Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC, PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Bài Công thức lượng giác, phương trình lượng giác thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần Bài Công thức lượng giác, phương trình lượng giác Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng I CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC Hệ thức lƣợng giác + sin a   cos a sin a  cos a    2 cos a   sin a 2 sina cos a ; cot a  ; tan a.cot a 1 cos a sin a 1 +  tan a  ;  cot a  cos a sin a Công thức cộng  sin( a  b)  sin a cos b  cos a sin b  sin( a  b)  sin a cos b  cos a sin b  cos( a  b)  cosa cos b  sin a sin b  cos( a  b)  cosa cos b  sin a sin b t ana  tanb  tan( a  b)   t ana.tanb t ana  tanb  tan( a  b)   t ana.tanb Công thức biến đổi tổng thành tích ab a b ab a b sin a  sin b  2sin cos ; sin a  sin b  2cos sin 2 2 ab a b ab a b cosa  cos b  2cos cos ; cosa  cosb  2sin sin 2 2 sin(a  b) sin(a  b) tan a  tan b  ; tan a  tan b  cos a cos b cos a cos b Trường hợp đặc biệt: + t ana      sin a  cos a  sin  a    2cos  a   4 4       sin a  cos a  sin  a     2cos  a   4 4   Công thức biến đổi tích thành tổng Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác 1 cos(a  b)  cos(a  b); cos a.cos b  cos(a  b)  cos(a  b)  2 1 sin a cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  ; cos a sin b  sin( a  b)  sin( a  b)  2 Công thức nhân đôi, nhân ba sin a sin b  sin 2a  2sin a cos a  sin 2a  (s ina  cos a)  sin 2a   (s ina  cos a)  cos2a  cos a  sin a  cos2a  cos a  cos2a   2sin a  tan a   tan 2a   tan a  cot 2a  cot a   cot a a 2t  t  tan ,s ina   t   t ana  2t , cos a   t  1 t2 1 t2 sin 3a  3sin a  4sin a ; cos3a  cos a  3cos a Công thức hạ bậc  cos 2a  cos 2a 1  cos 2a sin a  ; cos a  ; sin a cos a  sin 2a; tan a  ; 2  cos 2a  sin 3a  3sin a cos 3a  3cos a  sin 3a  3sin a sin a  ; cos3 a  ; tan a  4 cos 3a  3cos a Chú ý: * Công thức góc liên quan đặc biệt    sin   a   cosa 2    cos   a   sin a 2   sin(a)   sin a cos(a)  cos a * Công thức mũ  sin a  cos a   sin 2a sin a  cos a   sin 2a II PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN sin x  a , điều kiện 1  a   x    k 2 Đặt a  sin  sin x  sin   ;k Z  x      k 2 Trường hợp đặc biệt: sin x   x  k ; k  Z s inx   x    k 2 ; k  Z   k 2 ; k  Z 2 cosx  a , điều kiện 1  a  sin x  1  x    x    k 2 Đặt a  cos  cosx  c os   ; k Z  x    k 2 Trường hợp đặc biệt: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác   k ; k  Z cosx   x  k 2 ; k  Z cosx  1  x    k 2 ; k  Z cosx   x    k ; k  Z Đặt a  tan  tan x  tan  x    k ; k  Z tan x  a; a  R x  Trường hợp đặc biệt: tan x   x  k ; k  Z tan x   x    k ; k  Z tan x  1  x     k ; k  Z 4 co t x  a; a  R , x  k ; k  Z Đặt a  cot   cot x  cot  x    k ; k  Z Trường hợp đặc biệt: cotx   x  cotx   x     k ; k  Z  k ; k  Z   k ; k  Z III PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ SỞ a) Phương trình cổ điển cotx  1  x   a sin x  b cos x  c; a  b  c (1) Cách giải (1)  Với a a  b2 c a b  sin ;  b a2  b2 a a b 2 sin x  b a  b2 c  cos ; a2  b2 cos x  cos( x   ) cos   x     2 k Chú ý: (1) có nghiệm  c2  a  b2 Ví dụ mẫu:Giải phương trình: x x  Ví dụ (ĐHKD 2007):  sin  cos   cos x  2 2  Ví dụ cos7 x  sin x   Ví dụ 2(cos x  sin x) cos x   cos x b Phương trình đối xứng: a(s inx  cos x)  b sin x cos x  c  a(s inx  cos x)  b sin x cos x  c  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác      t  s inx  cos x  sin  x    2cos  x      2;   