ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THANH THÚY CÁC TÍNH CHẤT CỦA CHUẨN ORLICZ TRONG KHÔNG GIAN ORLICZ Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ NHẬT HUY Hà Nội - 2014 Lời cám ơn Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Vũ Nhật Huy, người thầy vô mẫu mực tận tình giúp đỡ bảo suốt trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Khoa sau đại học, nhiệt tình truyền thụ kiến thức tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành khóa Cao học Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè động viên khuyến khích nhiều thời gian nghiên cứu học tập Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, năm 2015 Nguyễn Thanh Thúy Mục lục Mở đầu KHÔNG GIAN ORLICZ 1.1 Hàm lồi 1.2 Hàm Young 1.3 Cặp hàm liên hợp 1.4 Lớp Orlicz 10 1.5 Không gian Orlicz 10 1.6 Chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg 10 CÁC TÍNH CHẤT CHUẨN ORLICZ 12 2.1 Bất đẳng thức Kolmogorov-Stein 12 2.2 Tính tương đương chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg 14 2.3 Công thức tính chuẩn Orlicz 14 2.4 Định lý hàm dịch chuyển 16 Kết luận 17 Tài liệu tham khảo 17 Mở đầu Năm 1931, W Orlicz Z.W Birnbaum đề xuất lớp không gian Banach mà sau Orlicz phát triển Lớp không gian ngày sau gọi không gian Orlicz.Lớp không gian Orlicz mở rộng lớp không gian Lp xác định qua hàm Young φ Lý thuyết không gian Orlicz có nhiều ứng dụng giải tích hàm, phương trình vi phân đạo hàm riêng, lý thuyết nhúng Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Không gian Orlicz Chương trình bày hàm lồi, hàm Young, hàm Young liên hợp, khái niệm để ta xây dựng lớp Orlicz không gian Orlicz, chương luận văn trình bày chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg, kết liên quan đến chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg sở xây dựng chương sau Chương 2: Một số tính chất chuẩn Orlicz Chương nội dung cốt lõi luận văn, chương luận văn trình bày tính tương đương chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg, kết liên quan đến chuẩn Orlicz, chương luận văn trình bày đến bất đẳng thức Kolmogorov-Stein chuẩn Orlicz định lý hàm dịch chuyển Chương KHÔNG GIAN ORLICZ Trong chương trình bày khái niệm kết không gian Orlicz, kết sử dụng để xây dựng chứng minh kết chương sau (xem [1, 3, 4]) 1.1 Hàm lồi Định nghĩa 1.1 Hàm φ : R → R gọi hàm lồi φ (λx + (1 − λ) y) ≤ λφ (x) + (1 − λ) φ (y) ∀x, y ∈ R, λ ∈ [0; 1] Định lý 1.1 Giả sử hàm φ : (a; b) → R Khi đó, hàm φ hàm lồi với đoạn đóng [c; d] ⊂ (a; b), ta có x ϕ (t) dt với c ≤ x ≤ d, φ (x) = φ (c) + c đây, ϕ : R → R hàm đơn điệu không