ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ TRANG VẾ GIẢI TÍCH CỦA CÔNG THỨC VẾT TRÊN SL(2, R) Chuyên nghành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.0102 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TSKH ĐỖ NGỌC DIỆP HÀ NỘI - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Cấu trúc SL(2, R) 1.2 Toán tử bất biến 1.3 Chuỗi Eisenstein 10 1.4 Khai triển Fourier hàm tự đẳng cấu 11 Lý thuyết phổ L2 (Γ \ SL(2, R)) 13 2.1 Chuỗi Theta 13 2.2 Phổ liên tục phổ rời rạc 18 2.3 Phổ liên tục chuỗi Eisenstein 21 2.4 Công thức tổng Poisson: 28 Công thức tính vết SL(2, R) 34 3.1 Phân tích phổ biểu diễn quy 34 3.2 Công thức tính vết 37 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Mở đầu Biểu diễn SL(2, R) mà quan tâm luận văn gồm chuỗi biểu diễn bất khả quy biểu diễn L2 (Γ \ SL(2, R) Trong chuỗi biểu diễn bất khả quy bao gồm biểu diễn chuỗi chính, biểu diễn chuỗi rời rạc, giới hạn chuỗi rời rạc, biểu diễn hữu hạn chiều biểu diễn tầm thường Biểu diễn xác định nhờ vết biểu diễn Biểu diễn quy phân tích thành tổng rời rạc tích phân liên tục biểu diễn bất khả quy Phần rời rạc biểu diễn quy nhóm SL(2, R) phân tích thành tổng biểu diễn bất khả quy Do công thức vết phần rời rạc biểu diễn quy viết thành tổng vết biểu diễn bất khả quy nhọn biểu diễn hữu hạn chiều Việc tính vết biểu diễn SL(2, R) quy việc tính vết biểu diễn bất khả quy Trong toán tìm vết biểu diễn L2 (Γ \ SL(2, R)) ta quan tâm phân tích thành phần rời rạc biểu diễn quy tổng biểu diễn chuỗi rời rạc, giới hạn chuỗi rời rạc biểu diễn hữu hạn chiều Công thức vết tương ứng cho ta vế giải tích công thức vết theo công trình nghiên cứu Arthur – Selberg, Langlands, Shelstad Các phương pháp nghiên cứu sử dụng luận văn phương pháp giải tích tính vết toán tử tích phân với hạt nhân Các kết trình bày luận văn là: Đưa công thức tính vết SL(2, R) Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương trình bày tóm tắt số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày phổ liên tục phổ rời rạc toán tử tuyến tính công thức vết toán tử tích phân có nhân nhóm SL(2, R) Chương trình bày công thức tính vết SL(2, R) cho biểu diễn quy tổng vết biểu diễn bất khả quy nhọn Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Trang Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp Thầy dành nhiều thời gian quý báu để kiên trì hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy Tôi muốn gửi tới toàn thể thầy cô Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô đảm nhận giảng dạy hai khóa Cao học 2011 - 2013 2012 - 2014, đặc biệt thầy cô tham gia tham gia giảng dạy nhóm giải tích 2011 - 2013 lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ suốt thời gian khóa học Tôi xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, anh chị em nhóm Cao học Toán 2011-2013, đặc biệt anh chị em nhóm Giải tích quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện động viên tinh thần để hoàn thành khóa học Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Cấu