sin x cos x  (t  1)     Bƣớc Đặt       t  s inx  cos x  sin  x     2cos  x      2;   sin x cos x  (1  t ) 4 4    Biến đổi đưa phương trình bậc ẩn t Bƣớc Giải phương trình bậc ẩn t Từ suy nghiệm x Ví dụ: Giải phương trình: cos x  sin x cos x  cos x sin x  2(sin x  cos x) cos3 x  sin3 x  sin x  sin x  cos x Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC, PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài Công thức lượng giác, phương trình lượng giác thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài Công thức lượng giác, phương trình lượng giác Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài 1: Giải phương trình: 4sin x cos 3x  cos3 x sin x  3cos4 x  Bài 2: Giải phương trình: 4sin x   3sin x  3cos3 x Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm, giải phương trình trường hợp 2m(cos x  sin x)  2m2  cos x  sin x  Bài 4: Giải phương trình: 2sin x  cot x  2sin 2x  Bài 5: Giải phương trình: (sin x  cos x)3  2(sin x  1)  sin x  cos x   Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC, PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài Công thức lượng giác, phương trình lượng giác thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài Công thức lượng giác, phương trình lượng giác Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài 1: Giải phương trình: 4sin x cos 3x  cos3 x sin x  3cos4 x  Giải:  sin x  3cos4 x   sin x  cos4 x  2       cos  x    cos  x     k 2 , k  Z 6     x   k  ; k Z x     k   24 Bài 2: Giải phương trình: 4sin x   3sin x  3cos3 x Giải: 3cos3x  (3sin x  4sin x)  1 cos3x  sin x  2       cos  3x    cos  3x    k 2 ; k  Z 6   3cos3x  sin 3x    2   x  18  k  ; k Z  x    k 2  Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm, giải phương trình trường hợp 2m(cos x  sin x)  2m2  cos x  sin x  Giải: PT  (2m  1)sin x  (2m  1) cos x  2m2  3  Để phương trình cho có nghiệm, ta phải có: (2m  1)  (2m  1)   2m2   2   (4m2  1)2   (4m2  1)2   m   2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt 2 Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác   sin x   x   k2; k  Z 2 + TH2: m    cosx  1  x    k 2 ; k Z + TH1: m  Bài 4: Giải phương trình: 2sin x  cot x  2sin 2x  Giải: Điều kiện: sin x  PT  2sin x  cos x  4sin x cos x  sin x  2sin x  sin x  4sin x cos x  cos x  sin x(2sin x  1)  cos x(4sin x  1)  cos x(2sin x  1)(2sin x  1)  (2sin x  1)(sin x  cos x  2sin x cos x)   sin x  (1)    sin x  cos x  2sin x cos x  (2)    x   k 2   ; k Z Giải (1) sin x   sin    x   k 2  Giải (2) sin x  cos x  2sin x cos x  Đặt sin x  cos x  t ,   t  t      2;    Ta có phương trình: t  2t     t     2;       1   sin x  cos x    2cos  x      cos  x    cos (cos  ) 4 4   Vậy x      k 2 , k  Z Bài 5: Giải phương trình: (sin x  cos x)3  2(sin x  1)  sin x  cos x   Giải: PT  (sin x  cos x)3  2(sin x  cos x)  sin x  cos x   Đặt: sin x  cos x  t ,   t  Phương trình  t  2t  t    (t  2)(t  1)   t       sin x  cos x  sin  x     sin  x    4 4    x     k 2  x    k 2 ; k  Z Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 1) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 1) Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Dạng I Sử dụng trực tiếp phƣơng trình Bài tập mẫu: Giải phương trình sau: Bài 1: cos7 x  sin 5x   cos5x  sin x  Bài (ĐHKA – 2009): (1  2sin x) cos x  (1  2sin x)(1  s i n x) Bài (ĐHKD -2009): 3cos5 x  2sin 3x.cos2 x  sin x  Bài (ĐHKB -2009): sin x  cos x.sin x  cos x  2(cos4 x  sin x) x  Bài (ĐHKB -2006): cot x  sin x 1  