ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Thị Oanh PHƯƠNG PHÁP NGHIỆM TRÊN NGHIỆM DƯỚI GIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS TS HOÀNG QUỐC TOÀN HÀ NỘI - 2014 Mục lục Mở đầu Cơ sở toán học 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Khái niệm không gian Sobolev 1.1.2 Không gian H01 (Ω) H −1 (Ω) 1.2 Toán tử vi phân đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai 1.3 Bài toán Dirichlet phương trình Laplace 1.3.1 Phương trình Laplace 1.3.2 Nguyên lý cực đại cực tiểu 1.3.3 Bất đẳng thức Harnack 1.3.4 Toán tử −∆ toán Dirichlet 1.3.5 Các tính chất toán tử −∆ 1.4 Phương pháp biến phân ứng dụng vào toán Dirichlet đối phương trình elliptic nửa tuyến tính với 14 Nghiệm nghiệm phương pháp lặp đơn điệu không gian Banach 2.1 Tập hợp nón thứ tự 2.2 Phương pháp nghiệm nghiệm phép xấp xỉ liên tiếp 2.3 Áp dụng vào phương trình vi phân 2.3.1 Bài toán Dirichlet phương trình vi phân nửa tuyến tính 2.3.2 Ví dụ Phương pháp nghiệm nghiệm toán biên Dirichlet nửa tuyến tính toán tử Laplace 3.1 Phương pháp nghiệm trên, nghiệm 3.2 Phương pháp nghiệm yếu, nghiệm yếu 3.3 Một số ví dụ áp dụng phương pháp nghiệm nghiệm vào toán biên Elliptic nửa tuyến tính Kết luận 6 10 10 11 11 11 13 16 16 19 22 22 24 27 27 33 40 49 Tài liệu tham khảo 50 Mở đầu Trong luận văn tìm hiểu nghiên cứu về: "Phương pháp nghiệm nghiệm giải toán Dirichlet phương trình Elliptic" Nguyên tắc phương pháp dựa vào nguyên lý cực đại nghiệm phương trình elliptic Bản luận văn gồm ba chương gồm phần kiến thức hai chương chính: Chương Cơ sở toán học Trong chương này, số kiến thức nhắc lại Đó là: - Không gian Sobolev - Toán tử vi phân đạo hàm riêng Elliptic tuyến tính cấp hai - Bài toán Dirichlet phương trình Laplace: Phương trình Laplace, nguyên lý cực đại cực tiểu, bất đẳng thức Harnck, toán tử −∆ tính chất toán tử −∆ - Phương pháp biến phân ứng dụng vào toán Dirichlet phương trình elliptic nửa tuyến tính Chương Nghiệm nghiệm phương pháp lặp đơn điệu không gian Banach Ở chương này, luận văn vào trình bày khái niệm tập hợp nón thứ tự, từ dẫn đến phương pháp nghiệm nghiệm phương pháp xấp xỉ liên tiếp Thông qua tác giả luận văn có số ví dụ minh họa áp dụng vào phương trình vi phân để giải toán Dirichlet phương trình vi phân nửa tuyến tính Chương Phương pháp nghiệm nghiệm toán biên Dirichlet nửa tuyến tính toán tử Laplace Ở chương này, luận văn đề cập hai mảng: Nghiệm trên, nghiệm nghiệm yếu, nghiệm yếu Trong chương giới thiệu khái niệm "nghiệm nghiệm dưới" toán Dirichlet phương trình Laplace, chứng minh định lý phương pháp nghiệm nghiệm Và đưa số ví dụ áp dụng phương pháp nghiệm nghiệm nghiệm vào toán biên