trúc SL(2, R) Kí hiệu G = SL(2, R) nhóm ma trận vuông cấp có định thức trường số thực R G = SL(2, R) = a b c d | a, b, c, d ∈ R, ad − bc = Kí hiệu H nửa mặt phẳng phức (còn gọi nửa mặt phẳng Poincaré): H = {x + iy, x, y ∈ R, y > 0} Kí hiệu K = SO(2) = = g ∈ SL(2, R) : g t g = cos θ − sin θ sin θ cos θ | θ ∈ R nhóm đóng lớn SL(2, R) Nhóm G tác động lên H phép biến đổi phân tuyến tính: z → gz = az + b a b , với g = c d ∈ G, z ∈ H cz + d Ánh xạ G → H đồng G/K với H g → gi Trên nửa mặt phẳng H, ta có cấu trúc Riemannian xác định ds2 = (dx2 + dy ), y tích vô hướng G-bất biến H Metric cho ta độ đo G-bất biến H hiểu dz = dxdy y Các phần tử G: Xét |g − λI| = 0, với g ∈ G, I ma trận đơn vị cấp 2, λ giá trị riêng có g Ta có: a−λ b c d−λ =0 ⇔ λ2 − (a + d)λ + ad − bc = ⇔ λ2 − tr(g)λ + = 0, với tr(g) = a + d • Nếu |tr(g)| < g gọi elliptic g có dạng chuẩn Jordan ε 0 ε , ε ∈ C, |ε| = • Nếu |tr(g)| = g gọi parabolic g có dạng chuẩn Jordan x , x ∈ R • Nếu |tr(g)| > g gọi hyperbolic g có dạng chuẩn Jordan t 0 t−1 , t ∈ R Phân tích Iwasawa: Với phần tử g ∈ G, ta phân tích g thành dạng g = n(x)a(y)k(θ), với n(x) ∈ N, a(y) ∈ A, k(θ) ∈ K, N= A= K= x , x∈R , √ y √ −1 , y ∈ R, y > , y cos θ − sin θ sin θ cos θ , θ ∈ [0, 2π] Ta có G = N AK Phân tích Cartan: Với phần tử g ∈ G, tồn k(θ), k(θ ) ∈ K a(y) ∈ A, cho g = k(θ)a(y)k(θ ) Ta có G = KAK Nhóm rời rạc: Một nhóm rời rạc nhóm con, rời rạc nhóm P SL(2, R) = G/ {±I} , với I ma trận đơn vị cấp SL(2, R) ±I phần tử SL(2, R) cảm sinh ánh xạ đồng H, G/ {±I} nhóm phép biến đổi phân tuyến tính Γ gọi nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn độ đo Γ \ H hữu hạn Điểm nhọn: Kí hiệu Γ nhóm rời rạc nhóm P SL(2, R) Cho κ số thực ∞ Γκ nhóm dừng κ Γ: Γκ = {σ ∈ Γ|σκ = κ} Khi ta gọi κ điểm nhọn R Γκ sinh phần tử parabolic Các điểm nhọn tương đương tương ứng - lớp liên hợp nhóm cực đại Γ có phần tử parabolic phần tử sinh Nếu Γ có diện tích hữu hạn số điểm nhọn tương đương hữu hạn Độ đo G: Cho γ ∈ G, nhóm tâm hóa phần tử γ G, kí hiệu Gγ , Gγ = g ∈ G|g −1 γg = γ Một độ đo µ Gγ \ G gọi G- bất biến phải µ(Ax) = µ(A) với tập Borel A Gγ \ G x ∈ G Độ đo G- bất biến trái định nghĩa tương tự Một độ đo µ G gọi độ đo Haar bất biến tác động G Biểu diễn SL(2, R): Định nghĩa 1.1 Cho G nhóm (GL(2, R) SL(2, R), E không gian Hilbert Một biểu diễn G E đồng cấu nhóm từ G vào nhóm GL(E) tự đẳng cấu tuyến tính liên tục E π : G → GL(E), cho với véc tơ v ∈ E ánh xạ π xác định x → π(x)v ánh xạ liên tục Biểu diễn π gọi unita π(x) unita với x thuộc G Định nghĩa 1.2 Cho π biểu diễn nhóm G không gian Hilbert E , W không gian E Ta nói W G- bất biến π(x)W ⊂ W với x ∈ G Định nghĩa 1.3 Một biểu diễn π : G → GL(E) gọi bất khả quy E không gian bất biến khác {0} E Cho π biểu diễn G không gian Hilbert E, giả sử rẳng En , E= cos θ − sin θ sin θ cos θ , θ ∈ [0, 2π] Phần tử v ∈ E K - hữu hạn π(K)v sinh không gian hữu hạn chiều En không gian riêng thứ n K = 1.2 Toán tử bất biến Tiếp theo nghiên