TR I H C QU C GIA HÀ N I NG I H C KHOA H C T NHIÊN ng cC ng V M T P NG A NH I MB T NG O I N DIRICHLET I V I H! PH "NG #$NH ELLIPTIC N%A TUY&N 'NH LU(N V)N TH C S* KHOA H C Hà N i-2011 TR I H C QU C GIA HÀ N I NG I H C KHOA H C T NHIÊN ng cC ng V M T P NG A NH I MB T NG O I N DIRICHLET IV I H! PH "NG #$NH ELLIPTIC N%A TUY&N 'NH Chuyên ngành: +n ,-.i /0ch Mã s1: 60.46.01 LU(N V)N TH C S* KHOA H C Ng i h 2ng d3n khoa h4c: PGS TS NG QU C Hà N i-2011 N C C 56c 76c L i m8 9:u L i ;.m u CH "NG KI&N TH?C CHU@N ng 1.1 M ts 1.2 H i y u 1.3 Không gian Sobolev 1.4 1.5 nh nt a a chung v ph i nh o m riêng n Dirichlet 10 nh ! Lax-Milgram 14 CH "NG M T S NH V I MB T NG 18 2.1 " c nh ! i#m b$t ng a nh % co 18 2.2 " c nh ! i#m b$t ng a nh % không &'n 26 2.3 " c nh ! i#m b$t ng a nh % liên 33 CH "NG I N DIRICHLET c I V I H! PH "NG CHAN 40 (t toán 40 ELLIPTIC N%A TUY&N 'NH TRÊN MI N KHÔNG 3.1 #$NH 3.2 S) t*n i a nghi+m y u a i n Dirichlet 43 50 L i kBt 52 i li>u tham CD.o L I ME FU Ph ng nh vi phân o m riêng b môn khoa ,c -.p nghiên c/u r$t nhi u i n /ng & ng c nh : ng l)c ,c, i+n ,c, quang ,c, ! thuy t n h*i Ph ng nh vi phân o m riêng 1n m i quan h+ quan ,ng v3i ! thuy t % c su$t Hi+n ph ng nh vi phân ng4u nhiên công n ,c y u nghiên c/u m t v$n quan ,ng nh v)c kinh t i 5nh nh - c6 phi u M t s nh v)c n ,c hi+n i c nh : 7! thuy t bi#u di8n 2m, 7! thuy t tr 9ng l :ng t , 7! thuy t c không gian thu;n nh$t < V=t ! n ph ng nh vi phân o m riêng 2ng vai quan ,ng M t nh v)c quan ,ng nh$t ph ng di+n /ng & ng, 5nh n khoa ,c > m t nh?ng n i dung y u a -@i c ph ng nh vi phân o m riêng Tuy nhiên nhi u i n ph ng nh vi phân o m riêng > vi+c m nghi+m a r$t ph/c p m(c &A n -@n v m(t c$u c B2i chung không ph ng C p chung # -@i c ph ng nh vi phân o m riêng i u ng 9i ta quan tâm nghiên c/u c ph ng nh vi phân o m riêng 5nh t*n i < t*n i nh$t nghi+m a V3i i "VG mHt +p I6ng ;Ja 9Knh 7L 9iMm bNt 9Hng O o P i / +n Dirichlet 91i v2i h> ph u th ng IXng luYn vZn N : không gian Euclide th)c N chi u ∂Ω : Biên a Ω , Ω = Ω ∪ ∂Ω : bao 2ng a Ω y t*n i S! hi+u ∂u ( x ) u ( x + hei ) − u ( x ) n u gi3i = lim h → ∂xi h ei = ( 0, 0, , 0, i, 0, , ) : Vect n u xi , n < th/ i α = (α1 , α , , α N ) : a T s α i ∈ + α = α1 + α + + α N : b=c a a T s ∂ , i = −1, D = ( D1 , D2 , ∂x j D j = −i αj αj D j = ( −1) N ∆u = i =1 α ∂ j ∂α α α , D = ( −1) α ∂x1α1 ∂x2α ∂xαNN ∂x j j u xi xi = tr ( D 