tan x.tan   2  Dạng II: Nhóm thừa số chung Giải phương trình sau: Bài : sin x  3cos3 x  sin x.cos x  sin x.cosx Bài (ĐHKD -2004): (2cos x  1)(2sin x  cos x)  sin x  sin x Bài (ĐHKD -2011): sin x  cos x  sin x  0 tan x  Bài (ĐHKB -2005):  sin x  cos x  sin 2x  cos2x  Bài (ĐHKB -2010): (sin x  cos2 x) cos x  2cos x  sin x  Bài (ĐHKD -2008): 2sin x(1  cos2 x)  sin x   2cos x Bài (ĐHKB -2011): sin 2x cos x  sin x cos x  cos2x  sin x  cos x Bài (ĐHKA -2007): (1  sin x) cos x  (1  cos x) sin x   sin x Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 1) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài 1: Giải phương trình: sin x  cos x  2cos9 x Bài 2: Giải phương trình: 2sin x  sin x  3cosx Bài 3: Giải phương trình:   8cos x sin x cos x Bài 4: Giải phương trình: cos2 x  cos x  sin x  sin x Bài 5: Giải phương trình: cos3x.cos3 x  sin x.sin x  23 Bài 6: Giải phương trình: sin 3x  cos2 x  sin x  cos2 x Bài 7: Giải phương trình:    cos x  2sin cos x  Bài 8: Giải phương trình: cot x  tan x  Bài 9: Giải phương trình: 4sin 2 x       1 2cos x sin x x 3    3cos2 x   cos  x     cos2 x    Bài 10: Giải phương trình: tan   x   tan x  cos x 2  Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 1) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 1) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài 1: Giải phương trình: sin x  cos x  2cos9 x Giải:   PT  2cos  x    2cos9 x 4       cos9 x  cos  x    x    x    k 2 4 4      x    k  32  k Z   x  k  40 Bài 2: Giải phương trình: 2sin x  sin x  3cosx Giải: PT  sin x  sin x  cos x 2    sin x  sin  x   3     x  x   k 2  k Z  x     x     k 2    3   2  x   k  ; k Z  x  4  k 2  15 Bài 3: Giải phương trình:   8cos x sin x cos x Giải: sin x  Điều kiện:  cos x  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác PT  cos x  sin x  8cos x.sin x  8(1  sin x) sin x  8sin x  8sin x PT  cos x  sin x  6sin x  8sin x  2(3sin x  4sin x)  2sin 3x  cos x  sin x  sin x 2   3x   x  k 2     sin   x   sin 3x   ; k Z 3  3x       x   k 2    3      x  12  k  ; k  Z (thỏa mãn điều kiện)  x    k  Bài 4: Giải phương trình: cos2 x  cos x  sin x  sin x Giải: sin x   Điều kiện: sin x  sin x  sin x(2 cos x  1)    cos x   PT  cos2 x  cos x   sin x  sin x   cos x  sin x  cos x  sin x      cos  x    cos  x   3 3    2x        x    k 2 ; k  Z 3  2   x    k 2  ; k Z  x  k 2  Bài 5: Giải phương trình: cos3x.cos3 x  sin x.sin x  23 Giải:  cos3x  3cos x   3sin x  sin 3x   PT  cos3x    sin 3x   4      cos x  sin x  3(cos3 x cos x  sin x sin x)   cos4 x   x  16 23  1 2    cos  x    k 2 4 k  ; k Z Bài 6: Giải phương trình: sin 3x  cos2 x  sin x  cos2 x Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác Giải:  cos6 x  cos8 x  cos10 x  cos12 x    2 2  cos12 x  cos6 x  cos10 x  cos8 x  PT   2sin x.sin 3x  2sin x.sin x   sin x(sin 3x  sin x)   x  k sin x    3 x   x  k 2 ; k  Z sin x   sin x 3 x    x  k 2 k  x   k  x  ; k Z    x    k  Bài 7: Giải phương trình:    cos x  2sin cos x  x       1 Giải: Điều kiện: cos x     cos  x   2  PT   cos x   cos x      cos x  sin x  1      sin x  cos x    2sin  x    3  2  x   k 4  k 2 ; k  Z 2cos x Bài 8: Giải phương trình: cot x  tan x  sin x Giải: Điều kiện: sin 2x  cos x sin x cos4 x PT     cos2 x  sin x  cos4 x sin x cos x sin x cos x  cos2 x  cos4 x  x  2 x  k 2 ; k  Z Kết hợp với điều kiện: x   x  k (loai )  x  k  ; k  Z  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Bài 9: Giải phương trình: 4sin Chuyên đề 08 Lượng giác x 