NGUYỄN QUỐC TIẾN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 11 – 2012 Th.s Nguyễn Quốc Tiến CHƯƠNG HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Hàm nhiều biến 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Một qui luật f đặt tương ứng cặp số thực (x , y ) ∈ D × D, D ⊂ R với phần tử z ∈ R ta nói f hàm hai biến số D × D Ký hiệu f : D × D → R hay z = f (x , y ) Đối với hàm ba biến ta có định nghĩa tương tự, ta có: u = f (x , y, z ) Chẳng hạn u = − x − y − z , u = x + y − z, Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp cặp (x , y ) mà ứng với chúng xác định giá trị z gọi miền xác định hàm hai biến z = f (x , y ) , ký hiệu D( f ) Ví dụ 1.1.1 1) Miền xác định hàm z = 1−x −y x + y < Vậy D( f ) gồm điểm nằm vòng tròn tâm gốc toạ độ bán kính 2) Miền xác định hàm z = sin(x + y ) R 1.1.2 Giới hạn hàm hai biến Định nghĩa 1.1.3 Số L gọi giới hạn hàm z = f (x , y ) điểm M (x , y ) tiến đến điểm M (x 0, y ) với ε > bé tuỳ ý cho trước tìm δ > cho < M 0M < δ f (x , y ) − A < ε Ký hiệu lim f (x , y ) = A M →M Hay lim f (x , y ) = A x →x y →y Th.s Nguyễn Quốc Tiến Giới hạn hàm hai biến định nghĩa thông qua giới hạn dãy sau: Định nghĩa 1.1.4 Cho hàm số f (M ) = f (x , y ) xác định miền D chứa điểm M (x 0, y ) trừ điểm M Ta nói L giới hạn f (x , y ) điểm M (x , y ) dần tới điểm M (x , y ) với dãy M n (x n , yn ) thuộc D dần tới M ta có lim f (x n , yn ) = L Ký n →+∞ hiệu lim (x ,y )→(x ,y ) f (x , y ) = L hay lim f (M ) = L Ví dụ 1.1.2 Tính M →M lim (x ,y )→(0,0) f (x , y ) với f (x , y ) = xy x + y2 Giải Ta có f (x , y ) = lim (x n ,yn )→(0,0) x x + y2 y ≤ y , ∀(x , y ) ≠ (0, 0) , ∀ {(x n , yn )} → (0, 0) ta có f (x n , yn ) = Ví dụ 1.1.3 Chứng minh lim x →0 y →0 xy không tồn x + y2 Giải Cho y = x ta có x2 L = lim = , x →0 x + x 2 y →0 cho y = 2x 2x 2 = L = lim x →0 x + 4x y →0 Vậy (x , y ) tiến (0, 0) theo hướng khác f (x , y ) có giới hạn khác Do lim x →0 y →0 xy không tồn x + y2 1.1.3 Tính liên tục hàm hai biến Định nghĩa 1.1.5 Giả sử M (x 0, y ) ∈ D( f ) Hàm z = f (x , y ) gọi hàm liên tục điểm M0 Th.s Nguyễn Quốc Tiến lim f (x , y ) = f (x 0, y ) x →x y →y Hàm số liên tục điểm miền gọi hàm liên tục miền Điểm mà hàm số không liên tục gọi điểm gián đoạn hàm số Ví dụ 1.1.4 1) Hàm số f (x , y ) = x + y liên tục điểm R ⎧⎪ xy ⎪⎪ , (x , y ) ≠ (0, 0) 2) Hàm số f (x , y ) = ⎪⎨ x + y gián đoạn (0, 0) không tồn ⎪⎪ , (x , y ) = (0, 0) ⎪⎪⎩1 lim x →0 y →0 xy x + y2 1.2 Đạo hàm riêng 1.2.1 Đạo hàm riêng cấp Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm z = f (x , y ) Nếu xem y số (tham số) f trở thành hàm biến số x Ta gọi đạo hàm riêng z theo biến x giới hạn ∂z f (x + Δx , y ) − f (x , y ) = lim Δx →0 ∂x Δx Ký hiệu z x' , fx' , ∂z ∂f , ∂x ∂x Tương tự ta định nghĩa đạo hàm riêng hàm z = f (x , y ) theo biến y Ví dụ 1.2.1 1) Cho z = x + y Ta có ∂z ∂z = 2x , = ∂x ∂y 2) Hàm số z = x y Ta có ∂z ∂z = yx y -1 = x y ln x ∂y ∂x 1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao Định nghĩa 1.2.2 Cho hàm số z = f (x , y ) Các đạo hàm fx' , fy' đạo hàm riêng cấp Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp gọi đạo hàm riêng cấp hai Ký hiệu đạo hàm riêng cấp hai sau Th.s Nguyễn Quốc Tiến ∂ ⎛⎜ ∂f ⎞⎟ ∂2 f = fx''2 (x , y ) ⎜ ⎟⎟ = ⎟ ⎜ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂ ⎛⎜ ∂f ⎞⎟ ∂2 f ⎟ = = fxy'' (x , y ); ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y ∂x ∂ ⎛⎜ ∂f ⎞⎟ ∂2 f ⎟ = = fyx'' (x , y ) ; ⎜⎜ ⎟ ⎟ ∂x ⎝ ∂y ⎠ ∂x ∂y ∂ ⎛⎜ ∂f ⎞⎟ ∂2 f = fy''2 (x , y ) ⎜⎜ ⎟⎟ = ∂y ⎝ ∂y ⎠⎟ ∂y Định lí 1.2.1 Nếu lân cận U điểm M (x 0, y ) hàm số z = f (x , y ) có '' '' '' '' đạo hàm riêng fxy , fyx đạo hàm liên tục M fxy , = fyx M ∂2z ∂ 2z xy