2u ) : C ( Ω ) : không gian ( ) C Ω : không gian n t Laplace m u :Ω → c m u ∈ C ( Ω ) , u liên c C ∞ ( Ω ) : không gian c ( ) ∞ k =0 a u c C k ( Ω ) : không gian C∞ Ω = , DN ) : Vect gradient liên m u :Ω → m u :Ω → c u @ vi n c$p k @ vô n ( ) ( ) c C k Ω v3i C k Ω : không gian c m u ∈ C k ( Ω ) , Dα u liên c u v3i >,i α , α ≤ k C0k ( Ω ) : không gian c m u ∈ C k ( Ω ) , u - compact Lp ( Ω ) : không gian c m u : Ω → , u o :c Lebesgue u Lp ( Ω ) µ} = 0} , f p Lloc ( Ω ) không gian c m u : Ω → , u ∈ Lp (U ) v3i >,i U compact Ω C k ,α ( Ω ) , C k ,α ( Ω ) , k = 1, 2, ; ≤ α ≤ : c không gian Hölder o 10 W pk ( Ω ) , H k ( Ω ) , H k ( Ω ) , k = 0,1, ; ≤ p ≤ ∞ : t=p c không gian Sobolev CH NG KI N TH C CHU N 1.1 MHt s1 9Knh [,D\a chung vG ph 'n (1.1) nh (1.1) Knh [,D\a 1.2 Ph & ng ng :c ,i gi i nh m riêng (1.1) o cn u m :c t$t @ :c , i c α ≤k f ( x) Ph ng nh :c , i Ph ng nh o c m ' cho n nh thu n nh t n u f ≡ m riêng (1.1) α =k :c , i n a n nh n u 2 & ng aα ( x ) Dα u + a0 ( x, u, Du, , D k −1u ) = Qa n nh n u 2 aα ( x ) Dα u = f ( x ) Trong aα ( x ) < ms u Ph ng nh o α =k Ph ng 5nh < o m riêng (1.1) aα ( x, u, Du, :c , i t a n nh n u 2 & ng , D k −1u ) Dα u + a0 ( x, u , Du , nh o m riêng (1.1) :c ,i o m riêng b=c cao nh$t , D k −1u ) = phi n n u C thu c không n 1.2 HHi /6 yBu Cho X không gian Banach Knh [,D\a 1.3 U'y {un } ch/a X :c , i h i y u n u∈X n u u * , un → u * , u v3i >,i u * ∈ X * NhYn U^t 1.1 N u &'y {un } h i nu &'y {un } h i y u M t &'y h i y u &'y ch(n u ≤ lim inf un N u {un } h i y u n u n u n →∞ Knh 7L 1.1 Cho X Khi t n im t không gian Banach { } ( ( X *) * = X ) n { }h i y unk ⊂ {un } u ∈ X cho unk y {un } y u ch n n u NhYn U^t 1.2 M t &'y ch(n không gian Hilbert ch/a m t &'y h i y u 1 VWt X = Lp ( Ω ) X * = Lq ( Ω ) , + = , < q ≤ ∞ M t phi m m n p q 5nh ch(n f Lp ( Ω ) th# :c bi#u di8n d 3i & ng fgdx , g ∈ Lq ( Ω ) f Ω TN f n h i y u n f thu c Lp ( Ω ) gf n dx → fgdx , n → ∞ v3i >,i g ∈ Lq ( Ω ) (1.2) Ω X Lp ( Ω ) a : không gian Ω a Lq ( Ω ) , Lp ( Ω ) i ng4u C @n % n u ch(n L ( Ω ) v3i < p < ∞ th# 5ch < q < ∞ V=y tN mPi &'y m t &'y h i y u Qa >'n (1.2) KhYng nh y r$t quan ,ng v 5nh compact p Knh 7L 1.2 !" s y { fn} y #$c m Lp ( Ω ) cho fn − f Khi t n Lp ( Ω ) →0 { } y f nk ⊂ { f n } cho: im t f nk → f h.k.n Ω h.k.n Ω v%i h ∈ Lp ( Ω ) f nk ( x ) ≤ h ( x ) v%i &'i k 1.3 Không gian Sobolev Knh [,D\a 1.4 (Không