ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HỒNG ANH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG QUÁT TRÊN TRỤC THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - NĂM 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HỒNG ANH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ABEL TỔNG QUÁT TRÊN TRỤC THỰC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2015 Mục lục Mở đầu Tính chất tích phân kỳ dị toán bờ Riemann 1.1 Khái niệm phương trình tích phân 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị 1.3 Tính chất tích phân kỳ dị 1.3.1 Đổi biến tính tích phân phần 1.3.2 Tính liên tục H¨older tích phân dạng Cauchy 1.3.3 Công thức Sokhotski 1.3.4 Giá trị biên đạo hàm tích phân kỳ dị 1.3.5 Đạo hàm giá trị biên tích phân kỳ dị 1.4 Bài toán bờ Riemann miền đơn liên 1.5 Bài toán bước nhảy 1.5.1 Chỉ số hàm số 1.5.2 Bài toán 1.5.3 Hàm tắc toán 1.5.4 Bài toán bờ Riemann không 1.5.5 Bài toán bờ Riemann nửa mặt phẳng 1.6 Phương trình đặc trưng phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy 1.6.1 Chuyển phương trình đặc trưng toán bờ Riemann 1.6.2 Công thức nghiệm phương trình đặc trưng 3 5 10 17 18 19 20 21 22 25 26 29 31 34 35 Phương trình tích phân Abel đoạn hữu hạn 39 2.1 Phương trình tích phân Abel cổ điển 39 2.2 Phương trình tích phân Abel cổ điển sinh hàm số 41 2.3 Phương trình tích phân Abel suy rộng đoạn hữu hạn 43 i 2.3.1 2.3.2 2.3.3 Tích phân với nhân lũy thừa Phương trình tích phân Abel suy rộng Ví dụ 43 44 48 Phương trình tích phân Abel toàn trục thực 50 3.1 Phương trình Abel suy rộng trục thực 50 3.2 Phương trình Abel suy rộng trục thực với phản xạ 52 3.3 Ví dụ áp dụng 56 Kết luận 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 ii Mở đầu Lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị toán bờ Riemann hàm giải tích biến phức xây dựng phát triển mạnh mẽ vòng nửa kỷ 20, từ năm 1920 đến 1970 Các kết gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua, Carleman Từ nhiều năm nay, chuyên đề toán tử tích phân kỳ dị gắn với toán bờ lý thuyết hàm giải tích đưa vào chương trình thống cho sinh viên năm cuối bậc đại học, học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Giải tích Chính vậy, tác giả chọn đề tài "Phương trình tích phân Abel tổng quát trục thực." Đề tài nhằm phần đáp ứng nhu cầu mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy Toán cao cấp trường đại học Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến người thầy mình, người nhiệt tình hướng dẫn, bảo mong muốn học hỏi thầy nhiều Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Đại học sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học, gia đình, bạn bè toàn thể học viên khóa 2013-1015 tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu để tác giả hoàn thành khóa học hoàn thành luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Tính chất tích