ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ THANH HẢI MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤP CHO HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ THANH HẢI MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤP CHO HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.1.2 Không gian Hilbert 1.2 Tập lồi, nón lồi, hàm lồi 1.2.1 Tập lồi 1.2.2 Nón lồi 1.2.3 Hàm lồi 1.2.4 Tính chất hàm lồi 1.3 Kết luận Bài toán cân 2.1 Bài toán cân khái niệm 2.1.1 Phát biểu toán 2.1.2 Các khái niệm 2.2 Các trường hợp riêng toán cân 2.2.1 Bài toán tối ưu 2.2.2 Bài toán điểm bất động 2.2.3 Bài toán cân Nash trò chơi không hợp tác 2.2.4 Bài toán điểm yên ngựa 2.3 Sự tồn nghiệm toán cân 2.4 Kết luận 6 8 10 11 12 13 13 13 13 18 18 19 19 20 21 30 Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp 31 3.1 Hiệu chỉnh toán cân giả đơn điệu 31 MỤC LỤC 3.2 3.3 3.1.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 3.1.2 Phương pháp điểm gần kề Thuật toán giải 3.2.1 Mô tả thuật toán 3.2.2 Tính hội tụ thuật toán Kết luận 31 35 40 40 42 47 Kết luận chung 48 Tài liệu tham khảo 49 LỜI CẢM ƠN Qua luận văn em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy GS.TSKH Lê Dũng Mưu, người tận tình bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn Tác giả xin trân trọng cám ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học đặc biệt quý thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa học Tác giả xin gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, đồng nghiệp, anh chị, bạn bè lớp cao học khóa 2013 - 2015 động viên, khích lệ tác giả cố gắng suốt khóa học để đạt kết học tập cao Em xin chân thành cảm ơn! MỞ ĐẦU Lớp toán cân ngày áp dụng nhiều vào lĩnh vực sống kinh tế, xã hội, Chính mà ngày nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu Hơn nữa, toán cân mở rộng lớp toán khác toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa, Mô hình chung cho toán cân Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ với y ∈ C (EP(C, f )) H không gian Hilbert, C ⊆ H tập lồi f : C ×C → R ∪ {+∞} song hàm Bài toán hiệu chỉnh xây dựng cách thay song hàm ban đầu song hàm fε := f + εg, ε, g tham số hiệu chỉnh song hàm hiệu chỉnh, thông thường ta chọn g song hàm đơn điệu mạnh Nếu f song hàm đơn điệu fε đơn điệu mạnh, toán hiệu chỉnh có nghiệm Tuy nhiên, f song hàm giả đơn điệu toán hiệu chỉnh trường hợp tổng quát không đơn điệu mạnh hay đơn điệu, chí không giả đơn điệu toán hiệu chỉnh nói chung nghiệm nhất, chí tập nghiệm không lồi, áp dụng trực tiếp phương pháp để hiệu chỉnh cho toán EP(C, f ) giả đơn điệu trường hợp đơn điệu Do đó, luận văn nghiên cứu trình bày số phương pháp hiệu chỉnh cho toán cân giả đơn điệu thông qua toán tối ưu hai cấp để tìm điểm giới hạn quỹ đạo nghiệm hiệu chỉnh Dựa ý tưởng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, [4] tác giả đưa phương pháp hiệu chỉnh với toán hiệu chỉnh sau Tìm x ∈ C cho fk (x, y) := f (x, y) + εk g(x, y) ≥ với y ∈ C, εk > tham số hiệu chỉnh, g(x, y) song hàm đơn điệu mạnh gọi song hàm hiệu chỉnh MỞ ĐẦU Năm 1970 Martine đưa phương pháp điểm gần kề cho toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu sau mở rộng Rockafellar (1976) cho toán tử đơn điệu cực đaị Bài toán hiệu chỉnh có dạng Tìm xk ∈ C cho fk (xk , y) := f (xk , y) + ck xk − xk−1 , y − xk ≥ −δk với y ∈ C, ck > 0, δk > tham số hiệu chỉnh sai số cho trước Sự khác biệt hai phương pháp phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề bước lặp toán hiệu chỉnh phụ thuộc vào điểm lặp bước trước tham