ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Phạm Kế Quang ĐỊNH LÝ BÉZOUT VÀ CHIỀU NGƯỢC LẠI Chuyên ngành: Hình học tôpô Mã số: 60460105 TÓM TẮT LUẬN VĂN Người hướng dẫn: TS.Phó Đức Tài Hà Nội - 2015 Mục lục Chương Đường cong đại số 1.1.Đường cong phức C2 1.2.Đường cong xạ ảnh phức P2 1.2.1 Không gian xạ ảnh phức 1.2.2 Đường cong xạ ảnh phức P2 Chương Định lý Bézout 2.1.Kết thức 2.2.Bội giao 11 2.3.Định lý Bézout 12 Chương Chiều ngược lại định lý Bézout 14 3.1.Bội giao hai đường cong điểm 14 3.2.Một số trường hợp riêng toán ngược lại 15 3.3.Chiều ngược lại cho số trường hợp cụ thể 17 3.3.1 Hai đường cong bậc hai 3.3.2 Một đường cong bậc hai đường cong bậc ba 3.3.3 Hai đường cong bậc bốn 17 17 19 LỜI MỞ ĐẦU Hình học đại số chuyên ngành toán học sử dụng công cụ đại số để nghiên cứu toán hình học Đối tượng đường cong, mặt cong, hay tổng quát siêu mặt đại số, chúng định nghĩa đa thức Trong hình học đại số, lý thuyết giao nghiên cứu phần giao hai hay nhiều siêu mặt đại số Tìm phần giao hai siêu mặt đại số tương đương với việc giải hệ phương trình gồm hai phương trình đa thức Khởi đầu định lý cổ điển, định lý Bézout (1779) phát biểu tổng số giao điểm (đếm bội) hai đường cong xạ ảnh phức tích hai bậc Số bội sau cụ thể hóa khái niệm số bội giao (hay nói gọn hơn, bội giao) Trường hợp riêng định lý Bézout hai đường cong y = f (x) (với f (x) đa thức bậc m) y = (đa thức bậc 1) Định lý Đại số học Mục đích luận văn nhằm tìm hiểu vấn đề giao điểm hai đường cong mặt phẳng xạ ảnh phức, cụ thể số giao điểm, số bội giao Trọng tâm luận văn Định lý Bezout chiều ngược lại: Cho trước hai số nguyên dương m n Với k số nguyên dương [s1 , s2 , , sk ] cho s1 +s2 +· · ·+sk = m·n., liệu có tồn hay không hai đường cong xạ ảnh bậc m n P2 cho chúng giao k điểm với số bội giao tương ứng s1 , s2 , , sk Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương khóa luận trình bày tóm tắt lý thuyết đường cong đại số C2 không gian xạ ảnh phức P2 • Chương tìm hiểu kết thức, bội giao, tính chất kết thức sử dụng tính chất để chứng minh định lý Bézout • Chương tìm hiểu chiều ngược lại định lý Bézout Chứng minh số trường hợp riêng cho chiều ngược lại (mục 3.2), đưa số ví dụ minh họa (cụ thể trường hợp hai đường cong bậc hai đường cong bậc hai với đường cong bậc ba trình bày chi tiết mục 3.3) Hà Nội, ngày 23 tháng 12 năm 2015 Học viên Phạm Kế Quang Chương Đường cong đại số Cho f (x, y) đa thức hai biến hệ số thực Khi tập {(x,y)∈ R2 | f (x, y) = 0} gọi đường cong đại số thực Bậc đa thức f bậc đường cong đại số Bài toán đặt tìm số giao điểm hai đường cong đại số Do R trường đóng đại số nên lời giải toán tìm giao điểm không đủ Do khóa luận ta xét đường cong đại số trường số phức C 1.1 Đường cong phức C2 Giả sử f (x, y) đa thức hai biến, khác số, với hệ số phức Ta nói f (x, y) thành phần bội không tồn khai triển: f (x, y) = g (x, y)h(x, y), g(x, y),h(x, y) đa thức g(x, y) khác số Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f (x, y) đa thức hai