ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đào Thị Anh Phương PHÉP BIẾN ĐỔI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đào Thị Anh Phương PHÉP BIẾN ĐỔI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội - 2011 Mục lục LỜI NÓI ĐẦU Chương Một lớp phương trình hàm sinh hàm phân tuyến tính 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Hàm số 1.1.2 Hàm số đơn điệu 1.1.3 Hàm phân tuyến tính 1.2 Phép biến đổi phân tuyến tính phương trình hàm 1.2.1 Hàm số xác định phép biến đổi phân tuyến tính 1.2.2 Một số toán khác hàm phân tuyến tính 23 1.2.3 Bài tập tham khảo 34 Chương Một số toán dãy số 36 2.1 Phương trình hệ phương trình sai phân 36 2.1.1 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số 36 2.1.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số 40 2.2 Phương trình sai phân dạng phân tuyến tính với hệ số 41 2.3 Giới hạn số dãy truy hồi dạng phân tuyến tính 50 2.4 Bài tập tham khảo 56 KẾT LUẬN 58 Tài liệu tham khảo 59 LỜI NÓI ĐẦU Phép biến đổi phân tuyến tính có nhiều ứng dụng môn Toán bậc phổ thông Đặc biệt trường chuyên, lớp chọn kỳ thi học sinh giỏi Toán nước, kỳ thi Olympic nước giới thông qua toán phương trình hàm, toán dãy số Để đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy môn toán bậc phổ thông, luận văn Phép biến đổi phân tuyến tính áp dụng giải số toán phổ thông với mục tiêu tổng hợp chọn lọc kiến thức phép biến đổi phân tuyến tính để giải toán phương trình hàm toán dãy số Luận văn chia thành hai chương Chương 1: Một lớp phương trình hàm sinh hàm phân tuyến tính Chương nêu lên số kiến thức hàm số nói chung hàm phân tuyến tính nói riêng Phần trọng tâm chương giải toán phép biến đổi phân tuyến tính phương trình hàm Chương 2: Một số toán dãy số Chương nêu lên kiến thức phương trình hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số Phần trọng tâm chương giải toán hai mảng kiến thức dãy số: • Phương trình sai phân dạng phân tuyến tính với hệ số • Giới hạn số dãy sai phân dạng phân tuyến tính Để hoàn thành luận văn này, trước tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, bảo tận tình giúp đỡ trình xây dựng đề tài hoàn thiện luận văn Tiếp theo, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành thầy cô đọc, kiểm tra đánh giá cho ý kiến quý báu để luận văn đầy đủ hơn, phong phú Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Rất mong đóng góp ý kiến thêm thầy cô bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, Tháng 02 năm 2011 Đào Thị Anh Phương Chương Một lớp phương trình hàm sinh hàm phân tuyến tính 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Hàm số Định nghĩa Cho tập hợp D ⊂ R Một ánh xạ f : D → R gọi hàm số từ tập D đến tập R ký hiệu f : D → R y = f (x) • D gọi tập xác định hàm số • f (x0 ) giá trị hàm số điểm x0 ∈ D • Tập hợp T = { f (x)|x ∈ D} gọi tập giá trị hàm số f Chú ý 1) t ∈ T phương trình f (x) = t có