phân kỳ dị toán bờ Riemann Chương Phương trình tích phân Abel đoạn hữu hạn Chương Phương trình tích phân Abel toàn trục thực Mặc dù cố gắng nhiều nghiêm túc trình nghiên cứu, thời gian trình độ hạn chế nên kết đạt luận văn khiêm tốn không tránh khỏi thiếu xót Vì tác giả mong nhận ý kiến đóng góp, bảo quý báu quý thầy cô, bạn học viên để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Học viên thực Vũ Thị Hồng Anh Chương Tính chất tích phân kỳ dị toán bờ Riemann 1.1 Khái niệm phương trình tích phân Định nghĩa 1.1 ([1]-[2]) Phương trình tích phân phương trình mà hàm số chưa biết có xuất dấu tích phân Ví dụ 1.1 Xét phương trình tích phân x K(x, t)ϕ(t) dt = f (x) (1.1) a x ϕ(x) + K(x, t)ϕ(t) dt = f (x) (1.2) a Phương trình (1.1) gọi phương trình tích phân loại 1, phương trình (1.2) gọi phương trình tích phân loại 2, K(x, t), f (x) hàm biết, ϕ(x)là hàm chưa biết Hàm K(x, t) gọi nhân phương trình tích phân 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]) Phương trình tích phân kỳ dị phương trình tích phân có nhân K(x, t) hàm không bị chặn miền lấy tích phân Dựa vào tính chất không bị chặn nhân, phân loại phương trình tích phân kỳ dị thành loại Phương trình tích phân kỳ dị mạnh phương trình tích phân kỳ dị yếu Phương trình tích phân kỳ dị yếu phương trình tích phân với nhân K(x, t) thỏa mãn điều kiện tích phân b K(x, t) dt a tồn theo nghĩa Riemann, với x ∈ (a, b) Phương trình tích phân kỳ dị mạnh phương trình tích phân kỳ dị mà nhân K(x, t) có tính chất tồn x ∈ (a, b) cho b K(x, t) dt a không tồn theo nghĩa Riemann L(x, t) , |x − t|α với L(x, t) hàm liên tục hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, t) = α số (0 < α < 1) Khi tích phân Ví dụ 1.2 Nhân K(x, t) = b K(x, t) dt với a < x < b a tồn theo nghĩa Riemann Do tương ứng có phương trình tích phân kỳ dị yếu Nhân K(x, t) = L(x, t) ln |x − t|, với L(x,t) hàm liên tục hình chữ nhật [a, b] × [a, b], L(x, x) = Khi phương trình tích phân b L(x, t) ln |x − t|.ϕ(t)dt = f (x) ϕ(x) + λ a phương trình tích phân kỳ dị yếu Nhân L(x, t) K(x, t) = với a < x < b, x−t với L(x, t) hàm khả vi L(x, x) = Khi nhân K(x, t) nhận điểm t = x điểm kỳ dị mạnh Do phương trình tích phân tương ứng phương trình tích phân kỳ dị mạnh 1.3 1.3.1 Tính chất tích phân kỳ dị Đổi biến tính tích phân phần Tích phân kỳ dị có số tính chất hoàn toàn giống tích phân thông thường, tích phân tổng tổng tích phân số nhân biểu thức tích phân đưa dấu tích phân Tiếp theo ta xét công thức đổi biến cách tính tích phân phần Khái niệm giá trị tích phân dạng Cauchy quan trọng chỗ lân cận cần phải loại bỏ chọn cách đối xứng theo điểm khảo sát ε1 Thực vậy, trường hợp ε1 = ε2 limε1 ,ε2 →0 = 1, điểm ε2 t1 , t2 nằm đường tròn tâm t (|t2 − t| = |t1 − t|) lim t1 →t t2 →t t2 − t =1 t1 − t (1.3) Định lý 1.1 (Quy tắc đổi biến) Khi hàm số τ = α(ζ) có đạo hàm liên tục α (ζ) không triệt tiêu