biến, khác số, với hệ số phức thành phần bội Khi đường cong đại số phức C C2 (hay gọi đường cong affine) định nghĩa f (x, y) C = {(x, y) ∈ C2 | f (x, y) = 0} Định nghĩa 1.1.2 Cho f (x, y) đa thức hai biến cij xi y j f (x, y) = i,j Bậc d đường cong C = {(x, y) ∈ C2 | f (x, y) = 0} bậc đa thức f (x, y) Tức là: d = max{i + j | cij = 0} Định nghĩa 1.1.3 Cho f (x, y) đa thức hai biến C = {(x, y) ∈ C2 | f (x, y) = 0} Một điểm (a, b) ∈ Cđược gọi điểm kì dị C ∂f ∂f (a, b) = (a, b) = ∂x ∂y Tập hợp điểm kì dị C kí hiệu Sing(C) C gọi kì dị Sing(C) = ∅ Định nghĩa 1.1.4 Một đường cong định nghĩa phương trình tuyến tính: ax + by + c = 0, a, b, c số phức, a b không đồng thời không, gọi đường thẳng Định nghĩa 1.1.5 Một đa thức n biến, khác không f (x1 , x2 , , xn ) gọi đa thức bậc d với λ ∈ C f (λx1 , λx2 , , λxn ) = λn f (x1 , x2 , , xn ) Một cách tương đương, f có dạng cr1 ,r2 , ,rn · xr11 xr22 xrnn , f (x1 , x2 , , xn ) = r1 +r2 +···+rn =d với cr1 ,r2 , ,rn số phức Mệnh đề sau đơn giản lại quan trọng, dùng đến nhiều chương Mệnh đề 1.1.1 ([3], Bổ đề 2.8, trang 31) Giả sử f (x, y) đa thức hai biến, khác không, bậc d với hệ số phức có phân tích thành tích đa thức tuyến tính n (αi x − βi y), f (x, y) = i=1 với α, β ∈ C Định nghĩa 1.1.6 Cho đường cong C định nghĩa f (x, y) = Khi số bội (a, b) ∈ C số nguyên dương m bé cho: ∂ mf (a, b) = 0, ∂xi ∂y j với i ≥ 0, j ≥ i + j = m (a, b) gọi điểm bội m Khi đa thức : h(x, y) = ∂ mf (x − a)i (y − b)j (a, b) ∂xi ∂y j i!j! i+j=m (1.1.1) đa thức bâc m Theo mệnh đề 1.1.1 h(x, y) có phân tích thành tích m đa thức tuyến tính có dạng t(x, y) = α(x − a) + β(y − b), với (α, β) ∈ C2 \{(0, 0)} Các đường thẳng t(x, y) = gọi tiếp tuyến C (a, b) Định nghĩa 1.1.7 Một đường cong C định nghĩa đa thức f (x, y) gọi bất khả qui f bất khả qui, tức f (x, y) có nhân tử số bội vô hướng Nếu f (x, y) = f1 (x, y)f2 (x, y) fk (x, y) đường cong định nghĩa f1 (x, y), f2 (x, y), , fk (x, y) gọi thành phần bất khả qui C 1.2 Đường cong xạ ảnh phức P2 Một đường cong C C2 không compact, compact hóa cách thêm vào "các điểm vô cùng" để thu số kết mong muốn Chẳng hạn việc xét giao điểm hai đường cong y − x2 = −1, y = cx với c số phức Khi c = ±1 hai đường cong cắt hai điểm Khi c = ±1 hai đường cong không cắt tiệm cận x, y tiến vô Ta thêm điểm vô C2 để y − x2 = −1 y = ±x cắt vô Để thực điều ta cần đến khái niệm không gian xạ ảnh 1.2.1 Không gian xạ ảnh phức Định nghĩa 1.2.1 Một không gian xạ ảnh phức n chiều Pn tập hợp không gian phức môt chiều không gian vector Cn+1 Khi n = ta có đường thẳng xạ ảnh phức n = ta có mặt phẳng xạ ảnh phức Chú ý 1.2.1 Nếu V không gian vector trường K không gian xạ ảnh tương ứng P(V ) tập hợp không gian chiều V Trong định nghĩa K = C, V = Cn+1 cho đơn giản ta thường viết Pn thay cho P(Cn+1 ) Định nghĩa 1.2.2 Một vector (x0 , , xn ) ∈ Cn+1 biểu thị cho phần tử x Pn , ta gọi (x0 , , xn ) tọa độ cho x viết x = [x0 , , xn ] Do đó: P n = {[x0 , , xn ] |(x0 , , xn ) ∈ Cn+1 \{0}} [x0 , , xn ] = [y0 , , yn ] tồn