gian Sobolev) Không gian Sobolev W pk ( Ω ) = {u : Ω → : Dα u ∈ Lp ( Ω ) , ∀ α ≤ k } NhYn U^t 1.3 V3i p = , không gian H k ( Ω ) = W2k ( Ω ) , k = 0,1, H không gian Hilbert (Ω) ≡ L (Ω) Knh [,D\a 1.5 N u u ∈ W pk ( Ω ) chuGn au :c % c nh nh sau: p u W pk := (Ω) Dα u dx p , 1≤ p < ∞ α ≤k Ω ess sup Dα u , α ≤k Cho &'y {un } , u ∈ Wpk ( Ω ) Khi {un } lim un − u n →∞ p=∞ Ω :c , i W pk ( Ω ) h i n u W pk ( Ω ) n u =0 S5 hi+u un → u W pk ( Ω ) Knh 7L 1.3 V%i m(i k = 1, 2, không gian ≤ p ≤ ∞ không gian Sobolev W pk ( Ω ) Banach Không gian Sobolev W pk ( Ω ) không gian n n u # ) n u 1< p < ∞ H n n*a W2k ( Ω ) không gian Hilbert v%i ch vô h %ng 10 Cho qua gi3i n suy x* − Tx* = hay Tx* = x* V= y x * i#m b$t ng a T Knh ngh\a 2.4 Z-@ s t=p M ⊂ X v3i X m t không gian Banach T=p c i#m { x1 , x2 , , xn } ⊂ M :c ,i m t ε _l 3i cho M n u v3i >,i x ∈ M m :c { x − xi : i = 1, 2, xi cho xi − x < ε , hay ,i x ∈ M T=p M a M :c ,i compact t ng in u< , n} < ε T n u v3i >,i ε > t*n i m t ε _l 3i Knh ngh\a 2.5 Cho X, Y hai không gian nh chuGn < M ⊂ X , nh % f : M → Y :c , i n t compact M n u f liên c M < f ( M ∩ K ) t=p compact t ng i v3i >,i t=p K ch(n X H> cd 2.1.(H> cd ;Ja nguyên 7L Schauder) Cho K t p l i, ng, r(ng #4a không gian nh chuBn X, f : K → K :$n t compact Khi b t ng K ch n, $c f # i9m Ch cho ph ng c G V3i b$t 0\ nh dx = f ( t, x ( t ) ) dt nghi+m @ng ( t0 − δ , t0 + δ ) Qa >'n i u ki+n x ( t0 ) = x0 E i n t ng ng v3i ph ng nh 5ch phân F ( x )( t ) := x0 + t t0 f ( s, x ( s ) ) ds = x ( t ) không gian C [t0 − δ , t0 + δ ] " ,n δ > 0, r > cho 39 M = [t0 − δ , t0 + δ ] × B [ x0 , r ] ⊂ G vi+c l)a ,n th)c hi+n :c < G t=p mF M t=p compact liên c M, f liên c G, suy f ch(n M, suy f (t, x) (t n n +1 ,f m c *ng b=c, F ( K ) ch(n ≤ c v3i >,i ( t , x ) ∈ M { K = y ∈ C [t0 − δ , t0 + δ ] : y − x0 C [t −δ , t + δ ] ≤r } V3i >,i t , s ∈ [t0 − δ , t0 + δ ] , t < s , v3i >,i x ∈ K ta F ( x )( t ) − F ( x )( s ) ≤ n u s−t < ε c f ( u, x ( u ) ) s t = δ , v3i >,i x ∈ K Suy F ( x ) n du ≤ c s − t < ε liên u K F ( x ) ≤ x0 + Theo t t0 nh ! ^ _` - Ascoli suy F ( K ) F ( x ) − x0 f ( s, x ( s ) ) ds compact t C [t0 −δ ,t0 +δ ] ng i V3i >,i x ∈ K ta 2: ≤ cδ < r n uδ Q Khi F ( K ) ⊂ K X f liên c u M, f liên c t=p M t=p compact, suy F n t liên c K, suy F n t compact Theo h+ HI@ nguyên ! Schauder (h+ HI@ 2.1) suy F i#m b$t ng K, < 5nh nghi+m a ph ng nh vi phân