đồng thời ánh xạ - từ chu tuyến Γ vào chu tuyến Γ , ϕ(τ ) ϕ[α(ζ)]α (ζ) dτ = dζ (1.4) τ −t α(ζ) − α(ξ) Γ Γ t = α(ξ) Chứng minh Ta loại bỏ phần cung l đủ nhỏ chu tuyến Γ thuộc đường tròn tâm điểm ξ Giả sử ξ1 ξ2 điểm đầu cuối tương ứng với điểm chu tuyến Γ t1 t2 Ta xác định giá trị tích phân sau: ϕ[α(ζ)]α (ζ) dζ = lim ξ1 ,ξ2 →ξ α(ζ) − α(ξ) ϕ[α(ζ)]α (ζ) dζ α(ζ) − α(ξ) Γ −l Γ Thực phép đổi biến ζ = β(τ ), β(τ ) hàm số ngược α(ζ) (theo điều kiện định lí hàm ngược tồn nhất), ta thấy vế phải hệ thức đưa biểu thức ϕ(τ ) dτ τ −t lim t1 ,t2 →t Lt Các điểm t1 t2 không đối xứng qua t Γ, nhiên ta chúng thỏa mãn điều kiện (1.3) Khai triển hàm số α(ζ) vào chuỗi Taylor điểm ζ đến số hạng thứ hai, ta nhận t2 = α(ξ2 ) = t + [α (ξ) + ε2 (ξ2 , ξ)](ξ2 − ξ), t1 = α(ξ1 ) = t + [α (ξ) + ε1 (ξ1 , ξ)](ξ1 − ξ) Do đó, giả thiết tính liên tục α (ζ), ε1 ε2 tiến tới zero kéo theo ξ1 , ξ2 → ξ Do t2 − t α (ξ) + ε2 ξ2 − ξ = t1 − t α (ξ) + ε1 ξ1 − ξ ngược lại lim t1 →t t2 →t t2 − t ξ2 − ξ = lim =1 ξ1 →t ξ1 − ξ t1 − t ξ2 →ξ Điều kiện biến đổi tương ứng - đóng vai trò cốt yếu, đảm bảo tồn tích phân thường Định lý 1.2 (Công thức tích phân phần) Khi ϕ(τ ) hàm khả vi liên tục điểm t không trùng với đầu mút chu tuyến Γ (a b) công thức tích phân phần đúng: ϕ(τ ) dτ = ±iπϕ(t) + ϕ(b) ln(b − t) − ϕ(a) ln(a − t) − τ −t ϕ (τ ) ln(τ − t)dτ Γ Γ (1.5) Số hạng thứ lấy dấu dương chọn lát cắt nối điểm t với điểm vô cho nhánh đơn trị ln(τ − t) nhận giá trị dương phía bên phải Γ nhận giá trị âm trường hợp ngược lại Chứng minh Trước hết ta xét tích phân vế phải ϕ (τ ) ln(τ − t)dτ Γ Giả thiết hàm a(x), b(x) xác định [α, β] không triệt tiêu đồng thời chúng thỏa mãn điều kiện H¨older Ta lấy vế phải dạng f (x) = [(x − a)(b − x)]e f ∗ (x) (e > 0), (2.19) f ∗ (x) có đạo hàm thuộc lớp hàm H¨older [α, β] Nghiệm cần tìm lớp hàm thỏa mãn điều kiện ϕ∗ (x) ϕ(x) = (e > 0), [(x − a)(b − x)]1−µe (2.20) ϕ∗ (x) thỏa mãn điều kiện H¨older [α, β] Để tìm nghiệm, ta sử dụng phương pháp thác triển giải tích mặt phẳng phức Ta xét hàm giải tích biểu diễn tích phân với nhân lũy thừa nghiệm hàm mật độ tích phân β Φ(z) = R(z) ϕ(t)dt (t − z)µ α Thế vào phương trình (2.17) giá trị tích phân từ công thức (2.16) ta hệ thức thỏa mãn [α, β] eµπi b(x) − a(x) − (e2µπi − 1)f (x) Φ (x) = µπi Φ (x) + e a(x) − b(x) R(x)[eµπi a(x) − b(x)] + (2.21) Đây điều kiện biên toán Riemann với chu tuyến [α, β] Giải toán bờ ta nhận nghiệm phương trình tích phân xuất phát (2.18) từ công thức (2.17) theo lời giải phương trình tích phân Abel cổ điển Nghiệm phương trình tích phân (2.18) tìm lớp (2.19) xác định qua nghiệm toán bờ Riemann (2.21) thỏa mãn điều kiện (2.11)-(2.13) nghiệm phương trình Abel (2.17) lớp hàm(2.20) Chứng minh tương đương toán dựa bổ đề sau Bổ đề 2.1 Nếu giá trị giới hạn hàm Φ(z) giải tích mặt phẳng với lát cắt dọc theo [α, β] thỏa mãn điều kiện (2.11)-(2.13) tương ứng với ϕ(x) hệ thức (2.17) biểu diễn (2.10) thỏa mãn Φ(z) Chứng minh Hiển nhiên rằng, hàm Φ+ (x) Φ− (x), sinh biểu diễn (2.10) thỏa mãn hệ thức (2.17) Giả thiết tồn hàm Φ1 (z) khác (2.10) thỏa mãn (2.17) Thế hiệu Φ2 (z) = Φ(z) − Φ1 (z) phải thỏa mãn 45 điều kiện toán bờ Riemann −µπi − Φ+ Φ2 (ψ) (x) = −e (2.22) Ta tìm nghiệm lớp hàm có bậc vô hạn lớn có hai đầu mút G(t) = e(1−µ)πi , κ = 1, Pκ−1 (z) = C = const, β ln G(t) (1 − µ)πi z−β dt = ln t−z 2πi z−α Γ(z) = 2πi α Vậy nên từ công thức (2.5), ta có X(z) = (z − β)−1 eΓ(z) = (z − β) − (1+µ) (z − α) − (1−µ) Nghiệm tổng quát toán viết dạng Φ2 (z) = C(z − α) − (1−µ) (β − z) − (1+µ) (2.23) Điều kiện (2.13) thỏa mãn C = Vậy nên Φ2 (z) = tức Φ1 (z) ≡ Φ(z) Tiếp theo ta thiết lập tương đương Khi ϕ(x) nghiệm phương trình (2.18) lớp (2.20), hàm Φ(z) theo biểu diễn (2.10) phải thỏa mãn điều kiện (2.11)-(2.13) phải nghiệm toán bờ (2.21) Ngược lại, giả sử Φ(z) nghiệm toán bờ (2.21) thỏa mãn điều kiện (2.11)-(2.13) Hàm ϕ(t) thuộc lớp (2.20) tìm từ phương trình Abel (2.17) ta thu điều kiện tồn nghiệm đơn trị Ta nhân a(x) b(x) tương ứng cộng chúng lại với nhau, ta thu điều kiện biên (2.21) phương trình (2.18) Như tương đương thiết lập Bài toán bờ (2.21) tương ứng với phương trình (2.18) (f ≡ 0) Ta thiết lập hệ thức lớp nghiệm chúng Ta đặt eµπi b(x) − a(x) = G(x) eµπi a(x) − b(x) Giả sử G(α) = eiθ Theo công thức (2.23), ta nhận nghiệm lớp hàm giới nội α cách chọn θ = argG(α) với < θ < 2π , 46 −2π < θ 0, ta có nghiệm không giới nội Nếu θ số dương bé thỏa mãn điều kiện θ (1 − µ)π , hai lớp nghiệm toán bờ lời giải phương trình Tuy nhiên θ > (1 − µ)π , điều kiện (2.11) cần để loại nghiệm không giới nội Vế phải phương trình Abel (2.17) thuộc lớp xét, thêm nhân tử R(x) vào lớp (2.9) nghiệm phương trình (2.18) thuộc lớp (2.11) Các nghiệm phương trình xuất phát (2.18) tương ứng, theo công thức (2.7), với nghiệm không giới nội toán bờ.Tuy nhiên ứng với nghiệm giới nội toán bờ, nghiệm giới nội nghiệm không giới nội phương trình xuất phát, tùy thuộc cách chọn θ = arg G(α) Ta xét trường hợp đặc biệt Khi a(x) = b(x) = 1, phương trình (2.18) trở thành β ϕ(t)dt = f (x) |1 − t|µ (2.24) α Đây phương trình tích phân Abel với khoảng hữu hạn Bài toán bờ tương ứng (2.21) toán bước nhảy eµπi + Φ (x) − Φ (x) = f (x) R(x) + − (2.25) Nghiệm xác định tích phân Cauchy eµπi + Φ(z) = 2πi β f (t) dt R(t) t − z α Điều kiện (2.13) thỏa mãn suy từ tính chất tích phân Cauchy Ta phải giải phương trình tích phân Abel cổ điển β β ϕ(t) cot µπ dt = f (x) − R(x) (x − t)α 2π f (t) dt R(t) t − x (2.26) α α Khi f (x) thuộc lớp (2.19), công thức (2.6) cho ta nghiệm phương trình xuất phát (2.24) thuộc lớp (2.20) 47 2.3.3 Ví dụ Giải phương trình x (x − t)µ ϕ(t)dt = f (x), < µ < α x Sử dụng công thức (x − t)µ−1 (t − τ )−µ dt = τ π sin µπ Đặt t = τ + s(x − τ ) Ta có [x − τ − s(x − τ )]µ−1 [τ − τ − s(x − τ )]−µ (x − τ )ds (1 − s)µ−1 (x − τ )µ−1 − s−µ (x − τ )−µ (x − τ )ds = (1 − s)µ−1 − s−µ ds = = π sin µπ Thay t τ , x t, đặt µ = −λ, ta có x t (t − τ )−λ ϕ(τ )dτ (x − t)µ ϕ(t)dt = α α Nhân với (x − t)λ−1 lấy tích phân từ α đến x, ta x t ϕ(τ )(t − τ )−λ (x − t)λ−1 dt dτ α α x = x (t − τ )−λ (x − t)λ−1 dt ϕ(τ )dτ α τ Ta có x x g(t)dt = (x − t)1−λ α x ϕ(τ )dτ α x π (t − τ )−λ (x − t)λ−1 dt = sin λπ τ ϕ(τ )dτ, α 48 x d dx g(t)dt π = ϕ(x) (x − t)1−λ sin λπ α Suy ϕ(x) = sin λπ d x g(t)dt sin µπ d x g(t)dt = π dx α (x − t)1−λ π dx α (x − t)1+µ 49 Chương Phương trình tích phân Abel toàn trục thực 3.1 Phương trình Abel suy rộng trục thực Phương trình Abel suy rộng dạng t +∞ ϕ(τ )dτ + b(t) (t − τ )µ a(t) −∞ t ϕ(τ )dτ = f (t), < µ < (τ − t)µ (3.1) t +∞ a(τ )ϕ(τ )dτ + (t − τ )µ −∞ b(τ )ϕ(τ )dτ = g(t), < µ < (τ − t)µ (3.2) t Phương trình (3.1) (3.2) gọi tương ứng phương trình Abel với hệ số phương trình Abel với hệ số Trong mục này, ta phương trình (3.1) (3.2) cho nghiệm dạng hiển Phương pháp sử dụng biến đổi phương trình vào phương trình tích phân kỳ dị với biến đổi Hilbert Ta có đẳng thức sau thỏa mãn +∞ π τ dτ τ −t −∞ t ϕ(σ)dσ = cot(µπ) (t − σ)µ −∞ +∞ ϕ(τ )dτ + cosec(µπ) (t − τ )µ −∞ 50 ϕ(τ )dτ (τ − t)µ t Suy +∞ +∞ ϕ(τ )dτ = (τ − t)µ π sin(µπ) τ −∞ t t dτ τ −t ϕ(σ)dσ − cot(µπ) (t − σ)µ −∞ ϕ(τ )dτ (t − τ )µ −∞ (3.3) Đặt +∞ (Sϕ)(t) = π ϕ(τ )dτ , (τ − t) −∞ t ϕ(τ )dτ (t − τ )µ (Kϕ)(t) = −∞ Khi công thức (3.3) trở thành +∞ sin(µπ) ϕ(τ )dτ = (SK − cot(µπ)K)(ϕ) (τ − t)µ t Đặt Kϕ(t) = ψ(t), phương trình (3.1) có dạng (a(t) − b(t) cos(µπ))ψ(t) + b(t) sin(µπ)(Sψ)(t) = f (t) Ta viết lại (3.1) sau u(t)ψ(t) + v(t)(Sψ)(t) = f (t), (3.4) u(t) = a(t) − b(t) cos(µπ))ψ(t), v(t) = b(t) sin(µπ) Theo công thức Sokhotski,    ϕ(t) = Φ+ (t) − Φ− (t), ϕ(t) + −   πi τ − t dt = Φ (t) + Φ (t) Γ Phương trình (3.4) trở thành f (t) = Φ+ (t)(u(t) + iv(t)) + Φ− (t)(−u(t) + iv(t)) Suy Φ+ (t) = f (t) u(t) − iv(t) + Φ− (t) u(t) + iv(t) u(t) + iv(t) 51 (3.5) Đặt g(t) = f (t) , u(t) + iv(t) G(t) = u(t) − iv(t) u(t) + iv(t) ta đưa toán bờ Riemann Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t) (3.6) Khi theo công thức (1.46) ta thu nghiệm Φ(z) = X(z)[Ψ(z) + Pκ (z)], X(z), Ψ(z) cho công thức (1.42), (1.45) 3.2 Phương trình Abel suy rộng trục thực với phản xạ Phương trình Abel suy rộng dạng ∞ (Aα ϕ)(t) := a0 (t) + a1 (t)sign(τ − t) ϕ(τ )dτ = f (t), < α < |τ − t|1−α −∞ ∞ (Aα ϕ)(t) := a0 (τ ) + a1 (τ )sign(τ − t) ϕ(τ )dτ = g(t), < α < |τ − t|1−α −∞ nghiên cứu Samko nhiều người khác Trong mục này, ta xét phương trình Abel suy rộng với phản xạ, dạng sau t +∞ u(t)ϕ(τ ) + r(t)ϕ(−τ ) dτ + (t − τ )1−α −∞ r(t)ϕ(τ ) + v(t)ϕ(−τ ) dτ = f (t) (3.7) (τ − t)1−α t t +∞ u(τ )ϕ(τ ) + r(τ )ϕ(−τ ) dτ + (t − τ )1−α −∞ r(τ )ϕ(τ ) + v(τ )ϕ(−τ ) dτ = g(t) (3.8) (τ − t)1−α t Phương trình (3.7) (3.8) gọi tương ứng phương trình Abel với hệ số với phản xạ phương trình Abel với hệ số với phản xạ 52 Phương trình Abel suy rộng với phản xạ hệ số giải Vasilev Ta phương trình (3.7) (3.8) cho nghiệm dạng hiển Phương pháp sử dụng biến đổi phương trình vào phương trình tích phân kỳ dị với biến đổi Hilbert ∞ (Hϕ )(t) = π ϕ(τ )dτ τ −t −∞ với phản xạ mục trước Giả thiết < α < 1, X = Lp (R), < p < , u ∈ H µ (R), a < µ < α Ta xét phương trình (3.1) (3.2) X Giả thiết f (t), g(t) ∈ I α (X), tức là, f, g ∈ Lq (R), q = (1 − αp)−1 p supε>0 ||Dεα f ||p < ∞, +∞ (Dεα f )(t) = f (t) − f (t − τ ) dτ τ α+1 ε Nếu f ∈ I α (X), phương trình t ϕ(τ )dτ = f (t) (t − τ )1−α (3.9) −∞ có nghiệm dạng α sin(1 − α)π ϕ(t) = π τ f (t) − f (τ ) dτ (t − τ )1+α (3.10) −∞ Ta biết toán tử Aα Aα ánh xạ Lp (R) vào Lq (R), a0 a1 giới nội Hơn nữa, đẳng thức sau thỏa mãn +∞ π τ dτ τ −t −∞ t ϕ(σ)dσ = cot(µπ) (t − σ)µ −∞ +∞ ϕ(τ )dτ + cosec(µπ) (t − τ )µ −∞ ϕ(τ )dτ (τ − t)µ t Suy +∞ π τ dτ τ −t −∞ t ϕ(−σ)dσ = cot(µπ) (t − σ)µ −∞ +∞ ϕ(−τ )dτ + cosec(µπ) (t − τ )µ −∞ 53 ϕ(−τ )dτ (τ − t)µ t Vậy nên ta giả thiết +∞ ϕ(τ )dτ (t − τ )1−α ψ(t) = −∞ phương trình (3.7) có dạng +∞ ψ(τ ) + ψ(−τ ) dτ = f (t), τ −t c(t) a(t)ψ(t) + b(t)ψ(−t) + πi (3.11) −∞ a(t) = u(t) + r(t) cos(1 − α)π, b(t) = v(t) + r(t) cos(1 − α)π, c(t) = 2i[sin(1 − α)π]r(t) (3.12) Xét phương trình (3.11) X Ta viết 1 (Q1 ψ)(t) = [ψ(t) + ψ(−t)], (Q2 ψ)(t) = [ψ(t) − ψ(−t)] 2 Dễ thấy Q1 + Q2 = I, Q1 Q2 = Q2 Q1 = 0, Q21 = Q1 , Q22 = Q2 , X = X1 ⊕ X2 , Xj = Qj X, j = 1, Ta viết lại (3.8) sau a+ (t)(Q1ϕ )(t) + a− (t)(Q2ϕ )(t) + b+ (t)(SQ1ϕ )(t) = f (t), a+ (t) = (t) + b(t), a− (t) = a(t) − b(t), b+ (t) = c(t), +∞ ϕ(τ )dτ = −i(Hϕ )(t) τ −t (Sϕ )(t) = πi −∞ Định lý 3.1 Giả sử ϕ1 (t) nghiệm phương trình uˆ(t)ϕ1 (t) + vˆ(t)(Sϕ1 )(t) = c1 (t)f1 (t) − c2 (t)f2 (t), 54 (3.13) X, uˆ(t) = [a+ (t)a− (t) + a+ (−t)a− (−t)], vˆ(t) = [b+ (t)a− (−t) + a− (t)b+ (−t)], 1 c1,2 (t) = [a− (t) + a− (−t)], f1,2 = [f (t) + f (−t)] 2 Nếu ϕ2 (t) = [ˆ u(t)]−1 [−ˆ v1 (t)(Sϕ1 )(t) + A1 (t)f1 (t) − A2 (t)f2 (t)], vˆ1 = [a+ (t)b+ (−t) + a+ (−t)b+ (t)], phương trình (3.8) có nghiệm dạng t α sin(1 − α(π)) ϕ(t) = π ϕ(t) − ϕ(τ ) dτ, (t − τ )1−α −∞ ϕ(t) = (Q1ϕ1 )(t) + (Q2ϕ2 )(t) Hệ 3.1 Phương trình (3.1) cho nghiệm dạng hiển Tương tự ta áp dụng công thức t π −∞ −∞ +∞ ϕ(−σ)dσ = cot(µπ) (σ − τ ) ϕ(−τ )dτ + (τ − t)µ sin(µπ) −∞ −∞ ϕ(τ )dτ , (τ − t)µ t t +∞ dτ (t − τ )µ −∞ +∞ ϕ(τ )dτ + (t − τ )µ sin(µπ) ϕ(σ)dσ = cot(µπ) (σ − τ ) −∞ t π t +∞ dτ (t − τ )µ ϕ(−τ )dτ (τ − t)µ t Ta viết mở rộng phương trình Abel (3.2) dạng +∞ c(t) a(t)ϕ(t) + b(t)ϕ(−t) + πi ϕ(τ ) + ϕ(−τ ) dτ = g1 (t), τ −t −∞ α sin(1 − α)π g1 (t) = π t g(t) − g(τ ) dτ (t − τ )1−α −∞ Từ định lý 3.1, ta thu hệ sau Hệ 3.2 Phương trình (3.8)cho nghiệm dạng hiển 55 3.3 Ví dụ áp dụng Giải phương trình tích phân β x ϕ(t)dt + (x − t)µ ϕ(t)dt = x2 (0 < µ < 1) µ (t − x) α (3.14) x Ta có từ phương trình (2.18) a(x) = b(x) = f (x) = x2 thỏa mãn điều kiện (2.19) tương