp + Fe (1.14)... k bỡnh phng Thc t t bt bin chun nú phõn k loga Nú b trit tiờu vi gin cựng vi hng ngc li ca electron (nh lý Furry) Nú cú th khụng xột Gm 4 Gin khỏc nhau bng vic hoỏn v ca cỏc ng ngoi Thc t, nú hi t t bt bin chun 20 CHNG 2 TCH PHN K TRONG GIN MT VềNG Trong chng ny, chỳng ta s dng phng phỏp ct xung lng ln tỏch phn phõn k v phn hu hn ca mt s gin mt vũng bc thp nht ca QED 2.1 Gin phõn cc photon Hỡnh... Da vo quy tc Feynman, gin nng lng riờng thp nht ca electron Hỡnh 2.2 trong biu din xung lng tng ng vi biu thc: ( p) = ( 2) Trong ú: e2 àS ( p k) àD ( k) d ( 2 ) c c 4 4 p1 = p2 = p , P = ( p k ) , v S c ( p k ) = i k (2.30) p m 1 c ; 2 2 ; D ( k ) = i 2 p +m k + 2 Vi l khi lng ca photon, ta a vo loi b s phõn k hng ngoi trong gin nng lng riờng ca electron ( ( 2) p) = e2 ( 2 ) 4 à ( p k )... electron (hay positron) vi nhau, tỏn x Compton tỏn x photon trờn electron, hay s hy cp electron positron v quỏ trỡnh tỏn x khụng n tớnh, v.v Quy tc Feynman cho tng tỏc in t trong khụng gian xung lng: Ht v trng thỏi ca nú Tha s trong yu t ma trn Electron trng thỏi u ( 2p) Electron trng thỏi cui 1 2 2 ổm ử ữ ỗ ữ u r ( p) ỗ 0ữ ỗ ữ ốp ứ 2 2 ổm ử ỗ ữ u r ( p) ỗ 0ữ ữ ữ ỗ ốp ứ 1 3 1 1 ( 2p) 3 11 Yu t gin... õy < i | v < f | l cỏc vộct trng thỏi u v cui ca h, M f i l biờn xỏc sut di chuyn, cú ý ngha trong vic xỏc nh tit din tỏn x, tc phõn ró hay thi gian sng ca ht Hm delta din t nh lut bo ton nng xung lng ca quỏ trỡnh vt lý Thay cụng thc (1.2) vo < f | S | i > ta cú: < f | S | i > =< f | S ( 0) |i > + < f |S =< f | 1 | i > + iT < f | + ( i) 2 2! T < f | ũL... ở (1.5) Trong ú | 0 > l vộct trng thỏi chõn khụng ca cỏc trng tng tỏc, cũn A m(x ) v An(y ) l cỏc toỏn t trng in t trong biu din Heisenberg Hm Green ca photon (1.5) cú th c biu din bng tng cỏc gin sau: i à i à Hỡnh 1.1 Hm truyn y ca photon v ten x phõn cc ca chõn khụng Hm Green ca electron, c xỏc nh tng t bng cụng thc sau: 13 G ab ( x - y ) = i < 0 | T ộ y (x )yb (y )ự |0> ờ ỳ ởa ỷ (1.6) Trong ú