λ ∈ C cho xi = λyi với i Định nghĩa 1.2.3 Một phép biến đổi xạ ảnh Pn song ánh f : Pn −→ Pn cho với đẳng cấu tuyến tính α : Cn+1 −→ Cn+1 đó, ta có: f [x0 , , xn ] = [y0 , , yn ], (y0 , , yn ) = α(x0 , , xn ), tức là: f ◦ Π = Π ◦ α Ở Π : Cn+1 \{0} −→ Pn định nghĩa bởi: Π(x0 , , xn ) = [x0 , , xn ] 1.2.2 Đường cong xạ ảnh phức P2 Mặt phẳng xạ ảnh P2 không gian chiều phức C3 P2 = {[x, y, z] | (x, y, z) ∈ C3 \{0}} [x, y, z] = [u, v, w] tồn λ thuộc C\{0} cho x = λu, y = λv, z = λw Định nghĩa 1.2.4 Giả sử f (x, y, z) đa thức ba biến x, y, z, khác số, với hệ số phức Giả sử f (x, y, z) thừa số bội Khi đường cong xạ ảnh C định nghĩa f (x, y, z) C = {[x, y, z] ∈ P2 | f (x, y, z) = 0} Định nghĩa 1.2.5 Bậc đường cong xạ ảnh C P2 định nghĩa đa thức f (x, y, z) bậc đa thức f (x, y, z) Định nghĩa 1.2.6 Đường cong C gọi bất khả qui f (x, y, z) bất khả qui, tức f (x, y, z) có nhân tử số bội vô hướng Một đường cong xạ ảnh D định nghĩa đa thức g(x, y, z) gọi thành phần bất khả qui C f (x, y, z) = g(x, y, z)h(x, y, z) với h đa thức khác số Định nghĩa 1.2.7 Cho đường cong xạ ảnh C P2 định nghĩa đa thức f (x, y, z) Điểm [a, b, c] C gọi điểm kì dị nếu: ∂f ∂f ∂f (a, b, c) = (a, b, c) = (a, b, c) = ∂x ∂y ∂z Tập hợp điểm kì dị C kí hiệu Sing(C) Đường cong C gọi kì dị(trơn) Sing(C) = ∅ Định nghĩa 1.2.8 Một đường cong xạ ảnh định nghĩa phương trình tuyến tính αx + βy + γz = 0, α, β, γ ∈ C\{0} gọi đường thẳng xạ ảnh Đường tiếp tuyến điểm không kì dị [a, b, c] đường cong C = {[x, y, z] ∈ P2 | f (x, y, z) = 0} đường thẳng ∂f ∂f ∂f (a, b, c)x + (a, b, c)y + (a, b, c)z = ∂x ∂y ∂z Chương Định lý Bézout Trong chương trình bày số khái niệm kết thức, bội giao tính chất chúng, qua chứng minh định lý Bézout 2.1 Kết thức Định nghĩa 2.1.1 Cho K trường đóng đại số (C) Hai đa thức f, g ∈ C[X]: f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an với a0 = 0, g(x) = b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm với b0 = Một ma trận Sylvester(Syl) f g theo biến x ma trận cỡ (m + n) × (m + n) cho bởi: m+n  a0 a1  a0     Syl(f, g, X) =     b0 b1   b0    an a1 an a0 a1 bm b1 b m b0 b1       an          bm với vị trí trống ma trận có giá trị Khi kết thức f g định thức ma trận Sylvester Res(f, g, x) = det(Syl(f, g, x))      m    ,      n     Nếu f (z, y, z) = a0 (x, y)z n + a1 (x, y)z n−1 + · · · + an (x, y), g(z, y, z) = b0 (x, y)z m + b1 (x, y)z m−1 + · · · + bm (x, y), hai đa thức ba biến kết thức Res(f, g, z) f g theo biến z định nghĩa cách tương tự, cách thay (x, y) bj (x, y) tương ứng cho bj với ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ m Mệnh đề 2.1.1 ([3], Bổ đề 3.3, trang 53) Giả sử f (x) g(x) đa thức theo biến x Khi f (x) g(x) có nhân tử chung khác số Res(f, g, x) = Mệnh đề 2.1.2 ([3], Bổ đề 3.4, trang 53) Giả sử f (x, y, z) g(x, y, z) đa thức khác số với biến x, y, z,ngoài f (1, 0, 0) = = g(1, 0, 0) Khi f (x, y, z) g(x, y, z) có nhân tử chung đa thức khác số Res(f, g, x) = Bổ đề 2.1.1 Giả sử h(x1 , x2 , , xn ) ∈ K[x1 , x2 , , xn ] đa thức n biến Nếu h = thay x1 cho x2 giữ nguyên tất xi khác (i = 2) Khi h(x1 , x2 , , xn ) chia hết cho x1 − x2 Mệnh đề 2.1.3 ([3], Bổ đề 3.7, trang 54) Giả sử f (x, y, z) g(x, y, z) đa thức bậc n m với biến x, y, z Khi kết thức Res(f, g, z) đa thức nhất, bậc n · m, hai biến x y Mệnh đề 2.1.4 ([3], Bổ đề 3.6, trang 53) Giả sử : f (x) = (x − α1 )(x − α2 ) (x − αn ), g(x) = (x − β1 )(x − β2 ) (x − βm ), α1 , α2 , , αn , β1 , β2 , , βm số phức thì: (βj − αi ) Res(f, g, x) = 1≤i≤n,1≤j≤m Hơn nữa, f, g1 , g2 đa thức ba biến x, y, z Res(f, g1 g2 , x) = Res(f, g1 , x)Res(f, g2 , x) 10 2.2 Bội giao Chúng ta định nghĩa bội giao Ip (C, D) điểm p = [a, b, c] hai đường cong C D P2 thông qua kết thức hai đa thức xác định hai đường cong hệ tọa độ thích hợp Hệ tọa độ xạ ảnh chọn cho điều kiện: [1, 0, 0] không thuộc C ∪ D, [1, 0, 0] không nằm đường thẳng nối hai điểm phân biệt, C ∩ D, [1, 0, 0] không nằm đường tiếp tuyến C hay D điểm C ∩ D, thỏa mãn Định nghĩa 2.2.1 Cho C D hai đường cong P2 , p = [a, b, c] Khi đó: • Nếu p nằm thành phần chung C D Ip (C ∩ D) = ∞ • Nếu p không nằm C ∩ D Ip (C, D) = • Nếu p nằm C ∩ D không nằm thành phần chung C D f (x, y, z) g(x, y, z) hai đa thức xác định hai đường cong C D bỏ thành phần chung (nếu có) Chọn hệ tọa độ cho điều kiện đến thỏa mãn Nếu p = [a, b, c] hệ tọa độ Ip (C, D) số nguyên lớn k cho (bz − cy)k chia hết Res(f, g, x) Mệnh đề 2.2.1 ([3], Định lý 3.18, trang 59) Cho hai đường cong xạ ảnh C D P2 , Khi đó: (i) Ip (C, D) = Ip (D, C) (ii) Ip (C, D) = ∞ p nằm thành phần chung C D, ngược lại số nguyên không âm (iii) Ip (C, D) = p ∈ / C ∩ D (iv) Hai đường thẳng phân biệt cắt điểm nhất, số giao (v) Nếu C1 C2 định nghĩa đa thức f1 (x, y, z) f2 (x, y, z) C xác định f (x, y, z) = f1 (x, y, z)f2 (x, y, z) Ip (C, D) = Ip (C1 , D) + Ip (C2 , D) 11 (vi) Nếu C D định nghĩa đa thức f (x, y, z) g(x, y, z) bậc n m, E định nghĩa f (x, y, z)r(x, y, z) + g(x, y, z) r(x, y, z) đa thức bấc m − n Ip (C, D) = Ip (C, E) 2.3 Định lý Bézout Định lý 2.3.1 ([3], Định lý 3.8, trang 54) Hai đường cong xạ ảnh C D P2 giao điểm Định lý 2.3.2 ([3], Định lý 3.9, trang 54).(Dạng yếu định lý Bézout) Nếu hai đường cong xạ ảnh C D P2 bậc tương ứng n m, thành phần chung chúng giao nhiều m · n điểm Hệ 2.3.1 ([3], Hệ 3.10, trang 55) (a) Mỗi đường cong xạ ảnh trơn C P2 bất khả qui (b) Mỗi đường cong xạ ảnh C bất khả qui P2 đếu có hữu hạn điểm kì dị Mệnh đề 2.3.1 ([3], Mệnh đề 3.14, trang 56) Giả sử hai đường cong xạ ảnh C D bậc n P2 giao n2 điểm có nm điểm số điểm nằm đường cong bất khả qui E có bậc m < n, n(n − m) điểm lại nằm đường cong bậc n − m Hệ 2.3.2 ([3], Mệnh đề 3.15, trang 57) Các cặp cạnh đối hình lục giác nội tiếp conic P2 cắt ba điểm cộng tuyến Định lý 2.3.3 ([3], Định lý 3.1, trang 52).