3    3cos2 x   cos  x     Giải: 3   PT  2(1  cos x)  3cos2 x    cos  x      2cos x  3cos2 x   sin x  2cos x  3cos2 x  sin x cos2 x  sin x   cos x 2    cos  x     cos x  cos(  x) 6     (  x)  k 2 5 2   x  18  k  ; k Z  x  7  k 2   2x  cos2 x    Bài 10: Giải phương trình: tan   x   tan x  cos x 2  Giải: cos x  cos x   Điều kiện:      sin x  cos   x      PT   cot x  tan x  2sin x  2 tan x cos x  tan x  tan x  tan x  1  tan x  1  x   k ; k  Z Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 2) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 2) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 2) Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Dạng II: Nhóm thừa số chung (tiếp) Bài 9: (Đại học khối B – 2007): Giải phương trình sau: 2sin 2 x  sin x   sin x   (1  sin x  cos2 x).sin  x   4   cos x Bài 10: (Đại học khối A – 2010): Giải phương trình sau:  tan x  sin x  cos2 x  sin x sin x  cot x 1  7    4sin   x Bài 12: (Đại học khối A – 2008): Giải phương trình sau:  sin x     sin  x     Bài 11: (Đại học khối A – 2011): Giải phương trình sau: x x  Bài 13: (Đại học khối D – 2003): Giải phương trình sau: sin    tan x  cos  2 4 cos2 x Bài 14: (Đại học khối A – 2003): Giải phương trình sau: cot x    sin x  sin x  tan x Bài 15: (Đại học khối D – 2010): Giải phương trình sau: sin 2x  cos2x  3sin x  cos x 1  Bài 16: Giải phương trình sau: sin 2x  2cos 2x  4cos x  sin x 1  Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 2) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 2) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 2) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài 1: Giải phương trình: 2sin 2x  cos2x  7sin x  2cos x  Bài 2: Giải phương trình: tan x   (2  sin 2 x).sin 3x cos x Bài 3: Giải phương trình:  tan x(tan x  2sin x)  6cos x  Bài 4: Giải phương trình: tan x  t anx  3(1  s inx)  x   8cos    cos x  2 Bài 5: Giải phương trình: 2sin x  s inx  cos3 x  cos x  cos2 x Bài 6: Giải phương trình: s inx  sin x  sin x  sin x  cos x  cos x  cos x  cos x Bài 7: Giải phương trình: 2sin x(1  cos2 x)  sin x   2cos x x x  Bài 8: Giải phương trình: sin    tan x  cos  2 4 Bài 9: Giải phương trình: 3cot x  2 sin x  (2  2) cos x Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 2) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 2) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 2) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài 1: Giải phương trình: 2sin 2x  cos2x  7sin x  2cos x  Giải: PT  2sin x  (1  2sin x)  sin x  cos x   2sin x  cos x  2sin x  sin x    cos x(2sin x  1)  (2sin x  1)(sin x  3)   (2sin x  1)(sin x  cos x  3)    sin x  cos x  3(vô nghiêm)  x   k 2   ; k Z sin x   sin   x  5  k 2   (2  sin 2 x).sin 3x Bài 2: Giải phương trình: tan x   cos x Giải: Điều kiện: cos x  PT  sin x  cos x  (2  sin 2 x) sin x   sin 2 x  (2  sin 2 x) sin x   sin 2 x  2(2  sin 2 x) sin x  (2  sin 2 x)(2sin x  1)   2  sin 2 x  (loai)  x  18  k   ; k Z sin x   sin  5 2  x k   18 Bài 3: Giải phương trình:  tan x(tan x  2sin x)  6cos x  Giải: Điều kiện: cos x  PT   sin x  sin x  2sin x cos x     cos x  cos x  cos x  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác  3cos x  sin x  2sin x cos x  cos3 x   (3cos x  sin x)(2 cos x  1)    cos x    cos x   cos x   k 2 ; k  Z Bài 4: Giải phương trình: tan x  t anx  3(1  s inx)  x   8cos    cos x  2 Giải: Điều kiện: cos x   sinx  1    Khi đó: PT  t anx(3tan x  1)  3(1  sinx)(1  tan x)  1  cos   x    4(1  sinx) 