ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HƯƠNG SẮC ƯỚC LƯỢNG CHO MÔ HÌNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG NGẪU NHIÊN CÓ BƯỚC NHẢY LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội-2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HƯƠNG SẮC ƯỚC LƯỢNG CHO MÔ HÌNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG NGẪU NHIÊN CÓ BƯỚC NHẢY Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê Toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊNH Hà Nội-2013 Mục lục Giới thiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các trình ngẫu nhiên toán tài 1.2 Một số trình ngẫu nhiên 1.2.1 Quá trình Markov 1.2.2 Martingale 10 1.3 Các hàm đặc trưng tham số đặc trưng 10 1.3.1 Các hàm đặc trưng 10 1.3.2 Các tham số đặc trưng 12 1.4 Chuyển động Brown 14 1.4.1 Phân bố chuẩn 14 1.4.2 Chuyển động Brown 15 1.5 Tích phân ngẫu nhiên (tích phân Itô) 18 1.5.1 Bổ đề Itô 18 1.5.2 Chuyển động Brown hình học 19 Chương 22 Mô hình Black – Scholes hạn chế 22 2.1 Mô hình Black – Scholes 22 2.2 Các hạn chế mô hình Black – Scholes 23 2.2.1 Độ biến động nụ cười 23 2.2.2 Tính không đầy đủ thị trường 24 Chương 26 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy 26 3.1 Các mô hình độ biến động ngẫu nhiên 26 3.2 Các trình bước nhảy 28 3.3 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy 32 3.3.1 Các khuếch tán bước nhảy log chuẩn 32 3.2.2 Các khuếch tán bước nhảy với độ biến động ngẫu nhiên 33 3.2.3 Các khuếch tán bước nhảy với độ biến động ngẫu nhiên cường độ nhảy 33 Chương 34 Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy 34 4.1 Chuyển động hình học Brown 34 4.2 Chuyển động hình học Brown cộng thêm bước nhảy 40 4.3 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy 43 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 Phụ lục 62 Giới thiệu Từ Black Scholes công bố báo họ định giá quyền chọn vào năm 1973, trở thành phát kiến bùng nổ lý thuyết thực nghiệm vấn đề tài Tuy nhiên, qua ba mươi năm trở lại đây, số lượng lớn mô hình khác đưa để thay cho tiếp cận cổ điển Black – Scholes, cách tiếp cận mà ta phải giả định cổ phiếu có phân bố log – chuẩn với độ biến động không đổi ngày thể nhiều thiếu sót thực tiễn Do đó, mở rộng để hiệu chỉnh mô hình Black – Scholes độ biến động ngẫu nhiên mô hình có bước nhảy cần thiết Luận văn “Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy” trình bày việc điều chỉnh mô hình Black – Scholes thành mô hình ước lượng tham số xác hơn, gồm chương: Chương 1: Trình bày kiến thức quan trọng trình ngẫu nhiên, chuyển động Brown Chương 2: Trình bày mô hình Black – Scholes hạn chế, từ cần thiết phải đưa mô hình độ biến động ngẫu nhiên độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy trình bày chương Chương 4: Ước lượng cho mô hình GBM, GBM có thêm bước nhảy mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy so sánh kết bảng ước lượng tham số qua hai ví dụ thực nghiệm Hoàn thành luận văn trên, trước tiên muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Thịnh, người tận tình hướng dẫn, bảo suốt trình thực luận văn Tôi muốn gửi lời cảm ơn đến thầy cô khoa Toán – Cơ tin học, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học trường