nghiệm x ∈ D 2) t ∈ T, suy t viết dạng t = f (x) với x ∈ D • Điểm x0 ∈ Dđược gọi điểm bất động hàm f f (x0 ) = x0 Ví dụ: ax + b c = ad − bc = xác định hàm ( gọi cx + d −d phân tuyến tính tập D = R \ { }) c Ánh xạ x → f (x) = 1.1.2 Hàm số đơn điệu Định nghĩa 1) Hàm số f (x) gọi tăng khoảng (a; b) với x1 , x2 ∈ (a; b) mà x1 ≤ x2 f (x1 ) ≤ f (x2 ) 2) Hàm số f (x) gọi giảm khoảng (a; b) với x1 , x2 ∈ (a; b) mà x1 ≤ x2 f (x1 ) ≥ f (x2 ) Hàm số tăng giảm khoảng gọi hàm số đơn điệu khoảng 3) Hàm số f (x) gọi tăng thực khoảng (a; b) với x1 , x2 ∈ (a; b) mà x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ) 4) Hàm số f (x) gọi giảm thực khoảng (a; b) với x1 , x2 ∈ (a; b) mà x1 < x2 f (x1 ) > f (x2 ) 5) Hàm số tăng thực giảm thực khoảng (a; b) gọi hàm số đơn điệu thực khoảng Tính chất: 1) Mọi hàm đơn điệu thật khoảng đơn ánh khoảng 2) Nếu f : D → R; g : D → R hai hàm tăng f + g tăng 3) Nếu f : D → R; g : D → R hai hàm tăng không âm f (x) · g(x) hàm tăng 4) Nếu hàm f đơn điệu khoảng (a, b) phương trình f (x) = m có nhiều nghiệm khoảng 5) Nếu f : D f → R g : Dg → R tăng T f ⊂ Dg hàm số hợp g ◦ f tăng Chú ý: Từ kết suy ra: Nếu hàm f tăng hàm số hợp f ( f (x)) (nếu xác định) tăng Nếu hàm f giảm hàm số hợp f ( f (x)) (nếu xác định) giảm 1.1.3 Hàm phân tuyến tính Định nghĩa: Hàm phân tuyến tính ánh xạ x −→ y = f (x) = a , b , c , d ∈ R ad − bc = 0, c = ax + b cx + d (1) Điều kiện ad − bc = để loại trường hợp vế phải (1) suy biến thành số f (x) = a(cx + d) − c(ax + b) ad − bc = = 0, ∀x ∈ D (cx + d) (cx + d)2 Điều kiện c = để loại trường hợp vế phải (1) suy biến thành (mx + n) −d Tập xác định: D = R \ { } c a Tập giá trị: T = R \ { } c Một vài tích chất hàm phân tuyến tính Định lý 3.1: (i) Hàm ngược hàm phân tuyến tính hàm phân tuyến tính (ii) Hợp thành hai hàm phân tuyến tính hàm phân tuyến tính Định lý 3.2: Hàm phân tuyến tính tăng thực ( giảm thực ) khoảng xác định 1.2 Phép biến đổi phân tuyến tính phương trình hàm 1.2.1 Hàm số xác định phép biến đổi phân tuyến tính Cho hàm số ax + b , c = , ad − bc = cx + d Trong chương trình này, ta nghiên cứu phương trình hàm dạng: −d f (w(x)) = p f (x) + q, ∀x ∈ R \ a, b, c, d, p, q số thực c p = w(x) = Bài toán 1.2.1 Tìm f : R \ −d c ax + b = p f (x) + q, ∀x ∈ R \ cx + d trình w(x) = x có nghiệm f → R cho −d c , ad − bc = , c = phương Giải a) Trường hợp w(x) = x có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Với x = x2 ta có f (w(x2 )) = p f (x2 ) + q ⇒ f (x2 ) = p f (x2 ) + q =⇒ f (x2 )(1 − p) = q +)Nếu p = f (x2 ) = q , 1− p +)Nếu p =   Phương trình vô nghiệm q = Phương trình có nghiệm f (x ) q = Với x = x2 , đặt x − x1 x2 − x1 = t ⇒ x = x2 + , ∀t = 1, x − x2 t −1 ax + b x2 − x1 = x2 + , ∀t = cx2 + d cx + d t −1 cx1 + d Khi theo giả thiết f x2 + x2 − x1 x2 − x1 = p f x2 + +q ∀t = cx2 + d t −1 t −1 cx1 + d Đặt f x2 + x2 − x1 = g(t) t −1 Suy g cx2 + d t = pg(t) + q , ∀t = cx1 + d b) Trường hợp w(x) = x có nghiệm kép ( lúc (d − a)2 + 4ac = 0) a−d x0 = 2c Với x = x0 ta có f (x0 ) = p f (x0 ) + q hay f (x0 )(1 − p) = q q +) Nếu p = f (x) = 1−q +)  Nếu p = Phương trình vô nghiệm q = Có nghiệm f (x ) tùy ý q = 0 Với x = x0 đặt: 1 = t ⇒ x = x0 + , ∀t = 0, x − x0 t ax + b = x0 + c cx + d t+ cx0 + d Khi giả thiết cho trở thành    f x0 + t+ c cx0 + d  + q với t =  = p f x0 + t Đặt f (x0 + ) = g(t) ta t g t+ c = pg(t) + q, ∀t = cx0 + d Bài toán 1.2.2 Tìm hàm f : R\ ∀x ∈ R \ −d c −d c → R cho f ax + b = p f (x) + q, cx + d , ad − bc = 0, c = 0, k ∈ Z+ cho wk (x) = x có ax + b cx + d Giải Gọi k ∈ Z+ số bé cho wk (x) = x có nghiệm nghiệm, w1 (x) = w(x) = +) Nếu k = toán 1.2.1 +) Nếu k = thì: f (w(x)) = p · f (x) + q, ⇒ f (w2 (x)) = p · f (w(x)) + q = p2 · f (x) + pq + q, ··· ⇒ f (wk (x)) = pk · f (x) + (pk−1 + pk−2 + · · · + p + 1)q Vì phương trình wk (x) = ak x + bk = x, ck x + dk Do xn = un nên từ hệ nghiệm này, ta thu √ n−1 √ n−1 √ i q(a + i q)2 + (a − i q)2 xn = √ n−1 √ n−1 (a + i q)2 − (a − i q)2 Thử lại ( quy nạp ) cho thấy kết nhận thỏa mãn (2.2.6) Bài toán 2.2.5.[2] Tìm xn thỏa mãn điều kiện x1 = a, xn+1 = 2xn , n ∈ N∗ + dxn (2.2.16) Giải Trước hết ta xét trường hợp d = Khi xn+1 = 2xn xn = 2n−1 a Xét trường hợp d > Giả sử un , nghiệm hệ phương trình sai phân  un+1 = u2 + dv2 , n n v n+1 = 2un , u1 = 1, v1 = a (2.2.17) un nghiệm phương trình (2.2.16) (chứng minh phương pháp qui nạp) Như để giải phương trình (2.2.16) ta cần giải hệ (2.2.17) Ta có xn =  un+1 √dv n+1 = u2n + dv2n , √ = dun , u1 = 1, v1 = a (2.2.18) Cộng vế với vế phương trình hệ (2.2.18) ta thu √ √ un+1 + dvn+1 = (un + dvn )2 Do √ √ √ n n un+1 + dvn+1 = (u1 + dv1 )2 = (1 + a d)2 (2.2.19) Tương tự, trừ vế với vế phương trình hệ (2.2.18), ta có √ √ √ n n un+1 − dvn+1 = (u1 − dv1 )2 = (1 − a d)2 (2.2.20) Từ (2.2.19) (2.2.20) ta có  √ √ un = [(1 + a d)2n−1 + (1 − a d)2n−1 ], v = √d[(1 + a√d)2n−1 − (1 − a√d)2n−1 ] n 45 (2.2.21) Do xn = un nên từ (2.2.21), ta thu nghiệm toán có dạng √ n−1 √ n−1 [(1 + a d)2 + (1 − a d)2 ] √ n−1 √ n−1 xn = √ d[(1 + a d)2 − (1 − a d)2 ] Tương tự trường hợp d < Đặt d = −q, q > Giả sử un , nghiệm hệ phương trình sai phân  un+1 = u2 − qv2 , n n v n+1 = 2un , u1 = 1, v1 = a (2.2.22) un nghiệm phương trình (2.2.16) (chứng minh phương pháp qui nạp) Như vậy, để giải phương trình (2.2.16) ta cần giải hệ (2.2.22) Ta có xn =  un+1 i√qv n+1 = u2n − qv2n , √ = 2i qun , u1 = 1, v1 = a (2.2.23) Cộng vế với vế phương trình hệ (2.2.23) ta thu √ √ un+1 + i qvn+1 = (un + i qvn )2 Do n−1 √ √ √ n−1 un + i qvn = (u1 + i qv1 )2 = (1 + q)2 (2.2.24) Tương tự, trừ vế với vế phương trình hệ (2.2.23), ta có n−1 √ √ √ n−1 un − i qvn = (u1 − i qv1 )2 = (1 − q)2 Từ (2.2.24) (2.2.25), ta có √ n−1 √ n−1 [(1 + q)2 + (1 − q)2 ] xn = √ √ n−1 √ n−1 i q[(1 + q)2 − (1 − q)2 ] Thử lại (bằng qui nạp) cho thấy kết nhận