2    t anx(3 tan x  1)  (1  s inx) 3 1  tan x      (3 tan x  1)(t anx   s inx)   (3 tan x  1)(s inx  cos x  sin x cos x)  3 tan x  (1)  s inx  cos x  sin x cos x  (2) (1)  tan x    t anx    x    k 3   Giải (2) đặt: t  s inx  cos x  sin  x   ; t  2, t  1  t   2sin x cos x 4  t  1  2; t  t 1 (2)  t    t  2t     t  1      x     k 2 x     k 2    1  4  sin  x     sin     ;k       x       k 2 x     k 2   4 Bài 5: Giải phương trình: 2sin x  s inx  cos3 x  cos x  cos2 x Giải: PT   sin x  cos3 x    s inx -cos x    sin x  cos x  s inx -cos x  0(1)  s inx + cos x  sin x   0(2) (1)  tan x   x    k , k    Xét (2) ta đặt: t  s inx  cos x  2cos  x   ; t   t   sin x 4     t   cos  x      (2)  t  (t  1)    t (t  1)      3   cos t  1  cos  x     4   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác  3    x    2k  1  x   k ; k       k 2   x     k 2  x    ;k     k 2 4    Bài 6: Giải phương trình: s inx  sin x  sin x  sin x  cos x  cos x  cos x  cos x Giải: PT   s inx  cos x    s in x  cos x    s in x  cos3 x    s in x  cos x   s inx  cos x   1  s inx  cos x   s inx.cos x  s inx  cos x    t anx  1(1)  x   k ; k        s inx  cos x   sinx.cos x   0(*) Xét (*), ta đặt:   t  s inx  cos x  2cos  x   ; t   t   2sin x cos x 4  t 1 (*)  2t     t  4t    t  1; t  3(loai )   k 2  3  Khi t  1  cos  x      cos x     k 2 4    Bài 7: Giải phương trình: 2sin x(1  cos2 x)  sin x   2cos x Giải: PT  4sin x cos x  2sin x cos x  (1  cos x)   2sin x cos x(1  2cos x)  (1  2cos x)  2  x  k 2   cos x     (1  2cos x)(sin x  1)   (k  Z ) 2    x   k sin x   x x  Bài 8: Giải phương trình: sin    tan x  cos  2 4 Giải: Điều kiện để PT có nghĩa là: x    k , (k  Z ) x   cos       cos x   cos x  Khi đó: PT  cos x  (1  sinx)(1  cos x)(1  cos x)  cos x(1  cos x)   (1  sinx)(1  cos x)(sinx  cos x)  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác   x   k 2  s inx    cos x  1   x    k 2 ; k  Z   t anx  1   x    k  Kết hợp điều kiện ta có: x     k ; x    k 2 , k  Z Bài 9: Giải phương trình: 3cot x  2 sin x  (2  2) cos x Giải: Điều kiện: x  k PT  3cos x  2 sin x  (2  2) cos x sin x  3cos x  sin x.cos x  2 sin x  2sin x cos x   2cos x  cos x    cos x  sin x  3cos x  2sin x      cos x  3cos x      1   x    k 2  cos cos x      x     k 2   cos x   Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 3) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 3) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 3) Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Dạng 3: Đƣa phƣơng trình bậc 2, trùng phƣơng Bài 1: (Đại học khối A – 2006) Giải phương trình:  cos6 x  sin x   sin x cos x  2sin x 0     Bài 2: (Đại học khối D – 2005) Giải phương trình: cos x  sin x  cos  x   sin  x     4 4   Bài 3: (Đại học khối A – 2005) Giải phương trình: cos2 3x.cos2 x  cos x  Bài 4: (Đại học khối B – 2003) Giải phương trình: cot x  tan x  4sin x  sin x Bài 5: (Đại học khối B – 2004) Giải phương trình: 5sin x   tan x(1  sin x) cos3x  sin x   Bài 6: (Đại học khối A – 2002) Giải phương trình:  sin x    cos2 x   2sin x   Bài 7: Giải phương trình: 2cos2 2x  cos2x  4cos2 x sin2 2x Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 3) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 3) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 3) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài (Đại học khối D – 2006): Giải phương trình: cos3x  cos2x  cos x 1  Bài 2: (Đại học khối D – 2002): Giải phương trình: cos3x  4cos 2x  3cos x   , với