ĐHKHTN – ĐHQGHN thầy cô từ Viện Toán học giảng dạy hết lòng bảo thời gian đào tạo trường Luận văn tránh khỏi sai sót, mong nhận hướng dẫn, bảo thầy cô, hợp tác bạn để hoàn thiện Hà Nội, ngày 02 tháng 11 năm 2013 Học viên Vũ Thị Hương Sắc Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các trình ngẫu nhiên toán tài Định nghĩa 1.1 (Đại số) Cho  tập không rỗng cho F bao gồm tập  Ta nói F đại số thỏa mãn: (i) F F , (ii) A  F  Ac   \ A  F , (iii) A, B  F  A  B  F Định nghĩa (  - đại số) Một đại số F tập  gọi   - đại số  với dãy  An  n  F , ta có  A F n n 1 Mỗi cặp   , F  gọi không gian đo Do đó,  - đại số sinh tập tất tập mở  gọi  đại số Borel: B E  Định nghĩa 1.3 (Xác suất) Cho  tập không rỗng, cho F  đại số tập  Một độ đo xác suất  hàm số cho tập AF xác định số đoạn [0,1] gọi xác suất A viết   A  Trong tính chất sau phải thỏa mãn: (i)     , (ii) (tính cộng tính đếm được) với A1 , A2 , dãy tập rời F       An      An   n1  n 1 (1.1)   , F,   gọi không gian xác suất Một không gian xác suất  đầy đủ với B  A F cho   A   , ta có B F Trong tình mà thời gian biến đổi, nhiều thông tin tiếp nhận hơn, ta phải thêm thành phần phụ thuộc thời gian vào không gian xác suất   , F ,   Định nghĩa 1.4 (Lọc) Một lọc (hay dòng thông tin)   , F,   họ tăng  - đại số  Ft t[0,T ] : Fs  Ft  FT  F với  s  t  T Ft biểu diễn thông tin nhận thời gian t, lọc  Ft t[0,T ] biểu diễn dòng thông tin diễn tiến theo thời gian Một không gian xác suất   , F,   trang bị lọc gọi không gian xác suất lọc  , F, , F  t t[0,T ]  Định nghĩa 1.5 (Các điều kiện thông thường) Ta nói không gian xác   suất lọc , F, ,  Ft t[0,T ] thỏa mãn “điều kiện thông thường” nếu: (i) F  - đầy đủ (ii) F0 chứa tất tập  - không  Nghĩa ta biết biến cố biến cố không (iii)  Ft t[0,T ] liên tục phải, tức Ft  Ft   st Fs Định nghĩa 1.6 (Các trình ngẫu nhiên)Một trình ngẫu nhiên  X t t[0,T ] họ biến ngẫu nhiên đặt số theo thời gian, xác định   không gian xác suất lọc , F, ,  Ft t[0,T ] Tham số thời gian t rời rạc liên tục Với biễn ngẫu nhiên w , quỹ đạo X  w  : t  X t  w  xác định hàm số thời gian gọi quỹ đạo mẫu trình Do trình ngẫu nhiên hiểu hàm số ngẫu nhiên Định nghĩa 1.7 (Các trình tương thích) Một trình ngẫu nhiên  X t t[0,T ] gọi Ft - tương thích (hay không đoán trước theo cấu trúc thông tin  Ft t[0,T ] ) với t [0,T ] , giá trị X t xác định thời gian t: biến ngẫu nhiên X t Ft - đo Định nghĩa 1.8 (Thời gian dừng) Một thời gian ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên dương T  biểu diễn thời gian mà biến cố xảy Nếu cho trước dòng thông tin Ft ta xác định liệu biến cố có xảy   t  hay không   t  , thời gian ngẫu nhiên  gọi thời gian dừng (hay thời gian ngẫu nhiên không đoán trước) Nói cách khác,  thời gian ngẫu nhiên không đoán trước (  Ft  - thời gian dừng)  t  0,   t  Ft 1.2 Một số trình ngẫu nhiên 1.2.1 Quá trình Markov Một trình Markov dạng trình ngẫu nhiên giá trị biến thích hợp để dự đoán tương lai Quá khứ biến cách thức mà xuất từ khứ không liên quan (nôm na khứ hợp giá trị tại) Định nghĩa 1.9 (quá trình Markov) Cho   , F,   không gian xác suất, cho T số dương xác định, cho  Ft t[0,T ] lọc Xét trình tương thích  X t t[0,T ] Nếu với hàm Borel – đo f : E  f  X t  | Fs   E  f  X t  | X s  (1.2) trình  X t t[0,T ] gọi trình Markov 1.2.2 Martingale Định nghĩa 1.10 (Martingale) Một trình ngẫu nhiên X   X t t[0,T ] gọi martingale theo  , Ft  (i) X Ft - tương thích, (ii) E  X t    với t [0,T ] , (iii) s  t , E  X t | Fs   X s (1.3) X martingale (iii) thay E  X t | Fs   X s , s  t (1.4) X martingale (iii) thay E  X t | Fs   X s , s  t (1.5) Nói cách khác, dự báo tốt cho giá trị tương lai martingale giá trị Martingale biểu diễn tình mà độ lệch hay xu hướng, có nhiều tính chất ngẫu nhiên Trong thống kê ta có liệu = dấu hiệu + nhiễu (data = signal + noise), martingale sử dụng để mô hình thành phần nhiễu Một ví dụ gần gũi martingale trình Weiner Wt 1.3 Các hàm đặc trưng tham số đặc trưng 1.3.1 Các hàm đặc trưng Hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên biến đổi Fourier phân bố Nhiều tính chất xác suất biến ngẫu nhiên dựa vào tính chất giải tích hàm đặc trưng, khiến cho khái niệm hữu ích việc nghiên cứu biến ngẫu nhiên 10 w z nhiễu trắng Gauss không tương quan với variance đơn vị, q trình đếm Poisson với xác suất  /  Ở /  xấp xỉ cho dt Quá trình rời rạc, phương trình 4.3.5, có phân bố tiến tới trình liên tục, phương trình 4.3.1, /  tiến tới không tốc độ vừa đủ Các lợi suất hàng ngày Như trước, định nghĩa, S  yt 1  ln  t 1  ; t  1, 2, , T  St  lợi suất ngày quan sát Trong mẫu mô lợi suất hàng ngày t  /  y s t 1   y s j  (ln Sts1/  ln Sts )  (ln Sts2/  ln Sts1/ )   (ln Sts /  ln Sts( 1)/ ) t 1/ tổng tích lũy lợi suất thực khoảng [t  /  , t   /  ] Ta sử dụng   (5 ngày làm việc tuần), lợi suất “hàng ngày” tổng kéo theo từ trình thời gian tốt Thuật toán Mô hình bổ trợ Đạt vector ước lượng ˆ1,T từ việc cực đại loga hàm hợp lý hỗn hợp chuẩn, mô hình bổ trợ sử dụng liệu quan sát Tính toán bình phương số dư Ước lượng vector tham số AR(10) mô hình bổ trợ ˆ2,T ghi nhận kết Các mô 49 Giả sử N  T   số biến ngẫu nhiên sử dụng tính toán tiếp sau Chọn: (i) giá trị ban đầu vector tham số  mô hình, (ii) ma trận có trọng tùy ý I Chặng Sử dụng biến ngẫu nhiên  để ước lượng kết Tìm giá trị i làm cho giá trị hàm mục tiêu nhỏ Lặp lại giá trị kết gần không có thể, tức tiêu chuẩn hội tụ Điều đưa ước lượng tham số vững  Ước lượng ma trận có trọng tối ưu Sử dụng ước lượng tham số vững  để ước lượng ma trận có trọng tối ưu Iˆ0 Chặng thứ hai Sử dụng biến ngẫu nhiên ước lượng vững  để ước lượng kết Tìm giá trị i làm giá trị hàm mục tiêu nhỏ với ma trận có trọng tối ưu nhỏ Lặp lại giá trị kết gần không có thể, tức tiêu chuẩn hội tụ Điều đưa ước lượng tham số tối ưu ˆ Các kết ước lượng số liệu tỷ giá đồng Krone Nauy với đồng Bảng Anh từ tháng năm 1990 đến tháng năm 1998 (Số liệu lấy từ http://www.norges-bank.no/en/price-stability/exchange-rates/) 50 Phân tích số liệu Stata, ta bảng tóm tắt đặc trưng dãy tỷ sau (các biểu đồ bảng 4.3 xem phụ lục Stata Code) Bảng 4.5 Mô tả số liệu mẫu Mean Std Dev Variance Skewness Kurtosis 2183 10.9547 7595726 5769505 3088797 2.549906 10 11 rate 12 13 14 Obs 500 1000 1500 2000 t Hình 4.5 Biểu đồ chuỗi thời gian tỷ giá NOK/GBP 1990-1998 51 05 Density 15 Kernel density estimate -50 r 50 Kernel density estimate Normal density kernel = epanechnikov, bandwidth = 0.6460 -50 