ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ DUNG PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VỎ CẦU NHẪN VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN Chuyên ngành: Mã số: Cơ học vật thể rắn 60 44 21 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH ĐÀO HUY BÍCH Hà Nội - Năm 2014 GIỚI THIỆU Vật liệu có tính biến thiên (FGM) lớp vật liệu tạo nhằm để cải thiện tính kết cấu cấu trúc không gian FGM loại vật liệu composite có đặc điểm thuộc tính chúng thay đổi từ từ liên tục từ mặt sang mặt khác kết cấu làm giảm ứng suất tập trung, ứng suất nhiệt ứng suất dư Những vật liệu thường sản xuất từ hỗn hợp gốm kim loại tổ hợp nhiều kim loại khác Loại vật liệu chịu thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn định hình dạng, chịu va chạm, mài mịn hay rung động Với đặc điểm ưu việt mà lớp vật liệu nghiên cứu ứng dụng rộng rãi thực tế đặc biệt nghành cơng nghiệp đóng tàu, hàng khơng, vũ trụ, khí, xây dựng v.v Đáp ứng đòi hỏi thực tiễn, năm gần đây, có nhiều cơng trình nghiên cứu cho kết ổn định kết cấu làm vật liệu Chẳng hạn ổn định FGM chịu nén phía hai phía có tính đến ảnh hưởng nhiệt độ [1, 2, 3], ổn định động vỏ nón đẳng hướng chịu tác dụng áp suất nhiệt [4, 5, 6], ổn định đàn dẻo vỏ nón [7], ổn định panel nón FGM tác dụng lực học [8], ổn định tĩnh động vỏ cầu FGM chịu tác dụng áp suất nhiệt độ [9, 10, 11] Luận văn cứu ổn định vỏ cầu nhẫn làm vật liệu có tính biến thiên tác dụng áp suất phân bố lực song song với trục đối xứng Phương pháp sử dụng để giải toán áp dụng tiểu chuẩn tĩnh ổn định phương pháp Bubnov – Galerkin, từ xác định lực tới hạn vỏ cầu đồng thời khảo sát số thay đổi lực tới hạn phụ thuộc vào kích thước hình học đặc trưng tính vật liệu FGM CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ THỨC CƠ SỞ Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy , bán kính vỏ cầu R Vỏ cầu làm từ hỗn hợp kim loại gốm Gắn hệ trục tọa độ φ, theo hướng kinh tuyến vĩ tuyến tương ứng z theo hướng bán kính vỏ cầu hình Chất liệu bề mặt bề mặt vỏ cầu tương ứng gốm kim loại Cấu tạo gốm vật liệu cải thiện khả chịu nhiệt độ cao nhờ tính dẫn nhiệt thấp Thành phần kim loại dễ uốn giúp vật liệu tránh bị đứt gẫy ứng suất nhiệt gây biến thiên nhiệt độ cao thời gian ngắn Hỗn hợp gồm phân tố thể tích vật liệu thành phần thay đổi liên tục theo độ dày vỏ Theo Javaheri Eslami, modul đàn hồi E hệ số Poisson thay đổi theo chiều dày z, theo quy luật hàm lũy thừa Hình Gọi tương ứng phân tố thể tích kim loại gốm Chúng liên hệ với hệ thức: : với k số mũ đặc trưng tỉ phần khối lượng (k≥0) Modul đàn hồi Để đơn giản ta chọn const khác biệt hệ số Poison vật liệu không lớn Trong tốn với vỏ cầu thoải để tính tốn thuận tiện ta đặt: với r bán kính hình trịn song song với mặt đáy Khi đó: , φ nhỏ nên , điểm mặt biểu diễn theo tọa độ Bằng cách 