(Định lý Bézout) Giả sử C D hai đường cong xạ ảnh P2 có bậc m n Nếu C D thành phần chung chúng có xác m · n giao điểm tính bội Tức Ip (C, D) = m · n p∈C∩D Chứng minh Chọn hệ tọa độ thỏa mãn điều kiện từ đến giống định nghĩa (2.2.1) Giả sử C D định nghĩa đa thức f (x, y, z) g(x, y, z) hệ tọa độ Theo mệnh đề (2.1.3) (2.1.2) kết thức Res(f, g, x) đa thức bậc m · n với hai biến y z, không đồng không, theo mệnh đề (1.1.1) phân tích thành tích m · n thừa số tuyến tính, chẳng hạn k (bi z − ci y)si Res(f, g, x) = i=1 12 si số nguyên s1 + s2 + · · · + sk = m · n với i = j (bi , ci ) = (bj , cj ) Ta có Res(f (x, bi , ci ), g(x, bi , ci ), x) = tồn để f (ai , bi , ci ) = g(ai , bi , ci ) hay tồn số phức cho C ∩ D = {pi |1 ≤ i ≤ k} với pi = [ai , bi , ci ] Theo định nghĩa bội giao Ipi (C, D) = si Do ta có điều phải chứng minh 13 Chương Chiều ngược lại định lý Bézout Định lý Bézout xem định lý lâu đời hình học đại số toán ngược lại dừng lại đoán mà chưa có lời giải, chứng minh cụ thể Trong luận văn vậy, chứng minh chiều ngược lại cho số trường hợp riêng đưa số ví dụ cụ thể trường hợp mà chiều ngược lại đúng, gồm trường hợp hai đường bậc hai trường hơp đường bậc hai đường bậc ba Bài toán ngược lại định lý bezout phát biểu sau: Cho trước hai số nguyên dương m n Với k số nguyên dương [s1 , s2 , , sk ] cho s1 + s2 + · · · + sk = m · n Liệu có tồn hay không hai đường cong xạ ảnh bậc m n P2 cho chúng giao k điểm với số bội giao tương ứng s1 , s2 , , sk Kết chương mệnh đề 3.2.1 Để đơn giản ta xét đường cong C2 3.1 Bội giao hai đường cong điểm Trong mục tìm hiểu số giao hai đường cong bậc m bậc n điểm Bổ đề cho cách tính số giao cách hiệu trường hợp đường cong tham số hóa đa thức Bổ đề 3.1.1 Cho hai đường cong C D định nghĩa f (x, y) = g(x, y) = f (x, y) có phương trình tham số  x = φ(t) y = ψ(t), 14 với φ(t), ψ(t) ∈ C[t] Khi I(0,0) (C, D) = ldegt g φ(t), ψ(t) , ldegt g φ(t), ψ(t) kí hiệu bậc nhỏ đơn thức g φ(t), ψ(t) theo t Từ bổ đề ta có kết sau Mệnh đề 3.1.1 Cho ≤ p ≤ m · n Luôn tồn hai đường cong bậc m n chúng giao O(0, 0) với bội giao p 3.2 Một số trường hợp riêng toán ngược lại Mệnh đề 3.2.1 Cho k số nguyên dương [s1 , s2 , , sk ] bất kì, có tổng s1 + s2 + · · · + sk = m · n(n ≤ m) m·n< (m + 1)(m + 2) Khi tồn hai đường cong bậc n m cho chúng giao k điểm với số bội giao tương ứng s1 , s2 , , sk Chứng minh Chọn C đường cong bậc n định nghĩa f (x, y) = y − xn Bài toán đặt ra tồn đường cong D bậc m cho D giao C k điểm điểm bội giao tương ứng s1 , s2 , , sk D đường cong bậc m định nghĩa aij xi y j , g(x, y) = ∃aij = 0(i + j = m) i+j≤m −−→ Xét điểm M = (b, bn ) ∈ C tùy ý Chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến theo OM  x = X + b y = Y + bn Khi f → f1 = Y + bn − (X + b)n aij (X + b)i (Y + bn )j g → g1 = i+j≤m 15 Trong hệ tọa độ f1 có phương trình tham số  X = t = φ(t) Y = (t + b)n − bn = ψ(t) Khi aij (t + b)i (t + b)nj = g1 φ(t), ψ(t)) = i+j≤m i+j≤m Cij0 aij + = aij (t + b)i+nj i+j≤m Cij1 aij t + · · · + i+j≤m Cijnm aij tnm , i+j≤m Cijk aij i+j≤m tổ hợp tuyến tính aij Theo bổ đề (3.1.1) để C ∩ D M (b, bn ) với số bội giao sb (s1 ≤ sb ≤ sk ) I(0,0) (C, D) = ldegt g1 (φ(t), ψ(t)) = sb Khi Cije aij = với e, ≤ e ≤ sb − i+j≤m Khi e chạy từ đến