ứng Khi phương trình trở thành β ϕ(t) dt = x2 µ |x − t| α Theo công thức (2.20) ta có điều kiện biên toán Riemann với chu tuyến [α, β] eµπi − − (e2µπi − 1)x2 Φ (x) = µπi Φ (x) + e −1 R(x)[eµπi − 1] + Khi G(t) = 1, κ = Bài toán Riemann tương ứng toán bước nhảy (eµπi + 1)x2 Φ (x) − Φ (x) = R(x) − + Theo công thức Sokkhotski ta có nghiệm xác định tích phân Cauchy eµπi + Φ(z) = 2πi β t2 dt R(t) t − z α Từ tính chất tích phân Cauchy ta có điều kiện (3.13) thỏa mãn Khi ta cần giải phương trình Abel cổ điển β β cot µπ ϕ(t) dt = f (x) + R(x) (x − t)µ 2π t2 dt R(t) t − x α α Theo công thức (3.6), ta có nghiệm toán x kπ d ϕ(x) = cot 2π dx x t2 kπ dt − cos (x − t)1−k π2 α R(t)F (t) dt, (x − t)1−k α 56 (1−µ) R(t) = [t(1 − t)] , β t d F (t) = dt dτ (t − τ )µ α τ 57 s2 ds R(s)(s − τ )1−µ Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau - Trình bày cách giải tường minh toán tích phân Abel mở rộng - Trình bày cách giải tường minh phương trình tích phân Abel suy rộng trục thực - Xét số ví dụ minh hoạ 58 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết toán tử phương trình tích phân kỳ dị, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh B.N Mandal, A Chakrabarti (2011), Applied singular integral equations, Sci Publishers D.Przeworska-Rolewicz (1988), Algebraic Analysis, Amsterdam-Warsaw D Przeworska-Rolewicz and S Rolewicz (1968), Equations in linear spaces, Warsaw Pub F.D Gakhov (1966), Boundary value problems, Pergamon Press, Oxford Nguyễn Văn Mậu (2005), Algebraic elements and boundary value problems in linear spaces, VNU Pub House 59 [...]... thể đưa nó về phương trình tích phân với nhân liên tục Phương trình dạng này có mọi tính chất giống như phương trình Fredholm và được gọi là tựa Fredholm hoặc đơn giản là phương trình Fredholm Khi α = 1 thì tích phân trở thành kỳ dị và phương pháp chuyển về phương trình Fredholm không thực hiện trực tiếp được Phương trình dạng này cần có các phương pháp giải đặc biệt Ta sẽ xét phương trình với nhân... ở trên Điều kiện giải được trở thành Ψ(−i) = 0 Vậy nên nó có dạng ∞ g(τ ) dτ = 0 (k = 1, , −κ ) X + (τ ) (τ + i)k (1.60) −∞ Khi κ > 0 thì tồn tại nghiệm phụ thuộc vào κ hằng số tùy ý Khi κ 0 thì nghiệm là duy nhất, và khi κ < 0, để tồn tại nghiệm, điều kiện cần và đủ là −κ điều kiện được thỏa mãn 1.6 Phương trình đặc trưng của phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy Xét phương trình tích phân. .. đạo hàm cấp m của tích phân dạng Cauchy có dạng m! ϕ(τ ) Φ(m) (z) = dτ 2πi (τ − z)m+1 Γ Ta tích phân từng phần vế phải m lần Vì rằng chu tuyến là đóng, nên phần đã lấy tích phân luôn triệt tiêu Do đó, ta có (m) Φ ϕ(m) (τ ) dτ τ −z 1 (z) = 2πi Γ Từ tích phân dạng Cauchy nhận được và công thức Sokhotski (1.16), ta thu được hệ thức (1.25), (1.26) 1.3.5 Đạo hàm của giá trị biên trong tích phân kỳ dị Ta sẽ... mật độ của tích phân ϕ(t) và tích