2.1 Hệ thức biến dạng - chuyển vị Theo lý thuyết Kirchoff-Love mối quan hệ tuyến tính chuyển vị biến dạng biểu diễn bởi: đó: với: u, v, w chuyển vị điểm mặt theo hướng tọa độ , � z tương ứng ; ; biến dạng mặt tương ứng thay đổi độ cong độ xoắn 2.2 Quan hệ nội lực - biến dạng vỏ cầu Theo định luật Hooke ta có liên hệ ứng suất biến dạng vỏ cầu: Tích phân phương trình sức căng momen theo độ dày vỏ cầu ta biểu thức nội lực momen tổng hợp đó: với: Từ (3) (4) ta có : Ngược lại từ (3) ta có : 2.3 Phương trình cân Xét vỏ cầu với độ dày h, bán kính đáy , bán kính vỏ cầu R chịu tác dụng áp suất q lực P song song với trục đối xứng Phương trình cân cho vỏ cầu mỏng theo lý thuyết Love có dạng : q áp suất ngồi tác động lên vỏ Sử dụng (9) (10) phương trình (11) viết lại dạng : PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CỦA VỎ CẦU 3.1 Trạng thái màng trước ổn định Trạng thái lực màng trước ổn định vỏ cầu chịu lực phân bố P song song với trục đối xứng áp suất phân bố q xác định từ hệ phương trình sau: tải trọng tác dụng lên tồn vịm cầu có dạng: Thay vào (13) ta được: suy ra: Thay 3.2 vào (14) ta xác định : Phương trình ổn định Các phương trình ổn định tuyến tính nhận cách sử dụng tiêu chuẩn ổn định tĩnh Ký hiệu chuyển vị trạng thái cân xuất phát, ứng với trạng thái cân lân cận ta có chuyển vị Với (u;v;w) chuyển vị trạng thái cân lân cận tương ứng dạng tải trọng dạng cân , gia số chuyển vị nhỏ tùy ý � gia số lực tổng hợp momen tổng hợp ứng với Các lực tổng hợp momen ; ; � � thỏa mãn phương trình (9); (10); (11), lấy hiệu hai hệ phương trình nhận tương ứng tuyến tính hóa hệ phương trình nhận cho ta: Thay (20) vào (18) ta hệ phương trình tương ứng, nên với , ta nhân hai vế hai phương trình nhận thứ thứ hai phương trình thứ ba với lấy tích phân khoảng : vế trái phương trình nhận Từ ta hệ phương trình: (21) Hệ phương trình (21) có nghiệm khơng tầm thường định thức: từ ta có: 10 Các trường hợp riêng: Vỏ chịu tác dụng lực p: Vỏ chịu tác dụng áp suất q: Vỏ chịu tác dụng đồng thời lực p áp suất q: Đặt ta có: Trong cơng thức (23) – (25) giá trị p, q phụ thuộc vào số song m, n có mặt hệ số Lực tới hạn xác định giá trị nhỏ p, q ứng với số sóng m, n tương ứng: Đặt : hệ số nhận có dạng: 11 12 13 KẾT QUẢ TÍNH TỐN SỐ 4.1 Khảo sát lực tới hạn vỏ cầu chịu tác dụng lực p Để nghiên cứu tính ổn định vỏ cầu ta xét vỏ cầu vật liệu hỗn hợp nhơm (kim loại) có modun đàn hồi (gốm) có modun đàn hồi oxit nhôm , để đơn giản ta lấy hệ số Poiison ;cho kích thước vỏ ; R/h = 1000 Sử dụng phần mềm Matlab ta xây dựng chương trình tìm giá trị nhỏ lực p (xem phụ lục), từ tìm lực p đạt giá trị nhỏ (m, n) = (4, 1) Lực p ứng với n = biểu thị hình bảng Hình Đồ thị biểu diễn lực p theo m n=1 với R/h = 1000; 14 ; Bảng Giá trị cực tiểu lực tới hạn k p (m,n), GPa 1,0852 (2,1) 0,6580 (3,1) 0,6233 (4,1) 0,7378 (5,1) 0,9392 (6,1) 0,6358 (2,1) 0,3710 (3,1) 0,3350 (4,1) 0,3834 (5,1) 0,4790 (6,1) 0,4908 (2,1) 0,2871 (3,1) 0,2601 (4,1) 0,2983 (5,1) 0,3732 (6,1) 0,4200 (2,1) 0,2492 (3,1) 0,2298 (4,1) 0,2671 (5,1) 0,3366 (6,1) Nhận xét: Từ hình giá trị bảng cho thấy với n = giá trị lực nhỏ tương ứng với m = Khi số mũ đặc trưng k tăng tức tỉ phần thể tích gốm giảm nên lực tới hạn p giảm Khảo sát ảnh hưởng tỉ số R/h đến lực tới hạn p thu kết thể bảng Bảng Ảnh hưởng tỷ số R/h đến lực tới hạn với ; p (m,n), GPa R /h k 800 1000 1200 1400 1500 0,766 (4,1) 0,4197 (4,1) 0,3253 (4,1) 0,285 (4,1) 0,6233 (4,1) 0,335 (4,1) 0,260 (4,1) 0,2298 (4,1) 0,545 (4,1) 0,289 (4,1) 0,2246 (4,1) 0,1997 (4,1) 0,4991 (4,1) 0,2613 (4,1) 0,203 (4,1) 0,181 (4,1) 0,4824 (4,1) 0,2514 (4,1) 0,1956 (4,1) 0,1750 (4,1) 15 Nhận xét: Kết khảo sát bảng cho thấy tỷ số R/h tăng lực tới hạn p giảm Trên thực tế tỉ số tăng tức bán kính vỏ cầu tăng độ dày giảm vỏ cầu dễ bị biến dạng Điều phù hợp với tính chất kết cấu Tiếp tục khảo sát ảnh hưởng tỉ số ; tới lực tới hạn p ta nhận kết thể bảng 3: Bảng Ảnh hưởng tỷ số ; m, n với đến lực tới hạn theo p (m,n), GPa r1/R 0, 0,3 r0/R 0,5 0,1 0,7083 (4,1) 1,2307 (6,1) 1,9021 (2,22) 0,15 0,4126 (4,1) 0,5949 (4,1) 0,8763 (6,1) 0,2 0,2105 (2,1) 0,3350 (4,1) 0,4993 (6,1) 0,1772 (2,1) 0,2467 (4,1) 0,3 Nhận xét: Qua khảo sát ta thấy tỉ số r1/R mà tỉ số r0/R tăng có nghĩa bề rộng cầu nhẫn hẹp lại dẫn đến lực tới hạn p giảm 4.2 Khảo sát lực tới hạn vỏ cầu chịu tác dụng áp suất q Khi vỏ cầu chịu tác dụng áp suất q, với R/h = 1000; ; Trong R = 5m; h = 0.005m, sử dụng chương trình Matlab tìm giá trị nhỏ ta tìm lực q đạt nhỏ m = 2, n = 18 (với k = k = 2) n = 17 (với k = k = 3) Kết khảo sát thể cụ thể hình bảng 16 Hình Đồ thị biểu diễn lực tới hạn q theo n m=2 với R/h = 1000; ; Bảng Giá trị cực tiểu lực tới hạn = 1000; ; theo n với m = 2; R/h q (m,n), 105 k 4,0403 (2,16) 2,2063 (2,16) 1,7127 (2,16) 1,5066 (2,16) 4,0221 (2,17) 2,1812 (2,17) 1,6945 (2,17) 1,4951 (2,17) 4,0394 (2,18) 2,1760 (2,18) 1,6916 (2,18) 1,4968 (2,18) 4,0882 (2,19) 2,1882 (2,19) 1,7023 (2,19) 1,5102 (2,19) 4,1652 (2,20) 2,2161 (2,20) 1,7250 (2,20) 1,5342 (2,20) Nhận xét: Do tính chất vật liệu thấy số k giảm giá trị lực tới hạn q tăng lên Tương tự khảo sát lực p, ta kiểm 17 tra ảnh hưởng đại lượng ; ; thu kết bảng bảng Bảng Ảnh hưởng tỷ số đến lực tới hạn ; theo m, n; q (m,n), 105 R/h k 800 1000 1200 1400 1500 6,1301 (2,19) 3,3278 (2,20) 2,5871 (2,20) 2,2848 (2,20) 4,0251 (2,17) 2,1776 (2,18) 1,6929 (2,18) 1,4961 (2,17) 2,8718 (2,15) 2,1673 (2,14) 1,9160 (2,13) 1,5471 (2,16) 1,1647 (2,15) 1,0263 (2,14) 1,2023 (2,16) 0,9053 (2,15) 0,7974 (2,14) 1,0641 (2,16) 0,8.010 (2,14) 0,7066 (2,14) Từ kết đạt ta thấy giá trị lực tới hạn giảm tăng tỉ số R/h tăng số k Trong trường hợp k = 0, vỏ cầu vật liệu đồng