elliptic nửa tuyến tính Mặc dù thân cố gắng nghiêm túc học tập nghiên cứu khoa học thời gian có hạn, kiến thức thân hạn chế nên trình thực luận văn không tránh khỏi sơ suất Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hoàng Quốc Toàn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình thực đề tài Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội; thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011-2013 tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình động viên suốt trình học tập làm luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Học viên Bùi Thị Oanh Chương Cơ sở toán học 1.1 1.1.1 Không gian Sobolev Khái niệm không gian Sobolev Giả sử Ω miền bị chặn Rn , với biên ∂Ω Ký hiệu C0∞ (Ω) không gian tuyến tính hàm ϕ(x) khả vi vô hạn có giá compact Ω Rõ ràng: C0∞ (Ω) ⊂ Wk,p (Ω) Giả sử Ω ⊂ Rn miền mở liên thông, ta định nghĩa không gian Sobolev: W k,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : Dα (u) ∈ Lp (Ω), ∀α :| α |≤ k} với chuẩn : u p Wk,p Dα u = p Lp |α|≤k u p Wk,+∞ = M ax Dα u |α|≤k L+∞ Ta ý phép đạo hàm hàm suy rộng liên tục theo nghĩa hội tụ yếu L1loc (Ω) Nhiều tính chất không gian Lp (Ω) không gian W k,p (Ω) Nhận xét 1.1 • Với p = : H k (Ω) = W k,2 (Ω), k = 1, 2, không gian Hilbert • H (Ω) ≡ L2 (Ω) Định lý 1.1 Với k ∈ N, ≤ p ≤ +∞, W k,p (Ω) không gian Banach Không gian W k,p (Ω) không gian phản xạ < p < +∞ Hơn W k,2 (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng: u, v Wk,2 Dα uDα vdx = |α|≤k Ω Với ≤ p ≤ +∞, W k,p (Ω) không gian tách Định lý 1.2 Định lý nhúng Sobolev Giả sử Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên Lipchitz, k ∈ N, ≤ p ≤ +∞ Khi đó: np ta có phép nhúng: W k,p (Ω) → Lq (Ω) liên n − kp n.p tục phép nhúng compact q < n − k.p k n ii) Nếu ≤ m < k − < m + 1, ≤ α ≤ k − m − phép nhúng liên tục p p n k,p m,α W (Ω) → C (Ω) phép nhúng compact α < k − m − p i) Nếu k, p < n, ≤ q ≤ Tính compact phép nhúng W k,p (Ω) → Lq (Ω) hệ định lý Rellich KondraKov Nhận xét 1.2 Định lý nhúng Sobolev với không gian W k,p (Ω) miền Ω bị chặn 1.1.2 Không gian H01 (Ω) H −1 (Ω) Giả sử Ω miền bị chặn RN với biên ∂Ω Ký hiệu C0∞ (Ω) không gian tuyến tính hàm ϕ(x) khả vi vô hạn có giá compact Ω Trong C0∞ (Ω) ta đưa vào tích vô hướng chuẩn sau: Dϕ1 Dϕ2 dx, với ϕ1 (x), ϕ2 (x) ∈ C0∞ (Ω) (ϕ1 , ϕ2 ) = Ω (1.1) ϕ H01 (Ω) |Dϕ|2 dx, ϕ(x) ∈ C0∞ (Ω) = (1.2) Ω Dϕ véc tơ đạo hàm (hay vectơ gradient) hàm ϕ(x), x ∈ Ω Dϕ = ( ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , , , ) ∂x1 ∂x2 ∂xn n Dϕ1 Dϕ2 = i=1 n |Dϕ|2 = i=1 ∂ϕ1 ∂ϕ2 ∂xi ∂xi ∂ϕ ∂xi Khi C0∞ (Ω) trở thành không gian tiền Hilbert Ta ký hiệu H01 (Ω) bổ sung đủ C0∞ (Ω) theo chuẩn (1.2) Khi