xy Ví dụ 1.2.2 z = e ; = e + xye = ∂x ∂y ∂y ∂x xy 1.3 Vi phân 1.3.1 Vi phân toàn phần Định nghĩa 1.3.1 Nếu hàm số z = f (x , y ) có đạo hàm riêng lân cận điểm (x 0, y ) đạo hàm riêng ∂f ∂f liên tục (x 0, y ) ta có , ∂x ∂y Δz = f (x , y ) − f (x 0, y ) = ∂f ∂f (x 0, y )Δx + (x , y )Δy + 0(ρ) , ∂x ∂y 0 Δx = x − x 0, Δy = y − y 0, ρ = (Δx )2 + (Δy )2 < δ Δz = f (x , y ) − f (x 0, y ) gọi số gia toàn phần z Hàm 0(ρ) vô bé cấp cao ρ ρ → Ta nói hàm z khả vi điểm (x 0, y ) Định nghĩa 1.3.2 Khi z = f (x , y ) khả vi (x 0, y ) ta gọi phần tuyến tính ∂f ∂f (x , y )Δx + (x , y )Δy ∂x ∂y 0 vi phân toàn phần z = f (x , y ) (x 0, y ) ký hiệu dz (x 0, y ) Vậy: Th.s Nguyễn Quốc Tiến dz (x 0, y ) = ∂f ∂f (x 0, y )Δx + (x , y )Δy , ∂x ∂y 0 hay df (x , y ) = Ví dụ 1.3.1 Xét hàm z = x y ta có dz = ∂f ∂f (x , y )dx + (x , y )dy ∂x ∂y ∂z ∂z dx + dy = yx y−1dx + x y ln x dy ∂x ∂y Định nghĩa 1.3.3 Vi phân cấp hai hàm z = f (x , y ) vi phân toàn phần df (x , y ) tức d (df ) kí hiệu d 2z hay d f Bằng cách dựa vào đạo hàm riêng cấp 2, ta công thức ∂2 f ∂2 f ∂2 f d f (x , y ) = dx + dxdy + dy ∂x ∂y ∂x ∂y 1.3.2 Áp dụng vi phân toàn phần để tính gần Xét hàm z = f (x , y ) khả vi (x 0, y ) Khi Δx Δy đủ bé ta có công thức gần sau Δz = f (x , y ) − f (x 0, y ) ≈ ∂f ∂f (x 0, y )Δx + (x , y )Δy ∂x ∂y 0 f (x , y ) ≈ f (x 0, y ) + ∂f ∂f (x 0, y )Δx + (x , y )Δy ∂x ∂y 0 Ví dụ 1.3.2 Tính gần giá trị 1, 023,01 Giải Xét hàm z = x y , x = 1, y = 3, Δx = 0, 02, Δy = 0, 01 Khi 1, 023,01 ≈ + 0, 06 = 1, 06 1.3.3 Đạo hàm hàm hợp Cho z = f (u, v ) với u = u(x , y ), v = v(x , y ) đạo hàm riêng z theo x , y tính theo công thức sau ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x tương tự Th.s Nguyễn Quốc Tiến ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Ví dụ 1.3.3 Tính đạo hàm riêng z theo x , y với z = e u +v , u = a cos x , v = a sin x Giải dz ∂z du ∂z dv = + ∂u2 dx ∂v dx dx 2 u +v =e 2u(−a sin x ) + e u +v 2v(a cos x ) = 2ae u +v (v cos x − u sin x ) 1.3.4 Đạo hàm hàm ẩn Xét phương trình F (x , y ) = (1), nói chung không giải y, F (x , y ) hàm số xác định Nếu ∀x ∈ E (1) có nghiệm y = f (x ) y gọi hàm ẩn theo biến số x E ( ) Nếu từ phương trình (1) xác định hàm ẩn y = f (x ) ta có F x , f (x ) = , nghĩa vế trái hàm số hợp biến số x thông qua biến trung gian y Do đó, ta lấy đạo hàm (1) theo biến x quy tắc đạo hàm hàm hợp Khi ∂F ∂F dy + = ∂x ∂y dx Nếu ∂F ≠ : ∂y ∂F dy = − ∂x dx ∂F ∂y Nếu từ phương trình F (x , y, z ) = (2) xác định hàm ẩn biến z = f (x , y ) tương ( ) tự ta có F x ; y; f (x ; y ) = Nghĩa là, vế trái hàm số hợp biến số x, y thông qua biến trung gian z Do đó, ta lấy đạo hàm riêng (2) theo biến x (hoặc y) quy tắc đạo hàm hàm hợp Khi Th.s Nguyễn Quốc Tiến ∂F ∂F ∂z + = ∂x ∂z ∂x Nếu ∂F ≠ ∂z ∂F ∂z = − ∂x ∂x ∂F ∂z Tương tự, ta có ∂F ∂z ∂y =− ∂y ∂F ∂z Ví dụ 1.3.4 Phương trình x + y – a = xác định hai hàm số ẩn y = a − x y = − a − x khoảng – a ≤ x ≤a Ví dụ 1.3.5 Tính yx ′ xy – e x + e y = Giải Vì F (x , y )= xy – e x + e y khả vi \ nên: / y =− Fx/ (x , y ) Fy/ (x , y ) =− y − ex x + ey x + e y ≠ Ví dụ 1.3.6 Tìm z x' , biết z (x , y ) hàm ẩn xác định từ phương trình x + y − z = e z −x −y Giải Đặt F (x , y, z ) = x + y − z − e z −x −y ≡ Ta có Fx' = + e z −x −y ; Fz' = −1 − e z −x −y Suy Fx' + e z −x −y z =− ' =− =1 Fz −1 − e z −x −y Tương tự tìm đạo hàm riêng z theo y ' x Th.s Nguyễn Quốc Tiến 1.4 Cực trị hàm hai biến 1.4.1 Điểm cực đại, điểm cực tiểu Định nghĩa 1.4.1 M (x 0, y ) gọi điểm cực đại z = f (x , y ) điểm M (x , y ) lân cận M0 ta có f (x 0, y ) ≥ f (x , y ) Trong trường hợp ta nói hàm z = f (x , y ) đạt cực đại M (x 0, y ) Nếu thay chữ “đại” chữ “tiểu” bất đẳng thức f (x 0, y ) ≥ f (x , y ) thay f (x 0, y ) ≤ f (x , y ) M (x 0, y ) gọi điểm cực tiểu z = f (x , y ) Điểm cực đại cực tiểu chưa cần phân biệt gọi chung điểm cực trị hay gọn gọi cực trị Ví dụ 1.4.1 Cho hàm z = x + (y − 1)2 + Ta có z (0,1) = z (x , y ) ≥ = z (0,1), ∀(x , y ) Vậy (0,1) điểm cực tiểu hàm z Giá trị cực tiểu thu Điểm (2, 3) điểm cực trị hàm z lân cận có điểm khác mà giá trị chúng lớn hơn, nhỏ giá trị z (2, 3) ? 