chất oxit nhơm (gốm) có modun đàn hồi cao Đây nguyên nhân làm cho giá trị lực tới hạn có giá trị cao Bảng Ảnh hưởng tỷ số ; đến lực tới hạn ; k=1 q (m,n), 105 r1/R r0/R 0,1 0,15 0,2 0,3 0,3 0,4 0,5 2,4942 (2,12) 2,3904 (2,13) 3,2905 (2,15) 2,6911 (4,13) 2,3831 (2,17) 2,1760 (2,18) 3,2942 (2,23) 2,6874 (8,3) 2,6255 (2,21) 2,3023 (2,22) 2,0201 (2,24) 18 với Từ bảng ta thấy thay đổi tỉ số lực tới hạn không thay đổi theo quy luật xác định 4.3 Khảo sát lực tới hạn vỏ cầu chịu tác dụng đồng thời lực p q Bằng cách đặt đó, tiếp tục khảo sát ổn định vỏ cầu theo q ta thu kết bảng α k thay đổi Bảng Giá trị cực tiểu lực tới hạn đổi với ; theo m, n α thay ; p,q (m,n), 105, 𝜆=1/2 α k (0;4,0221) (2,17) (0;2,1760) (2,18) (0;1,6916) (2,18) (0;1,4951) (2,17) (4,0236;4,0236) (2,17) (2,1768;2,1768) (2,18) (1,6923;1,6923) (2,18) (1,4956;1,4956) (2,17) Bảng cho kết lực tới hạn (8,0502;4,0251) (2,18) (4,3552;2,1776) (2,18) (3,3858;1,6929) (2,18) (2,9922;1,4961) (2,17) (0,6233;0) (4,1) (0,3350;0) (4,1) (0,2601;0) (4,1) (0,2298;0) (4,1) vỏ chịu tác dụng đồng thời hai lực với α=1,5 tỉ số R/h số k thay đổi 19 ∞ Bảng Ảnh hưởng tỷ số R/h đến lực tới hạn với ; q (m,n), 105, α=1,5 R/h k 800 1000 1200 1400 1500 6,128 (2,19) 3,327 (2,20) 2,586 (2,20) 2,284 (2,20) 4,0243 (2,17) 2,8715 (2,15) 2,1671 (2,14) 1,9158 (2,13) 2,1772 (2,18) 1,5469 (2,16) 1,1646 (2,15) 1,0262 (2,14) 1,6926 (2,18) 1,2021 (2,16) 0,9052 (2,15) 0,7973 (2,14) 1,4959 (2,17) 1,0639 (2,16) 0,8009 (2,14) 0,7065 (2,14) Rõ ràng trường hợp quy luật thay đổi lực tới hạn tương tự trường hợp tác dụng đơn lực, có nghĩa lực giảm số k tăng tỉ số R/h tăng Bảng Ảnh hưởng tỷ số ; đến lực tới hạn ; k=1 q (m,n), 105, α=1,5 r1/ R 0,3 0,4 0,5 2,4950 (2,12) 2,3912 (2,13) 3,2902 (2,15) 2,6912 (4,13) 2,3842 (2,17) 2,1772 (2,18) 3,2945 (2,23) 2,6868 (8,3) r0/R 0,1 0,15 0,2 0,3 20 2,6266 (2,21) 2,3037 (2,22) 2,0215 (2,24) với Bảng biểu diễn ảnh hưởng tỉ số ; đến lực tới hạn q với α=1,5 So sánh với trường hợp vỏ cầu chịu tác dụng lực q, trường hợp lực tới hạn có giá trị nhỏ Điều hoàn toàn phù hợp vỏ chịu tác dụng lực p áp suất q vỏ dễ bị biến dạng 21 NHẬN XÉT CHUNG: Bài toán ổn định vỏ cầu vật liệu có tính biến thiên chịu tác dụng lực phân bố song song với trục đối xứng áp suất dần đến tốn tìm nghiệm khác khơng hệ phương trình (2.14) Phương pháp chung để giải toán ta chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện biên, sau thay vào phương trình ổn định vỏ cầu từ điều kiện tồn nghiệm không tầm thường suy phương trình xác định lực tới hạn Giá trị nhỏ lực tới hạn cần tìm.Trong tốn sử dụng tiêu chuẩn tĩnh ổn định ( tiêu chuẩn tồn dạng cân lân cận ) để nghiên cứu phần mềm Matlab để tính tốn số KẾT LUẬN: Trong luận văn đạt kết sau: - Sử dụng tiêu chuẩn ổn định tĩnh trình bày chi tiết hệ phương trình ổn định tuyến tính vỏ cầu nhẫn