H01 (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng (1.1) chuẩn (1.2) Hơn H01 (Ω) ⊂ L2 (Ω) Theo đinh lý nhúng Sobolev phép nhúng H01 (Ω) vào L2 (Ω) compact nghĩa M ⊂ H01 (Ω) tập bị chặn M tập compact tương đối L2 (Ω) Ký hiệu H −1 (Ω) đối ngẫu H01 (Ω), có nghĩa H −1 (Ω) không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định H01 (Ω) f : H01 (Ω) → R u → f, u , ký hiệu phép toán f tác động vào hàm u ∈ H01 (Ω) f −1 = sup u∈H01 (Ω) | f, u | u H01 (Ω) Định lý 1.3 Bất đẳng thức Poicaré Giả sử Ω miền bị chặn RN , d đường kính Ω, u ∈ H01 (Ω) Khi |u|2 dx ≤ d2 Ω |Du|2 dx Ω Từ ta có định lý sau: Định lý 1.4 Giả sử Ω ⊂ RN miền bị chặn thuộc lớp C , tồn số c = c(Ω) cho với u ∈ H01 (Ω) ta có: |u|2 dx ≤ c2 ( Ω 1.2 |Du|2 dx + Ω |u|2 dσ) ∂Ω Toán tử vi phân đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai Trong miền Ω ⊂ Rn ta xét toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai có dạng : n (A) : Lu := − i,j=1 ∂ 2u aij (x) + ∂xi ∂xj n bi (x) i=1 ∂u + c(x).u ∂xj dạng tự liên hợp (Divergence) n (B) : Lu := − i,j=1 ∂ ∂u (aij (x) ) + c(x).u ∂xi ∂xj với hệ số bi chặn aij (x) = aji (x), bi (x), c(x) Toán tử vi phân đạo hàm riêng L gọi elliptic điểm x ∈ Ω nếu: n aij (x)ξi ξj = 0, ∀ξ = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) = 0, ξ ∈ Rn L0 (ξ) = i,j=1 Nếu L elliptic điểm x ∈ Ω L gọi toán tử elliptic Ω Khi L0 (ξ) giữ nguyên dấu + − x ∈ Ω với ξ = 0, ξ ∈ Rn Như không giảm tổng quát ta giả thiết L0 (ξ) > 0, ∀ξ ∈ Rn , ∀x ∈ Ω Do tồn λ > cho: n aij (x)ξi ξj ≥ λ |ξ|2 , ∀ξ = (ξ1 , ξ2 , , ξn ) ∈ Rn , ∀x ∈ Ω i,j=1 Do f0 (x, t) bị chặn, ta suy ra: f (x, u0 + θ(um − u0 )).(um − u0 )dx = lim m→+∞ Ω lim F (x, um )dx = m→+∞ Ω F (x, u0 )dx Ω Từ suy E0 (u) nửa liên tục yếu H01 (Ω) Mặt khác: u ∈ H01 (Ω) E0 (u) ≥ ≥ ≥ 2 u H01 (Ω) − c |u| dx Ω H01 (Ω) H01 (Ω) − c1 u L2 (Ω) − c2 u H01 (Ω) lim E0 (u) = +∞ u u Từ ta suy ra: u →+∞ hay nói cách khác E0 (u) thỏa mãn điều kiện (tính Coercive) H01 (Ω) E0 khả vi Fréchet H01 (Ω) đạo hàm Fréchet E0 : H01 (Ω) −→ H −1 (Ω) xác định theo công thức: Du.Dϕdx − (E0 (u), ϕ) = f (x, u).ϕdx Ω Ω với u ∈ H01 (Ω) ϕ(x) ∈ C0∞ (Ω) Nếu u0 ∈ H01 (Ω) cho: (E0 (u0 ), ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) ta nói u0 điểm tới hạn E0 Khi u0 nghiệm yếu toán (3.1) Thật vậy, áp dụng công thức Green ta có: Du0 Dϕdx = − Ω u0 div(Dϕ)dx = − Ω u0 ∆ϕdx Ω 36 (3.27) Do đó, từ đẳng thức: Du0 Dϕdx − (E0 (u0 ), ϕ) = Ω f (x, u).ϕdx = Ω Ta có: [u0 (−∆ϕ) − f (x, u).ϕ]dx = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) Ω ⇒ u0 nghiệm yếu toán (3.25) Tiếp tục ta chứng minh phiếm hàm E0 có điểm tới hạn u0 ∈ H01 (Ω) Khi u0 nghiệm yếu toán (3.1) thỏa mãn điều kiện: U ≤ u0 ≤ U Ω Thật vậy: Vì E0 thỏa mãn điều kiện bị chặn H01 (Ω) nên tồn cận α= inf u∈H01 (Ω) E(u) (3.28) Khi tồn dãy cực tiểu hóa {um } ⊂ H01 (Ω) cho: α = lim E(um ) (3.29) m→∞ Do E0 thỏa mãn điều kiện H01 (Ω) nên {um } dãy bị chặn H01 (Ω) Do H01 (Ω) không gian phản xạ nên tồn dãy {umk }∞ k=1 dãy 1 {um }∞ m=1 hội tụ yếu H0 (Ω) đến hàm u0 ∈ H0 (Ω) umk u0 (k → +∞) H01 (Ω) Do phép nhúng H01 (Ω) vào L2 (Ω) compact nên dãy {umk } hội tụ mạnh đến u0 L2 (Ω) lim (umk − u0 ) k→∞ 37 L2 (Ω) =0 Do tính nửa liên tục yếu E0 ta có: α ≤ E0 (u0 ) ≤ lim infE0 (umk ) ≤ lim E0 (umk ) = α k→+∞ k→∞ Từ suy : α = E0 (u0 ) = |∇u0 |2 dx − Ω F0 (x, u0 )dx Ω Do E0 khả vi Fréchet H01 (Ω) đạt cực tiểu u0 ∈ H01 (Ω) nên: (E0 (u0 ), ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) Điều có nghĩa u0 điểm tới hạn E0 (u) u0 nghiệm yếu toán (3.25) −∆u0 = f0 (x, u0 ) D (Ω) (3.30) Mặt khác U nghiệm yếu −∆U ≤ f (x, U ) (3.31) −∆(U − u0 ) ≤ f (x, U ) − f (x, u0 ) D (Ω) (3.32) Từ (3.30) (3.31) ta có: Nhân hai vế (3.32) với (U − u0 )+ tích phân hai vế Ω ta có: (U − u0 )+ (f (x, U ) − f (x, u0 ))dx −∆(U − u0 ).(U − u0 )+ dx ≤ Ω Ω ta ký hiệu: v + (x) = v(x) v(x) > 0 v(x) ≤ 38 (3.33) v(x) v(x) < v − (x) = v(x) ≥ v(x) = v + (x) + v − (x), x ∈ Ω Áp dụng công thức Green từ (3.33) ta nhận được: (−u0 )+ (f (x, ) − f (x, u0 ))dx ∇(−u0 ).∇(−u0 )+ dx ≤ Ω (3.34) Ω Từ (3.33) (3.34) ta có: (−u0 )+ (f (x, ) − f (x, u0 ))dx |∇(−u0 )+ |2 dx ≤ Ω Ω Theo định nghĩa f0 thì: (−u0 )+ (f (x, ) − f (x, u0 ))dx ≤ Ω Do đó: ∇(U − u0 )+ = Ω Từ suy ra: (U − u0 )+ số Ω, (U − u0 )+ ≡ Ω Vậy (U − u0 )+ ≤ Ω ⇒ U − u0 ≤ ⇒ U ≤ u0 Ω Tương tự ta chứng minh u0 ≤ U Ω Hay: U ≤ u0 ≤ U Ω Vì u0 ∈ U , U nên f0 (x, u0 ) = f (x, u0 ) Ω Do u0 nghiệm yếu toán (3.1) −∆u = f (x, u) Ω u = ∂Ω 39 (3.35) 3.3 Một số ví dụ áp dụng phương pháp nghiệm nghiệm vào toán biên Elliptic nửa tuyến tính Ta xét toán: −∆u = f (x, u) Ω u = ∂Ω (3.36) Định lý 3.3 Giả sử f ∈ C α (Ω) với α ∈ (0; 1) với (x; u) ∈ Ω × R f (x, u).signu ≤ a | u | +C với a < (3.37) toán (3.36) tồn nghiệm u cực tiểu toàn cục nghiệm u cực đại toàn cục Chứng minh Không tính tổng quát, ta giả sử C > Ta chọn nghiệm U toán (3.36) nghiệm toán −∆U − a.U = C Ω U = ∂Ω (3.38) C lấy cho: C ≥ C + sup |g| Ω Từ điều kiện a < nên theo nguyên lý cực đại ta U ≥ Ta đặt U = −U nghiệm toán (3.36), nên U ≤ U Theo định lý 3.1 tồn nghiệm nhỏ u nghiệm lớn u thuộc khoảng (U ; U ) Với nghiệm u toán (3.36) ta chứng minh rằng: u ≤ u ≤ u Tức phải chứng minh: U ≤ u ≤ U 40 Bây ta chứng minh u ≤ U Ta ký hiệu: Ω0 = {x ∈ Ω; u(x) > 0} Khi ta có: U − u = U ≥ ∂Ω0 Mặt khác −∆(U − u) − a(U − u) = −∆U − a.U − (−∆u − a.u) ≥ C − f (x; u) + a.u ≥ Ω0 Nên ta có : −∆(U − u) − a(U − u) ≥ Ω0 U − u ≥ ∂Ω0 Áp dụng nguyên lý cực đại ta U − u ≥ Ω0 hay u ≤ U Ω0 Do U = −U U ≥ nên U ≤ u ≤ U Chúng ta xét toán :    −∆u = f (u) Ω u = ∂Ω   u > Ω (3.39) Trong đó: (3.40) f (0) = lim sup u→+∞ f (u) u < λ1 (3.41) Từ điều kiện (3.41) suy ra: f (u) ≤ a.u + C, ∀u ≥ 0, a < λ1 C > Dễ thấy U = nghiệm toán (3.39) Chọn U nghiệm toán: −∆U − a.U = C Ω U = ∂Ω 41 ta lấy nghiệm nhỏ u nghiệm lớn u ≥ Tuy nhiên ta chưa thể có u > Điều khẳng định định lý sau: Định lý 3.4 Giả sử f thỏa mãn điều kiện (3.40), (3.41) f (0) > λ1 (3.42) toán (3.39) tồn nghiệm lớn u cho u > Ω Chứng minh Để chứng minh định lý ta cần toán (3.39) tồn nghiệm U nghiệm U cho < U ≤ U Khi theo định lý 3.1 tồn nghiệm u nhỏ nghiệm u lớn thuộc đoạn [U ; U ] Thật vậy, cho U = εϕ1 ϕ1 > hàm riêng thứ ứng với giá trị riêng thứ λ1 toán tử −∆ H01 (Ω) Với ε > đủ nhỏ ta cần chứng minh εϕ1 thỏa mãn hai điều kiện: a ε.ϕ1 nghiệm yếu toán (3.39) b ε.ϕ1 ≤ U Ta chứng minh điều kiện a Ta biết rằng: f (εϕ1 ) = f (0) + εϕ1 f (0) + o(εϕ1 ) = εϕ1 f (0) + o(εϕ1 ) f (0) = Mặt khác từ điều kiện (3.42) f (0) > λ1 nên có: λ1 ≤ f (0) + o(1) hay ελ1 ϕ1 ≤ εϕ1 f (0) + o(εϕ1 ) 42 (3.43) Do ϕ1 hàm riêng ứng với giá trị riêng λ1 nên ta có: −∆(εϕ1 ) = λ(εϕ1 ) = ελ1 ϕ1 từ bất đẳng thức (3.43) ta có −∆(εϕ1 ) ≤ f (εϕ1 ) Vậy εϕ1 nghiệm toán (3.39) Điều kiện a chứng minh Chứng minh điều kiện b Ta gọi U nghiệm toán (3.39) Khi U thỏa mãn: −∆U = a.U + C Ω U = ∂Ω Ta thấy U ≡ nghiệm toán C > Nên theo nguyên lý cực đại ta có: ∂U < tập {x ∈ ∂Ω; U (x) = 0} ∂ν Ta giả sử ngược lại rằng, tồn dãy εn → xn ∈ Ω cho: U > Ω (U − εn ϕ1 )(xn ) < (3.44) Hơn nữa, chọn dãy xn cho: ∇(U − εn ϕ1 )(xn ) = 0, (3.45) Khi tồn dãy xn → x0 ∈ Ω Cho n −→ ∞ từ bất phương trình (3.44) ta được: U (x0 ) ≤ x0 ∈ Ω U (x0 ) = xảy x0 ∈ ∂Ω Mặt khác, từ điều kiện (3.45) ta có: ∇U (x0 ) = điều mâu thuẫn với ∂U ∂ν (x0 ) Ω tồn nghiệm đường thẳng λ1 u cắt đồ thị hàm số f = f (u) điểm nằm nửa trục dương Thật vậy, f (u) < λ1 u với u > u = nghiệm toán (3.39) Ta nhân hai vế (3.39) với ϕ1 lấy tích phân miền Ω ta được: (−∆u)ϕ1 = − Ω u.∆ϕ1 = λ1 Ω uϕ1 = Ω f (u)ϕ1 < λ1 Ω uϕ1 Ω Điều mâu thuẫn Chú ý 3.4 Ta thay điều kiện (3.42), f (0) > λ1 định lý 3.3 điều kiện f ∈ C (0; ∞) f (0+) = +∞ Thật từ điều kiện (3.40), f (0) = từ điều kiện f ∈ C (0; ∞) f (0+) = +∞ tồn c > cho với < ε < c thì: f (εϕ1 ) f (εϕ1 ) − f (0) = > λ1 εϕ1 εϕ1 − Hay f (εϕ1 ) > ελ1 ϕ1 Điều dẫn đến: f (εϕ1 ) > −∆(εϕ1 ) 44 Ta suy U = εϕ1 nghiệm toán (3.39) Tiếp tục chứng minh tương tự cách chứng minh định lý 3.3 ta được: U ≤ U Ω Theo định lý 3.3 tồn nghiệm cực đại u > toán (3.39) Điều kiện ý 3.4 điều kiện đủ để toán (3.39) có nghiệm Định lý 3.5 Giả