cứu không gian Hilbert hàm bình phương khả tích D = Γ \ H Nếu độ đo D hữu hạn số phần tử L2 (Γ \ H) Định nghĩa 1.4 Toán tử tích phân định nghĩa (Lf )(z) = k(z, z )f (z )dz , H gọi toán tử tích phân có nhân với hàm hạt nhân k(z, z ) Với σ ∈ G, ánh xạ f (z) → f (σz) xác định toán tử tuyến tính kí hiệu Tσ Một toán tử L gọi xác định toán tử hạt nhân bất biến giao hoán với tất Tσ Để hàm hạt nhân k(z, z ) toán tử bất biến điều kiện cần đủ k(σz, σz ) = k(z, z ), ∀σ ∈ G ∂2 ∂2 Ta có =y + toán tử vi phân G - bất biến H có bậc ∂x2 ∂y thấp toán tử vi phân G - bất biến H đa thức với hệ số • Ta có phép chiếu tắc: G → H = G/K , hàm xác định H xem hàm G Nói riêng, cặp điểm bất biến xác định hàm k(g, g ) G × G Tồn hàm F G cho F (g −1 g) = k(g, g ), hàm F có tính chất đặc biệt F (kgk ) = F (g) với k, k ∈ K Nói cách khác, F hàm không đổi tất lớp kép KgK Ngược lại, hàm F G không đổi lớp kép KgK thu cách Ta định nghĩa hàm cặp điểm bất biến H k(g, g ) = F (g −1 g) Chứng minh Ta có +∞ +∞ (y − y )2 + x2 k yy k(z, n(b)z )db = −∞ +∞ yy = dx (y − y )2 √ k + t dt, yy t √ x2 yy với = t, dx = √ dt yy t Hơn nữa, ta có y − y y y u = ω = eu + e−u − = e − e −u 2 Do +∞ yy = (y − y )2 √ k + t dt = yy t yy Q(ω) = yy g(u) = +∞ k(t) √ dt t−ω yy ω yy g(ln y − ln y ) Định lý chứng minh Định lý cho ta mô tả xác phổ liên tục toán tử tích phân bất biến giá trị trung bình giá trị chuỗi Eisenstein đường Re s = Định lí 2.9 Cho Γ nhóm rời rạc dạng hữu hạn; {κ1 , κ2 , , κh } tập đầy đủ điểm nhọn không tương đương Γ cho Ei (z, s) chuỗi Eisenstein κi Cho k(z, z ) = k(t(z, z )) cặp điểm bất biến h(r) phép biến đổi Selberg k Hơn nữa, đặt H(z, z ) = 4π h +∞ h(r)Ei (z, s)Ei (z , s), s = i=1 −∞ + ir Khi đó, ta có H(z, z )f (z )dz = với f ∈ D0 K(z, z ) = K(z, z ) − H(z, z ), Γ\H 26 k(z, σz ) bị chặn Γ \ H, k(t) ∈ C∞ , có giá compact K(z, z ) = σ∈Γ tập số thực dương Từ định lý toán tử tích phân xác định hàm hạt nhân H(z, z ) cho ta phân tích rõ ràng phổ liên tục toán tử tích phân cho hàm hạt nhân K(z, z ) Phân tích tương tự biểu thức hàm hạt nhân dạng Hilbert - Schmidt cho chuỗi gồm hàm riêng giá trị riêng Ta đến giải thích cho tồn công thức rõ ràng phân tích phổ cho hàm f (z) ∈ L2 (Γ \ H), công thức tương tự phân tích phổ toán tử tích phân bất biến Để đơn giản, ta giả sử Γ nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn rút gọn ∞ ∞ điểm nhọn Γ Xét D = Θ0 ⊕ Θ ⊕ D0 phân tích D = L2 (Γ \ H) cho định lý 2.6, giả thiết θψ ∈ Θ0 Khi ta có θψ (z) = 2πi Res= 21 Lψ (s)E(z, s)ds, E(z, s) chuỗi Eisenstein Γ Ta có: (θψ , E(z, s)) = Lψ (s) + ϕ(1 − s)Lψ(1−s) , ϕ(s) hàm xuất số hạng khai triển Fourier E(z, s) ∞ Nói cách khác, từ phương trình hàm E(z, s) ta có: 2πi Res= 12 = πi (Lψ (s) + ϕ(1 − s)Lψ (1 − s))E(z, s)ds Res= 12 Lψ (s)E(z, s)ds = 2θψ (z) Vì vậy, θψ (z) = 4π +∞ (θψ , E(z, s))E(z, s)dr, (s = −∞ + ir) Ngoài ra, Fi hệ trực chuẩn không gian Θ ⊕ D0 ta suy công thức phân tích phổ f (z) = i (f, Fi )Fi (z) + 4π 27 +∞ (f, E(z, s))E(z, s)dr, −∞ với hàm f (z) ∈ L2 (Γ \ H) Công thức thuận tiện cho việc nghiên cứu phân tích phổ toán tử Laplace Nếu Fi hàm riêng thỏa mãn Fi = λi Fi thì: f (z) = i λi (f, Fi )Fi (z) + 4π +∞ λ(f, E(z, s))E(z, s)dr, −∞ với λ = s(s − 1) Xét k(z, z ) cặp điểm bất biến, k(z, σz ) − H(z, z ) K(z, z ) = σ∈Γ hàm hạt nhân xác định toán tử tích phân f → K(z, z )f (z )dz với D D = Γ \ H Hằng số K(z, z)dz gọi vết toán tử tích phân Nó D Selberg, vết thu gọn thành tổng phần tương ứng với lớp liên hợp Γ phần công thức vết biểu thị công thức đơn giản qua phép biến đổi Selberg h k 2.4 Công thức tổng Poisson: Công thức tổng Poisson Xét trường hợp quen thuộc G = R, Γ = Z, giả sử f ∈ Cc∞ (R), cho toán tử tích chập R(f ) L2 (T ) = L2 (Z \ R) R(f )ϕ(x) = f (y − x)ϕ(y)dy f (y)ϕ(x + y)dy = R R f (y + n − x)ϕ(y)dy = = T n∈Z Kf (x, y)ϕ(y)dy T f (y + n − x) ∈ C ∞ (T × T ), ta tính vết R(f ) Kf (x, y) = n∈Z hai cách traceR(f ) = Kf (x, x)dx = T f (n) n∈Z Mặt khác, ta chéo hóa R(f ) sử dụng sở trực chuẩn en = e2πin , n ∈ Z, R(f ) = f (n)en (f biến đổi Fourier f) Do traceR(f ) = f (n) n∈Z 28 Vì vậy, ta có công thức tổng Poisson f (n) = f (n) n∈Z n∈Z Tiếp theo ta kí hiệu G = SL(2, R) Công thức tổng Poisson cho SL(2, R) Xét nhóm B nhóm SL(2, R) B= y− x g= y2 Đây nhóm đẳng cấu với nhóm phép biến đổi afin đường thẳng thực với đẳng cấu (y, x) → (a, b) a = y −1 , b = y − x từ B vào B B = y− g= y2 x Nhóm Borel B tác động lên nửa mặt phẳng Poincaré phép biến đổi phân tuyến tính az + b z = x + iy ∈ H → ∈H cz + d a b Ta biết phân tích Iwasawa, với phần tử g = c d SL(2, R) ta có: a b y− x c d = y2 cosθ −sinθ sinθ cosθ y− = y2 Kí hiệu lũy đơn G N = x 1 x 29 cosθ −sinθ sinθ cosθ Định nghĩa 2.1 Cho Γ ⊆ SL(2, Z) nhóm số học SL(2, R) Cho H = {z ∈ C | Im(z) > 0} nửa mặt phẳng Poincaré Một hàm gọi có điểm nhọn với g ∈ SL(2, R) f Γ∪N \N n g dn = 0, ∀g ∈ G Định nghĩa 2.2 Một hàm f : H → C gọi tự đẳng cấu thỏa mãn điều kiện sau: f thỏa mãn f (γz) = f (z), ∀γ ∈ Γ ; f bị chặn ; f có điểm nhọn, tức f hàm riêng f x z dx = ; − s2 f (z) = f (z) toán tử Laplace = −y ( ∂2 ∂2 + ) ∂x2 ∂y Kí hiệu o L2 (Γ \ H) không gian tất hàm có điểm nhọn nửa mặt phẳng Poincaré Kí hiệu phần bù trực giao L2cont (Γ \ H) Ta có L2 (Γ \ H) =o L2 (Γ \ H) ⊕ L2cont (Γ \ H) Vấn đề đặt cần thu phân tích phổ không gian thành tổng biểu diễn bất khả quy Định lí 2.10 Nếu Γ ⊂ SL(2, R) nhóm rời rạc có diện tích hữu hạn, đó: Các biểu diễn quy SL(2, R) không gian o L2 (Γ \ H) hàm có điểm nhọn phân tích thành tổng trực tiếp biểu diễn Unita không gian hàm tự đẳng cấu 30 Không gian o L2 (Γ \ H) phân tích thành tổng trực tiếp không gian SL(2, R)−bất biến o L2 (Γ \ H) = Hn H0+ H0− , n=0 Hn nhóm SL(2, R) tác động biểu diễn bất khả quy Không gian Θ ⊂ L2cont (Γ \ H) chứa phổ liên tục toán tử Laplace Định nghĩa 2.3 Một hàm ϕ : SL(2, R) → C gọi tự đẳng cấu thỏa mãn điều kiện sau: ϕ thỏa mãn: ϕ(γg) = ϕ(g), ∀γ ∈ Γ ; ϕ bất biến phải: ϕ(gk) = ϕ(g), ∀k ∈ K = SO(2) ; ϕ bị chặn; ϕ có điểm nhọn: ϕ x g dx = ϕ hàm riêng ϕ(g) = − s2 ϕ(g) toán tử