số hiệu chỉnh ck → k → ∞ Nội dung luận văn gồm ba chương • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Bài toán cân • Chương 3: Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Chương trình bày số kiến thức sở không gian tuyến tính, không gian Hilbert; kiến thức giải tích lồi tập lồi, nón lồi, hàm lồi; khái niệm hội tụ yếu, hội tụ mạnh, hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục Chương phát biểu toán cân bằng, số trường hợp đưa toán cân tồn nghiệm toán Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh toán cân giả đơn điệu, thuật toán tiếp cận dựa toán tối ưu hai cấp hội tụ thuật toán Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 28 tháng 09 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hải Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức không gian tuyến tính, không gian Hilbert, tập lồi, nón lồi, hàm lồi; khái niệm hội tụ yếu, hội tụ mạnh, hàm nửa liên tục trên, nửa liên tục Các kiến thức lấy từ tài liệu [1], [2] 1.1 1.1.1 Không gian Hilbert Không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian tuyến tính thực Một chuẩn X, kí hiệu , ánh xạ :X →R thỏa mãn tính chất sau x ≥ 0, ∀x ∈ X; x = ⇔ x = 0; αx = |α| x , ∀x ∈ X, x + y ≤ x + y , α ∈ R; ∀x, y ∈ X Khi (X, ) gọi không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian tuyến tính thực, X gọi không gian tiền Hilbert với x, y ∈ X, xác định tích vô hướng, kí hiệu x, y , thỏa mãn tính chất x, y = y, x , ∀x, y ∈ X; x + y, z = x, z + y, z , αx, y = α x, y , x, x ≥ 0, ∀x, y, z ∈ X; ∀x, y ∈ X, ∀x ∈ X; α ∈ R; x, x = ⇔ x = Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1.2 Không gian Hilbert Bổ đề 1.1.1 Mọi không gian tiền Hilbert X không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định sau x = x, x , ∀x ∈ X Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian định chuẩn Dãy {xn } ⊆ X gọi dãy X lim xn − xm = n,m→∞ Nếu X, dãy hội tụ, tức xn − xm → kéo theo tồn xo ∈ X cho xn → xo X gọi không gian đủ Định nghĩa 1.1.4 Không gian tiền Hilbert đủ gọi không gian Hilbert Trong luận văn ta thống kí hiệu H không gian Hilbert trường số thực Ví dụ 1.1.1 Lấy H = Rn với tích vô hướng xác định hệ thức x, y = ∑ xi yi i=1→n Trong x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn Khi H không gian Hilbert Trên H có hai kiểu hội tụ sau Định nghĩa 1.1.5 Xét dãy {xn }n≥0 x thuộc không gian Hilbert thực H Dãy {xn } gọi hội tụ mạnh đến x, kí hiệu xn → x lim n→+∞ xn − x = Dãy {xn } gọi hội tụ yếu đến x, kí hiệu xn lim w, xn = w, x , n→+∞ x ∀w ∈ H Điểm x gọi điểm tụ mạnh (hay yếu) dãy {xn } từ dãy trích dãy hội tụ mạnh (hay yếu) tới x Mệnh đề 1.1.1 Nếu {xn } hội tụ mạnh đến x hội tụ yếu đến x Nếu {xn } hội tụ yếu đến x limn→+∞ xn = x {xn } hội tụ mạnh đến x Chương Kiến thức chuẩn bị Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) bị chặn giới hạn theo hội tụ mạnh (yếu) tồn Nếu H không gian Hilbert hữu hạn chiều hội tụ mạnh hội tụ yếu tương đương Nếu {xn } dãy bị chặn không gian Hilbert H ta trích dãy hội tụ yếu Nếu {xn } dãy bị chặn không gian Hilbert hữu hạn chiều H ta trích dãy hội tụ mạnh 1.2 Tập lồi, nón lồi, hàm lồi 1.2.1 Tập lồi Định nghĩa 1.2.1 Một tập C ⊆ H gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λ x + (1 − λ )y ∈ C Mệnh đề 1.2.1 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức là, C lồi k ∀k ∈ N, ∀λ1 , λ2 , , λk ≥ : k ∑ λ j = 1, ∀x , , x k ∈C ⇒ j=1 ∑ λ j x j ∈ C (1.1) j=1 Chứng minh Ta thấy, điều kiện đủ suy trực tiếp từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần quy nạp Với k = công thức (1.1) tương đương