thỏa mãn (2.2.16) 46 (2.2.25) Sau ta xét số toán cụ thể Bài toán 2.2.6 Tìm dãy xn , yn thỏa mãn hệ phương trình  xn+1 = 2xn + yn , x0 = y = x + 2y , y = n+1 n n (2.2.26) Giải Từ hệ phương trình (2.2.26) ta suy xn+2 = 4xn+1 − 3xn , x0 = x1 = Phương trình đặc trưng λ −4λ +3 = có hai nghiệm thực phân biệt λ1 = 1, λ2 = Do xn = A1n + B3n Mà x0 = 1, x1 = nên ta có A = 0, B = Suy  xn = 3n y = 3n n Bài toán 2.2.7 Tìm dãy xn , yn thỏa mãn hệ phương trình  xn+1 = 5xn + yn , x0 = y y0 = n+1 = −4xn + yn , (2.2.27) Giải Từ hệ phương trình (2.2.27) ta suy xn+2 = 6xn+1 − 9xn , x0 = x1 = Phương trình đặc trưng λ − 6λ + = có nghiệm kép λ = Do xn = (A + Bn)3n Mà x0 = 1, x1 = nên ta có A = 1, B = Suy  xn = 3n + n3n y = −12.3n − 12n.3n n Bài toán 2.2.8 Tìm dãy xn , yn thỏa mãn hệ phương trình  xn+1 = xn − yn , y = x +y , n+1 n n 47 x0 = y0 = (2.2.28) Giải Từ hệ phương trình (2.2.28) ta suy xn+2 = 2xn+1 − 2xn , x0 = x1 = Phương trình đặc trưng λ − 2λ + = có hai nghiệm phức phân biệt λ1,2 = ± i Ta có √ π π 2(cos + i sin ), 4 √ π π λ2 = − i = 2(cos − i sin ) 4 √ nπ nπ Do xn = 2n (A cos + B sin ) 4 Mà x0 = 1, x1 = nên ta có A = 1, B = −1 λ1 = + i = Suy  √ xn = 2n+1 cos(n + 1) π y = √2n+1 sin(n + 1) π n Bài toán 2.2.9 Tìm xn , biết x0 = 0, xn+1 = xn − , n ∈ N xn + (2.2.29) Giải Xét hệ phương trình sai phân  yn+1 = yn + 2zn , y0 = z n+1 = yn + 4zn , z0 = yn nghiệm phương trình (2.2.29), zn suy yn+2 = 5yn+1 − 6yn , y0 = 0, y1 = −2 Khi xn = Phương trình đặc trưng λ −5λ +6 = có hai nghiệm thực phân biệt λ1 = 2, λ2 = Do yn = A.2n + B.3n Mà y0 = 0, y1 = −2 nên ta có A = 2, B = −2 Suy yn = 2.2n − 2.3n ; zn = (yn − yn+1 ) = 2.3n − 2n yn 2.2n − 2.3n Vậy xn = = zn −2n + 2.3n Bài toán 2.2.10 Tìm xn , biết x0 = 1, xn+1 = xn − , n ∈ N xn + Giải Xét hệ phương trình sai phân 48 (2.2.30)  yn+1 = yn − zn , y0 = z n+1 = yn + 3zn , z0 = yn nghiệm phương trình (2.2.30), zn suy yn+2 = 4yn+1 − 4yn , y0 = 1, y1 = Khi xn = Phương trình đặc trưng λ − 4λ + = có nghiệm kép λ = Do yn = (A + Bn)2n Mà y0 = 1, y1 = nên ta có A = 1, B = −1 Suy yn = 2n − n.2n ; zn = 2n + n.2n yn 1−n Vậy xn = = zn 1+n Bài toán 2.2.11 Tìm xn , biết x0 = 0, xn+1 = xn − , n ∈ N∗ xn + (2.2.31) Giải Xét hệ phương trình sai phân  yn+1 = yn − 3zn , y0 = z n+1 = yn + zn , z0 = yn nghiệm phương trình (2.2.31), zn suy yn+2 = 2yn+1 − 4yn , y0 = 0, y1 = −3 Khi xn = √ Phương trình đặc trưng λ − 2λ + = có hai nghiệm phức λ1,2 = ± i Ta có √ π π λ1 = + i = 2(cos + isin ) 3 √ π π λ2 = − i = 2(cos − isin ) 3 √ nπ Do yn = 2n (Acos nπ + Bsin ) Mà y = 1, y = −3 nên ta có A = 0, B = − 3 √ n nπ n Suy yn = − 3.2 sin nπ ; zn = (yn − yn+1 ) = cos √ yn = − 3tan nπ Vậy xn = zn 49 2.3 Giới hạn số dãy truy hồi dạng phân tuyến tính Bài toán 2.3.1.