r 50 Hình 4.6 Biểu đồ hàm mật độ lợi suất NOK/GBP so với chuẩn 500 1000 1500 t Hình 4.7 Biểu đồ loga lợi suất NOK/GBP 52 2000 0.30 Autocorrelations of r2 0.00 0.10 0.20 -0.10 10 20 Lag 30 40 Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands Hình 4.6 Các tự tương quan -0.05 Autocorrelations of r 0.00 0.05 Tự tương quan bình phương lợi suất – độ tin cậy 95% 10 20 Lag 30 Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands Tự tương quan lợi suất – độ tin cậy 95% 53 40 Phần trình bày kết ước lượng đưa Roger Craine, Lars A.Lochstoer Knut Syrtveit (Jan-2000).[17] Họ ước lượng trình biến động ngẫu nhiên có bước nhảy cho lợi suất, giả sử sử dụng chuỗi mô có độ dài 2183 – 2183 quan sát, sử dụng hệ số   Thủ tục ước lượng đòi hỏi nhiều tính toán máy tính Việc ước lượng phần biến động ngẫu nhiên thô thủ tục ước lượng dẫn đến ước lượng giống ước lượng giá trị bắt đầu khác Ước lượng trung bình vững giá trị ban đầu khác Các tham số nhảy  J , J ,  thường xuyên hội tụ đến giá trị khác giá trị bắt đầu khác Các bước nhảy xuất không thường xuyên khó nhận biết Sự lựa chọn giá trị bắt đầu cho tham số nhảy dựa tính chất định tính số lượng kích cỡ bước nhảy kích cỡ hàm chi phí Việc ước lượng trình cần giá trị bắt đầu tốt để bảo đảm hội tụ đến cực tiểu toàn cục Chúng ta biểu diễn số ước lượng với giá trị ban đầu khác để tìm cực tiểu toàn cục Các kết ước lượng tổng hợp bảng 4.6 Bảng 4.6 Ước lượng tham số moment không điều kiện Mean Variance Skewness Kurtosis Estimate 0402 4.8633 8178 13.8507 Std.Err 0472 1041 0175 2967 54 Ước lượng tham số trình GBM B B Skewness Kurtosis Estimate 0402 2.2047 Std.Err 0472 0334 Ước lượng tham số trình GBM có bước nhảy estimate B B J J  0702 1.2747 -.0897 2.9815 3354 Ước lượng tham số trình biến động ngẫu nhiên có bước nhảy T=2180,N=20 A b C  J J  estimate 0377 2635 0680 -.5805 8.3802 0098 0333 Ta so sánh với kết ước lượng: Các moment Bốn moment không điều kiện trình biến động ngẫu nhiên có bước nhảy SVJD tính toán từ tham số mô hình ước lượng so sánh với moment mẫu Trung bình trình biến động ngẫu nhiên có bước nhảy    J  0.062 lớn trung bình mẫu 0.04, nằm hoàn toàn hai khoảng tin cậy độ lệch chuẩn 55 Variance không điều kiện variance ngẫu nhiên kỳ vọng cộng thêm phần đóng góp bước nhảy   Eh   (  J   J ) Trung bình xác định trở lại biến động ngẫu nhiên phương trình 4.3.1 suy log h có phân bố chuẩn, c2 ln h  N (  ln h2 , ) 2b Do giá trị kỳ vọng variance ngẫu nhiên Eh  ln h2  c2  3.98 4b Và variance trình biến động ngẫu nhiên có bước nhảy SVJD   4.66 nằm hai đầu khoảng tin cậy độ lệch chuẩn variance không điều kiện mẫu, 4.86 Độ lệch tính từ mô hình biến động ngẫu nhiên có bước nhảy SVJD Skewness = -0.12, không thật gần với độ lệch mẫu 0.82 Mô hình SVJD sinh 90% kurtosis mẫu, kurtosis = 9.72, Nhưng, hai đầu khoảng tin cậy độ lệch chuẩn ước lượng không điều kiện bảng 4.5 56 Bảng 4.7 So sánh ước lượng tham số moment không điều kiện, GBM, GBM cộng thêm bước nhảy độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy Mean Unconditional 0402 Variance Skewness Kurtosis 4.8633 8178 13.8507 moment GBM 0402 2.2047 GBM +Jump 04011462 4.6036468 -.0811 6.75 Stochastic 062 4.66 -0.12 9.72 Volatility + Jump Kiểm