giảm liên tục trái Ngoài ra, φ có đạo hàm trái phải điểm thuộc (a; b) đạo hàm khác không đếm điểm Tiếp theo ta trình bày bất đẳng thức Jensen Định lý 1.2 Cho ∆ tập đo thỏa mãn µ (∆) = 1, µ độ đo Lesbesgue cho φ : R → R lồi, f : ∆ → R đo được, φ f dx ∆ ∆ f dx ≤ ∆ φ (f ) dx tồn φ (f ) dx ∆ 1.2 Hàm Young + Định nghĩa 1.2 Một hàm lồi φ : R → R gọi hàm Young thỏa mãn điều kiện • φ(−x) = φ(x) • φ(0) = • lim φ(x) = +∞ x→∞ Ví dụ 1.1 Cho ≤ p < ∞ hàm số φ (x) = |x|p , x ∈ R Khi hàm φ hàm Young liên tục Chứng minh Hiển nhiên φ(−x) = φ(x) φ (0) = Do ≤ p nên lim φ(x) = lim |x|p = +∞ x→∞ x→∞ Do hàm φ hàm Young Dễ thấy ∀x0 ∈ R lim φ (x) = φ (x0 ) x→x0 Vậy φ hàm Young liên tục R Chứng minh hoàn thành Ví dụ 1.2 Cho ≤ p < ∞ hàm số φ (x) =     0, với ≤ |x| ≤ a < ∞ φ (x) = |x − a|p , với a < |x| < b    +∞, với |x| ≥ b, < a < b < +∞ Khi φ hàm Young Chứng minh Hiển nhiên φ1 (x) hàm lồi liên tục đoạn [a; b], hàm φ hàm lồi R Rõ ràng φ (x) = với x = 0, φ(−x) = φ(x) lim φ (x) = +∞ nên x→∞ φ hàm Young Hơn φ (x) < ∞ hàm liên tục (0; b), φ hàm Young liên tục (0; b), nhảy tới +∞ b > Chứng minh hoàn thành Tiếp theo chứng ta xét đến lớp hàm Young đặc biệt Định nghĩa 1.3 Hàm φ gọi N - hàm φ hàm Young liên tục thỏa mãn • φ(x) = x = 0, φ(x) x = 0, φ(x) • lim x = +∞, x→∞ • φ (R) ⊂ R+ • lim x→0 Ví dụ 1.3 Cho ≤ p < ∞ hàm số φ (x) =     0, với ≤ |x| ≤ a < ∞ φ (x) = |x − a|p , với a < |x| < b    +∞, với |x| ≥ b, < a < b < +∞ Khi φ hàm Young N - hàm Chứng minh Trong ví dụ 1.2 ta hàm φ cho hàm Young Ta có với ∀x ∈ (0; a) φ (x) = hàm Young cho vi phạm điều kiện thứ nên N - hàm Chứng minh hoàn thành 1.3 Cặp hàm liên hợp Mệnh đề 1.1 Giả sử φ : R → R + hàm Young Khi đó, φ biểu diễn sau |x| φ (x) = ϕ (t) dt (1.1) đó, ϕ (0) = 0, ϕ : R+ → R + liên tục trái không giảm ϕ (x) = +∞ với x ≥ a φ (x) = +∞ với x ≥ a > Xét hàm η hàm ngược mở rộng hàm đơn điệu ϕ xác định sau η (x) = inf {t : ϕ (t) > x} , x ≥ (1.2) Khi η (0) = 0, η tăng xác định Từ tính liên tục trái ϕ, tập {t : ϕ (t) > x} nửa đoạn mở trái Vì ϕ hàm Borel nên η Bây ta định nghĩa |y| ψ (y) = η (u) du (1.3) Khi đó, ψ gọi hàm Young liên hợp φ Khi ψ (0) = 0, ψ lồi Ta chứng minh cặp (φ, ψ) thỏa mãn bất đẳng thức Young từ suy ψ hàm Young liên hợp φ + Mệnh đề 1.2 Giả sử φ : R → R hàm Young, ψ hàm xác định công thức (1.2) (1.3) φ Khi đó, (φ, ψ) thỏa mãn bất đẳng thức Young xy ≤ φ (x) + ψ (y) (1.4) với x ≥ 0, y ≥ 0, đẳng thức xảy y = ϕ (x) x = η (y) với x ≥ 0, y ≥ Ví dụ 1.4 Cho < p < ∞ hàm φ(x) = xp p hàm Young, xác định hàm liên hợp ψ hàm Young φ Chứng minh Với φ(x) = xp p ,1 < p < ∞ đạo hàm φ ϕ (x) = xp−1 η (x) = inf {t : ϕ (t) > x} = inf t : tp−1 > x = x p−1 Khi theo công thức (1.3) ta có y p ψ (y) = η (t) dt = y p−1 = y q p + q = Định nghĩa 1.4 Hàm Young φ : R → R+ gọi thỏa mãn điều kiện ∆2 ( toàn cục ) ký hiệu φ ∈ ∆2 (φ ∈ ∆2 ( toàn cục ))nếu φ (2x) ≤ Kφ (x) x ≥ x0 ≥ 0, (x0 = 0) K > số Ví dụ 1.5 Cho ≤ p < ∞ hàm φ (x) = |x|p Khi hàm φ thỏa mãn điều kiện ∆2 Chứng minh Trong ví dụ 1.1 ta hàm φ(x) = |x|p hàm Young Chọn K > 2p ta thu φ (2x) = |2x|p = 2p |x|p , 2p |x|p ≤ K|x|p nên φ (2x) ≤ Kφ (x) φ ∈ ∆2 Chứng minh hoàn thành Định nghĩa 1.5 Hàm Young φ : R → R+ gọi thỏa mãn điều kiện ∇2 (toàn cục), ký hiệu φ ∈ ∇2 (φ ∈ ∇2 (toàn cục)) φ (x) ≤ φ (lx) 2l x ≥ x0 ≥ 0, (x0 = 0) K > l > Định lý 1.3 Giả sử φ N - hàm với liên hợp ψ Nếu ϕ, η đạo hàm (trái) φ, ψ thông thường điều kiện sau tương đương (i) φ ∈ ∆2 ; (ii) ∃1 < α < ∞ x0 cho (iii) ∃1 < β < ∞ y0 cho xϕ(x) φ(x) yη(y) ψ(y) < α, x x0 ; > β, y y0 ; (iv) ψ ∈ ∇2 ; (v)∃δ > 0, x0 (vi) lim sup x→0 cho φ ((1 + δ) x) φ−1 (x) φ−1 (2x) 2φ (x), x x0 ; < Định lý 1.4 Giả sử φ N - hàm với liên hợp ψ Nếu ϕ, η đạo hàm (trái) φ, ψ thông thường điều kiện sau tương đương (i) φ ∈ ∇2 (ii)Tồn δ > 0, x0 > cho φ (2x) (iii)Tồn < λ < 1, x1 φ−1 (x) (iv)lim inf φ−1 (2x) x→∞ > (2 + δ) φ (x) , x cho φ ((2 − λ) x) x0 2φ (x) , x x1 Ví dụ 1.6 Xét φ (x) = (1 + |x|) log (1 + |x|) − |x| hàm liên hợp ψ cho ψ (y) = e|y| − |y| − ta dễ thấy φ ∈ ∆2 (và không thuộc ∇2 ), ψ ∈ ∇2 (và không thuộc ∆2 ) 1.4 Lớp Orlicz Định nghĩa 1.6 Ký hiệu Lφ (R) ( Lφ ) tập hàm f : R → R đo cho φ(|f |)dx < +∞, R φ hàm Young định nghĩa mục trước Ta gọi Lφ lớp Orlicz ứng với φ Định lý 1.5 (i) Không gian Lφ lồi tuyệt đối, nghĩa f, g ∈ Lφ α, β thỏa mãn |α| + |β| ≤ αf + βg ∈ Lφ Ngoài ra, h ∈ Lφ , |f | ≤ |h| hàm f đo f ∈ Lφ Từ đây, ta có αf + βg ∈ Lφ (ii) Không gian Lφ tuyến tính φ ∈ ∆2 toàn cục Đảo lại, điều kiện ∆2 toàn cục cần để không gian Lφ tuyến tính 1.5 Không gian Orlicz Định nghĩa 1.7 Giả sử Lφ lớp Orlicz ứng với hàm Young φ Khi không gian Lφ (R) đơn giản Lφ nhầm lẫn xảy tất hàm đo f : R → R cho αf ∈ Lφ với α > Ta gọi Lφ (R) (hay Lφ ) không gian Orlicz Khi Lφ (R) = Lφ = {f : R → R đo | R φ(αf )dx < +∞ với α > } Mệnh đề 1.3 Tập Lφ không gian vecto Hơn nữa, với f ∈ Lφ tồn α > cho αf ∈ Bφ = g ∈ Lφ : φ (g) dx ≤ (1.5) R Ví dụ 1.7 Cho ≤ p < ∞, φ(x) = xp không gian Lφ tập hợp hàm f thỏa mãn |f |p dx < ∞ R 1.6 Chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg + Một hàm lồi φ : R → R hàm Young thỏa mãn điều kiện sau φ(−x) = φ(x), φ(0) = 10 lim φ(x) = +∞ x→∞ + Với hàm Young vậy, ta xác định hàm Young ψ : R → R có tính chất xác định