vật liệu có tính biến thiên tác dụng lực phân bố song song với trục đối xứng áp suất Sử dụng phương pháp Bubnov – Garlerkin dẫn đến hệ thức hiển xác định lực tới hạn vỏ cầu nhẫn - Tính tốn số lực tới hạn trường hợp vỏ cầu chịu tác dụng lực p, chịu tác dụng áp suất q trường hợp có đồng thời hai lực tác dụng Tương ứng với trường hợp riêng khảo sát ảnh hưởng tỉ số thay đổi - Từ kết nhận đưa nhận xét phù hợp ảnh hưởng yếu tố số k vật liệu, tỉ số kích thước hình học vỏ, tìm giá trị lực tới hạn trường hợp tác dụng đơn lực tác dụng đồng thời hai lực - Đã trình bày báo cáo khoa học Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ IX, Hà Nội 12/2012 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đào Huy Bích, Lý thuyết đàn hồi, NXB ĐHQG HN, 2000 Bich D.H, Tung H.V, Phuong N.T Buckling of functionally graded conical panels under mechanical loads Composite Structure 94 (2012); 1379 - 1384 Bich D.H, Tung H.V Nonlinear axisymmetric response of functionally graded shallow spherical shells under uniform external pressure including temperature effects Int J Nonlinear Mech (2011); 46: 1195 – 1204 Bich D.H, Non – linear buckling analysis of functionally graded shallow spherical shells, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol 31, No (2009), pp 17 – 31 Bich D.H, Dung D.V, Hoa L.K Nonlinear static and dynamic buckling analysis of functionally graded shallow spherical shells including temperature effects Composite Structures 94 (2012) 2952 – 2960 E Feldman, J Aboudi, Buckling analysis of FGM plates subjected to uniaxial loading, Composite Structures 38 (1997) 29 – 36 J N Reddy et al., Axisymmetric bending of FGM circular and annular plates, European J of Mech 18 (1999) 185 – 199 N Nath, R.S Alwar, Non-linear static and dynamic response of spherical shells, Int J Non-linear Mech 13(1978) 157-170 P.C Dumir, Non-linear axisymmetric response of orthotropic thin spherical caps on elastic foundations, Int J Mech Sci 27(1985) 751-760 10 Paczos P Zielnica J Stability of ortrotropic elastic – plastic open conical shells Thin – Wall Struct (2008); 46: 530 – 540 11.Tani J Dynamic instability of truncated conical shells underperiodicaxial load Int J Solid Struct (1974); 10:169 – 176 12 Tani J Influence of deformations before instability on the parametric instability of conical sheels under periodic pressure J Sound Vib (1976); 45(2): 253 – 258 13 Tani J Influence of axisymmetric initial deflections on the thermal buckling of truncated conical shells Nucl Eng Des (1978); 48: 393 – 403 14 V Birman, Buckling of functionally graded hybrid composite plates, Proc of Conf on Eng Mech Boulder, USA, (1995) 23 15 Xu CS, Xia ZQ Chia CY Non – linear theory and vibration analysis of laminated truncated, thick conical sheels Int J Nonlinear Mech (1996); 31(2): 139 – 54 24