định Gallant Tauchen (1996) Gourieroux, Monfort, Renault (1993) giả thiết không (vô hiệu –null) mô hình xác định giá trị cân hàm mục tiêu N T  N T  s 1 ˆ   T min [ l ( y t ( ); T )]'I [ l ( y s t ( ); ˆT )] s 1 t 1  s 1 t 1  (4.11) phân bố cách tiệm cận  ( p  q ) Ở q=dim(  ) số tham số mô hình bổ trợ, p=dim(  ) số tham số mô hình Mô hình SVJD không bị bác bỏ mức tin cậy chuẩn sử dụng kiểm định bình phương Giá trị cực tiểu cân chi phí   13.71 Mô hình bổ trợ có 17 tham số mô hình SVJD có tham số, bỏ 57 10 bậc tự Giá trị P cho cdf,  (13.7,10)  0.81 , hầu hết hai mươi phần trăm thời gian lợi suất xuất ngẫu nhiên 58 Kết luận Số liệu lợi suất tài tần số cao biểu diễn bước nhảy ngầm ẩn, tính tụ biến động, độ lệch độ nhọn Ta cần phải tìm mô hình tham số hóa nhằm mục đích nắm bắt đặc tính thiết yếu liệu Các kết luận văn là: (1) Đưa xác định nắm bắt đặc tính có bước nhảy độ biến động ngẫu nhiên (2) Chỉ xác định mà cho phép bước nhảy biểu diễn không tốt liệu Và (3) ước lượng xác hợp lý tham số phân bố bước nhảy yêu cầu mẫu lớn Luận văn trình bày kỹ thuật ước lượng sử dụng kỹ thuật ước lượng dựa mô (Monte Carlo) để ước lượng mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy tỷ giá NOK/GBP Ước lượng dựa mô kỹ thuật ước lượng tương đối mới, mềm dẻo tổng quan, nặng nề tính toán Ta ước lượng chuyển động Brown hình học chuyển động Brown hình học cộng thêm bước nhảy Poisson phương pháp ước lượng hợp lý cực đại (VND/USD NOK/GBP) Luận văn phân tích kết cách giải thích mô hình phù hợp với bốn moment không điều kiện liệu phân tích kỹ thuật Monte Carlo thực nghiệm Xác định GBM phân phối chuẩn iid, độ lệch độ nhọn GBM cộng thêm bước nhảy có phân phối iid lệch nhọn Các phân phối iid không phù hợp với đặc tính tụ biến động Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy thỏa mãn tốt đặc tính liệu mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy cải tiến tốt để thực hành 59 Tài liệu tham khảo Nguyễn Quang Dong, Nguyễn Thị Minh, Giáo trình kinh tế lượng, Nxb ĐHKTQD, 2012 Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hoàng Hữu Như: Thống kê toán học, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 Trần Trọng Nguyên: Giáo trình “Cơ sở toán tài chính”, ĐHKTQD Trần Hùng Thao: Nhập môn Toán học tài chính, Nxb Khoa học Kỹ thuật, 2004 Nguyễn Duy Tiến: Các mô hình xác suất ứng dụng, Nxb ĐHQGHN, 2005 Bjorn Eraker, Michael Johannes, Nicholas Polson, The impact of jumps in volatility and returns, The Jornal of Finance, Vol LVIII, No.3, June 2003 Christopher F Baum, ARCH and MGARCH models, EC 823: Applied Econometrics, Boston College, Spring 2013 Clayton Scott, Robert Nowak, Maximum likelihood estimation, The conexions Project and licensed under the Creative commons Atribution License, 2004 David M Drukker, Generalized method of moments (GMM) estimation in Stata 11, Encuentro de Usarios de Stata en M´exico 2010 10 Davide Raggi, Silvano Bordignon, Sequential Monte Carlo Methods for Stochastic V olatility Models with Jumps, Financial support from the MIUR under grant PRIN 2005 Prot N 2005132539 and Prot N 2002135473, 2006 11 Dr Keshab Bhattarai, Generalised Method of Moments, Business School, University of Hull, HU6 