ψ(y) = sup{x |y| − φ(x) : x ≥ 0}, y ∈ R Định nghĩa 1.8 Giả sử f : R → R hàm đo (φ, ψ) cặp liên hợp hàm Young Khi ta định nghĩa chuẩn Orlicz sau f φ |f g| dx : = sup ψ (|g|) dx ≤ R R Định nghĩa 1.9 Cho φ hàm Young, ta xác định phiếm hàm chuẩn Luxemburg Lφ sau f ∈ Bφ k f k>0: φ dx ≤ k R Nφ (f ) = inf k > : = inf Ví dụ 1.8 Cho φ(x) = |x|p p với f ∈ Lφ cho f ∈ Lφ Khi chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg tính sau |f |p dx Nφ (f ) = p 1/p R f φ |f |p dx = 1/p R Định lý 1.6 (Lφ , Nφ ) không gian tuyến tính định chuẩn ta đồng hàm tương đương thông thường Hơn Nφ (f ) ≤ φ(f )dx ≤ R φ φ Định lý 1.7 Giả sử {fn }∞ n=1 ⊂ L thỏa mãn fn → f h.k.n với f ∈ L φ (x) = x = Khi đó,Nφ (f ) nửa liên tục Lφ lim inf Nφ (fn ), nghĩa là, chuẩn Luxemburg n→∞ Mệnh đề 1.4 Nếu f ∈ Lφ , g ∈ Lψ với (φ, ψ) cặp liên hợp hàm Young |f g| dx ≤ 2Nφ (f ) Nψ (g) R 11 (1.6) Chương CÁC TÍNH CHẤT CHUẨN ORLICZ Trong chương trình bày bất đẳng thức Kolmogorov-Stein, tính tương đương chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg, công thức tính chuẩn Orlicz cuối định lý hàm dịch chuyển (xem [1, 2, 5, 6]) 2.1 Bất đẳng thức Kolmogorov-Stein A N Kolmogorov đưa kết sau không gian L∞ (R) Cho f (x), f (x), , f (n) (x) hàm liên tục bị chặn R Khi ta có bất đẳng thức sau f (k) n ∞ < k < n, Ck,n = Ki = π ∞ j=0 Ki = π n−k ∞ Ck,n f n Kn−k (n−k) (2j + 1)i+1 j=0 k , ∞ , Kn (−1)j ∞ f (n) , (2j + 1)i+1 12 với i chẵn với i lẻ Kết E M Stein phát triển không gian Lp (R) với ≤ p < ∞ sau f (k) n Ck,n f p n−k p f (n) k p Bất đẳng thức Kolmogorov-Stein dạng vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm có nhiều ứng dụng Trong muc 2.1 này, ta chứng minh bất đẳng thức cho chuẩn Orlicz tùy ý Định lý 2.1 Cho φ(t) hàm Young tùy ý, f (x) đạo hàm cấp n f (n) (x) thuộc không gian Lφ (R) Khi f (k) (x) ∈ Lφ (R) với < k < n f (k) n φ ≤ Ck,n f n−k φ f (n) k (2.1) φ Để chứng minh định lý trên, ta chứng minh bất đẳng thức tích chập cho chuẩn Orlicz Dưới đây, ta đưa khái niệm tích chập hai hàm xác định R Định nghĩa 2.1 Cho f, g hàm khả tích địa phương R Nếu tích phân f (x − y) g (y)dy R xác định với hầu hết x ∈ R (nghĩa tập giá trị x ∈ R để tích phân không tồn tập có độ đo không) hàm khả tích địa phương R biến x thành R f (x − y) g (y)dy gọi tích chập hàm f hàm g, ký hiệu f ∗ g Như (f ∗ g) (x) = f (x − y) g (y)dy = R f (y) g (x − y)dy R Ta gọi f ∗ g tích chập hàm f hàm g Rõ ràng trường hợp tích chập hàm f hàm g, tích chập hàm g hàm f Điều có nghĩa tích chập có tính giao hoán f ∗ g = g ∗ f Cho ≤ p ≤ ∞ hàm f ∈ Lp (R) , g ∈ L1 (R) Khi tích chập hàm g hàm f f ∗ g tồn