sử hàm f thỏa mãn giả thiết (3.40), (3.41), (3.42) giả sử thêm ánh xạ: u→ (0; +∞) f (u) u (3.46) giảm toán (3.39) có nghiệm Chứng minh Theo định lý 3.3 với giả thiết (3.40), (3.41), (3.42) toán (3.39) có nghiệm Bây giờ, ta chứng minh toán (3.39) có nghiệm Thật vậy, giả sử u1 u2 nghiệm toán (3.39) Chúng ta chọn u1 nghiệm nhỏ Theo nguyên lý cực trị, không tính tổng quát ta giả sử < u1 ≤ u2 Ω Từ đẳng thức −∆u1 = f (u1 ) Ω ta thực phép nhân với u2 −∆u2 = f (u2 ) Ω ta thực phép nhân với u1 Sau lấy tích phân miền Ω ta được: [f (u1 )u2 − f (u2 )u1 ]dx = Ω hay u1 u2 [ f (u1 ) f (u2 ) − ]dx = u1 u2 Ω 45 Vì < u1 ≤ u2 nên đẳng thức xảy f (u) u Nhưng theo điều kiện (3.46) hàm Từ suy đẳng thức f (u1 ) u1 = f (u2 ) u2 f (u1 ) u1 = f (u2 ) u2 Ω hàm giảm miền u ∈ (0; +∞) xảy u1 = u2 Vậy toán (3.39) có nghiệm Mục đích phần xét toán (3.39) trường hợp hàm phi tuyến f(u) không thỏa mãn điều kiện (3.41), (3.42) Trong trường hợp nghiệm toán (3.39) không dương Định lý 3.6 Giả sử hàm phi tuyến f thỏa mãn điều kiện (3.46), ánh xạ: (0; +∞) u→ f (u) u giảm nghiệm toán (3.39) Chứng minh Để chứng minh định lý ta giả sử u1 , u2 hai nghiệm tùy ý toán (3.39) Ta phải chứng minh u1 ≡ u2 Giả sử u1 ≤ u2 ta đặt: A = {t ∈ [0; 1] : tu1 ≤ u2 } Nhận thấy ∈ A nên A = ∅ Khi tồn phần tử ε0 > cho ∀ε ∈ (0; ε0 ) ε ∈ A Bây ta đặt: t0 = max A giả sử ngược lại t0 < đồng thời t0 thỏa mãn điều kiện t0 u1 ≤ u2 Ω Ta chứng minh tồn số ε > cho (t0 + ε)u1 ≤ u2 Khi điều mâu thuẫn với giả thiết t0 = max A Thật vậy: −∆u2 = f (u2 ) Ω u2 = ∂Ω 46 (3.47) −∆(t0 u1 ) = t0 f (u1 ) Ω t0 u1 = ∂Ω (3.48) Lấy (3.47) trừ (3.48) ta có: −∆u2 + ∆(t0 u1 ) = f (u2 ) − t0 f (u1 ) Hay: −∆(u2 − t0 u1 ) = f (u2 ) − t0 f (u1 ) Điều dẫn đến −∆(u2 − t0 u1 ) + a(u2 − t0 u1 ) = f (u2 ) − t0 f (u1 ) + a(u2 − t0 u1 ) Hay −∆(u2 − t0 u1 ) + a(u2 − t0 u1 ) = f (u2 ) + au2 − t0 (f (u1 ) + au1 ) Bây ta chọn a > đủ lớn để ánh xạ u → f (u) + au đơn điệu tăng Khi đó: −∆(u2 − t0 u1 ) + a(u2 − t0 u1 ) ≥ f (t0 u1 ) + at0 u1 − t0 f (u1 ) − at0 u1 Hay −∆(u2 − t0 u1 ) + a(u2 − t0 u1 ) ≥ f (t0 u1 ) − t0 f (u1 ) ≥ 0, (3.49) Áp dụng nguyên lý cực đại u2 − t0 u1 thuộc hai trường hợp sau: • TH1: u2 − t0 u1 ≡ • TH2: u2 − t0 u1 > Ω ∂ (u2 − t0 u1 ) < ∂Ω ∂ν Nếu u2 − t0 u1 ≡ hay u2 ≡ t0 u1 điều kéo theo bất đẳng thức (3.49) xảy dấu " = " t0 f (u1 ) = f (t0 u1 ) điều mâu thuẫn với giả thiết f phi tuyến Vậy trường hợp 1: u2 = t0 u1 xảy 47 Từ dẫn đến u2 − t0 u1 > Ω ∂ ∂ν (u2 − t0 u1 ) < ∂Ω Khi đó, tồn số ε > cho (t0 + ε)u1 ≤ u2 Điều mâu thuẫn với giả thiết t0 = max A Vậy u1 ≡ u2 48 Kết luận Kiến thức phương pháp nghiệm nghiệm phần kiến thức quan toán học giải tích đề tài nhiều người nghiên cứu Trong