sb − ta nhận hệ sb phương trình tuyến tính với biến aij Do k điểm C ∩ D ta nhận hệ s1 + s2 + · · · + sk = m · n phương trình tuyến tính với biến aij Tập hợp H = {aij |i + j ≤ m} gồm (m+1)(m+2) phần tử Vì (m + 1)(m + 2) nên hệ phương trình thu hệ tuyến tính có số phương trình số ẩn Ta chọn nghiệm cho aij = 0, với i + j = m, tồn đường cong D bậc m cho D giao C k điểm điểm có bội giao tương ứng s1 , s2 , , sk Từ dó ta có điều phải chứng minh m·n< Mệnh đề 3.2.2 Luôn tồn hai đường cong với bậc tương ứng m n cho: • Chúng giao m · n điểm với bội giao • Chúng giao điểm với bội giao m · n Mệnh đề 3.2.3 Luôn tồn hai đường cong bậc m n(n ≤ m) cho chúng giao hai điểm với bội giao [1, mn − 1], [2, mn − 2], hoặc, , [n − 1, mn − n + 1] Mệnh đề 3.2.4 Luôn tồn hai đường cong bậc m n (n ≤ m) cho chúng giao k điểm với bội giao tương ứng m.i1 , m.i2 , , m.ik với i1 + i2 + · · · + ik = n 16 3.3 Chiều ngược lại cho số trường hợp cụ thể Ta kí hiệu [s1 , s2 , , sk ] số bội giao hai đường cong k điểm 3.3.1 Hai đường cong bậc hai Hai đường cong bậc hai C D giao bốn điểm tính bội với trường hợp [1, 1, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 3], [2, 2], [4] Chọn C đường cong định nghĩa f (x, y) = y − x2 • Trường hợp 1: [1,1,1,1] Cho D định nghĩa g(x, y) = x2 − y + 2xy − 2x • Trường hợp 2: [1,1,2] Cho D định nghĩa g(x, y) = x2 + y − 2y • Trường hợp 3: [1,3] Cho D định nghĩa g(x, y) = x2 + y − xy − y • Trường hợp 4: [2,2] Cho D định nghĩa g(x, y) = 2x2 + y − 2xy − y • Trường hợp 5: [4] Cho D định nghĩa g(x, y) = x2 + y − y 3.3.2 Một đường cong bậc hai đường cong bậc ba Tương tự hai đường cong bậc hai Với f (x, y) = y − x2 , ta có 11 trường hợp sau • Trường hợp 1: [1,1,1,1,1,1] Với g = x2 − y + 6y − 7y + Khi Res(f, g, x) = (y − 1)2 (y − 5y + 1)2 , Res(f, g, y) = −(x − 1)(x + 1)(x4 − 5x2 + 1) • Trường hợp 2: [1,1,1,1,2] Với g = x2 − y + 6y − 7y Khi Res(f, g, x) = y (6 + y − 6y)2 , Res(f, g, y) = −x2 (6 − 6x2 + x4 ) 17 • Trường hợp 3: [1,1,1,3] Với g = y − xy − x3 Khi Res(f, g, x) = −y (−4 + y ), Res(f, g, y) = x3 (−2 + x3 ) • Trường hợp 4: [1,1,4] Với g = y + x3 − xy − 2y Khi Res(f, g, x) = −y (y − 2)2 , Res(f, g, y) = x4 (−2 + x2 ) • Trường hợp 5: [1,5] Với g = x3 − y x + y − xy Khi Res(f, g, x) = −y (−1 + y), Res(f, g, y) = x5 (−1 + x) • Trường hợp 6: [1,1,2,2] Với g = x3 − yx2 + 5y − 7y x + x2 + y Khi Res(f, g, x) = −y (25y + y + 1)(−1 + y)2 , Res(f, g, y) = x2 (5x2 + 3x + 1)(−1 + x)2 • Trường hợp 7, [1,2,3] Với g = −2x3 − y + 3y Khi Res(f, g, x) = −y (y − 4)(−1 + y)2 , Res(f, g, y) = −x3 (x + 2)(−1 + x)2 • Trường hợp 8: [2,2,2] Với g = x3 + 2y − 4y + 2x2 − xy Khi Res(f, g, x) = −4y (−1 + y)4 , Res(f, g, y) = 2x2 (−1 + x)2 (x + 1)2 18 • Trường hợp 9: [2,4] Với g = x3 + 2y − 4y x + 2y − xy Khi Res(f, g, x) = −4y (−1 + y)2 , Res(f, g, y) = 2x4 (−1 + x)2 • Trường hợp 10: [3,3] Với g = x3 − y + 3y x + yx2 − 4y Khi Res(f, g, x) = −y (−1 + y)3 , Res(f, g, y) = −x3 (−1 + x)3 • Trường hợp 11: [6] Với g = x3 + y − xy Khi Res(f, g, x) = −y , Res(f, g, y) = x6 3.3.3 Hai đường cong bậc bốn Hai đường cong không thỏa mãn mệnh đề 3.2.1 Nhưng ta tìm hai đường cong bậc bốn thỏa mãn số trường hợp sau: • [1, 1, , 1] [16] nói mệnh đề 3.2.2 • [1, 15] nói mệnh đề 3.2.3, với C định nghĩa g(x, y) = y(y − x3 ) D định nghĩa h(x, y) = y + y.x − y − x4 + x3 Khi Res(f, g, x) = y 16 , Res(f, g, y) = −x15 (x − 1) • [4, 4, 4, 4] Ta chọn hai đường cong nói mệnh đề 3.2.4 chọn khác C định nghĩa f (x, y) = x4 + y − D định nghĩa g(x, y) = (x + 1)(x − 1)(y + 1)(y − 1) + x4 + y − Khi Res(f, g, x) = y (y − 1)4 y (y + 1)4 , Res(f, g, y) = (x − 1)4 x4 (x + 1)4 x4 Tương tự ta có trường hợp 19 • [4, 4, 8] với C định nghĩa f (x, y) = x4 + y − D định nghĩa g(x, y) = (x + 1)(x − 1)(y + 1)2 + x4 + y − • [8, 8] với C định nghĩa f (x, y) = x4 + y − D định nghĩa g(x, y) = (x + 1)2 (y + 1)2 + x4 + y − • [4, 12] với C định nghĩa h = y − (x − 1)(x + 1)3 D định nghĩa g(x, y) = y − h(x, y) Nhận xét 3.2.1 Trong trường hợp hai đường cong bậc bốn, đưa tất trường hợp nhiên để đưa hết vào luận văn dài nên không trình bày tất Từ ví dụ ta hi vọng tồn toàn trường hợp toán ngược định lý Bézout 20 KẾT LUẬN Đóng góp luận văn bao gồm: Đọc hiểu trình bày lại kết kết thức, định lý Bézout Chứng minh chiều ngược lại định lý Bézout cho số trường hợp riêng Ngoài ra, luận văn cho nhiều ví dụ minh họa cho chiều ngược lại Tuy nhiên thời gian thực luận văn không nhiều có sai sót mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc 21 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội (2000) [2] David Cox, John Little & Donal O’Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms - 3rd edition, Springer(2006) [3] Frances C.Kirwan, Complex Algebraic Curves, Cambridge University Press (1992) [4] Serge Lang, Algebra - 3rd edition, Springer(2002) 22 [...]... Theo định nghĩa về bội giao thì Ipi (C, D) = si Do đó ta có điều phải chứng minh 13 Chương 3 Chiều ngược lại của định lý Bézout Định lý Bézout được xem là một trong những định lý lâu đời của hình học đại số nhưng cho đến nay bài toán ngược lại của nó vẫn chỉ dừng lại ở những phỏng đoán mà vẫn chưa có lời giải, chứng minh cụ thể nào Trong luận văn này cũng vậy, chúng tôi chứng minh chiều ngược lại cho... vào luận văn thì quá dài nên không trình bày tất cả Từ những ví dụ trên ta có thể hi vọng tồn tại toàn bộ các trường hợp của bài toán ngược định lý Bézout 20 KẾT LUẬN Đóng góp chính của luận văn bao gồm: 1 Đọc hiểu và trình bày lại các kết quả về kết thức, định lý Bézout 2 Chứng minh chiều ngược lại của định lý Bézout cho một số trường hợp riêng Ngoài ra, luận văn còn cho nhiều ví dụ minh họa cho chiều. .. (x, y, z) và f2 (x, y, z) và C xác định bởi f (x, y, z) = f1 (x, y, z)f2 (x, y, z) thì Ip (C, D) = Ip (C1 , D) + Ip (C2 , D) 11 (vi) Nếu C và D định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất f (x, y, z) và g(x, y, z) bậc n và m, và E định nghĩa bởi f (x, y, z)r(x, y, z) + g(x, y, z) trong đó r(x, y, z) là đa thức thuần nhất bấc m − n thì Ip (C, D) = Ip (C, E) 2.3 Định lý Bézout Định lý 2.3.1 ([3], Định lý 3.8,... cũng vậy, chúng tôi chứng minh chiều ngược lại cho một số trường hợp riêng và đưa ra một số ví dụ cụ thể đó là các trường hợp mà chiều ngược lại đúng, gồm trường hợp hai đường bậc hai và trường hơp một đường bậc hai và một đường bậc ba Bài toán ngược lại của định lý bezout được phát biểu như sau: Cho trước hai số nguyên dương m và n Với một bộ k số nguyên dương bất kì [s1 , s2 , , sk ] sao cho s1... Định lý 3.1, trang 52). (Định lý Bézout) Giả sử C và D là hai đường cong xạ ảnh trong P2 có bậc bằng m và n Nếu C và D không có thành phần chung thì chúng có chính xác m · n giao điểm tính cả bội Tức là Ip (C, D) = m · n p∈C∩D Chứng minh Chọn hệ tọa độ thỏa mãn các điều kiện từ 1 đến 3 giống trong định nghĩa (2.2.1) Giả sử C và D định nghĩa bởi các đa thức thuần nhất f (x, y, z) và g(x, y, z) trong hệ... Ip (C, D) = Ip (C, E) 2.3 Định lý Bézout Định lý 2.3.1 ([3], Định lý 3.8, trang 54) Hai đường cong xạ ảnh C và D bất kỳ trong P2 giao nhau ít nhất tại một điểm Định lý 2.3.2 ([3], Định lý 3.9, trang 54).(Dạng yếu của định lý Bézout) Nếu hai đường cong xạ ảnh C và D trong P2 bậc tương ứng là n và m, không có thành phần chung thì chúng giao nhau tại nhiều nhất m · n điểm Hệ quả 2.3.1 ([3], Hệ quả 3.10,... 1)4 x4 Tương tự ta có các trường hợp 19 • [4, 4, 8] với C định nghĩa bởi f (x, y) = x4 + y 4 − 1 và D định nghĩa bởi g(x, y) = (x + 1)(x − 1)(y + 1)2 + x4 + y 4 − 1 • [8, 8] với C định nghĩa bởi f (x, y) = x4 + y 4 − 1 và D định nghĩa bởi g(x, y) = (x + 1)2 (y + 1)2 + x4 + y 4 − 1 • [4, 12] với C định nghĩa bởi h = y − (x − 1)(x + 1)3 và D định nghĩa bởi g(x, y) = y 4 − h(x, y) Nhận xét 3.2.1 Trong... Mệnh đề 2.2.1 ([3], Định lý 3.18, trang 59) Cho hai đường cong xạ ảnh C và D trong P2 , Khi đó: (i) Ip (C, D) = Ip (D, C) (ii) Ip (C, D) = ∞ nếu p nằm trên một thành phần chung của C và D, còn ngược lại thì nó là một số nguyên không âm (iii) Ip (C, D) = 0 khi và chỉ khi p ∈ / C ∩ D (iv) Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tại một điểm duy nhất, tại đó số giao bằng một (v) Nếu C1 và C2 định nghĩa bởi các... Res(f, g, z) của f và g theo biến z được định nghĩa một cách tương tự, bằng cách thay ai (x, y) và bj (x, y) tương ứng cho ai và bj với 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m Mệnh đề 2.1.1 ([3], Bổ đề 3.3, trang 53) Giả sử f (x) và g(x) là các đa thức theo biến x Khi đó f (x) và g(x) có nhân tử chung khác hằng số khi và chỉ khi Res(f, g, x) = 0 Mệnh đề 2.1.2 ([3], Bổ đề 3.4, trang 53) Giả sử f (x, y, z) và g(x, y, z) là... ảnh C và D bậc n trong P2 giao nhau tại đúng n2 điểm và có đúng nm điểm trong số các điểm này nằm trên một đường cong bất khả qui E có bậc m < n, khi đó n(n − m) điểm còn lại nằm trên một đường cong bậc ít nhất bằng n − m Hệ quả 2.3.2 ([3], Mệnh đề 3.15, trang 57) Các cặp cạnh đối của một hình lục giác nội tiếp trong một conic trong P2 cắt nhau tại ba điểm cộng tuyến Định lý 2.3.3 ([3], Định lý 3.1,