Laplace ∂2 ∂2 ∂2 = −y ( + ) + y ∂x ∂y ∂x∂θ Kết hợp với dạng modular f, dạng tự đẳng cấu Γ \ SL(2, R) f → ϕf (g) = f (gi) cho ta không gian dạng tự đẳng cấu A(Γ \ H) Γ \ H không gian dạng tự đẳng cấu A(Γ \ SL(2, R)) Γ \ SL(2, R) Định lí 2.11 Cho g = n(x)a(y)k(θ), với n(x) ∈ N, a(y) ∈ A, k(θ) ∈ K, phân tích Iwasawa G = N AK , f dạng tự đẳng cấu Γ \ G, hàm liên hợp n nθ fH (z) = y f (g)e(− ) 2π định nghĩa nửa mặt phẳng Poincaré H 31 Ngược lại, fH dạng tự đẳng cấu H hàm n f (g) = y − fH (z)e( nθ ) 2π dạng tự đẳng cấu Các biểu diễn πn± chuỗi rời rạc Dn xác định không gian hàm H+ = {z ∈ C|I(z) > 0} H− = {z ∈ C|I(z) < 0} với tích vô hướng f1 (z)f2 (z)y n−1 dxdy < f1 , f2 >= I(z)>0 tác động biểu diễn lên hàm công thức a b πn± ( c d )f (x) = f az + b (cz + d)−n−1 cz + d Ta có nhóm Cartan SL(2, R) H= y2 y− cosθ −sinθ sinθ cosθ | y ∈ R× + , θ ∈ [0, 2π] ∼ = C× ∼ = R× +×S Bởi ta có công thức Poisson cho C× Khi hạn chế πn± |H ta có hàm điều hòa Fourier ei2πnθ ta có công thức Poisson Định lí 2.12 (Công thức Vết) Nếu πs ∈ Ps biểu diễn chuỗi đặc trưng T race πs có dạng |λg |s + |λg |−s ± T race πs = (sgnλ)ε , s = iσ ∈ R, ε = 0; −1 λg − λg với ± = (−1)ε , λg giá trị riêng g = 32 a b c d ∈ SL(2, R) Nếu πis ∈ Cs , < s < biểu diễn chuỗi đầy đủ đặc trưng T race πis có dạng |λg |s + |λg |−s T race πis = , < s < λg − λ−1 g Nếu πn± ∈ Dn , n ∈ Z biểu diễn chuỗi rời rạc đặc trưng T race πn có dạng T race πn± = λ−n einθ ±iθ − e∓iθ λg − λ−1 g e λg giá trị riêng có giá trị tuyệt đối lớn Ta quan tâm đến trường hợp nhóm thương Γ \ SL(2, R) compact Cho SL(2,R) χ(γ) biểu diễn hữu hạn chiều Γ Kí hiệu T IndΓ χ biểu diễn SL(2, R) cảm sinh từ Γ χ Mỗi biểu diễn chuỗi rời rạc phân loại phân tích phổ thành bội hữu hạn biểu diễn quy SL(2, R) phân tích thành tổng đặc trưng trường hợp phân loại ta có T race T | L2 (SL(2,R)) = mπ T race πn± + +∞ −∞ T race πs± ds+ T race πis ds ± Số bội m± n số biểu diễn πn chuỗi rời rạc Dn phân loại thành biểu diễn quy SL(2, R) tính toán theo công thức sau   k−1  νvol(Γ \ SL(2, R)) T race(γ s ) − iπsn  ± n−1 mn = [1+(−1) ε] n∓ e k πs   π2 4ki sin k s=1 {γ} Tổng kết lại có định lý sau: Định lí 2.13 Phần rời rạc biểu diễn quy SL(2, R) không gian L2 (Γ \ SL(2, R)) toán tử unita phân tích thành tổng trực tiếp biểu diễn chuỗi rời rạc giới hạn biểu diễn chuỗi rời rạc, thành phần có bội hữu hạn, phần tổng trực tiếp với biểu diễn chuỗi biểu diễn chuỗi đầy đủ 33 Chương Công thức tính vết SL(2, R) 3.1 Phân tích phổ biểu diễn quy Cho L2 (Γ \ G) không gian hàm tự đẳng cấu có bình phương khả tích G = SL(2, R) Khi Tg0 : f (g) → f (gg0 ) biểu diễn Unita G D gọi biểu diễn quy G D Trên L2 (Γ \ G) có biểu diễn quy tự nhiên R G cho công thức az + b a b R f (z) = f , z ∈ H c d cz + d x | x ∈ R tác động theo phép tịnh tiến biến z thành z + x Với hàm ψ : N \ H → C biến y giảm đủ nhanh y dần tới ∞, ta có định nghĩa θ - chuỗi không đầy đủ Trong trường hợp đặc biệt, N = ψ(σi−1 σz) θi,ψ (z) = σ∈Γi \Γ Kí hiệu Θ =< θt,ψ | ∀ψ, t >⊂ L2 (Γ \ H) không gian θ−chuỗi không đầy đủ Ta biết phần bù trực giao Θ⊥ Θ L2 (Γ \ H) đẳng cấu với không gian D0 dạng nhọn Parabolic (hay nói cách khác không gian dạng tự đẳng cấu với số hạng Fourier biểu diễn tự đẳng cấu 0), D = Θ ⊕ D0 Xét đại số Hecke H(SL(2, R)) tất toán tử tích chập Hecke có dạng sau Cho F : H → C hàm K - bất biến hai phía với phép biến đổi có dạng z → γz, ∀γ ∈ Γ Các toán tử Hecke có hạt nhân xác định sau Với 34 hàm tự đẳng cấu f cho f (γz) = f (z), ∀γ ∈ Γ, F (g −1 g)f (g )dg = (F ∗ f ) = H k(z, z )f (z )dz H = k(z, γz )f (z )dz = Γ\H γ∈Γ z = gi, z = g i, i = √ K(z, z )f (z )dz , Γ\H −1 K(z, z ) = k(z, γz ) γ∈Γ Kí hiệu tổng hạt nhân điểm nhọn h H(z, z ) = +∞ h K(z, γi n(x)γi−1 γz )dx Hi (z, z ) = i=1 i=1 γi ∈Γi \Γ −∞ Toán tử Hecke với hạt nhân K(z, z ) có phổ tương tự với toán tử có hạt nhân K ∗ (z, z ) = K(z, z ) − H(z, z ) Hạt nhân K ∗ (z, z ) bị chặn miền Γ \ H có diện tích hữu hạn Vì hạt nhân K ∗ (z, z ) thuộc lớp L2 D × D, D = Γ \ H, tất toán tử Hecke toán tử đóng Các toán tử Hecke có phần bù bất khả quy Θ⊥ bất biến tích vô hướng biểu diễn tự đẳng cấu Trên phần bù bất khả quy, toán tử Laplace có giá trị riêng cố định s(s − 1) ∂2 ∂2 f = λf, λ = , = −y + ∂x2 ∂y Với dạng modular f ∈ Sk (Γ) có trọng số k nửa mặt phẳng Poincaré H = SL(2, R)/SO(2), kết hợp với dạng tự đẳng cấu ϕf ∈ Ak (SL(2, R)) ϕf a b c d k = y eikθ f (x + iy), x, y, θ phân tích Iwasawa Biểu diễn chuỗi rời rạc xác định hàm L2 (H, ηk ), ηk = y k dạng modular trọng số k công thức πk a b c d f (z) = (cz + d)−k f (z) 35 dxdy y2 Kí hiệu Dk chuỗi biểu diễn rời rạc trọng số k Các biểu diễn tự đẳng cấu dạng nhọn xác định không gian L2cusp (Γ \ SL(2, R)) dạng tự đẳng cấu Định lí 3.1 Tập hợp đồng cấu SL(2, R) từ tập hợp biểu diễn chuỗi rời rạc tới tập L2cusp (Γ \ SL(2, R)) biểu diễn tự đẳng cấu SL(2, R) tập Sk (Γ) dạng modular HomSL(2,R) (Dk , L2cusp (Γ \ SL(2, R))) = Sk (Γ) Từ lý luận ta có định lý phân tích phổ thành phần rời rạc biểu diễn quy Định lí 3.2 (Phân tích phổ) Trong không gian biểu diễn cảm sinh Ind chọn cos θ − sin θ Hn = f ∈ H| π sin θ cos θ f = einθ f Tất có thứ nguyên H = G B χλ,ε , Hn n∈Z Phần rời rạc R|L2cusp (Γ\SL(2,R)) biểu diễn quy phân tích thành tổng chuỗi rời rạc phép biến đổi πn± không gian + Ds+1 = Hn , n≡ε mod 2,n≥m − Ds+1 = Hn , n≡ε mod 2,n≤−m s ∈ Z, s > s + ≡ ε mod ∃m ∈ Z, m = s + 1, m > cảm sinh từ χiλ,ε = |a|iλ (sign a)ε giới hạn chuỗi phép biến đổi π0± D1− hai thành phần phép biến đổi π 0,1 = Ind G B χ0,1 , cảm sinh từ đặc số χ0,1 ± Hệ 3.1 Mỗi hàm ϕ lớp C∞ c (G), toán tử πn (ϕ) lớp vết hàm suy rộng kí hiệu Θ± n (theo Harish - Chandra), hàm định nghĩa hạn chế nhóm đóng lớn K = SO(2) m(πn± )Θ± n (ϕ), trR(ϕ) = n∈Z,n≥0,± với bội số m(πn± ) 36 3.2 Công thức tính vết Vết hạn chế biểu diễn quy tập dạng nhọn parabolic cho ta vế phổ công thức vết Ta có định lý vế phổ công thức vết: Định lí 3.3 Với hàm f ∈ C∞ (SL(2, R)) có giá compact toán tử R(f )|L2cusp (Γ\SL(2,R)) lớp vết thành phần bất khả quy bội hữu hạn