1.4.2 Cách tìm điểm cực trị hàm hai biến Ta có điều kiện cần sau Định lí 1.4.1 Nếu hàm z = f (x , y ) đạt cực trị M (x 0, y ) không tồn hai đạo hàm riêng đạo hàm riêng Các điểm (xo , yo ) mà ∂f ∂f , ∂x ∂y ∂f ∂f (xo , yo ) = (x , y ) = gọi điểm dừng Như vậy, để ∂x ∂y o o tìm cực trị hàm hai biến trước hết ta tìm điểm (xo , yo ) mà không tồn hai đạo hàm riêng điểm dừng Định lí 1.4.2 ( Điều kiện đủ) Giả sử M (x 0, y ) điểm dừng z = f (x , y ) M0 hàm ∂2z ∂2z ∂2z (x , y ) = A, (x , y ) = B, (x , y ) = C Khi z có đạo hàm riêng ∂x ∂y 0 ∂x 0 ∂y 0 i) Nếu B − AC < hàm đạt cực trị M0 (đạt cực tiểu A > , đạt cực đại A < ); Th.s Nguyễn Quốc Tiến ii) B − AC > hàm cực trị M0; iii) B − AC = chưa có kết luận Ví dụ 1.4.2 Tìm cực trị hàm số f (x , y ) = x + y − 6xy Giải Ta có fx' = 3x − 6y, fy' = 3y − 6x ∀(x , y ) hay hàm số tồn hai đạo hàm riêng Các điểm dừng nghiệm ⎧⎪ ⎪⎧3x − 6y = ⎪⎪y = x ⎪⎨ ⇒ ⎪⎨ ⎪⎪3y − 6x = ⎪⎪ ⎪⎩ ⎪⎪x = y ⎪⎩ Giải hệ ta hai điểm dừng M (0; 0) M 1(2;2) Xét điểm M (0; 0) C = fyy'' (0; 0) = 6y : Ta có A = fxx'' (0; 0) = 6x M0 M0 = , B = fxy'' (0; 0) = −6 , = B − AC = 36 > nên M0 cực trị Xét điểm M 1(2;2) : Ta có A = fxx'' (2, 2) = 6x C = fyy'' (2, 2) = 6y M1 M1 = 12 , B = fxy'' (2, 2) = −6 , = 12 B − AC = −108 < Mà A = 12 > Do (2, 2) điểm cực tiểu hàm số giá trị cực tiểu f (2, 2) = + − 24 = −8 1.4.3 Cực trị có điều kiện Bài toán cực trị có điều kiện toán tìm cực trị hàm z = f (x , y ) với ràng buộc ϕ(x , y ) = Điều khác với tìm cực trị tự hàm z = f (x , y ) toàn tập xác định thỏa điều kiện ϕ(x , y ) = Từ điều kiện ϕ(x , y ) = suy y = y(x ) hàm z = f (x , y ) = f (x , y(x )) hàm số biến Ta tìm cực trị hàm biến Trong trường hợp việc rút y = y(x ) phức tạp ta sử dụng phương pháp nhân tử số Lagrange theo bước sau: Bước Lập hàm Lagrange: L(x , y, λ) = f (x , y ) + λϕ(x , y ) với λ gọi nhân tử số Lagrange 10 Th.s Nguyễn Quốc Tiến b) ∫ ydx + 2xdy , (C ) hình thoi ngược chiều kim đồng hồ, cạnh có phương trình: (C ) x y x y + = ±1, − = ±1 3 c) ∫ 2xdy − 3ydx , (C ) tam giác ABC ngược chiều kim đồng hồ A(1;2) , B(3;1), C (2; 5) (C ) 2.11 Áp dụng công thức Green tính x y2 a) ∫ (x − y )dx + y dy , (C ) elip + = a b (C ) b) ∫ 2(x 2 + y )dx + (x + y )2 dy , (C ) tam giác LMN với L(1;1), M (2;2), N (1; 3) (C ) c) ∫ −x ydx + xy dy , (C ) vòng tròn x 2 + y = R chạy ngược chiều kim đồng hồ (C ) 2.12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong a) y = x 2, x = y 2, 8xy = b) y = x , x = y c) x = 2r cos t − r cos 2t, y = 2r sin t − r sin 2t M ( π ,π ) 2.13 Tính ∫ (x + y )dx + (x − y )dy O (0,0) a) Theo đường thẳng OM b) Theo đường cong y = x + sin x c) Theo parabol y = x2 π So sánh cho nhận xét kết câu trên? Giải thích? 2.14 Chứng minh biểu thức sau vi phân hàm hai biến f (x , y ) tìm f (x , y ) a) (x − 2xy + 3)dx + (y − 2x 2y + 3)dy xdx (1 − x − y )dy b) + x + y2 x + y2 c) 6xe ydx + (3x + y + 1)e ydy 30 Th.s Nguyễn Quốc Tiến CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 3.1 Khái niệm phương trình vi phân Định nghĩa 3.1.1 Một phương trình vi phân cấp n phương trình có dạng F (x , y ', , y (n ) ) = 0, F hàm theo biến độc lập x, y đạo hàm y từ cấp đến cấp n, x biến độc lập thuộc miền xác định I Ví dụ 3.1.1 1) yy '+ 2x = , y ' = 2y + x , y = x 2) y ''+ xy = , dy + y … phương trình vi phân cấp dx d 2y dy − + = , phương trình dao động lắc đơn… phương dx dx trình vi phân cấp Định nghĩa 3.1.2 Hàm khả vi y = ϕ(x ) gọi nghiệm phương trình vi phân, thay cho hàm chưa biết phương trình đồng thức Định nghĩa 3.1.3 Nếu hàm số y = ϕ(x , c) thoả mãn phương trình vi phân gọi nghiệm tổng quát (với c ∈ Rn số) Mọi nghiệm y = ϕ(x , c0 ) nhận từ nghiệm tổng quát y = ϕ(x , c) ứng với giá trị cụ thể c = c0 gọi nghiệm riêng Tích phân tổng quát phương trình vi phân nghiệm tổng quát dạng φ(x , y, c) = Ví dụ 3.1.2 1) Xét phương trình y '' = Ta có y = c1x + c2 nghiệm tổng quát, y = 3x nghiệm riêng ứng với c1 = 3, c2 = 2) Tích phân tổng quát phương trình y ' = 2xy ta nghiệm y + x = cy x −y 3.2 Phương trình vi phân cấp Định nghĩa 3.2.1 Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng F (x , y, y ') = dạng giải y ' y ' = f (x , y ) 31 Th.s Nguyễn Quốc Tiến Bài toán Cauchy toán tìm đường cong R thoả ⎧ ⎪ ⎪y ' = f (x , y ) ⎨ ⎪ y(x ) = y ⎪ ⎩ y(x ) = y gọi điều kiện ban đầu Ví dụ 3.2.1 Giải phương trình y ' = 2x với điều kiện ban đầu y(0) = Giải Ta có nghiệm tổng quát y = x + c Do y(0) = nên c = Vậy toán Cauchy có nghiệm y = x Nếu hàm f (x , y ) đạo hàm riêng ∂f liên tục lân cận điểm (x 0, y ) nghiệm ∂y toán Cauchy tồn 3.2.1 Phương trình tách biến Định nghĩa 3.2.2 Phương trình vi phân tách biên phương trình có dạng y ' = g(x ).h(y ) Thực phép biến đổi dy dy = g(x ).h(y ) ⇔ = g(x )dx ⇔ dx h(y ) dy ∫ h(y ) = ∫ g(x )dx ⇔ H (y ) = G(x ) + c (1) Ngoài nghiệm xác định (1), phương trình tách biến có nghiệm đặc biệt y = y , với y nghiệm số phương trình h(y ) = Ví dụ 3.2.2 Giải phương trình vi phân 1) y ' = x −1 y 2) (1 + x )dy + ydx = thoả điều kiện ban đầu y(1) = Giải 1) Ta có dy x −1 = ⇔ ydy = (x − 1)dx dx y Tích phân hai vế ta ⎛ 3(x − 1)2 ⎞3 y (x − 1) = + c ⇔ y = ⎜⎜⎜ + 3c ⎟⎟⎟ ⎟⎠ ⎜⎝ 2 32 Th.s Nguyễn Quốc Tiến 2) Ta viết lại phương trình dy dx =− y + x2 Tích phân hai vế ta được: ln y = −arctgx + c Mà y(1) = nên ln = −arctg1 + c ⇒ c = π Vậy phương trình có nghiệm riêng ln y = −arctgx + π 3.2.2 Phương trình đẳng cấp Hàm f (x , y ) gọi hàm đẳng cấp bậc m f (tx , ty ) = t m f (x , y ) Định nghĩa 3.2.3 Phương trình vi phân đẳng cấp phương trình có dạng P (x , y )dx + Q(x , y )dy = P (x , y ), Q(x , y ) hàm đẳng cấp bậc Đặt y = tx Khi phương trình đẳng cấp đưa phương trình tách biến hàm cần tìm t Ví dụ 3.2.3 Tìm nghiệm riêng phương trình y ' = π y y + sin (1) với y(1) = x x Giải Đặt y = tx dy = tdx + xdt Do phương trình (1) tương đương với xdt + tdx = (t + sin t )dx ⇔ xdt = sin tdx ⇔ dt dx = x sin t Tích phân hai vế ta ln tg Do y(1) = t = ln x + ln c ⇔ y = 2xarctg(cx ) π π nên = 2arctgc ⇒ c = Vậy nghiệm riêng phải tìm y = 2xarctgx 2 3.2.3 Phương trình tuyến tính Định nghĩa 3.2.4 Phương trình vi phân tuyến tính phương trình có dạng y '+ P (x )y = Q(x ) Để giải, trước hết tính tích phân 33 Th.s Nguyễn Quốc Tiến − P (x )dx k (x ) = e ∫ Đặt y = h(x ).k (x ) h(x ) = ∫ Q(x ) dx + c (c số) k (x ) Nghiệm tổng quát cần tìm ⎤ − P (x )dx ⎡ P (x )dx ⎢ ∫ Q(x )e ∫ y =e ∫ dx + c ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ Ví dụ 3.2.4 Giải phương trình dy 2y − − x cos x = (x > 0) x dx x Giải Ta viết lại phương trình dạng y '− y = x cos x (x > 0) x Đây phương trình tuyến tính với P (x ) = − , Q(x ) = x cos x x Ta có k (x ) = e − ∫ (−x )dx =e ln x = x h(x ) = ∫ x cos x dx + c = x2 ∫ cos dx + c = sin x + c Vậy nghiệm tổng quát phương trình y = x (sin x + c) 3.2.4 Phương trình Bernoulli Định nghĩa 3.2.5 Phương trình vi phân Bernoulli phương trình có dạng y '+ P (x )y = Q(x )y n (n ≠ 0, n ≠ 1) Để giải, đặt z = y 1−n ta phương trình z '+ P (x )z = Q(x ) 1−m phương trình tuyến tính Ví dụ 3.2.5 Giải phương trình y '+ y = x 2y Đây phương trình Bernoulli với x 34 Th.s Nguyễn Quốc Tiến P (x ) = ,Q(x ) = x 2, n = x Giải Đặt z = y −3 , ta phương trình z '− 3P (x )z = −3Q(x ) Đây phương trình vi phân tuyến tính k (x ) = x , h(x ) = ln c c Do z = 3x ln x x Suy nghiệm phương trình cho y = z = x 3 ln xc 3.2.5 Phương trình vi phân toàn phần Định nghĩa 3.2.6 Phương trình vi phân toàn phần phương trình có dạng P (x , y )dx + Q(x , y )dy = 0, ∂P ∂Q = ∂y ∂x Ta nhận thấy vế trái phương trình cho vi phân toàn phần hàm u(x y ) Do viết du = nghiệm tổng quát u = c xác định theo công thức y x u= ∫ P(x, y )dx + ∫ Q(x , y )dy , x0 y0 điểm (x 0, y ) chọn trước cho tích phân vế phải có nghĩa Ví dụ 3.2.6 Tìm tích phân tổng quát (x + y − 1)dx + (e y + x )dy = Giải Ta có P (x , y ) = x + y − 1, Q(x , y ) = e y + x ⇒ ∂P ∂Q = =1 ∂y ∂x Do phương trình cho phương trình vi phân toàn phần Tích phân tổng quát theo công thức với x = y = ta x u= y ∫ (x + y − 1)dx + ∫ e dy = x y + xy − x + e y − Vậy nghiệm tổng quát e y + xy − x + x = c 35 Th.s Nguyễn Quốc Tiến 3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Định nghĩa 3.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình có dạng a (x )y ''+ a1(x )y '+ a2 (x )y = f (x ), Trong y ', y '' đạo hàm y theo x Hàm a (x ) không hàm 0, hàm a (x ), a1(x ), a2 (x ), b(x ) thường giả sử hàm liên tục Định nghĩa 3.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số phương trình có dạng y ''+ ay '+ by = (1) a, b số Phương trình k + ak + b = gọi phương trình đặc trưng (1) Ta xét trường hợp sau -Nếu k + ak + b = có hai nghiệm phân biệt k1 ≠ k2 (1) có nghiệm tổng quát cho công thức y = c1e k1x + c2e k2x ( c1, c2 số bất kỳ) -Nếu k + ak + b = có nghiệm kép k1 = k2 = k (1) có nghiệm tổng quát cho công thức y = c1e kx + c2xe kx ( c1, c2 số bất kỳ) -Nếu k + ak + b = có hai nghiệm phức k1,2 = α ± i β (1) có nghiệm tổng quát dạng y = e αx (c1 cos βx + c2 sin βx ) Ví dụ 3.3.1 Giải phương trình vi phân 1) y ''− 2y '− 3y = 2) y ''+ 6y '+ 9y = 3) y ''− 2y '+ 5y = Giải 1) Phương trình đặc trưng phương trình cho k − 2k − = Nó có hai nghiệm k1 = −1, k2 = Do nghiệm tổng quát phương trình cho y = c1e −x + c2e 3x 36 Th.s Nguyễn Quốc Tiến 2) Phương trình đặc trưng k + 6k + = có nghiệm kép k1 = k2 = −3 Do nghiệm tổng quát phương trình cho y = (c1 + xc2 )e −3x 3) Phương trình đặc trưng k − 2k + = có hai nghiệm phức k1,2 = ± 2i Do nghiệm tổng quát phương trình cho y = e x (c1 cos 2x + c2 sin 2x ) Định nghĩa 3.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số không phương trình có dạng y ''+ ay '+ by = f (x ), (2) f (x ) hàm số cho trước không đồng Định lí 3.3.1 Giả sử yR nghiệm riêng phương trình không (2) yTQ nghiệm tổng quát phương trình tương ứng (1), nghiệm tổng quát (2) y = yTQ + yR Ví dụ 3.3.2 Giải phương trình y ''+ y − 2y = −4x Giải Nghiệm tổng quát phương trình y ''+ y − 2y = y = c1e −2x + c2e x Và nghiệm riêng phương trình y ''+ y − 2y = −4x yk = 2x + Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho y = c1e −2x + c2e x + 2x + Sau dây số phương pháp tìm nghiệm riêng phương trình không Trường hợp tổng quát ta dùng phương pháp biến thiên số Tuy nhiên phạm vi chương trình ta xét trường hợp f (x ) có dạng đặc biệt : Trường hợp : f (x ) = Pn (x ) eax , Pn (x ) đa thức bậc n Tìm yr có dạng : yr = x s eax Qn (x ) , đó: s = , α không nghiệm PT đặc trưng s = , α nghiệm đơn PT đặc trưng s = , α nghiệm kép PT đặc trưng 37 Th.s Nguyễn Quốc Tiến Qn (x ) đa thức bậc Pn (x ) với hệ số cần tìm Để tìm hệ số này, thay yr vào phương trình (1) ( ) Trường hợp 2: f (x ) = eax Pn (x ) cos βx + Qm (x ) sin βx Ta tìm yr có dạng : ( ) yr = x s eax Rk (x ) cos βx + Sk (x ) sin βx Trong đó, s = , α + i β không nghiệm PT đặc trưng s = , α + i β nghiệm đơn PT đặc trưng Rk , Sk đa thức bậc k = max {m, n } với hệ số cần tìm Để tìm hệ số này, thay yr vào phương trình (1) yr" + pyr' + qyr = f (x ) , sin x cos x độc lập tuyến tính nên hệ số tương ứng Ví dụ 3.3.3 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân 1) y ''+ 3y '+ 2y = x 2) y ''− 2y '+ y = cos x Giải 1) Ta thấy f (x ) = x nên yR có dạng tổng quát y = Ax + Bx + C Do y ' = 2Ax + B, y '' = 2A Thay vào phương trình cho ta tìm A = , B = − , C = 2 Nên yR = x − x+ 2 Phương trình tương ứng y ''+ 3y '+ 2y = có nghiệm tổng quát y = c1e −2x + c2e −x Do nghiệm tổng quát phương trình cho y = c1e −2x + c2e −x + x − x + 2 2) Ta có yR có dạng tổng quát y = A cos x + B sin x y ' = −A sin x + B cos x y '' = −A cos x − B sin x Thay vào phương trình cho ta A = 0, B = − 38 Th.s Nguyễn Quốc Tiến Vậy yk = − sin x Kết hợp với nghiệm tổng quát phương trình y = e x (c1 + c2x ) ta có nghiệm tổng quát cần tìm y = − sin x + e x (c1 + c2x ) Định lí 3.3.2 Nếu y1, y2 hai ngiệm hai phương trình y ''+ ay '+ b = f1(x ), y ''+ ay '+ b = f2 (x ) hàm y = αy1 + βy2 nghiệm phương trình: y ''+ ay '+ b = α f1(x ) + β f2 (x ) Ví dụ 3.3.4 Giải phương trình vi phân y ''+ 4y = 10e x + 16x Giải Phương trình y ''+ 4y = e x có nghiệm riêng y1 = e x Phương trình y ''+ 4y = x có nghiệm riêng y2 = x − Vậy phương trình y ''+ 4y = 10e x + 16x có nghiệm riêng yk = 2e x + 4x − Chú ý: Khi dùng phương pháp hệ số bất định, vấn đề đặt hàm f (x ) nghiệm phương trình tương ứng ta tìm hệ số dạng tổng quát Chẳng hạn, phương trình y ''+ 2y '− 3y = e x có dạng tổng quát hàm f (x ) = e x y = Ae x , f (x ) = e x nghiệm phương trình nên ta có = e x Vậy không xác định hệ số A 3.4 Hai dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp hai giảm cấp Dạng y '' = f (x , y ') Đặt y ' = p ta có y '' = p ' Khi phương trình cho trở thành phương trình vi phân cấp một: p ' = f (x , p) , p hàm x Giải phương trình ta nghiệm p = p(x , c1 ) từ y ' = p ta có nghiệm tổng quát phương trình cho 39 Th.s Nguyễn Quốc Tiến y= Ví dụ 3.3.5 Giải phương trình y ''+ ∫ p(x, c )dx + c y' =x x Giải Đặt y ' = p y '' = p ' ta phương trình vi phân tuyến tính cấp p '+ p=x x Ta có k (x ) = e − ∫ dx x = h(x ) = x ∫ xdx +c = x ∫ x 2dx + c = x3 + c Vậy p= Do y = ∫ pdx + c = ∫ x2 c x3 + ( + c) = x x x2 c x3 + c ln x + c1 ( + )dx = x Dạng y '' = f (y, y ') Đặt y ' = p , với p hàm y Khi y '' = dp dp dy = = pp ' pp ' = f (y, p) dx dy dx dy = p(y, c1 ) Đây phương trình tách biến, nên dx Tích phân hai vế, ta p = p(y, c1 ) Suy ta viết lại dy = dx suy p(y, c1 ) ∫ dy = x + c2 p(y, c1 ) Ví dụ 3.3.6 Giải phương trình 2yy ''+ (y ')2 = Giải Đặt y ' = p ⇒ y '' = pp ' thay vào phương trình cho ta được: 2ypp '+ p = ⇒ c dp dy =− ⇒ ln p = ln p 2y y Vậy ta có: ⎛3 ⎞3 c c dy p= ⇒ = ⇒ ydy = c1dx ⇒ y = c1x + c2 ⇒ y = ⎜⎜ (c1x + c2 )⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ dx y y 40 Th.s Nguyễn Quốc Tiến BÀI TẬP CHƯƠNG 3.1 Giải phương trình vi phân a) ln cos y dx + xtgy dy = b) x + y 2dx + y + x 2dy = c) x dy − y2 + y dx 1−x2 =0 3.2 Giải phương trình vi phân a) y '+ sin(x + y ) = sin(x − y ) b) yy ' = − 2x cos y c) xyy ' = − x 3.3 Giải phương trình vi phân a) yy ' + e y = 0, y(1) = x b) (1 + e 2x )y 2dx = e xdx , y(0) = c) dx dy + = 0, y(1) = x (y − 1) y(x + 2) 3.4 Giải phương trình vi phân a) (x + y )dx + (x − y )dy = x y b) x sin( )y '+ x = y sin( ) y x c) y ' = y y + cos( ) x x 3.5 Giải phương trình vi phân a) (x − 3y )dx + 2xydy = 0, y(2) = y π b) xy '− y = xtg( ), y(1) = x 41 Th.s Nguyễn Quốc Tiến c) y ' = + y y + ( )2, y(1) = x x 3.6 Giải phương trình vi phân b) y '+ 2xy = xe −x a) xy '− y = x cos x d) y ' cos x + y = − sin x 3.7 Giải phương trình vi phân a) (1 + x )y '+ y = arctgx b) y '− y = cos2 (ln tg x2 ) sin x c) dy y − =x dx x 3.8 Giải phương trình vi phân a) y '+ n y = n , y(1) = x x b) y ' − x + y = arcsin x , y(1) = c) y '− y = x ln x , y(e) = 0, 5e x ln x 3.9 Giải phương trình vi phân a) y '− y − − x = 0, y(0) = 1−x2 b) dy y + = −xy dx x c) 2xy dy − y2 + x = dx 3.10 Giải phương trình vi phân a) (1 + e x )yy ' = e x , y(0) = b) xdy − ydx = x + y dx c) y '+ 3ytg 3x = sin 6x , y(0) = 3.11 Giải phương trình vi phân a) y ''− 5y '+ 6y = b) y ''− 2y '+ 2y = c) y = y ''+ y ' 3.12 Giải phương trình vi phân a) y ''− y ' = b) y ''+ ky = c) y '− y =3 y '' 3.13 Giải phương trình vi phân a) y ''− 5y + 4y = 0, y(0) = 5, y '(0) = b) y ''+ 2y ' = 0, y(0) = 1, y '(0) = 42 Th.s Nguyễn Quốc Tiến c) y ''+ π 2y = 0, y(0) = 0, y(1) = 3.14 Giải phương trình vi phân a) y ''− 4y '+ 4y = x b) y ''− y + y = x + c) y ''+ 2y '+ y = e 2x 3.15 Giải phương trình vi phân a) y ''+ y = cos x c) y ''+ y '− 6y = xe 2x b) y ''+ y '− 2y = sin x 3.16 Giải phương trình vi phân a) y ''− 2y '+ 5y = e x cos 2x b) y ''− 7y '+ 12y = −e 4x c) y ''− 2y '− 8y = e x − cos 2x 3.17 Giải phương trình vi phân a) y ''− 2y '− 10y = sin 3x + e x b) y ''− 4y '+ 4y = 2e 2x + x c) y ''− 3y ' = x + cos x 3.18 Giải phương trình vi phân a) y '' = x b) y '' = − 2y c) y '' = − (y ')2 3.19 Giải phương trình vi phân a) (1 + x )y ''+ (y ')2 + = c) x 2y ''+ xy ' = b) y '[1 + (y ')] = y '' 3.20 Giải phương trình vi phân a) yy '' = y 2y '+ (y ')2 b) yy '− y '(1 + y ') = c) (x + 1)y ''− (x + 2)y '+ x + = 43 Th.s Nguyễn Quốc Tiến MỤC LỤC CHƯƠNG HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Hàm nhiều biến 1.1.1 Các định nghĩa .2 1.1.2 Giới hạn hàm hai biến .2 1.1.3 Tính liên tục hàm hai biến .3 1.2 Đạo hàm riêng 1.2.1 Đạo hàm riêng cấp 1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao 1.3 Vi phân 1.3.1 Vi phân toàn phần 1.3.2 Áp dụng vi phân toàn phần để tính gần 1.3.3 Đạo hàm hàm hợp 1.3.4 Đạo hàm hàm ẩn 1.4 Cực trị hàm hai biến 1.4.1 Điểm cực đại, điểm cực tiểu 1.4.2 Cách tìm điểm cực trị hàm hai biến 1.4.3 Cực trị có điều kiện 10 1.4.4 Giá trị lớn bé hàm hai biến .12 CHƯƠNG TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 17 2.1 Tích phân kép 17 2.1.1 Các định nghĩa .17 2.1.2 Các tính chất tích phân kép 18 2.1.3 Đổi biến tích phân kép .19 2.1.4 Ứng dụng tích phân kép 22 2.2 Tích phân đường 23 2.2.1 Tích phân đường loại 23 2.2.2 Tích phân đường loại 24 2.2.3 Công thức Green 26 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .31 3.1 Khái niệm phương trình vi phân .31 3.2 Phương trình vi phân cấp 31 3.2.1 Phương trình tách biến .32 3.2.2 Phương trình đẳng cấp 33 3.2.3 Phương trình tuyến tính .33 3.2.4 Phương trình Bernoulli 34 3.2.5 Phương trình vi phân toàn phần 35 3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 36 3.4 Hai dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp hai giảm cấp 39 44 Th.s Nguyễn Quốc Tiến [...]... hàm z = x 2 + y 2 trong hình tròn C : (x − 1 )2 + (y − 1 )2 ≤ 2 Giải Hàm z = x 2 + y 2 có một điểm dừng (0; 0) nằm trên C và tại (0; 0) hàm z có giá trị bé nhất z min = 0 Từ ràng buộc ϕ(x , y ) = (x − 1 )2 + (y − 1 )2 − 2 = 0 ⇔ x 2 + y 2 = 2x + 2y Ta có x 2 + y 2 = 2 (x + y ) ≤ 2 2 (x 2 ) + y2 Suy ra (x 2 ) + y 2 ≤ 2 2 ⇔ x 2 + y 2 ≤ 8 Vậy giá trị lớn nhất của z trong hình tròn C là 8 khi x = y = 2 Tóm lại... 1 x2 2y 0 2. 4 Tính các tích phân sau bằng cách đổi biến a) ∫∫ 1 − x 2 − y 2dxdy , D : x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 + y 2 ≤ 1 D b) ∫∫ xydxdy , D : y 2 = x , y 2 = ex , xy = 1, xy = 4 D c) ∫∫ x 2 + y 2 − 9dxdy , D : x 2 + y 2 = 9, x 2 + y 2 = 25 D 2. 