[3] Xét dãy số {xn } xác định phương trình sau xn+1 = + Chứng minh lim xn = n→∞ , x0 = 1 + xn (2.3.32) √ Giải Xét hàm số f (x) = + 1+x Ta có nhận xét < f (x) ≤ 2, f (x) hàm dương, liên tục nghịch biến [0; +∞) Từ hệ thức xn+1 = + = f (xn ), + xn ta suy < xn+1 ≤ 2, ∀n ∈ {0, 1, 2, } Ta cần xét hai trường hợp Trường hợp 1: x0 < x2 Suy f (x0 ) > f (x2 ) hay x1 > x3 Suy f (x1 ) < f (x3 ) hay x2 < x4 Suy f (x2 ) > f (x4 ) hay x3 > x5 Bằng qui nạp ta thu x2n < x2n+2 Thật vậy, giả sử x2k < x2k+2 f (x2k ) > f (x2k+2 ) hay x2k+1 > x2k+3 Suy f (x2k+1 ) < f (x2k+3 ) hay x2k+2 < x2k+4 Vậy {x2n } dãy tăng Chứng minh tương tự ta {x2n+1 } dãy giảm Từ đó, ta có - Dãy {x2n } tăng bị chặn nên {x2n } hội tụ Giả sử x2n → α n → ∞ - Dãy {x2n+1 } giảm bị chặn nên {x2n+1 } hội tụ Giả sử x2n+1 → β n → ∞ Do hàm f liên tục nên 50 n→∞ x2n+1 −−−−→ β || n→∞ f (x2n ) −−−−→ f (α) Suy f (α) = β Tương tự, ta có f (β ) = α ta thu hệ phương trình  β = f (α) α = f (β ) tương đương với 1+α  α = + 1+β   β = 1+ từ suy  αβ + β = + α αβ + β = + β √ ta nhận α = β = Trường hợp 2: x0 ≥ x2 Ta thu - Dãy {x2n } giảm bị chặn nên {x2n } hội tụ Giả sử x2n → α n → ∞ - Dãy {x2n+1 } tăng bị chặn nên {x2n+1 } hội tụ Giả sử x2n+1 → β n → ∞ √ Tương tự trường hợp 1, ta thu α = β = √ Vậy lim xn = n→∞ Bài toán 2.3.2.[3] Cho f hàm dương, liên tục nghịch biến [0; +∞) Giả sử hệ phương trình  β = α = f (α) f (β ) có nghiệm α = β = l Chứng minh dãy số dương xn+1 = f (xn ) với x0 > cho trước hội tụ tới l 51 Giải Ta xét trường hợp Trường hợp 1:x0 < x2 Suy f (x0 ) > f (x2 ) hay x1 > x3 Suy f (x1 ) < f (x3 ) hay x2 < x4 Suy f (x2 ) > f (x4 ) hay x3 > x5 Bằng quy nạp chứng minh x2n < x2n+2 Thật vậy, giả sử x2k < x2k+2 Khi f (x2k ) > f (x2k+2 ) hay x2k+1 > x2k+3, Do f (x2k+1 ) < f (x2k+3 ) hay x2k+2 < x2k+4 Vậy {x2n } dãy tăng Chứng minh tương tự ta {x2n+1 } dãy giảm Từ đó, ta có - Dãy {x2n } tăng bị chặn nên {x2n } hội tụ Giả sử x2n → α n → ∞ - Dãy {x2n+1 } giảm bị chặn nên {x2n+1 } hội tụ Giả sử x2n+1 → β n → ∞ Do hàm f liên tục nên n→∞ x2n+1 −−−−→ β || n→∞ f (x2n ) −−−−→ f (α) Suy f (α) = β Tương tự, ta thu f (β ) = α Vậy ta có hệ phương trình  β = α = f (α) f (β ) Theo giả thiết hệ  β = α = có nghiệm α = β = l Trường hợp 2: x0 ≥ x2 52 f (α) f (β ) Ta dễ dàng kiểm tra - Dãy {x2n } giảm bị chặn nên {x2n } hội tụ Giả sử x2n → α n → ∞ - Dãy {x2n+1 } tăng bị chặn nên {x2n+1 } hội tụ Giả sử x2n+1 → β n → ∞ Tương tự trường hợp ta thu α = β = l Vậy lim xn = l n→∞ Bài toán 2.3.3 Xét dãy số cho phương trình sai phân sau xn+1 = + , x0 > + xn Khảo sát hội tụ dãy {xn } Giải Xét hàm số 1+x Dễ thấy hàm số f (x) dương, liên tục nghịch biến [0; +∞) thỏa mãn hệ f (x) = + phương trình  β = α = f (α) f (β ) Tương đương với hệ phương trình  αβ = α − β + αβ = β − α + √ giải hệ phương trình ta nhận α = β = Do theo kết toán 2.3.2, ta có dãy {xn } có giới hạn √ Vậy lim xn = √ n → ∞ n→∞ Bài toán 2.3.4.