SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề gồm có: 01 trang) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi: TOÁN (Dành cho thí sinh dự thi lớp chuyên: Văn, sử, địa, anh) Thời gian 120 phút không kể thời gian phát đề Bài 1(1,0điểm) Rút gọn biểu thức A = 36 − 28 + 3− Bài 2(2,0điểm) Cho đường thẳng (d): y = 2x + m + (m tham số) a Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm M(- 1; 6) b Tìm m để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số y = x2 hai điểm phân biệt có hoành 2 độ x1;x thỏa mãn x1.x + x1 x = −10 Bài 3(2,0đ) − = −2 a Giải phương trình: x + x  x ( x − 3) + y = x +  2x + y ( y + 1) = y + b Giải hệ phương trình:  Bài 4(1,0điểm) Một xe lửa dự định từ ga A đến ga B cách 60 km với vận tốc không đổi Thực tế, xe khởi hành muộn 10 phút nên để đến ga B giờ, xe tăng thêm vận tốc km/h Tính vận tốc dự định xe lửa Bài 5(3,0điểm) Cho tam giác ABC có đường cao AH, M điểm cạnh BC (M không trùng với B C) Gọi P Q theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB AC, O trung điểm AM a Chứng minh điểm A, P, M, Q nằm đường tròn a) Chứng minh tứ giác OPHQ hình thoi b) Xác định vị trí M BC để đoạn PQ nhỏ Bài 6(1,0điểm) Cho số dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = xyz Tìm giá trị lớn 1 + + biểu thức : P = x + 2y + y + 2z + z + 2x + -Hết Hướng dẫn Bài b) Khi M thuộc đoạn BH (các trường hợp khác tương tự) tam giác AQM, tam giác AMH, tam giác AMP tam giác vuông O trung điểm cạnh huyền AM => OQ = OM = OH = OP ∠QOM= 2∠ QAM, ∠HOM=2∠HAM Cộng vế với vế ta ∠QOH = ∠QAH= ∠BAC=600 Từ suy tam giác QOH Tương tự ta suy tam giác HOP đều, nên OP=OQ=HQ=HP => tứ giác OPQH hình thoi c) Gọi K trung điểm PQ OQ=AM,OK=OH=AM PQ=2QK=2AM Do AM => PQ AH Dấu xảy M trùng H Bài Bổ đề: Với a, b dương ta có (a+b)( (dễ cm) Áp dụng bổ đề ta có: Tương tự cho hai phân thức lại ta có: Pxy +yz+zx = xyz suy Mà x = y = z = ta có P = Nên max P = SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề gồm có: 01 trang) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi: TOÁN (Dành cho thí sinh dự thi lớp chuyên: Toán, tin, lí, hóa, sinh) Thời gian 120 phút không kể thời gian phát đề Bài 1(1,0điểm) Rút gọn biểu thức A = Bài 2(2,0điểm) 27 − 48 + − Cho Parobol (P): y = x đường thẳng (d): y = mx − m + (m tham số) a) Với m = Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hoành độ x1;x lớn Bài 3(2,0đ)  x = y +  a) Giải hệ phương trình:  y = x + b) Giải phương trình x + = 4x + 5x − Bài 4(1,0điểm) Hai người thợ làm chung công việc hoàn thành Nếu người làm riêng, để hoàn thành công việc thời gian người thứ người thứ hai Hỏi làm riêng người phải làm để hoàn thành công việc Bài 5(3,0điểm) Cho (O;R) đường thẳng d cố định, khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d 2R Điểm M thuộc đường thẳng d, qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB tới (O) (A, B tiếp điểm) a) Chứng minh điểm O, A, M, B nằm