với chứng minh C lồi ∀λ1 , λ2 ≥ : λ1 + λ2 = 1, ∀x1 , x2 ∈ C ⇒ λ1 x1 + λ2 x2 ∈ C Điều suy trực tiếp từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với (k − 1) điểm Ta cần chứng minh với k điểm Giả sử x tổ hợp lồi k điểm x1 , , xk ∈ C Tức k x= k j ∑ λ jx , λ j ≥ 0, ∀ j = 1, 2, , k, j=1 ∑ λ j = j=1 Đặt k−1 ξ= ∑ λ j j=1 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Ví dụ 3.1.1 Ta xét song hàm giả đơn điệu xác định Ví dụ 2.1.3 Xét toán hiệu chỉnh Tìm xk ∈ C cho fεk (xk , y) := f (xk , y) + εk xk − xg , y − xk ≥ −δk , ∀y ∈ C, (EP(C, fεk )) xg = (x1g , x2g , , xig , ) ∈ C nghiệm dự đoán toán EP(C, f ); {εk }, {δk } δk hai dãy số dương đơn điệu giảm thỏa mãn → k → ∞, εk fεk (xk , y) = (2 − xk ) xk , y − xk + εk (x1k − x1g )(y1 − x1k ) + εk xk − xg , y − xk = εk (x1k − x1g )(y1 − x1k ) + ε (2 − xk + εk )xk − εk xg , y − xk Ta nhận thấy, x1k = x1g , (2 − xk + εk )xk − εk xg = thỏa mãn xk = (x1k , xk ) nghiệm toán EP(C, fεk ) Từ đẳng thức (2 − xk + εk )xk − εk xg = ta suy √ εk x g ε k √ 0≤ x = ≤ − xk + εk − + εk Do k → ∞ εk → nên ≤ limk→+∞ xk − = limk→+∞ xk √ εk √ ≤ lim k→+∞ − + εk ⇒ limk→+∞ xk − = Điều chứng tỏ xk hội tụ mạnh Do đó, xk hội tụ mạnh x∗ := (x1g , 0) = (x1g , 0, , 0, ) ∈ C Hơn nữa, x∗ nghiệm toán cân đơn điệu mạnh EP(C, g) với g(x, y) := (x1 − x1g )(y1 − x1 ) + x − xg , y − x ≥ 3.1.2 Phương pháp điểm gần kề Trong phần nghiên cứu phương pháp điểm gần kề cho toán cân giả đơn điệu Kết hội tụ phương pháp cho thấy phương pháp điểm gần kề sử dụng cho toán cân giả đơn điệu Tuy nhiên, khác với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp này, bước lặp, toán hiệu chỉnh phụ thuộc vào điểm lặp bước trước tham số hiệu chỉnh ck > không cần dần đến 35 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Xuất phát từ điểm x0 ∈ C cho trước, bước lặp k = 1, 2, xét toán hiệu chỉnh Tìm xk ∈ C cho fk (xk , y) := f (xk , y) + ck xk − xk−1 , y − xk ≥ −δk , ∀y ∈ C tham số ck > sai số δk ≥ cho trước Ta gọi nghiệm toán hiệu chỉnh δk − nghiệm kí hiệu tập tất δk − nghiệm Sδk (C, fk ) Gọi dãy {xk } với xk ∈ Sδk (C, fk ) quỹ đạo xấp xỉ gần kề Định lý sau rằng, toán cân giả đơn điệu, toán hiệu chỉnh nghiệm quỹ đạo xấp xỉ có giới hạn Định lý 3.1.2 Giả sử f giả đơn điệu C thỏa mãn giả thiết (A1), (A2) toán EP(C, f ) có lời giải Lấy {ck } {δk } hai dãy số dương cho δk ck ≤ c < +∞, ∀k, ∑∞ k=1 c < +∞ Khi k Đối với k ∈ N tập nghiệm Sδk (C, fk ) khác rỗng, đóng bị chặn Khi ta có δk (3.3) xk−1 − xk + xk − x ≤ xk−1 − x + , ck x ∈ S(C, f ), xk ∈ Sδk (C, fk ) Xét dãy {xk } bất kỳ, xk chọn tùy ý tập Sδk (C, fεk ), hội tụ yếu đến nghiệm toán EP(C, f ) Hơn nữa, {xk } có điểm hội tụ mạnh, toàn dãy hội tụ mạnh đến nghiệm toán EP(C, f ) ban đầu Chứng minh Từ Bổ đề 3.1.2 với xg = xk−1 ∈ C ε = ck > ta thấy, với k = 1, 2, 3, tập nghiệm toán cân EP(C, fk ) đóng, rỗng bị chặn Áp dụng ý 1) Bổ đề 3.1.1 với ε = ck , xg = xk−1 , xk−1 − xk x(ε) = xk , δ = δk ta + xk − x ≤ xk−1 − x +2 δk ck điều phải chứng minh Gọi x điểm bất động tập nghiệm toán EP(C, f ), lấy xk ∈ 36 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Sδk (C, fk ) với k ≥ Từ (3.3) ta có xk − x Từ ∑+∞ k=1 δk < +∞, ta có ck ≤ xk−1 − x +2 δk ck (3.4) lim xk − x = µ < ∞ (3.5) x→∞ Dùng bất đẳng thức (3.3) ta viết lại sau xk − xk−1 Khi đó, (3.5) ≤ xk−1 − x − xk − x +2 δk ck δk → k → ∞, ta có ck lim xk − xk−1 = (3.6) k→∞ Đặt ∞ δj < ∞ j=1 c j M := ∑ Khi đó, từ (3.4) k xk − x ≤ xg − x δj ≤ xg − x c j=1 j +2 ∑ ⇒ xk − x ≤ ⇒ xk ≤ x + xg − x 2+M xg − x +M ∀k; ∀k; 2+M ⇒ xk ∈ Sδk (C, fk ) ⊂ B(0, x + ∀k; xg − x + M) ∩C ∀k Do {xk } bị chặn nên tồn dãy {xkj } ≤ {xk } cho xkj x∗ ∈ B(0, x + xg − x + M) ∩C Do xk j δk j -nghiệm toán cân EP(C, fk j ) với k j , ta có fk j (xk j , y) = f (xk j , y) + ck j xk j − xk j −1 , y − xk j ≥ −δk j , ∀y ∈ C Kết hợp với (3.6), với f nửa liên tục yếu, điều kiện < ck j < c < +∞, δk j với (3.7), ≤ limk j →∞ fk j (xk j , y) ≤ limk j →∞ f (xk j , y) ≤ f (x∗ , y), 37 ∀y ∈ C (3.7) Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp cho thấy x∗ ∈ S(C, f ) Ta cần x∗ điểm tụ yếu {xk } Thật vậy, giả sử x1∗ , x2∗ hai điểm tụ yếu phân biệt {xk } Khi x1∗ , x2∗ ∈ S(C, f ) Áp dụng (3.5) với xi∗ (i = 1, 2) đóng vai trò x ta lim xk − xi∗ = µi , i = 1, k→∞ (3.8) Rõ ràng xk − x1∗ , x1∗ − x2∗ = xk − x2∗ − xk − x1∗ − x1∗ − x2∗ (3.9) Do x1∗ điểm tụ yếu {xk }, từ (3.8), (3.9) dẫn đến = lim xk − x1∗ , x1∗ − x2∗ = µ22 − µ12 − x1∗ − x2∗ k→∞ Do đó, µ22 − µ12 = x1∗ − x2∗ > Thay đổi vai trò x1∗ x2∗ cho lập luận tương tự ta thu kết µ12 − µ22 = x2∗ − x1∗ > Điều vô lý Vậy x∗ Giả sử dãy {xk j } ⊆ {xk } hội tụ mạnh tới x∗ ∈ H Khi x∗ ∈ S(C, f ) Áp dụng công thức (3.4) với x = x∗ ta xk − x∗ ≤ xk−1 − x∗ +2 δk , ck ∀k ∈ N (3.10) δk Với γ > bất kỳ, limk j →∞ ||xk j − x∗ || = ∑∞ k=1 c < +∞, lấy l ∈ N cho k ∞ δi γ γ xkl − x∗ ≤ √ ∑ ≤ i=kl +1 ci Do đó, với k > kl + 1, từ (3.10) ta xk − x∗ δk ; ck δk δk−1 ≤ xk−2 − x∗ + 2( + ); ck ck−1 ≤ ; δk +1 δk δk−1 ≤ xkl − x∗ + 2( + + + l ); ck ck−1 ckl +1 γ2 γ2 ≤ + = γ 2 ≤ xk−1 − x∗ +2 38 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Do đó, xk − x∗ ≤ γ, ∀k > kl + Vậy, với γ > tùy ý ta có lim xk − x∗ = 0, k→∞ hay {xk } hội tụ mạnh x∗ , ta có điều cần chứng minh Định lý 3.1.3 Giả sử C ⊆ Rn tập lồi, đóng, khác rỗng, f giả đơn điệu C, f (., y) nửa liên tục với y ∈ C, f (x, ) nửa lên tục lồi với x ∈ C, toán cân EP(C, f ) có nghiệm Lấy {ck }, {δk } hai dãy số dương δk cho ck < c < +∞ ∑∞ k=1 c < +∞ Khi k Với k, tập δk -nghiệm toán EP(C, fk ) khác rỗng compact Mọi dãy {xk }, với xk δk -nghiệm toán EP(C, fk ) hội tụ mạnh tới nghiệm toán EP(C, f ) Chứng minh Áp dụng Định lý 3.1.2 dãy bị chặn không gian Rn dãy hội tụ mạnh nên ta có điều phải chứng minh Nhận xét Các kết rằng, quỹ đạo thuật toán điểm gần kề có chung điểm giới hạn yếu Tuy nhiên việc tìm điểm giới hạn việc khó hội tụ không mạnh kết không điểm giới hạn Để làm rõ điều ta xét ví dụ sau Ví dụ 3.1.2 Xét song hàm cân giả đơn điệu Ví dụ 2.1.3 Ta xét toán hiệu chỉnh Tìm xk ∈ C cho fk (xk , y) := f (xk , y) + ck xk − xk−1 , y − xk ≥ −δk , ∀y ∈ C, (3.1.1) x0 = xg = (x1g , x2g , , xig , ) điểm xuất phát dãy lặp, đóng vai trò nghiệm dự đoán toán EP(C, f ); {ck }, {δk } hai dãy số không âm cho δk ck ≤ c < +∞ với k ∈ N ∑∞ < +∞ Khi k=1 ck fk (xk , y) = (2 − xk ) xk , y − xk + ck (x1k − x1k−1 )(y1 − x1k ) + ck xk − xk−1 , y − xk , = ck (x1k − x1k−1 )(y1 − x1k ) + ck (2 − xk + ck )xk − ck xk−1 , y − xk 39 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Nhận thấy, x1k = x1k−1 , (2 − xk + ck )xk − ck xk−1 = thỏa mãn xk = (x1k , xk ) nghiệm toán EP(C, fk ) ta có √ k−1 c x c k k √ ≤ xk = ≤ k − x + ck − + ck Tuy nhiên, khác với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, cho k → ∞ ck → đó, từ ước lượng ta không suy dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm cụ thể toán EP(C, f ) mà kết luận dãy bị chặn, hội tụ yếu nghiệm toán ban đầu 3.2 Thuật toán giải Như biết, toán cân đơn điệu, nhờ tính đơn điệu mạnh toán hiệu chỉnh, thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov điềm gần kề dẫn đến phương pháp giải chấp nhận Còn toán cân giả đơn điệu, toán hiệu chỉnh nói chung