[3] Xét dãy số {xn } xác định theo công thức   x0  xn+1 = √ = + ∀n ∈ N xn xn Chứng minh dãy số {xn } giới hạn hữu hạn Giải Nhận xét dãy số {xn } có giới hạn a a nghiệm phương trình √ x= + x x 53 Do a = √ Ta có x0 = > x2 Ta chứng minh qui nạp x2n > x2n+2 Thật √ √ 3 = x2k+3 x2k+1 = + < + x2k x2k x2k+2 x2k+2 Suy x2k+2 = x2k+1 √ √ 3 > = x2k+4 + + x2k+3 x2k+3 x2k+1 Do = x0 > x2 > > x2n > > suy dãy {x2n } dãy đơn điệu giảm bị chặn 0, nên tồn giới hạn hữu hạn b = lim x2n n→∞ Mặt khác x0 = nên b ≤ Vì tồn giới hạn hữu hạn a = lim xn = n→∞ √ 3, nên nói riêng lim x2n = lim xn = n→∞ Tức b = n→∞ √ √ Đây điều vô lý Vậy dãy số {xn } giới hạn hữu hạn Bài toán 2.3.5.[6] Xét dãy số {xn } xác định sau   u0 =  un = −1 với n = 1, 2, + un−1 Chứng minh dãy số {un } có giới hạn tìm lim un n→∞ u2 + 3un + Giải Ta có un − un+1 = un + = n + un + u n √ −3 + Bây ta chứng minh un > (*) với n = 1, 2, qui nạp sau √ −3 + - Với n = 0, u0 = > ( ) √ −3 + - Giả sử (*) với n = k (k = 1, 2, ), nghĩa ta có ta có uk > 54 √ √ −3 + + Khi đó: + uk > = , √2 3− √ = suy < + uk 2√ 3+ −3 + Do uk+1 = − > + uk Vậy với n=k+1 Theo nguyên lí √ quy nạp suy với n √ −3 + 3+ Vì un > với n, nên + un > , tức + un > với 2 n = 0, 1, 2, √ −3 + Do un > , nên theo định lí thuận dấu tam thức bậc hai u2n + 3un + > với n = 0, 1, 2, u2 + 3un + Mà un − un+1 = n , suy un > un+1 với n, nghĩa dãy {un } đơn + un √ −3 + điệu giảm bị chặn Suy tồn giới hạn dãy {un } n → ∞, đặt lim un = a n→∞ −1 Từ un = lấy giới hạn vế n → ∞, ta có: + un−1 lim un = n→∞ −1 + lim un−1 n→∞ hay a= −1 3+a √ −3 ± ⇔ a2 + 3a + = ⇔ a = √ √ −3 + −3 + Vì un > với n, nên a = lim un ≥ n→∞ √ −3 + Suy a = √ −3 + Vậy lim un = n→∞ 55 2.4 Bài tập tham khảo Bài tập 2.4.1 Tìm xn , biết x0 = 1, xn+1 = − 4xn , n ∈ N − 6xn Bài tập 2.4.2 Tìm xn , biết x0 = −1, xn+1 = 2xn − , n ∈ N 3xn − Bài tập 2.4.3 Tìm xn , biết x0 = 0, xn+1 = xn + , n ∈ N − xn Bài tập 2.4.4 Cho a ∈ R \ {1} Xét dãy số {xn } xác định theo công thức   x1  xn+1 = a xn (xn2 + 3) = ∀n ∈ N∗ 3xn2 + Chứng minh dãy số {yn } = {(a − 1)xn } có giới hạn xác định giới hạn Bài tập 2.4.5 Tính giới hạn dãy {xn } với xn+1 = , x0 = 1 + xn Bài tập 2.4.6 Tính giới hạn dãy {xn } với xn+1 = xn , x0 > + xn2 Bài tập 2.4.7 Tính giới hạn dãy {xn } với xn2 + , x0 > xn+1 = 2(xn + 1) Bài tập 2.4.8 Tính giới hạn dãy {zn } với zn = yn+1 − yn , yn = 56 , x0 > xn2 Bài tập 2.4.9 Dãy số {un } xác định sau √ = √ un + − √ = ; n = 2, 3, + ( − 2)un    u1   un+1 Tìm công thức cho un , sau tính u2010 Bài tập 2.4.10 Cho p, q hai số nguyên cho trước Dãy {un } xác định sau   u1 = p+q−1 pq = p + q − ; n = 1, 2, un  un+1 Đặt Pn = u1 u2 un Chứng minh vối n = 1, 2, · · · Pn số nguyên Bài tập 2.4.11 Dãy số {un }, n = 1, 2, xác định sau:   u1 =  un+1 = un ; n = 1, 2, 2(2n + 1)un + Tính tổng S = ∑2010 i=1 ui Bài tập 2.4.12 Dãy số {un }, n = 1, 2, xác định sau:   u1 =2  un+1 = 1+ ; n = 1, 2, un Gọi p số lẻ q số chẵn Chứng minh U p > Uq 57 KẾT LUẬN Sau thời gian học tập hai năm khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội, giúp đỡ bảo thầy cô khoa, đặc