tích chập f ∗ g ∈ Lp (R), đồng thời ta có bất đẳng thức f ∗g p ≤ f p g Giờ, ta mở rộng bất đẳng thức tích chập cho chuẩn Orlicz sau: 13 Bổ đề 2.1 Cho φ hàm Young f ∈ Lφ (R), g ∈ L1 (R) Khi tích chập hàm g hàm f f ∗ g tồn tích chập f ∗ g ∈ Lφ (R), đồng thời ta có bất đẳng thức f ∗g 2.2 φ ≤ f g φ Tính tương đương chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg Chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg hai chuẩn tương đương, trước đến với định lý chứng minh điều ta xét mệnh đề sau Mệnh đề 2.1 Nếu f ∈ Lφ , f = f f φ R dx ≤ φ Định lý 2.2 Với f ∈ Lφ với φ hàm Young, ta có Nφ (f ) 2.3 f 2Nφ (f ) φ (2.2) Công thức tính chuẩn Orlicz Mệnh đề 2.2 Cho (φ, ψ) cặp liên hợp N-hàm f ∈ Lφ Giả sử tồn số dương k0 > thỏa mãn ρψ (ϕ (k0 |f |)) = 1, ρψ (g) = R ψ (g) dx, ϕ đạo hàm trái φ thông thường Khi ta có công thức sau f φ ϕ (k0 |f |) |f | dx = (2.3) R Ta kí hiệu Nφ = f ∈ Lφ : Nφ (f ) = , tập không thay đổi ta thay Nφ (.) φ Trong trường hợp này, f ∈ Nφ f = h.k.n Vậy không gian thương Lφ = Lφ /Nφ , với phần tử [f ] = g ∈ Lφ : f − g ∈ Nφ chuẩn N φ ([f ]) = Nφ (f ) hoàn toàn xác định.Để đơn giản coi phần tử Lφ hàm thay cho lớp 14 tương đương Hơn ngoại trừ trường hợp đặc biệt, từ sau ta không phân biệt Lφ với Lφ Định lý 2.3 Giả sử (φ, ψ) cặp liên hợp N hàm f ∈ Lφ Khi chuẩn Orlicz f biểu diễn liên quan đến φ qua công thức f φ k = inf 1+ φ (kf ) dx :k>0 R Để kết thúc so sánh chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg ta có kết sau Định lý 2.4 Nếu (φ, ψ) cặp liên hợp N-hàm f ∈ Lφ f φ = Nφ (f ) f = h.k.n Định lý 2.5 Giả sử (φ, ψ) cặp Young liên tục Lφ (µ), Lψ (µ) không gian Orlicz tương ứng Giả sử = f ∈ Lφ , = g ∈ Lψ Khi ta có |f g| dx = Nφ (f ) g ψ R (i) R φ f Nφ (f ) dx = (ii) Tồn số < k ∗ < ∞, cho |f | Nφ (f ) k ∗ |g| g ψ =φ f Nφ (f ) +ψ k∗g g ψ , h.k.n φ Định nghĩa 2.2 Dãy {fn }∞ n=1 ⊂ L gọi hội tụ trung bình (hay môdula) đến f ∈ Lφ ρφ (fn − f ) → n → ∞ Dãy {fn } gọi hội tụ mạnh (hay theo chuẩn) đến f Nφ (fn − f ) → n → ∞ (điều tương đương với fn − f φ → 0) φ φ Định lý 2.6 Giả sử {fn }∞ n=1 ⊂ L f ∈ L Khi khẳng định sau đúng: Hội tụ trung bình suy từ hội tụ theo chuẩn (hoặc hội tụ manh) dãy {fn } đến f φ Chiều đảo lại {fn }∞ n=1 ⊂ L φ thỏa mãn điều kiện ∆2 15 2.4 Định lý hàm dịch chuyển Định lý 2.7 Cho hàm φ hàm Young thỏa mãn điều kiện ∆2 toàn cục f ∈ Lφ (R) Khi ta có giới hạn sau lim f ( + t) − f t→0 φ = 0, 16 t ∈ R Kết luận Luận văn trình bày tính chất không gian Orlicz kết thu nghiên cứu tính chất chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg Nội dung luận văn bao gồm: • Hàm Young, hàm