v3i i u ki+n ban ;u 40 CH NG I N DIRICHLET I V I H PH NG TRÌNH ELLIPTIC N A TUY N TÍNH TRÊN MI N KHÔNG B CH N Trong ch ng xen %Wt s) t*n t i c a nghi+m y u c a toán Dirichlet i v3i m t h+ ph ng trình Elliptic n a n tính mi n không b ch(n không gian n Các ch/ng minh d)a nh lý i#m b$t ng không gian Banach 3.1 Trong ch (3.1) Vt P i / +n ng xét toán Dirichlet sau: −∆u + q ( x ) u = α u + β v + f1 ( u , v ) Ω −∆v + q ( x ) v = δ u + γ v + f ( u , v ) u (3.2) ∂Ω = 0, v ∂Ω =0 u ( x ) → 0, v ( x ) → x → +∞ , α , β , δ , γ s th)c ã cho, nh Ω , f1 ( u , v ) , f ( u , v ) hàm không Ω mi n không b ch(n v3i biên ∂Ω tr n β > 0, δ > ; q ( x ) m t hàm xác n n tính v3i u , v cho: (3.3) q ( x) ∈C0 ( n ) ∃q > 0, q ( x ) ≥ q0 , ∀x ∈ Ω q ( x ) → +∞ x → +∞ f i ( u , v ) liên t c Lipschitz (3.4) n v3i hMng s ki ( i = 1, ) f i ( u , v ) − f i ( u , v ) ≤ ki ( u − u + v − v ) , ∀ ( u , v ) , ( u , v ) ∈ 41 M c ích c a ch ng y nghiên c/u s) t*n t i c a nghi+m y u c a toán (3.1) – (3.2) v3i gi@ thi t (3.3), (3.4) i u ki+n phù h:p c a tham s α , β , δ , γ Tr 3c h t l u ý rMng toán Dirichlet cho h+ (3.1) m t mi n b ch(n tr n ã :c nghiên c/u bFi Zuluaga [8] Xuyên su t ch y, (.,.) ng ký hi+u c a tích vô h 3ng chuGn thông th 9ng L2 ( Ω ) ; H ( Ω ) không gian Sobolev thông th 9ng Chúng ta nh ngh a C0∞ ( Ω ) chuGn (nh [7]) (3.5) u q ,Ω Du + qu dx = , ∀u ∈ C0∞ ( Ω ) Ω Và tích vô h 3ng aq ( u , v ) = ( u , v )q = (3.6) ( DuDv + qu.v ) dx Ω V3i ∂u ∂u ∂u , , , , ∀u , v ∈ C0∞ ( Ω ) ∂x1 ∂x2 ∂xn Du = Sau ó ta g,i không gian Vq0 ( Ω ) không gian C0∞ ( Ω ) q ,Ω H n th n?a, không gian Vq0 ( Ω ) có th# :c b6 sung theo chuGn :c xem nh m t không gian Sobolev - Slobodeski v3i tr,ng M>nh 9G 3.1 (Xem [7]) Vq0 ( Ω ) m t không gian Hilbert trù m t L2 ( Ω ) , phép nhúng c4a Vq0 ( Ω ) vào L2 ( Ω ) liên t c compact Vì ( D u + qu )dx ≥ aq ( u , u ) = Ω v3i γ > V=y aq ( u , v ) Theo b6 Ω Vq0 ( Ω ) Qa >'n i u ki+n b/c nh m t toán t nh$t H q L2 ( Ω ) cho ( H u, v ) = a ( u, v ) , V3i Du dx + q0 u dx ≥ γ u Ω Lax-Milgram ta xác q 2 q ∀u ∈ D ( H q ) , ∀v ∈ Vq0 ( Ω ) D ( H q ) = {u ∈ Vq0 ( Ω ) : H q u = ( −∆ + q ) u ∈ L2 ( Ω )} 42 Hi#n nhiên toán t H q : D ( H q ) ⊂ L2 ( Ω ) → L2 ( Ω ) Là m t toán t n tính v3i mi n giá tr R ( H q ) ⊂ L2 ( Ω ) Vì q ( x ) d ng, toán t H q d ng theo ngh a là; ( H u, u ) q t) liên h:p ( H u, v ) q L2 ( Ω ) L2 ( Ω ) ≥ 0, ∀u ∈ D ( H q ) = ( u , H q v ) L2 Toán