phân kỳ dị Φ(t) dưới dạng công thức Sokhotski (1.16) Trừ và cộng các vế tương ứng của công thức (1.16) ta nhận được hai công thức tương đương sau đây Φ+ (t) − Φ− (t) = ϕ(t) 1 ϕ(τ ) Φ+ (t) + Φ− (t) = dτ πi τ − t (1.17) (1.18) Γ Nhận xét rằng trong phần trước ta xét sự tồn tại của tích phân kỳ dị và giá trị biên của tích phân dạng Cauchy với giả thiết đường lấy tích là... (1.62) Ta có thể viết phương trình (1.61) dưới dạng (Kϕ)(t) ≡ a(t)ϕ(t) + ϕ(τ ) dτ + τ −t b(t) πi Γ k(t, τ )ϕ(τ )dτ = f (t) (1.63) Γ Từ công thức (1.62) ta thấy hàm số b(t) thỏa mãn điều kiện H¨older trên chu tuyến Γ và k(t, τ ) cũng thỏa mãn khắp nơi trừ các điểm τ = t, trong đó |k(t, τ )| < A (0 < λ |τ − t|1−λ 1) được thỏa mãn Phương trình (1.63) được gọi là phương trình tích phân kỳ dị đầy đủ Khi... bài toán cơ bản về sự tồn tại giá trị của tích phân dạng Cauchy trên chu tuyến của tích phân và đánh giá mối liên hệ giữa giá trị của hàm số với tích phân kỳ dị 12 Xét hàm số Φ(z) = 1 2πi ϕ(τ ) dτ, τ −z (1.12) Γ trong đó ϕ(t) thỏa mãn điều kiện H¨older Giả sử chu tuyến Γ là đóng Trong trường hợp của chu tuyến mở ta bổ sung đường cong tùy ý để nó đóng và đặt trên đường cong phụ đó ϕ(τ ) = 0 Để khảo sát... H¨older trên chu tuyến Ta cũng giả thiết rằng G(t) = 0 trên biên Lời giải thu được hoàn toàn tương tự như trường hợp chu tuyến hữu hạn Cái khác ở đây là chu tuyến chứa điểm vô cùng và gốc tọa độ nằm trên chu tuyến Vậy nên không thể chọn điểm đặc biệt mà tại đó hàm chính tắc có bậc khác 0 Ta thấy hàm t−i số t có chỉ số bằng 1 dọc theo Γ Ta xét hàm số phân tuyến tính Nó t+i có cùng tính chất trên trục thực. .. quả này có thể phát biểu như sau Định lý 1.5 Khi tích phân dạng Cauchy lấy theo chu tuyến có hữu hạn điểm góc, thì giá trị giới hạn của tích phân tồn tại Đối với điểm thường công thức Sokhotski (1.16) vẫn đúng, còn đối với điểm góc, ta có công thức (1.21) và (1.22) Ta đi tìm điều kiện để hàm trên biên là giá trị biên của hàm giải tích Giả thiết rằng trên chu tuyến đóng, trơn Γ cho hàm biến phức liên... Γδ dτ A |t2 − t1 |λ ≤ τ − t1 2π Γδ dτ τ − t1 Tích phân cuối tính được trực tiếp như sau Γδ a − t1 dτ = ln τ − t1 b − t1 Kết quả là, tích phân này giới nội với mọi t1 trên Γ Do đó, ta ước lượng |I3 | ≤ A3 |t2 − t1 |λ Ta chuyển sang ước lượng tích phân I4 là dạng tích phân phức tạp nhất Sử dụng điều kiện H¨older, ta thu được |I4 | ≤ A |t2 − t1 | 2π ds Γ1 |τ − t1 | |τ − t2 |1−λ λ−2 ≤ A1 |t2 − t1 | |τ... thức bậc κ − 1 với hệ số phức bất kì 1.5.5 Bài toán bờ Riemann trên nửa mặt phẳng Giả thiết rằng chu tuyến Γ là trục thực Tương tự như đối với biên hữu hạn, ta có thể phát biểu bài toán bờ Riemann, tìm cặp hàm số giải tích trong nửa mặt phẳng trên và dưới, Φ+ (z) và Φ− (z) (hàm giải tích từng khúc Φ(z) ), mà giá trị biên của chúng thỏa mãn trên chu tuyến Γ điều kiện biên Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t) (1.53)