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường a) y = x , y = x − 4, y = 0 x 2 y2 b) 2 + 2 = 1 a b 28 Th.s Nguyễn Quốc Tiến d) y = 2x , y = −2x , y = 4 c) y 2 =... (C ) 2. 11 Áp dụng công thức Green tính x 2 y2 a) ∫ (x − y )dx + y dy , (C ) là elip 2 + 2 = 1 a b (C ) 2 b) 2 ∫ 2( x 2 2 + y 2 )dx + (x + y )2 dy , (C ) là tam giác LMN với L(1;1), M (2; 2), N (1; 3) (C ) c) ∫ −x ydx + xy dy , (C ) là vòng tròn x 2 2 2 + y 2 = R 2 chạy ngược chiều kim đồng hồ (C ) 2. 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong a) y = x 2, x = y 2, 8xy = 1 b) y 2 = x , x 2 =... 2 + x + 2y (x ,y )→(1;0) x 2 + 3y 2 c) x 2 + 2xy + y 2 x 2 x +y y → 2 e) x 2y 2 (x ,y )→(0;0) x 4 + y 4 f) lim d) lim g) lim e lim x 2y h) lim (x ,y )→(0;0) x 2 + y 2 x −y (x ,y )→(1;1) 1.4 Cho hàm số f (x , y ) = lim lim (x ,y )→ (2; 1) (e x 2 −y 2 ) +1 e y sin(1 / 2x ) (x ,y )→( ∞;1) 1 / 2x lim i) lim(x 2 + y 2 ) sin x →0 y →0 1 x +y x 2 + y2 + 1 − 1 Định nghĩa f (0, 0) để hàm số liên tuc trên R2... + y 2 )e −(x 2 +y 2 ) e) z = x 2 − y 2 f) z = 4(x − y ) − x 2 − y 2 h) z = x 4 + y 4 − x 2 − 2xy − y 2 i) z = 2x 4 + y 4 − x 2 − 2y 2 1. 12 Tìm cực trị có điều kiện a) z = 6 − 4x − 3y với x 2 + y 2 = 1 b) z = xy với x + y = 1 c) z = cos2 x + cos2 y với y − x = π 4 1.13 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của a) z = xy + x + y trong hình vuông giới hạn bởi x = 1, x = 2, y = 2, y = 3 b) z = x 2 + 3y 2 +... phương trình đường tròn đã cho là r = 2 cos ϕ nên: 22 Th.s Nguyễn Quốc Tiến D : 0 ≤ ϕ ≤ 2 , 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ Vậy π V'= 2 ∫ 0 π π 2 2 cos ϕ ⎞⎟ 1 ⎜⎜ 2 ⎟ 4 − r rdr ⎟⎟dϕ = − ∫ ⎜⎜⎝⎜ ∫0 3 0 ⎟⎠ ⎛ ⎜⎜(4 − r 2 )23 ⎜⎜⎝ 2 cos ϕ 0 ⎞⎟ ⎟⎟d ϕ ⎟⎠ 8 8 π 2 16 = ∫ (1 − sin 3 ϕ)d ϕ = ( − ) ⇒ V = (3π − 4) 3 0 3 2 3 3 2 2 .2 Tích phân đường 2. 2.1 Tích phân đường loại 1 Định nghĩa 2. 2.1 Cung (C ) xác định bởi phương trình. .. ydx − xdy , (C ) là nửa đường tròn x Ví dụ 2. 2.3 Tính I = 2 + y 2 = R 2 nằm trên Ox, ngược (C ) chiều kim đồng hồ ⎧ ⎪ x 2 + y 2 = R2 ⎪ hay y = R 2 − x 2 với x đi từ a Giải Ta có (C ) xác định bởi phương trình sau: ⎨ ⎪ y ≥0 ⎪ ⎪ ⎩ −x đến – a Khi đó, y ' = 2 R −x −a I = ∫ a 2 Vậy −a ⎛ ⎞⎟ ⎜⎜ R 2 − x 2 − x −x ⎟⎟dx = R 2 ∫ ⎜⎜ ⎝ R 2 − x 2 ⎠⎟ a dx R2 − x 2 = −πR 2 Cách khác: Ta có ⎧⎪x = R cos t ⎪ 0 ≤ t ≤... ) có phương trình y = 4 I = 4 ∫ 0 Ví dụ 2. 2 .2 Tính I = ∫ (x 2 3 3 x Suy ra y ' = nên: 4 4 3 9 5 5 (x − x ) 1 + dx = xdx = ∫ 4 16 16 0 2 − y 2 )ds , (C ) là phần đường tròn x 2 + y 2 = R 2 trong góc phần tư (C ) thứ nhất ⎧ ⎪x = R cos t Giải Phương trình tham số của cung (C ) là ⎪⎨ ⎪ y = R sin t ⎪ ⎩ π 2 0≤t ≤ Suy ra x '(t ) = −R sin t, y '(t ) = R cos t Do đó π I = π 2 ∫ R (cos 2 2 2 2 2 2 t − sin t... = −πR 2 0 Ví dụ 2. 2.4 Tính I = 2 0 ∫ xy dy − x ydx , (C ) là đường tròn x 2 2 2 + y 2 = R 2 theo hướng ngược (C ) chiều kim đồng hồ Giải ⎧⎪x = R cos t Ta có ⎪⎨ 0 ≤ t ≤ 2 ⇒ x '(t ) = −R sin t, y '(t ) = R cos t Suy ra: ⎪⎪y = R sin t ⎩ 2 I = ∫ 0 4 ⎡(R cos t )(R sin t )2 (R cos t ) − (R cos t )2 (R sin t )(−R sin t )⎤dt = πR ⎣⎢ ⎦⎥ 2 25 Th.s Nguyễn Quốc Tiến 2. 2.3 Công thức Green Định lí 2. 2.1 Cho... Ví dụ 3 .2. 4 Giải phương trình 1 dy 2y − − x cos x = 0 (x > 0) x dx x 2 Giải 2 Ta viết lại phương trình dạng y '− y = x 2 cos x (x > 0) x 2 Đây là phương trình tuyến tính với P (x ) = − , Q(x ) = x 2 cos x x Ta có k (x ) = e − 2 ∫ (−x )dx =e 2 ln x 2 = x và h(x ) = ∫ x 2 cos x dx + c = x2 ∫ cos dx + c = sin x + c Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là y = x 2 (sin x + c) 3 .2. 4 Phương trình Bernoulli