đường tròn b) Gọi D giao điểm đoạn OM với (O) Chứng minh D tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABM c) Điểm M di động đường thẳng d Xác định vị trí điểm M cho diện tích tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Bài 6(1,0điểm) Cho số dương a, b, c thỏa mãn: abc ≥ Chứng minh: 1 + + ≤ 2 2 2 a +b +c b +c +a c +a +b a + b2 + c2 -Hết -5 HƯỚNG DẪN Bài x = y +  a) Giải hệ pt  y = x + 2 Trừ vế hai phương trình hệ ta có: x − y = y − x ⇔ ( x − y ) ( x − y + 1) = x = y x = −y − Nên  1+ 1+  1− 1−  ; ;  ÷  ÷ 2 2    Với x = y ta tính nghiệm  Với x = - y – ta tính nghiệm (-1; 0) (0; -1) b) Giải phương trình: ĐK: x ≥ −3 x + = 4x + 5x − 2 1  3  ⇔ x + + x + + = 4x + 6x + ⇔  x + + ÷ =  2x + ÷ 4 2  2  PT   x + + = 2x + ⇔  x + + = −2x −  2 Giải trường hợp ta nghiệm phương trình −3 + 41 −7 − 33 x1 = ; x2 = 8 Bài c) Khi M di động d xác định vị trí M để diện tích tam giác AMB nhỏ Gọi H giao điểm MO AB, K chân đường vuông góc hạ từ O xuống d Ta có MH vuông góc với AB, HA = HB, OK = 2R AM.AO R OM − R AH = = 2 2 OM OM AM = OM − OA = OM − R ; ; 2 AM OM − R MH = = OM OM OM − R ) R OM − R ( SMAB = MH.AB = MH.HA = OM Khi đó: 2     R    R   R  ÷ = R 1 −  ÷  OM −  ÷ = R.OM. −  ÷ OM  ÷  OM     OM     R  R  ⇔0< ≤ ⇒1−  ÷ ≥ OM OM   ≥ OK = 2R Với M thuộc đường thẳng d ta có: OM   3R SAMB ≥ R.2R. ÷= 4   Suy (đvdt) Vậy diện tích tma giác AMB nhỏ M trùng với K Bài   ;b;c ÷  a ;b;c  ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho số  a + b + c2 ( a + b2 + c2 )  1a + b2 + c2 ÷ ≥ ( a + b2 + c2 ) ⇒ a + b12 + c2 ≤ a2 2 (a +b +c ) ( Chứng minh tương tự ta có: + c2 + a ≤ b 2 b +c +a ( a + b2 + c2 ) ) + a + b2 ≤ c 2 c +a +b ( a + b + c2 ) Do đó: 1 + + + ( a + b + c2 ) 1 + + ≤a b c 2 2 a +b +c b +c +a c +a +b ( a + b2 + c2 ) abc ≥ ⇒ 1 1 1 ≤ bc; ≤ ac; ≤ ab ⇒ + + ≤ ab + bc + ac a b c a b c Mặt khác ta có: 2 Mà ab + bc + ac ≤ a + b + c 3( a + b2 + c2 ) 1 + + ≤ = 2 2 2 2 a +b +c b +c +a c +a +b ( a + b2 + c2 ) a + b + c Suy Dấu = xảy a = b = c = SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề gồm có: 01 trang) KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi: TOÁN (Dành cho thí sinh dự thi lớp chuyên: Toán, tin) Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề Bài 1(2,0điểm) 1 a b − = a + b + + +1 b a a) Đặt a = 2;b = Chứng minh rằng: a − b b 3 28 + − 28 − + Tính giá trị biểu thức P = x − 6x + 21x + 2016 b) Cho x = Bài 2(2,0điểm) 1 d2 ) : y = x − ( d : y = − 3x + 2 a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) ; ( d3 ) : y = −ax + a − a − Tìm a để đường thẳng đồng quy b) Tìm tất nghiệm nguyên dương (x, y, z) phương trình: xyz + xy + yz + zx + x + y + z = 2015 thỏa mãn x ≥ y ≥ z ≥ Bài 3(2,0đ)  x y − 2x + y =  2x − 4x + = − y   a) Giải hệ phương trình: ( b) Giải phương trình )( ) 2x + − 2x + + 4x + 14x + 10 = Bài 4(0,5điểm) · Cho tam giác ABC vuông A, có AB = cm, ABC = 60 Tính thể tích hình tạo cho tam giác ABC quay