luận văn " Phương pháp nghiệm nghiệm giải toán Dirichlet phương trình Elliptic" bao gồm nội dung sau: Trình bày khái niệm nghiệm nghiệm qua phương pháp lặp đơn điệu không gian Banach tổng quát: - Tập hợp nón thứ tự - Phương pháp nghiệm nghiệm phép xấp xỉ liên tiếp không gian Banach - Áp dụng vào phương trình vi phân để giải toán Dirichlet phương trình vi phân nửa tuyến tính Áp dụng phương pháp nghiệm nghiệm dưới, phương pháp nghiệm yếu, nghiệm yếu để giải toán biên Dirichlet phương trình elliptic nửa tuyến tính 49 Tài liệu tham khảo [1] Trần Đức Vân, 2008, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Đào Anh Dũng, 2009, Một ứng dụng định lý hàm ẩn vào phương trình đạo hàm riêng, Luận văn Cao học [3] Pavel Drábek, Jaroslav Milota, 2007, Methods of nonlinear Analysis Applications to Differrential Equations, Birkhauser Basel Boston Berlin [4] Vicentiu D.Rãdulescu, 2008, Qualitative Analysis of nonlinear Elliptic partial Differential Equations, Hindawi Publishing corporation 50 [...]... dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp cách giải phương trình (2.5) 19 Định nghĩa 2.4 Điểm u ∈ X được gọi là nghiệm trên của phương trình (2.5) (hay của toán tử T ) nếu: T (u) ≤ u Điểm u ∈ X được gọi là nghiệm dưới của phương trình (2.5) nếu u ≤ T (u) Nguyên lý tổng quát của phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới được phát biểu như sau: Nếu tồn tại nghiệm trên và nghiệm dưới của phương trình (2.5), thì nghiệm. .. tồn tại một nghiệm u nhỏ nhất và một nghiệm u lớn nhất của bài toán (3.1) thuộc đoạn [U ; U ] 3.2 Phương pháp nghiệm trên yếu, nghiệm dưới yếu Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn , ta xét bài toán Dirichlet: −∆u = f (x; u) trong Ω u = 0 trên ∂Ω Hàm u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) là nghiệm của bài toán (3.1) trên Định nghĩa 3.2 • Một hàm U ∈ C(Ω) được gọi là một nghiệm yếu dưới của bài toán (3.1) nếu U ≤ 0 trên ∂Ω và... chặn trên, còn dãy vn đơn điệu giảm và bị chặn dưới Do đó theo định lý 2.2, các dãy này đều hội tụ và ta có: u = limn→+∞ un , v = limn→+∞ vn là các nghiệm của phương trình (2.5) với u = T (u), v = T (v) và ta có: un ≤ u ≤ v ≤ vn , ∀n = 0, 1, 2, 21 2.3 Áp dụng vào phương trình vi phân 2.3.1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình vi phân nửa tuyến tính Ta xét bài toán Dirichlet đối với phương trình. .. nghiệm trên của bài toán (3.1) nếu: −∆U ≥ f (x, U ) trong Ω U ≥ 0 trên ∂Ω 27 (3.3) Hàm u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) được gọi là nghiệm của bài toán (3.1) khi và chỉ khi u vừa là nghiệm trên vừa là nghiệm dưới của bài toán (3.1) Định lý 3.1 Cho U là một nghiệm