không đơn điệu mạnh, chí không giả đơn điệu, phương pháp giải đòi hỏi tính đơn điệu áp dụng Trong trường hợp này, điểm giới hạn điểm chiếu nghiệm dự đoán xg tập nghiệm toán EP(C, f ) Các điểm giới hạn thu dựa vào toán tối ưu hai cấp min{ x − xg 3.2.1 với x ∈ S(C, f )} (BO) Mô tả thuật toán Như ta biết, f giả đơn điệu C, tập nghiệm S(C, f ) toán EP(C, f ) tập lồi Do (BO)là toán tìm cực tiểu hàm chuẩn tập lồi Giả sử tập nghiệm S(C, f ) toán EP(C, f ) khác rỗng f liên tục yếu, giả đơn điệu C Xét song hàm L : H × H → R thỏa mãn điều kiện sau (B1 )L(x, x) = 0, ∃β > : L(x, y) ≥ β2 x − y , ∀x, y ∈ C; (B2 )L liên tục yếu, L(x, ) khả vi, lồi mạnh H với x ∈ C ∇2 L(x, x) = với x ∈ H Ta xét bổ đề sau Bổ đề 3.2.1 Giả sử f thỏa mãn giả thiết (A1 ), (A2 ) L thỏa mãn giả thiết (B1 ), (B2 ) Khi đó, với ρ > 0, mệnh đề sau tương đương 40 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp x∗ nghiệm toán cân bằng; x∗ ∈ C : f (x∗ , y) + L(x∗ , y) ≥ 0, ρ ∀y ∈ C; x∗ = argmin{ f (x∗ , y) + L(x∗ , y) : y ∈ C} ρ Thuật toán Chọn ρ > η ∈ (0, 1) Khởi đầu với x1 := xg ∈ C (xg có vai trò nghiệm dự đoán) Nếu x1 ∈ S(C, f ), x1 nghiệm toán tối ưu (BO), ngược lại ta thực phép lặp k theo bước sau Bước Giải toán quy hoạch lồi mạnh min{ f (xk , y) + L(xk , y) : y ∈ C} ρ (CP(xk )) để tìm nghiệm yk Nếu yk = xk , chọn uk := xk chuyển đến Bước Ngược lại chuyển sang Bước Bước 2.(Qui tắc tìm kiếm theo tia Amijio) Tìm số nguyên, không âm nhỏ mk , m số nguyên, thỏa mãn zk,m := (1 − η m )xk + η m yk , (3.11) f (zk,m , yk ) + L(xk , yk ) ≤ ρ (3.12) Đặt ηk := η mk , zk := zk,mk , tính −ηk f (zk , yk ) , σk = (1 − ηk ) gk uk := PC (xk − σk gk ), (3.13) gk ∈ ∂2 f (zk , zk ), đạo hàm hàm lồi f (zk , ) zk Bước Xây dựng nửa không gian Ck := {y ∈ H : uk − y ≤ xk − y }; Dk := {y ∈ H : xg − xk , y − xk ≤ 0} Bước Đặt Bk = Ck ∩ Dk ∩C tính xk+1 := PBk (xg ) Nếu xk+1 ∈ S(C, f ), kết luận xk+1 nghiệm toán (BO) Ngược lại, tăng k lên lặp lại trình Chú ý 41 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp (i) Việc tìm kiếm theo tia Bước hoàn toàn xác định được, trái lại với số nguyên không âm m ta có f (zk,m , yk ) + L(xk , yk ) > ρ (3.14) Cho m → ∞, tính nửa liên tục yếu f (., yk ), ta có f (xk , yk ) + L(xk , yk ) ≥ 0, ρ f (xk , xk ) + ρ1 L(xk , xk ) = 0, cho thấy xk nghiệm toán quy hoạch lồi mạnh CP(xk ) Do xk = yk , điều mâu thuẫn việc tìm kiếm theo tia thực xk = yk Chú ý mk > Thật vậy, mk = ta có zk = yk , 1 L(xk , yk ) = f (zk , yk ) + L(xk , yk ) ≤ 0, ρ ρ L không âm, L(xk , yk ) = từ L(xk , yk ) ≥ β k x − yk , ta có xk = yk (ii) gk = kích thước σk bước (3.13) cho thấy xk = yk Thật vậy, gk = đó, gk ∈ ∂2 f (zk , zk ) ta có f (zk , x) ≥ gk , x − zk + f (zk , zk ) = 0, ∀x ∈ C Từ (3.12) ta có L(xk , yk ) ≤ 0, giả thiết (B1) L(xk , yk ) ≥ Do xk = yk 3.2.2 β xk − yk Tính hội tụ thuật toán Bổ đề định lý sau cho thấy tính hội tụ mạnh dãy {xk }, {uk } thuật toán Bổ đề 3.2.2 Từ giả thiết Bổ đề 3.2.1 ta có Giả sử f thỏa mãn giả thiết (A1 ), (A2 ) L thỏa mãn giả thiết (B1 ), (B2 ) uk − x ∗ ≤ xk − x∗ − σk2 gk , 42 ∀x∗ ∈ S(C, f ), ∀k (3.15) Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Chứng minh Đặt vk = xk − σk gk Từ uk = PC (vk ), ta có uk − x ∗ = PC (vk ) − PC (x∗ ) ≤ vk − x∗ ; = x k − x ∗ − σk gk ; = xk − x∗ + σk2 gk (3.16) − 2σk gk , xk − x∗ Do gk ∈ ∂2 f (zk , zk ) nên ta có gk , xk − x∗ = gk , xk − zk + zk − x∗ ; = gk , xk − zk + gk , zk − x∗ ; (3.17) ≥ gk , xk − zk − f (zk , x∗ ) Vì x∗ ∈ S(C, f ) nên f (x∗ , zk ) ≥ 0, f giả đơn điệu suy − f (zk , x∗ ) ≥ Do đó, từ (3.16) ta có gk , xk − x∗ ≥ gk , xk − zk (3.18) ηk (zk − yk ) Khi Trong xk − zk = − ηk gk , xk − zk = ηk gk , zk − yk = σk gk − ηk (3.19) Đẳng thức cuối suy từ định nghĩa σk công thức (3.13) thuật toán Kết hợp với công thức (3.16), (3.18), (3.19) ta thu (3.15) Định lý 3.2.1 Giả sử f song hàm liên tục yếu, f(x,.) lồi, khả vi phân C với x ∈ C toán EP(C, f ) có nghiệm Khi hai dãy {xk }, {uk } hội tụ tới nghiệm toán tối ưu hai cấp (BO) Chứng minh Ta có S(C, f ) ⊆ Bk với k Thật vậy, từ Định lý 3.1.2 ta có un − x ∗ ≤ xn − x∗ , ∀x∗ ∈ S(C, f ), S(C, f ) ⊆ Ck Ta chứng minh S(C, f ) ⊆ Dk phương pháp qui nạp Với k = D1 = H nên S(C, f ) ⊆ D1 Giả sử S(C, f ) ⊆ Dk , tức xg − xk , x∗ − xk ≤ với x∗ ∈ S(C, f ) Khi S(C, f ) ⊆ Bk = Ck ∩ Dk Mặt khác theo định nghĩa xk+1 = PBk (xg ) nên ta có x∗ − xk+1 , xk+1 − xg ≤ 0, 43 ∀x∗ ∈ S(C, f ), Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp hay xk+1 − x∗ , xg − xk+1 ≤ 0, ∀x∗ ∈ S(C, f ) Vậy S(C, f ) ⊆ Dk+1 , suy S(C, f ) ⊆ Bk Từ định nghĩa Dk , ta có xk = PDk (xg ) Do xk+1 ∈ Dk nên xk − xg ≤ xk+1 − xg , ∀k ∈ C Hơn nữa, xk = PDk (xg ) S(C, f ) ⊂ Dk với k nên ta có xk − xg ≤ x∗ − xg , ∀x∗ ∈ S(C, f ), ∀k (3.20) Do {xk } bị chặn Do tính bị chặn {xk } xk − xg ≤ xk+1 − xg với k nên limk xk − xg tồn Ta chứng minh xk+1 − xk → k → ∞ Thật vậy, xk ∈ Dk xk+1 ∈ Dk , Dk tập lồi nên ta có kk+1 + xk ∈ Dk Mặt khác, xk = PDk (xg ) nên theo tính chất lồi mạnh hàm xg − xg − xk xk+1 + xk ; xk − xg xk+1 − xg = + ; 2 1 = xg − xk+1 + xg − xk 2 ta có ≤ xg − − k+1 x − xk Suy k+1 x − xk ≤ xg − xk+1 − xg − xk k g Do lim x − x tồn nên ta suy xk+1 − xk → k → ∞ Mặt khác, xk+1 ∈ Bk ⊆ Ck , từ định nghĩa Ck ta có uk − xk+1 ≤ xk+1 − xk Do đó, uk − xk ≤ uk − xk+1 + xk+1 − xk ≤ xk+1 − xk , xk+1 − xk → 0, tức uk − xk → k → ∞ 44 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Sau ta điểm tụ yếu dãy {xk } nghiệm toán EP(C, f ) Thật vậy, lấy x điểm tụ yếu dãy {xk } Không tính chất tổng quát, ta giả sử xk x Ta xét hai trường hợp Trường hợp Việc tìm kiếm theo tia xảy hữu hạn điểm Trong trường hợp này, theo thuật toán, uk = xk với k vô hạn, yk = xk nghiệm toán EP(C, f ) với k Do vậy, trường hợp Trường hợp Việc tìm kiếm theo tia xảy vô hạn điểm Khi ta trích dãy giả thiết việc tìm kiếm theo tia thực với k Ta xét hai khả (a) limk ηk > Do xk x uk − xk → nên uk x Áp dụng công thức (3.15) với x∗ ∈ S(C, f ) ta thấy σk gk → Do định nghĩa σk nên ta có ηk − gk , yk − zk → − ηk Từ điều kiện limk ηk > 0, giả sử gk , yk − zk → Mặt khác từ giả thiết (B1) qui tắc tìm kiếm Armijo ta có 0≤ β k x − yk 2ρ Do đó, xk − yk → Do xk ≤ L(xk , yk ) ≤ − gk , yk − zk → 2ρ x nên yk x, yk nghiệm toán f (xk , y) + L(xk , y) : y ∈ C ρ (CP(Ck )) Khi ta viết lại sau 1 f (xk , y) + L(xk , y) ≥ f (xk , yk ) + L(xk , yk ) ∀y ∈ C ρ ρ Cho k tiến vô cùng, tính liên tục yếu f L nên 1 f (x, y) + L(x, y) ≥ f (x, y) + L(x, y) ∀y ∈ C, ρ ρ điều cho thấy y nghiệm toán CP(x) Do xk − yk → xk x, yk y nên suy x = y Vậy theo Bổ đề 3.2.1 x nghiệm toán EP(C, f ) (b) limk ηk = Trong trường hợp dãy {yk } bị chặn Thật vậy, yk nghiệm toán CP(xk ), hàm mục tiêu liên tục yếu, lồi mạnh lời giải không đổi Theo Định lý 45 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Berge, ánh xạ xk → s(xk ) := yk liên tục yếu Từ tính chất bị chặn {xk } ta suy {yk } bị chặn, suy yk Lập luận tương tự trước ta 1 f (x, y) + L(x, y) ≤ f (x, y) + L(x, y), ρ ρ y ∀y ∈ C (3.21) Mặt khác, mk số tự nhiên nhỏ thỏa mãn quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo nên f (zk,mk −1 , yk ) + L(xk , yk ) > (3.22) ρ Trong zk,mk −1 x k → ∞ Từ bất đẳng thức (3.22), tính liên