Young liên hợp, không gian Orlicz tính chất không gian Orlicz • Bất đẳng thức Kolmogorov - Stein cho chuẩn Orlicz • Công thức tính chuẩn Orlicz không gian Orlicz • Tính tương đương chuẩn Orlicz chuẩn Luxemburg • Định lý hàm dịch chuyển Tôi xin chân thành cảm ơn! 17 Tài liệu tham khảo [1] Hà Huy Bảng, (2003), Lý thuyết không gian Orlicz, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Mai Thị Thu (2006), Một số bất đẳng thức đạo hàm không gian Orlicz Lorentz, Luận án [3] Phạm Kỳ Anh - Trần Đức Long, (2001), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Christian Léonard, (2007), Orlicz Spaces, Work in progress [5] Hà Huy Bảng (1996), A remark on the Kolmogorov - Stein inequality, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 203, pp 861-867 [6] Trương Văn Thương (2000), Some collections of functions dense in an Orlicz space., Acta Mathematica Vietnamica, Vol 25 (2), pp.195 - 208 18 [...]... những tính chất cơ bản về không gian Orlicz và các kết quả thu được khi nghiên cứu tính chất của chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg Nội dung chính của luận văn bao gồm: • Hàm Young, hàm Young liên hợp, không gian Orlicz và các tính chất cơ bản của không gian Orlicz • Bất đẳng thức Kolmogorov - Stein cho chuẩn Orlicz • Công thức tính chuẩn Orlicz trong không gian Orlicz • Tính tương đương của chuẩn Orlicz. .. dưới trên Lφ lim inf Nφ (fn ), nghĩa là, chuẩn Luxemburg là n→∞ Mệnh đề 1.4 Nếu f ∈ Lφ , g ∈ Lψ với (φ, ψ) là cặp liên hợp các hàm Young thì |f g| dx ≤ 2Nφ (f ) Nψ (g) R 11 (1.6) Chương 2 CÁC TÍNH CHẤT CHUẨN ORLICZ Trong chương này chúng tôi trình bày về bất đẳng thức Kolmogorov-Stein, tính tương đương giữa chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg, công thức tính chuẩn Orlicz và cuối cùng là định lý về hàm dịch... ta sẽ mở rộng bất đẳng thức tích chập trên cho chuẩn Orlicz như sau: 13 Bổ đề 2.1 Cho φ là một hàm Young và f ∈ Lφ (R), g ∈ L1 (R) Khi đó tích chập của hàm g và hàm f là f ∗ g tồn tại và tích chập f ∗ g ∈ Lφ (R), đồng thời ta có bất đẳng thức f ∗g 2.2 φ ≤ f g 1 φ Tính tương đương của chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg Chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg là hai chuẩn tương đương, trước khi đến với định lý chứng... h.k.n Vậy không gian thương Lφ = Lφ /Nφ , với các phần tử là [f ] = g ∈ Lφ : f − g ∈ Nφ và chuẩn N φ ([f ]) = Nφ (f ) là hoàn toàn xác định.