7RX, Hull, UK, 2010 12 Glenn W Harrison, Maximum Likelihood Estimation of Utility Functions Using Stata, Working Paper 06-12, Department of 60 Economics, College of Business Administration, University of Central Florida, 2006 13 Kim Hartelius Henriksen, Volatility prediction and out-of-sample tests for Emerging Markets, Copenhagen Business School, 2011 14 Marco R Steenbergen, Maximum Likelihood Programming in Stata, University of North Carolina, Chapel Hill, August 2003 15 Mark B Garman and Michael J Klass, On the Estimation of Security Price Volatility from Historical Data, University of California, Berkeley 16 Michael Johannes, Nicholas Polson, Jonathan Stroud, Sequential Parameter Estimation in Stochastic Volatility Models with Jumps, 2006 17 Roelf Skypkens, Risk properties and parameters estimation on mean and reversion on mean reversion and GARCH model,University of South Africa, 2010 18 Roger Craine, Lars A Lochstoer, Knut Syrtveit, Estimation of a Stochastic-Volatility Jump-Diffusion Model, University of California at Berkeley, 2000 19 Yacine Aı¨t-Sahalia, Robert Kimmel, Maximum likelihood estimation of stochastic volatility models, Journal of Financial Economics 83 (2007) 413–452 20 Yi-Yu Liang, Demand Modeling withthe Geometric Brownian Motion Process, Technical Report NTU-IE-Chou-2003-T001 21 http://www.norges-bank.no/en/price-stability/exchange-rates/ 22 http://www.bankofcanada.ca/rates/exchange/10-year-converter/ 23 http://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_volatility 61 Phụ lục Stata Code VND/USD use "C:\Users\Windows 7\Desktop\VND-USD.dta", clear gen t=_n tsset t gen l=ln(S) gen r=D.l replace r=r*1000 sum r, detail (*Các biểu đồ*) line S t line r t kdensity r,norm gen r2=r^2 ac r ac r2 arch r, arch(1) garch(1) (*VND/USD MLE*) gen Q=10 program define vnus args lnf theta1 theta2 theta3 theta4 theta5 temvar q quietly gen double q=rn(Q) 62 quietly replace `lnf'=ln(rpoisson(`theta5')).5*ln(2*_pi)+ln(`theta2'^2+exp(q*`th > eta4'^2)-.5* (($ML_y1-`theta1'-q*`theta3')^2)/(`theta2'^2+q*`theta4'^2)) end ml model lf vnus (reg: r=) ml max (*NOK/GBP analysis*) use "C:\Users\Windows 7\Desktop\NOK GBP.dta", clear gen t=_n tsset t gen l=ln(S) gen r=D.l replace r=r*1000 sum r, detail (*Các biểu đồ*) line S t line r t kdensity r,norm gen r2=r^2 ac r ac r2 63 [...]... có bước nhảy 3.1 Các mô hình độ biến động ngẫu nhiên Thực nghiệm chỉ ra rằng phương sai của lợi suất là không dừng Vì thế mô hình độ biến động hằng số là không đủ để giải thích các hiện tượng và đưa ra tham số dự báo Do đó cần thiết phải xây dựng các mô hình độ biến động ngẫu nhiên – SV (Stochastic Volatility) Đ ối với mô hình độ biến động ngẫu nhiên, ta thay biến động không đổi  bằng hàm  t mô hình. .. cường độ không đổi  ,  là tần số của các bước nhảy trên năm, J là biên độ bước nhảy (thường được gọi là cỡ bước nhảy) , m là trung bình biên độ bước nhảy 3.2.3 Các khuếch tán bước nhảy với độ biến động ngẫu nhiên và cường độ nhảy Dựa trên mô hình của Bates, Fang (2000) đề xuất một mô hình với tốc độ cường độ bước nhảy ngẫu nhiên: 33 dS  t    rf  d  S  t  dt  V  t  S  t  dW s  t   ... thị trường độ biến động tăng khi giá tăng (ví dụ các loại hàng