m(πn± )πn± (f ), R(f )|L2cusp (Γ\SL(2,R)) = π∈A(SL(2,R)) m(πn± ) = dimC HomSL(2,R) Dk , L2cusp (Γ \ SL(2, R) Xem [2] Cho G = SL(2, R), Γ nhóm rời rạc G cho Γ \ G compact, R biểu diễn quy phải G L2 (Γ \ G) Cho f ∈ C ∞ (G) định nghĩa R(f )φ(x) = G f (xy)φ(y)dy Bằng tính toán ta có R(f )φ(x) = f (y)φ(x−1 y)dy = f (xy)φ(y)dy = G G f (y)φ(x−1 γy)dy Γ\G γ∈Γ Vì R(f )φ(x) = K(x, y)φ(y)dy, Γ\G φ(x−1 γy) Tổng hữu hạn K ∈ C ∞ (Γ\G×Γ\G) K(x, y) = γ∈Γ Do R(f ) toán tử tích phân với hạt nhân K(x, y) R(f ) lớp vết Để tính vết R(f ) ta quan tâm tới vết biểu diễn L2 (Γ \ G) Trong toán tìm vết biểu diễn L2 (Γ \ G) ta quan tâm phân tích thành phần rời rạc thành tổng trực tiếp biểu diễn bất khả quy nhọn G, xuất với bội số hữu hạn Vì T raceR(f ) = m(π)T raceπ(f ), π∈G G đối ngẫu unita G, m(π) bội số π T raceπ(f ) vết toán tử π(f ) = G f (x)π(x)dx Công thức vết ổn định định nghĩa 37 hạn chế nhóm đóng lớn K = SO(2) SΘn = − Θ+ n − Θn eiθ − e−iθ 38 Kết luận Luận văn “Vế giải tích công thức vết SL(2, R)” trình bày nội dung công thức tính vết SL(2, R) cho biểu diễn chuỗi rời rạc, giới hạn chuỗi rời rạc biểu diễn hữu hạn chiều qua định lý Định lý 2.6 làm rõ phân tích phổ biểu diễn chuỗi rời rạc Định lý 2.7 cho ta mô tả xác phổ liên tục toán tử tích phân bất biến SL(2, R) Tuy nhiên thời gian thực luận văn không nhiều không tránh khỏi sai sót em mong góp ý thầy cô bạn đọc 39 Tài liệu tham khảo [1] Ngô Bảo Châu, Automorphic form on GL2 , Preprint.2011, Chicago University [2] I GELFAND, M GRAEV, Y PIATESKI-SHAPIRO, Representation Theory and Automorphic Functions, Generalized Functions Series, Vol 6, Nauka Press, Moscow, 1969 [3] Kubota, Tomio, Elementary Theory of Eisenstein Series, Kodansha LTD Tokyo John Wiley & Sons, New York - London - Sydney - Toronto, 1973 [4] S Lang, SL(2, R), Springer – Verlag, New York – Berlin – Heidelberg – Tokyo 40 [...]... được gọi là vết của toán tử tích phân Nó được D chỉ ra bởi Selberg, vết này có thể thu gọn thành tổng các phần tương ứng với các lớp liên hợp của Γ và mỗi phần của công thức vết được biểu thị bởi công thức đơn giản qua phép biến đổi Selberg h của k 2.4 Công thức tổng Poisson: Công thức tổng Poisson Xét trường hợp quen thuộc G = R, Γ = Z, giả sử rằng f ∈ Cc∞ (R), cho toán tử tích chập R(f ) trên L2 (T... chuỗi đầy đủ 33 Chương 3 Công thức tính vết trên SL(2, R) 3.1 Phân tích phổ của biểu diễn chính quy Cho L2 (Γ \ G) là không gian các hàm tự đẳng cấu có bình phương khả tích trên G = SL(2, R) Khi đó Tg0 : f (g) → f (gg0 ) là một biểu diễn Unita của G trong D và được gọi là biểu diễn chính quy của G trong D Trên L2 (Γ \ G) có một biểu diễn chính quy tự nhiên R của G cho bởi công thức az + b a b R f (z)... dạng tự đẳng cấu trên Γ \ SL(2, R) f → ϕf (g) = f (gi) cho ta không gian các dạng tự đẳng cấu A(Γ \ H) trên Γ \ H và không gian các dạng tự đẳng cấu A(Γ \ SL(2, R)) trên Γ \ SL(2, R) Định lí 2.11 Cho g = n(x)a(y)k(θ), với n(x) ∈ N, a(y) ∈ A, k(θ) ∈ K, là phân tích Iwasawa G = N AK , f