x0;14  Bài 3: Giải phương trình: 4cos 5x 3x cos  2(8sin x  1) cos x  2 Bài 4: Giải phương trình: 2cos x  8cos x   cos x Bài 5: Giải phương trình: sin x  sin 3x  3cos2 x  Bài 6: Giải phương trình: 48   (1  cot x.cot x)  cos x sin x Bài 7: Giải phương trình: (sin x  3).sin Bài 8: Giải phương trình: x x  (sin x  3)sin   2 sin x  cos x 1  cot x  5sin x 8sin x Bài 9: Giải phương trình: cos2 x  cos x(2 tan x  1)  Bài 10: Giải phương trình: 3cos x  8cos6 x  2cos x   Bài 11: Giải phương trình: sin xcos2 x  cos x(tan x  1)  2sin x  Bài 12: Giải phương trình: cos3 x  4sin3 x  3cos x sin x  sin x  Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 3) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 3) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài Các dạng tập kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 3) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài 1: (Đại học khối D – 2006): Giải phương trình: cos3x  cos2x  cos x 1  Giải: PT  cos3 x  3cos x  cos x   cos x    cos3 x  cos x  cos x    cos x(2 cos x  1)  2(2 cos x  1)   (2 cos x  1)(cos x  1)  2   cos x   x    k 2   ; k Z 2    x  k cos x  Bài (Đại học khối D – 2002): Giải phương trình: cos3x  4cos 2x  3cos x   , với x0;14  Giải: PT  cos3 x  3cos x  4(2 cos x  1)  3cos x    cos3 x  8cos x   cos x(cos x  2)   cos x   x   Do x   0;14    k ; k  Z  28    k  14    k   3,8 2 2  k  0;1; 2;3 3 5 7 ; x ; x 2 2 5x 3x Bài 3: Giải phương trình: 4cos cos  2(8sin x  1) cos x  2 Giải: PT  cos x  8sin x   Vậy: x   ; x  4sin 2 x  8sin x    sin x  (loai )  sin x   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác     x   k 2 x   k    12  sin x  sin    ; kZ  5 2 x    k 2 x  k   12 Bài 4: Giải phương trình: 2cos x  8cos x   cos x Giải: Điều kiện: cos x  PT  2(2 cos x  1).cos x  8cos x  cos x   cos3 x  8cos x  5cos x    x  k 2 cos x     ; k Z  x     k 2 cos x    Bài 5: Giải phương trình: sin x  sin 3x  3cos2 x  Giải:  cos x  cos6 x PT    3cos 2 x  2   cos2 x  (4 cos3 x  3cos x)  cos 2 x   cos3 x  3cos 2 x  cos2 x      cos2 x    x    k   ; k Z  1   x    k cos2 x   cos  2 Bài 6: Giải phương trình: 48   (1  cot x.cot x)  cos x sin x Giải: sin x  Điều kiện:  cos x  cos x  0 cos x sin x sin x.sin x 1  48     48sin xcos x  (sin x  cos x)  cos x sin x    3sin x  1  sin 2 x      6sin x  sin x   PT  48     sin x   sin sin x   (loai )      sin 2 x  sin x    sin      2  4  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác    x   k   x  3  k   ; k Z   x    k   5 x   k  Bài 7: Giải phương trình: (sin x  3).sin x x  (sin x  3)sin   2 Giải: x x (1  sin )   2 x x  (sin x  3).sin cos   2  (sin x  3) sin x    sin x  3sin x   PT  (sin x  3).sin sin x   sin x  2 (loai) Vậy x    k 2 ; k  Z Bài 8: Giải phương trình: sin x  cos x 1  cot x  5sin x 8sin x Giải: Điều kiện: sin 2x  1  sin 2 x cos2 x PT     cos 2 x  5cos x    cos2 x   cos2 x     x    k ; k  Z Bài 9: Giải phương trình: cos2 x  cos x(2 tan x  1)  cos2 x  Giải: Điều kiện: cos x  sin x  cos x  cos x  (2 cos x  1).cos x  2(1  cos2 x)  cos x  cos x PT  cos2 x   cos3 x  cos x  3cos x   Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác cos x   x  k 2   ; k Z cos x  cos  x    k 2 Bài 10: Giải phương trình: 3cos x  8cos6 x  2cos x   Giải: PT  3(1  cos4 x)  2cos x(4cos x  1)   6cos 2 x  2cos x(2cos x  1)(2cos x 1)   cos 2 x  cos x(2 cos x  1).cos x   cos x 3cos x  cos x(2 cos x  1)    cos2 x  cos2 x     cos x   cos x  5cos x    cos x       x  k cos2 x     ; k Z  sin x   x  k Bài 