vòng quanh cạnh BC Bài 5(2,5điểm) Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B Tiếp tuyến chung gần B hai đường tròn tiếp xúc với (O1) (O2) C D Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O1) (O2) M N Các đường thẳng CM DN cắt E Gọi P giao điểm BC MN, Q giao điểm BD MN Chứng minh rằng: a) Đường thẳng AE vuông góc với CD BD BC MN + = BQ BP PQ b) c) Tam giác EPQ tam giác cân Bài 6(1,0điểm) Trong hình vuông cạnh 10 cm, người ta đặt ngẫu nhiên đoạn thẳng đoạn thẳng có độ dài cm Chứng minh tồn điểm hai đoạn thẳng khác 14 cm đoạn thẳng mà khoảng cách chúng không vượt HƯỚNG DẪN Câu 1 a b a b  1 − = a + b + + + ⇔ = ( a − b )  + a + b + + + 1÷ b a b a  b a) Ta có a − b b a a b2 2 −1 + a − b + − b a VP = b a b3 b2 a = = b ; = ⇒ VP = −1 + a = −1 + = = VT b a Do a = 2;b = nên b b ( x − 2) = b) Ta có: = ( ) ( 28 + − ( 28 + − ) ( 28 − − 28 − )( 28 + ) )( 28 − 28 + − ) 28 − = 20 − 9x ⇒ x − 6x + 21x = 28 ⇒ P = 2044 Câu a) Gọi A(x;y) giao điểm (d1) (d2) nên (x;y) nghiệm hệ phương trình:  y = −3x + x =  ⇒ A ( 1;0 )  1 ⇔ y = y = x −   2 Để (d ), (d ) (d ) đồng quy A ∈ ( d ) ( ) 1 a − a − a − = ⇔ 4a = a + 3a + 3a + ⇔ a = ( a + 1) ⇒ a = 3 −1 Khi ta có: a= − (d1), (d2) (d3) đồng quy Vậy b) Ta có xy ( z + 1) + y ( z + 1) + x ( z + 1) + ( z + 1) = 2016 ⇔ ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = 2016 ⇔ ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = 25.32.7 nghiệm (x,y,z) phương trình (15;13;8) Câu 2x  y = x2 + ⇔  y3 = −2 ( x − 1) −  a) Hệ phương trình cho 2x x + ≥ 2x ⇒ ≤ ⇒ y ≤ ⇔ −1 ≤ y ≤ ( 1) x +1 Ta có − x − − ≤ − ⇔ y ≤ −1 ⇔ y ≤ −1 ( ) ( ) Mà Từ (1) (2) suy y = - nên x = Thử lại thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;-1) b) ĐK: x ≥ −1 Đặt 2x + = a; 2x + = b (với a ≥ 0;b ≥ ) a − b = 3; 4x + 14x + 10 = ( 2x + ) ( 2x + ) = ab Ta có: a − b ) ( + ab ) = ( a − b ) ⇔ ( a − b ) ( − a ) ( − b ) = ( Thay vào phương trình ta được: x=− Giải trường hợp ta nghiệm phương trình là: Câu cm Ta tính đường cao AH = ; BC = cm Hình tạo thành hai hình nón có bán kính đáy AH, chiều cao HB HC π BC.π.AH = ( cm ) Thể tích hình tạo thành là: Câu a) Ta có: MN // CD nên góc EDC = góc ENA; mà góc CDA = góc DNA (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung, góc nội tiếp chắn cung AD) suy góc EDC = góc CDA suy DC phân giác góc EDA Tương tự ta có CD phân giác góc ECA Suy tam giác ACD = tam giác ECD suy DA = DE suy tam giác ACE cân D suy đường phân giác CD đường cao nên CD vuông góc với AE b) Ta có DC trung trực AE CD // MN nên CD đường trung bình tam giác MEN suy CD = ½ MN BC BD CD BC BD 2CD MN = = ⇒ + = = BP BQ PQ BP BQ PQ PQ Lại có CD//PQ nên c) Do PQ//CD nên AE vuông góc với PQ (*) Gọi I giao điểm AB CD suy tam giác AID đồng dạng với DIB suy ra: ID IB = ⇒ ID = IA.IB IA ID Tương tự IC = IA.IB IC = ID ID IB IC = = ⇒ AP = AQ AQ AB AP Do CD//PQ theo định lý Ta lét ta có: (**) Từ (*) (**) suy tam giác EMP cân E Câu