biệt PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, tác giả hoàn thành luận văn với đề tài: " Phép biến đổi phân tuyến tính áp dụng giải số toán phổ thông " Luận văn đạt số kết sau: Luận văn nêu đầy đủ toán tổng quát phương trình hàm ax + b sinh hàm phân tuyến tính w(x) = , c = , ad − bc = , đồng thời cx + d tập hợp toán khác hàm phân tuyến tính kỳ thi Olympic Luận văn trình bày toán điển hình phương trình sai phân dạng phân tuyến tính với hệ số giới hạn số dãy sai phân dạng phân tuyến tính Luận văn làm tài liệu tham khảo bổ ích cho trình nghiên cứu, giảng dạy học tập phép biến đổi phân tuyến tính bậc phổ thông Trong phần luận văn tác giả đưa nhiều ví dụ minh họa cho phần Mặc dù cố gắng nghiêm túc trình nghiên cứu, thời gian khả hạn chế nên chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Một lần nữa, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn bè đồng nghiệp Trong thời gian tới, tác giả cố gắng tiếp tục nghiên cứu phép biến đổi trình giảng dạy học tập 58 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, 1997, Phương trình hàm, Nhà xuất Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu, 2003, Mốt số toán chọn lọc dãy số, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh, 2008, Giới hạn dãy số hàm số, Nhà xuất Giáo dục [4] Nguyễn Trọng Tuấn, 2005, Bài toán hàm số qua kỳ thi Olympic, Nhà xuất Giáo dục [5] Lê Đình Thịnh Lê Đình Định, 2004, Phương trình sai phân, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [6] Phan Huy Khải, 2007, Các toán dãy số, Nhà xuất Giáo dục 59 [...]... hoặc dk = 0 thì bài toán sẽ quay về bài toán 1.2.1 vừa xét Sau đây, ta minh họa cách giải ứng với các trường hợp thông qua bài toán cụ thể Ta chỉ cần xét các phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính w(x) = ax + b , c = 0, ad − bc > 0 cx + d Bài toán 1.2.3 Tìm tất cả các hàm số f : R → R sao cho f −1 = 2 f (x) − 3, ∀x = −2 x+2 (1.2.1) −1 có nghiệm duy nhất x = −1 x+2 Thay x = −1 vào (1.2.1), ta... 0} Bài toán 1.2.13.[1] Cho hàm số p(x) và q(x) xác định trên R và w(x) = Tìm tất cả các hàm số f : R\{0} → R sao cho p(x) f (w(x)) + f (x) = q(x), ∀x = 0 −1 x (1.2.40) Giải Nhận xét rằng, phương trình w(x) = x không có nghiệm thực và w(x) có tính chất w2 (x) := w(w(x)) = x, ∀x = 0 Thay x bởi w(x) vào (1.2.40), ta được p(w(x)) f (x) + f (w(x)) = q(w(x)), ∀x = 0 (1.2.41) Nhận thấy rằng (1.2.40) và (1.2.41)... q(w(x))p(x) , ∀x ∈ Z pq 1 − p(x)p(w(x)) f (x) =  tùy ý , ∀x ∈ / Z pq , x = 0 (1.2.45) Một số bài toán khác về hàm phân tuyến tính Bài toán 1.2.14.[4] Tìm tất cả các hàm số f : R\{0} → R thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 1) f (1) = 1; 1 1 1 2) f =f +f ; x+y x y 3)(x + y) f (x + y) = yx f (x) f (y); Với mọi x, y mà xy(x + y) = 0 23 Giải Trước hết chú ý rằng từ các giả thiết ta suy ra f (x) = 0 với mọi x = 0 Thật... trình hàm sinh bởi phương trình phân tuyến tính w(x) = ax + b , c = 0, ad − bc = 0 cx + d thỏa mãn w(x) = x có hai nghiệm phân biệt x = x1 , x = x2 Bài toán 1.2.8.