tục yếu f L ta thu giới hạn f (x, y) + L(x, y) ≥ (3.23) ρ Thay y = x vào (3.21) ta f (x, y) + L(x, y) ≤ 0, ρ kết hợp với (3.23) ta f (x, y) + L(x, y) = ρ (3.24) Từ (3.24) f (x, x) + L(x, x) = 0, ρ suy x, y nghiệm toán f (x, y) + L(x, y) : y ∈ C ρ Do x = y, theo Bổ đề 3.2.1 x nghiệm toán EP(C, f ) Hơn nữa, từ điều kiện uk − xk → ta kết luận rằng, điểm tụ yếu {xk } nghiệm toán EP(C, f ) Ta cần {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm toán hai cấp (BO) Nhận thấy điểm tụ yếu {xk } thuộc tập nghiệm S(C, f ) Gọi x∗ điểm tụ dãy {xk }, s = PS(C, f ) (xg ) Khi đó, tồn dãy {xk j } dãy {xk } cho xk j → x∗ j → ∞ Theo chứng minh ta có x∗ ∈ S(C, f ) từ định nghĩa s ta suy s − xg ≤ x∗ − xg = lim xk j − xg ≤ lim sup xk − xg ≤ s − xg j k 46 Chương Hiệu chỉnh dựa tối ưu hai cấp Bất đẳng thức cuối xảy xk+1 = PBk (xg ) s ∈ S(C, f ) ⊆ Bk với k Do lim xk − xg = s − xg = x∗ − xg Do x∗ ∈ S(C, f ), s = PS(C, f ) (xg ) S(C, f ) tập lồi đóng nên hình chiếu xg lên S(C, f ) nhất, suy x∗ = s, xk → s k → ∞ nghiệm toán (BO) Từ xk − uk → ta có uk → Ps xg 3.3 Kết luận Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề, sử dụng phương pháp vào việc giải toán cân giả đơn điệu không gian Hilbert thông qua việc giải toán tối ưu hai cấp Chứng tỏ toán hiệu chỉnh có nghiệm toán gốc có nghiệm quỹ đạo nghiệm toán hiệu chỉnh hội tụ nghiệm nghiệm toán ban đầu 47 KẾT LUẬN CHUNG Luận văn trình bày vấn đề sau - Các khái niệm không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert, hội tụ yếu, hội tụ mạnh không gian Hilbert - Các định nghĩa tập lồi, nón lồi, hàm lồi tính chất hàm lồi - Phát biểu toán cân bằng, tồn nghiệm toán cân Trình bày số trường hợp đưa toán cân toán tối ưu, toán điểm bất động, toán cân Nash, toán điểm yên ngựa - Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov phương pháp điểm gần kề cho toán cân giả đơn điệu, thuật toán hiệu chỉnh dựa toán tối ưu hai cấp hội tụ thuật toán 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Giải tích hàm, (2009), NXB khoa học kỹ thuật, Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, NXB ĐHQG Hà Nội Tiếng Anh [3] Bui V.Dinh, Pham G.Hung, Le D.Muu (2014), Bilevel optimization as a regularization approach to pseudomonotone equilibrium problems, Numerical Functional Analysis and Optimization 35:539-563 [4] Pham G Hung, Le D Muu (2011), The Tikhonov regularization extended to equilibrium problems involving pseudomontone bifunctions, Nonlinear Analysis 74:6121 – 6129 [5] M Bianchi and S Schaible (1996), Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems, Journal of Optimization Theory and Applications 90:31–43 [6] G Mastroeni (2003), On auxiliary priciple for equilibrium problems, Kluwer Academic, Dordrecht, pp 289–298 [7] L D Muu (1984), Stability property of a class of variational inequality, Optimization 15:347–351 49 [...]... toán cân bằng; các khái niệm về song hàm đơn điệu mạnh, đơn điệu, giả đơn điệu Một số bài toán có thể đưa về dạng bài toán cân bằng Phát biểu và chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng 30 Chương 3 Hiệu chỉnh dựa trên tối ưu hai cấp Bài toán cân bằng hai cấp là bài toán có dạng Tìm x∗ ∈ S f sao cho g(x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ S f trong đó S f là tập nghiệm của bài toán cân bằng Tìm u ∈ C sao cho f... bài toán cân bằng ban đầu Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu hai phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán cân bằng giả đơn điệu đó là phương pháp Tikhonov và phương pháp điểm gần kề Thuật toán và tính hội tụ của thuật toán hiệu chỉnh dựa trên bài toán tối ưu hai cấp Các kết quả được lấy ra từ các tài liệu [3], [4], [5], [6], [7] 3.1 3.1.1 Hiệu chỉnh bài toán cân bằng giả đơn điệu Phương pháp hiệu chỉnh. .. riêng có thể đưa về bài toán cân bằng 17 Chương 2 Bài toán cân bằng 2.2 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng 2.2.1 Bài toán tối ưu Cho hàm số ϕ : C → R Xét bài toán tối ưu Tìm x∗ ∈ C sao cho ϕ(x∗ ) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ C (OP) Đặt f (x, y) := ϕ(y) − ϕ(x) Rõ ràng f (x, x) = ϕ(x) − ϕ(x) = 0 Vậy f là một song hàm cân bằng Khi đó bài toán tối ưu (OP) tương đương với bài toán Tìm x∗ ∈ C sao cho ϕ(y) − ϕ(x∗ )... ∈ C; 2 đơn điệu trên C nếu F(x) − F(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C; 3 giả đơn điệu trên C nếu F(x), x − y ≤ 0 ⇒ F(y), y − x ≥ 0 Ta đặt f (x, y) = F(x), y − x Khi đó toán tử cân bằng trở thành song hàm cân bằng 16 Chương 2 Bài toán cân bằng Nhận xét Nếu F là toán tử đơn điệu mạnh, đơn điệu hoặc giả đơn điệu trên C thì f cũng là song hàm đơn điệu mạnh, đơn điệu hoặc giả đơn điệu trên C Thật vậy Nếu toán tử... tục dưới 12 Chương 2 Bài toán cân bằng Chương này chúng ta nhắc lại các khái niệm về song hàm cân bằng, toán tử cân bằng và phát biểu bài toán cân bằng Một số bài toán có thể đưa về dạng bài toán cân bằng và sự tồn tại nghiệm của bài toán Các kiến thức này được tham khảo từ các tài liệu [2], [3] 2.1 Bài toán cân bằng và các khái niệm Trong kinh tế và nhiều lĩnh vực khác bài toán cân bằng có nhiều ý nghĩa... pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một trong những phương pháp cơ bản thường được sử dụng để giải các bài toán đặt không chỉnh Ý tưởng của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng là thay song hàm f bằng một song hàm fε := f + εg, trong đó ε > 0 là tham số hiệu chỉnh và g là song hàm đơn điệu mạnh được gọi là song hàm hiệu chỉnh, sau đó xét bài toán cân bằng với song hàm fε Xét bài toán cân bằng. .. với C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H và f , g : C ×C → R ∪ {+∞} là các song hàm cân bằng xác định trên C Bài toán cân bằng chứa nhiều lớp bài toán quan trọng khác như là các trường hợp riêng của nó như bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng Bài toán tối ưu hai cấp là bài toán tìm cực tiểu của một hàm... bài toán cân bằng có nhiều ý nghĩa quan trọng Hơn nữa, bài toán là sự mở rộng của nhiều bài toán khác như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm yên ngựa, Vì vậy mà lớp các bài toán cân bằng được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu 2.1.1 Phát biểu bài toán Định nghĩa 2.1.1 Giả sử C ⊆ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và f : H × H → R ∪ {+∞} thỏa... Khi đó ta gọi hàm f là một song hàm cân bằng trên C Cho f là một song hàm cân bằng trên C Ta xét bài toán Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C (EP(C, f )) Ta kí hiệu bài toán này là EP(C, f ) và gọi là bài toán cân bằng, tập nghiệm của nó được kí hiệu là S(C, f ) 2.1.2 Các khái niệm Định nghĩa 2.1.2 Song hàm f : H × H → R ∪ {+∞} được gọi là 13 Chương 2 Bài toán cân bằng 1 đơn điệu mạnh trên C với... sao cho f (x∗ , y) ≥ 0, 31 ∀y ∈ C, Chương 3 Hiệu chỉnh dựa trên tối ưu hai cấp trong đó C là một tập lồi đóng trong H , f : C ×C → R là một song hàm giả đơn điệu trên C Khi đó bài toán hiệu chỉnh được xây dựng như sau Tìm x ∈ C sao cho fε (x, y) := f (x, y) + εg(x, y) ≥ 0, (EP(C, fε )) ∀y ∈ C trong đó g(x, y) là một song hàm đơn điệu mạnh được gọi là song hàm hiệu chỉnh, ε > 0 là tham số hiệu chỉnh