Để đơn giản chúng ta coi các phần tử của Lφ là các hàm thay cho lớp 14 tương đương Hơn nữa ngoại trừ các trường hợp đặc biệt, từ nay về sau ta không phân biệt Lφ với Lφ Định lý 2.3 Giả sử (φ, ψ) là cặp liên hợp các N hàm và f ∈ Lφ Khi đó chuẩn Orlicz của f có thể... k>0: φ dx ≤ 1 k R Nφ (f ) = inf k > 0 : = inf Ví dụ 1.8 Cho φ(x) = |x|p p với mọi f ∈ Lφ và cho f ∈ Lφ Khi đó chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg được tính như sau |f |p dx Nφ (f ) = p 1/p R f φ |f |p dx = 1/p R Định lý 1.6 (Lφ , Nφ ) là một không gian tuyến tính định chuẩn nếu ta đồng nhất các hàm tương đương như thông thường Hơn nữa Nφ (f ) ≤ 1 nếu và chỉ nếu φ(f )dx ≤ 1 R φ φ Định lý 1.7 Giả sử {fn... đến φ qua công thức f φ 1 k = inf 1+ φ (kf ) dx :k>0 R Để kết thúc sự so sánh giữa chuẩn Orlicz và chuẩn Luxemburg ta có kết quả sau Định lý 2.4 Nếu (φ, ψ) là cặp liên hợp các N-hàm và f ∈ Lφ thì f φ = Nφ (f ) nếu và chỉ nếu f = 0 h.k.n Định lý 2.5 Giả sử (φ, ψ) là cặp Young liên tục và Lφ (µ), Lψ (µ) là các không gian Orlicz tương ứng Giả sử 0 = f ∈ Lφ , 0 = g ∈ Lψ Khi đó ta có |f g| dx = Nφ (f ) g... ta có thể xác định được một hàm Young ψ : R → R có tính chất như vậy và xác định bởi ψ(y) = sup{x |y| − φ(x) : x ≥ 0}, y ∈ R Định nghĩa 1.8 Giả sử f : R → R là hàm đo được và (φ, ψ) là cặp liên hợp các hàm Young Khi đó ta định nghĩa chuẩn Orlicz như sau f φ |f g| dx : = sup ψ (|g|) dx ≤ 1 R R Định nghĩa 1.9 Cho φ là hàm Young, ta xác định phiếm hàm chuẩn Luxemburg trên Lφ như sau 1 f ∈ Bφ k f k>0:... như sau f (k) n Ck,n f p n−k p f (n) k p Bất đẳng thức Kolmogorov-Stein và các dạng của nó là vấn đề được rất nhiều nhà toán học quan tâm và có rất nhiều ứng dụng Trong muc 2.1 này, ta chứng minh bất đẳng thức này cho chuẩn Orlicz tùy ý Định lý 2.1 Cho φ(t) là hàm Young tùy ý, f (x) và đạo hàm cấp n của nó f (n) (x) thuộc không gian Lφ (R) Khi đó f (k) (x) ∈ Lφ (R) với mọi 0 < k < n và f (k) n φ ≤ Ck,n... tích chập cho chuẩn Orlicz Dưới đây, ta đưa ra khái niệm tích chập của hai hàm xác định trên R Định nghĩa 2.1 Cho f, g là các hàm khả tích địa phương trên R Nếu tích phân f (x − y) g (y)dy R xác định với hầu hết x ∈ R (nghĩa là tập các giá trị x ∈ R để tích phân trên không tồn tại là tập có độ đo không) và hàm khả tích địa phương trên R biến x thành R f (x − y) g (y)dy được gọi là tích chập của hàm f và... (x) = f (x − y) g (y)dy = R f (y) g (x − y)dy R Ta gọi f ∗ g là tích chập của hàm f và hàm g Rõ ràng trong trường hợp này tích chập của hàm f và hàm g, và tích chập của hàm g và hàm f là như nhau Điều này có nghĩa là tích chập có tính giao hoán f ∗ g = g ∗ f Cho 1 ≤ p ≤ ∞ và các hàm f ∈ Lp (R) , g ∈ L1 (R) Khi đó tích chập của hàm g và hàm f là f ∗ g tồn tại và tích chập f ∗ g ∈ Lp (R), đồng thời