[1] Cho hàm số: w(x) = ax + b , ad − bc = 0, c = 0, cx + d sao cho phương trình w(x) = x có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 −d Tìm tất cả các hàm số f : R\{ } → R sao cho c f (w(x)) = 2 f (x) − 3, ∀x = −d c (1.2.22) Giải Theo giả thiết thì phương... R\{−1; 0}  Bài toán 1.2.12.[1] Cho hàm số q(x) xác định trên R và w(x) = −1 x+1 Tìm tất cả các hàm số f : R\{−1; 0} → R sao cho f (w(w(x))) + f (w(x)) + f (x) = q(x), ∀x ∈ R\{−1; 0} (1.2.35) Giải Nhận xét rằng phương trình w(x) = x không có nghiệm thực và w(x) có những tính chất −1 x+1 =− , −1 x +1 x+1 −1 +1 w3 (x) := w(w(w(x))) = − x + 1 = x, ∀x ∈ R\{−1; 0} −1 x+1 w2 (x) := w(w(x)) = 20 Từ tính chất... (1.2.6) và (1.2.7) ta có Kết luận: f (x) =  q  ,     2 khi x =  a+1 2 a+1 1   q   g }, + , khi ∀x ∈ R\{1;   a+1  2 2  x− 2 (1.2.8) trong đó g(t) = h t + 2 2 −h(t), ∀t ∈ R\{0 ; }, a−1 1−a với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn h t+ 4 2 = h(t), ∀t ∈ R\{0 ; } a−1 1−a Từ hai bài toán 1.2.3 và 1.2.4 ta xây dựng bài toán khái quát hóa trong trường hợp phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính ax... (1.2.24) và (1.2.25), ta có Kết luận: Nếu α = −1 thì f (x) = 3 Nếu α = 0 và |α| = 1 thì   3, f (x) = x − x1  g , x − x2 khi x = x1 , x = x2 , −d khi x ∈ / {x1 , x2 , }, c 17 (1.2.26) trong đó g(t) = 3 + |t|log|α| 2 · h(t), với h(t) là hàm tùy ý thỏa mãn 1 h(αt) = h(t), ∀t ∈ / { , 0, 1} α Tiếp theo, ta minh họa một số bài toán cụ thể trong trường hợp phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính w(x)... a)x 1+ −a a a Thử lại: Dễ thấy các hàm số f (x) = 1, ∀x > 0 và f (x) = a , ∀x > 0 a + (1 − a)x hoàn toàn thỏa mãn điều kiện của bài toán Kết luận Các  hàm số cần tìm là   f (x) = 1, ∀x > 0, a  , ∀x > 0, a tùy ý thuộc khoảng (0; 1)  f (x) = a + (1 − a)x Bài toán 1.2.19 ( IMO -1986 ) [4] Hãy xác định tất cả các hàm f xác định trên tập hợp các số thực không âm và nhận giá trị trong tập đó thỏa mãn... = h(t), ∀t ∈ R\{−1; 0} Bài toán 1.2.4.[1] Cho q ∈ R và cho hàm số w(x) = ax + b −1 , a = 1, b = (a + 1)2 x−1 4 Tìm tất cả các hàm số f : R\{1} → R sao cho f (w(x)) = − f (x) + q, ∀x = 1 (1.2.5) Giải Theo giả thiết thì phương trình w(x) = x có nghiệm thực duy nhất x= Thay x = a+1 2 a+1 vào (1.2.5) ta được: 2 f q a+1 = 2 2 a+1 Xét x = x0 , x0 = 2 1 Đặt t = , khi đó t = 0, và x − x0 1 x = x0 + , t... + 1 > 1 và x + 1 > 1 nên f ( f (x) + 1) = 1 1 và f (x + 1) = f (x) + 1 x+1 Do đó 1 x 1 = ⇒ x f (x) + x = x + 1 ⇒ f (x) = f (x) + 1 x + 1 x 1 Thử lại thấy f (x) = thỏa mãn x Kết luận: Hàm số cần tìm là: 1 f (x) = , ∀x ∈ R+ x Bài toán1 .2.18.[4] Tìm tất cả các hàm xác định trên tập các số thực dương và nhận giá trị trong tập đó thỏa mãn f (x f (y)) f (y) = f (x + y), ∀x, y > 0 29 (1.2.56) Giải Giả