hóa), do đó   1 Trong các thị trường khác, độ biến động có xu hướng tăng khi giá giảm, được mô hình với   1 Có một vướng mắc nào đó ở đây, là vì mô hình độ co giãn không đổi của phương sai không kết hợp chặt chẽ quá trình độ ngẫu nhiên đối với độ biến động của chính nó cho nên nó không chính xác là mô hình độ biến động ngẫu nhiên Vì... trở về trung bình và độ biến động của các tham số phương sai là các đại lượng ngẫu nhiên được cho tương ứng bởi  t và  t 6 Mô hình Chen Trong các mô hình lãi suất, Lin Chen vào năm 1994 đã phát triển mô hình trung bình ngẫu nhiên và độ biến động ngẫu nhiên đầu tiên, được gọi là mô hình Chen Cụ thể, các động lực của lãi suất tức thời được cho bởi các phương trình vi phân ngẫu nhiên sau: drt  t... là tốc độ trở về trung bình,  được gọi là độ biến động của độ biến động Yt là dương chặt k 26 hi 2   2 và không âm khi 0  2   2 Mô hình này là rất quan trọng vì nó đưa ra một công thức gần với dạng cho quyền chọn kiểu châu Âu và  có thể là một số khác không 2 Mô hình độ co giãn phương sai không đổi Mô hình này mô tả mối quan hệ giữa độ biến động và giá, giới thiệu độ biến động ngẫu nhiên: ... trong đó  là tốc độ trở về trung bình,  là cường độ dài hạn,   là độ biến động của cường độ nhảy, và quá trình Weiner W   t  là độc lập với W s  t  và W v  t  Đây là một mô hình rất nhiều tham vọng và phức tạp, nhưng nó sẽ bị tránh trong thực hành Chương 4 Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy Phần này trình bày các ước lượng từ ba quá trình xác định phổ biến trong tài... của quá trình nhảy, các mô hình bước nhảy log chuẩn sinh ra biến động nụ cười hay biến động lệch như được nói đến trong phần 2.1.2 Cụ thể, bằng cách đặt trung bình của quá trình bước nhảy là âm, các độ lệch ngắn hạn sẽ dễ dàng được nắm bắt 3.3.1 Các khuếch tán bước nhảy log chuẩn Merton (1976) đã thêm các bước nhảy Poisson vào quá trình chuyển động Brown hình học chuẩn để xấp xỉ sự chuyển động của giá... độ biến động ngẫu nhiên Vì thế người ta gọi mô hình này là mô hình độ biến động địa phương 3 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên an-pha, bêta, rô – hay mô hình SABR (Stochastic Alpha, Beta, Rho volatility model) Mô hình SABR mô tả một diễn tiến đơn F (theo bất kỳ một tài sản nào như một chỉ số, lãi suất, trái phiếu, tiền tệ hoặc cổ phần) với độ biến động ngẫu nhiên  : dFt   t Ft  dWt , d t   t dZt... nguồn từ các độ biến động tiềm ẩn 23 Biến động tiềm ẩn là biến động được sử dụng trong mô hình Black – Scholes như giá thị trường được quan sát của quyền chọn bằng giá mô hình c BS    c market (2.3) Để sử dụng mô hình Black – Scholes, ta mong đợi rằng các biến động tiềm ẩn là đồng nhất vì biến động hằng số là một trong những giả thiết của mô hình Black – Scholes Tuy nhiên, điều này có vẻ như không xảy... cũng kết hợp độ biến động ngẫu nhiên và bước nhảy (Bates, 1996) Ta sẽ tập trung vào các quá trình bước nhảy trong các phần tiếp theo 29 Quá trình bước nhảy thuần túy cơ bản là quá trình Poisson.Tất cả các bước nhảy của quá trình Poisson có cỡ là một.Quá trình Poisson phức hợp giống như quá trình Poisson trừ các bước nhảy là có cỡ ngẫu nhiên Theo cách mà chuyển động Brown được xây dựng cho các quá trình