là dạng tự đẳng cấu trên Γ \ G, khi đó hàm liên hợp n nθ fH (z) = y 2 f (g)e(− ) 2π được định nghĩa trên nửa mặt phẳng... ∼ = R× +×S Bởi vậy ta có công thức Poisson cho C× Khi hạn chế πn± |H ta có hàm điều hòa Fourier ei2πnθ và ta có công thức Poisson Định lí 2.12 (Công thức Vết) 1 Nếu πs ∈ Ps là một biểu diễn của chuỗi chính thì đặc trưng T race πs có dạng |λg |s + |λg |−s ± T race πs = (sgnλ)ε , s = iσ ∈ R, ε = 0; 1 −1 λg − λg với ± = (−1)ε , λg là giá trị riêng của g = 32 a b c d ∈ SL(2, R) 2 Nếu πis ∈ Cs , 0 < s... hợp nhóm thương Γ \ SL(2, R) là compact Cho SL(2 ,R) χ(γ) là biểu diễn hữu hạn chiều của Γ Kí hiệu T IndΓ χ là biểu diễn của SL(2, R) được cảm sinh từ Γ bởi χ Mỗi biểu diễn của chuỗi rời rạc phân loại trong phân tích phổ thành bội hữu hạn và mỗi biểu diễn chính quy của SL(2, R) được phân tích thành tổng của các đặc trưng trong trường hợp được phân loại và ta có T race T | L2 (SL(2 ,R)) = mπ T race πn±... chuỗi rời rạc Dn phân loại thành các biểu diễn chính quy của SL(2, R) được tính toán theo công thức sau   k−1  νvol(Γ \ SL(2, R)) 1 T race(γ s ) − iπsn  ± n−1 mn = [1+(−1) ε] n∓ e k πs   π2 4ki sin k s=1 {γ} Tổng kết lại chúng ta có định lý sau: Định lí 2.13 Phần rời rạc của biểu diễn chính quy của SL(2, R) trong không gian L2 (Γ \ SL(2, R)) là toán tử unita và được phân tích thành tổng trực tiếp... sở trực chuẩn en = e2πin , n ∈ Z, R(f ) = f (n)en (f là biến đổi Fourier của f) Do đó traceR(f ) = f (n) n∈Z 28 Vì vậy, ta có công thức tổng Poisson f (n) = f (n) n∈Z n∈Z Tiếp theo ta luôn kí hiệu G = SL(2, R) Công thức tổng Poisson cho SL(2, R) Xét nhóm con B của nhóm SL(2, R) 1 B= y− 2 x g= 1 0 y2 Đây là nhóm con đẳng cấu với nhóm các phép biến đổi afin của đường thẳng thực với đẳng cấu (y, x) → (a,... √ dt t−ω yy ω Từ đó, ta có +∞ Q(ω) yy y s−2 dy = h(r)y s 0 23 dt dx y = eu thì dy = yeu du, ta có y Hơn nữa, đặt +∞ +∞ u Q(ω) yy y s−2 dy = g(u)ye 2 (ye)s−2 yeu du −∞ +∞ 0 +∞ 1 g(u)eu(s− 2 ) du.y s = = −∞ ru du.y s 2π g(u)e −∞ Như vậy ta có ∞ h (r) = g(u)e ru du 2π −∞ Công thức (2.7) là công thức nghịch đảo của biến đổi Fourier Dể chứng minh công thức (2.7), ta chú ý +∞ √ 1 − π ω − u dQ(ω) u +∞ √... Iwasawa, với mỗi phần tử g = c d của SL(2, R) ta có: 1 a b y− 2 x 1 c d = 0 y2 cosθ −sinθ sinθ cosθ 1 y− 2 0 = 1 0 y2 Kí hiệu căn lũy đơn của G bởi N = 1 x 0 1 1 x 0 1 29 cosθ −sinθ sinθ cosθ Định nghĩa 2.1 Cho Γ ⊆ SL(2, Z) là nhóm con số học của SL(2, R) Cho H = {z ∈ C | Im(z) > 0} là nửa mặt phẳng Poincaré Một hàm được gọi là có điểm nhọn nếu với mỗi g ∈ SL(2, R) thì f Γ∪N \N 1 n 0 1 g dn = 0, ∀g... cấu trên H thì hàm n f (g) = y − 2 fH (z)e( nθ ) 2π là dạng tự đẳng cấu Các biểu diễn πn± của chuỗi rời rạc Dn được xác định trên không gian các hàm trên H+ = {z ∈ C|I(z) > 0} hoặc H− = {z ∈ C|I(z) < 0} với tích vô hướng f1 (z)f2 (z)y n−1 dxdy < f1 , f2 >= I(z)>0 và tác động của biểu diễn lên các hàm bởi công thức a b πn± ( c d )f (x) = f az + b (cz + d)−n−1 cz + d Ta có nhóm con Cartan của SL(2, R)