dưới và U là một nghiệm trên của bài toán (3.1) sao cho U ≤ U trong Ω Khi đó ta có các khẳng định sau: i) Tồn tại một nghiệm u của bài toán (3.1) thỏa... từ bài toán (3.5) ta nhận được: −∆u + a.u = g(x, u) trong Ω u = 0 trên ∂Ω (3.19) Vậy u là một nghiệm của bài toán (3.1) Ta chứng minh điều kiện ii) Lấy u ∈ (U ; U ) là một nghiệm bất kỳ của bài toán (3.1) Khi đó u và U tạo nên một cặp nghiệm dưới - nghiệm trên của bài toán (3.1) Nên trong khoảng (u; U ) ta lại chọn được dãy đơn điêụ giảm un với u0 = U và với mỗi n ≥ 1 thì un là nghiệm duy nhất của bài. .. −v0 (t) là nghiệm dưới của bài toán (2.11) Hơn nữa: u0 ≤ v0 , ∀t ∈ (0; 1) Áp dụng hệ quả 2.1 ta suy ra bài toán (2.11) tồn tại nghiệm u(t) và v(t) là giới ∞ hạn của dãy xấp xỉ liên tiếp {un }∞ n=1 , {vn }n=1 trong đó: un+1 = T (un ), vn+1 = T (vn ), n = 0, 1, 2 và u0 ≤ u ≤ v ≤ v0 , ∀t ∈ (0; 1) 26 Chương 3 Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới và bài toán biên Dirichlet nửa tuyến tính đối với toán tử Laplace... (2.5), thì nghiệm của phương trình (2.5) có thể tìm được nhờ phương pháp xấp xỉ liên tiếp un+1 = T (un ) và vn+1 = T (vn ), (n = 0, 1, 2, ) (2.6) trong đó u0 là nghiệm dưới và v0 là nghiệm trên của phương trình (2.5) Định lý 2.2 Giả sử T : X −→ X là một toán tử đơn điệu tăng, compact trong không gian Banach được sắp thứ tự với nón chuẩn , u0 là nghiệm dưới, v0 là ∞ nghiệm trên của phương trình (2.5) Khi... Tồn tại nghiệm nhỏ nhất u và nghiệm lớn nhất u của bài toán (3.1) thuộc đoạn [U ; U ] Trước khi chứng minh định lý 3.1 ta có các nhận xét sau đây: Chú ý 3.1 Sự tồn tại nghiệm nhỏ nhất u và nghiệm lớn nhất u trong định lý này được hiểu rằng: hai nghiệm này tạo nên một cặp sắp thứ thự nghiệm dưới - nghiệm trên của bài toán (3.1) Trên thực tế có thể xảy ra rằng bài toán (3.1) có nghiệm nhưng nghiệm đó... dụng vào bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính Giả sử Ω ⊂ Rn là miền bị chặn Ta xét bài toán Dirichlet sau đây: −∆u(x) = f (x, u(x)) trong Ω u(x) = 0 trên ∂Ω (1.9) trong đó f (x, s), x ∈ Ω, s ∈ R là hàm không tuyến tính đối với s, liên tục theo (x, s) ∈ Ω × R Định nghĩa 1.2 Hàm u ∈ H01 (Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán (1.9) nếu và chỉ nếu: f (x, u0 ).vdx với mọi... (1.4) được gọi là toán tử của bài toán Dirichlet với điều kiện biên thuần nhất đối với phương trình Laplace −∆u = f (x) trong Ω u = 0 trên ∂Ω (1.5) Định nghĩa 1.1 Giả sử f ∈ L2 (Ω) Hàm u ∈ H01 (Ω) được gọi là nghiệm suy rộng tức là nghiệm yếu của bài toán Dirichlet (1.5) nếu nó thỏa mãn điều kiện: (Du; Dv) = (f ; v), ∀v ∈ C0∞ (Ω) Nhận xét 1.3 Nếu nghiệm suy rộng u của bài toán Dirichlet (1.5) thỏa mãn điều