11: Giải phương trình: sin xcos2 x  cos x(tan x  1)  2sin x  Giải: PT  sin x(cos2 x  2sin x)  sin x  cos x   sin x(cos2 x   cos2 x)  cos2 x   sin x  cos2 x   sin x   2sin x     x    k 2  sin x  1      x   k 2 ; k  Z   sin x   sin    x  5  k 2  Bài 12: Giải phương trình : cos3 x  4sin3 x  3cos x sin2 x  sin x  Giải: • Khi x    k cosx = sinx = 1thì phương trình vô nghiệm • Do cosx = vô nghiệm nên ta chia vế PT cho cos3 x  ta có: PT   tan x  tan x  tan x(1  tan x)   tan x  tan x  tan x      tan x  1 x    k   (tan x  1)(3 tan x  1)     (k  Z )  tan x     x    k   Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - [...]... Hocmai.vn - Trang | 4 - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI 3 CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 2) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 3 Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 2) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)... Hocmai.vn - Trang | 1 - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI 3 CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 2) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 3 Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 2) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)... - Trang | 1 - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI 3 CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 2) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 3 Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 2) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)... Hocmai.vn - Trang | 4 - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI 4 CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 3) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 4 Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 3) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)... Hocmai.vn - Trang | 1 - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI 4 CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 3) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 4 Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 3) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)... - Trang | 1 - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác BÀI 4 CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 3) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 4 Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 3) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)... x cos x     6 cos x  0 cos x  cos x  Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác  3cos 2 x  sin 2 x  2sin 2 x cos x  6 cos3 x  0  (3cos 2 x  sin 2 x)(2 cos x  1)  0 1   2 cos x  1  0  cos x   cos 2 3 x  3  k 2 ; k  Z Bài 4: Giải phương trình: 3...   cos t  1  cos  x     4 4 2   Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác  3    x  4   2k  1 2  x  4  k ; k       k 2  3  x     k 2  x    ;k     k 2 4 4   2  Bài 6: Giải phương trình: s inx  sin 2 x  sin 3 x  sin... 0  (1  sinx)(1  cos x)(sinx  cos x)  0 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác   x   k 2  s inx  1 2   cos x  1   x    k 2 ; k  Z   t anx  1   x    k 4  Kết hợp điều kiện ta có: x    4  k ; x    k 2 , k  Z Bài 9: Giải phương...Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chuyên đề 08 Lượng giác PT  3 cos x  sin x  8cos 2 x.sin x  8(1  sin 2 x) sin x  8sin x  8sin 3 x PT  3 cos x  sin x  6sin x  8sin 3 x  2(3sin x  4sin 3 x)  2sin 3x  3 1 cos x  sin x  sin 3 x 2