t ngh ch @o c a H q−1 xác (Ω) , ∀u, v ∈ D ( H q ) nh R ( H q ) ∩ L2 ( Ω ) v3i mi n giá tr D ( H q ) , :c xem nh m t toán t vào L2 ( Ω ) Theo m+nh L2 ( Ω ) Do ó ph6 c a H q bao g*m m t dãy < λ1 < λ2 ≤ M,i hàm riêng ϕk ( x ) t t*n t i hMng s d ≤ λk ≤ ng /ng v3i λk 3.1 H q−1 toán t compact ∞ :c giá tr riêng {λk }k =1 m , λk → +∞ k → +∞ ( k = 1, 2, ) liên t c b ch(n Ω ng α , β cho ϕk ( x ) ≤ α e− β x v i x l3n H n n?a hàm riêng ϕ1 ( x ) > Ω (xem [7]) M>nh 9G 3.2 (Nguyên lý cfc 9]i, xem [7]) Gi s r5ng q ( x ) th7a mãn gi thi t (3.3), λ < λ1 , v%i m(i g ( x ) L2 ( Ω ) , t n t i nghi6m nh t u ( x ) c4a toán sau: H q u − λu = g ( x ) Ω u ∂Ω =0, u ( x ) → x → +∞ H n n*a, n u g ( x ) ≥ , g ( x ) ≡/ Ω u ( x ) > Ω Theo m+nh 3.2 suy rMng v3i λ < λ1 , toán t H q − λ kh@ ngh ch D ( H q − λ ) = D ( H q ) ⊂ Vq0 ( Ω ) ngh ch @o c a 43 (H − λ ) : L2 ( Ω ) → D ( H q ) ⊂ L2 ( Ω ) −1 q :c xem nh m t toán t vào L2 ( Ω ) Theo m+nh 3.1, ( H q − λ ) −1 toán t compact Nh=n xét thêm rMng: (H (3.7) − λ ) ϕk ( x ) = −1 q ϕ ( x), λk − λ k Knh ngh\a 3.1 M t c(p ( u , v ) ∈ Vq0 ( Ω ) × Vq0 ( Ω ) (3.1), (3.2) n u: k = 1, 2, :c g,i nghi+m y u c a toán aq ( u , ϕ ) = α ( u , ϕ ) + β ( v, ϕ ) + ( f1 ( u , v ) , ϕ ) (3.8) aq ( v, ϕ ) = δ ( u , ϕ ) + γ ( v, ϕ ) + ( f ( u , v ) , ϕ ) , ∀ϕ ∈ C0∞ ( Ω ) N u u , v ∈ C ( Ω ) nghi+m y u ( u , v ) nghi+m c6 i#n c a toán 3.2 Sf tgn /]i cJa nghi>m yBu cJa toán Dirichlet 3.2.1 Gi@ s rMng γ < ( q0 , λ1 ) V3i λ1 giá tr riêng th/ nh$t c a toán t H q Cho u0 c nh Vq0 ( Ω ) Chúng ta xét toán Dirichlet (3.9) (H v q ∂Ω − γ ) v = δ u0 + f ( u0 , v ) Ω = , v ( x ) → x → +∞ Tr 3c h t l u ý rMng, tN chP γ < ( q0 , λ1 ) < q ( x ) − γ > Ω suy H q − γ toán t d ng, t) liên h:p L2 ( Ω ) H n n?a, toán t kh@ ngh ch 44 (H q − γ ) (H − γ ) : L2 ( Ω ) → D ( H q ) ⊂ L2 ( Ω ) −1 q liên t c compact L2 ( Ω ) Do ó ph6 c a H q − γ bao g*m m t dãy giá tr riêng {λˆ } ∞ k k =1 m :c , v3i λˆk = λk − γ < λˆ1 < λˆ2 ≤ ≤ λˆk ≤ Bên c nh ó, ta có: (H −1 L (Ω) ≤ λ1 − γ nh Vq0 ( Ω ) , f ( u0 , v ) ∈ L2 ( Ω ) , toán V3i gi@ thi t (3.4), cho v c (H (3.10) −γ ) q w q − γ ) w = δ u0 + f ( u0 , v ) Ω ∂Ω =0, w ( x ) → x → +∞ Có m t nghi+m nh$t w = w ( u0 , v ) D ( H q ) xác w = ( Hq − γ ) Do ó, v3i mPi u0 c −1 nh bFi δ u0 + f ( u0 , v ) nh Vq0 ( Ω ) , t*n t i m t toán t A = A ( u0 ) ánh x Vq0 ( Ω ) vào D ( H q ) ⊂ Vq0 ( Ω ) cho: Av = A ( u0 ) v = w = ( H q − γ ) (3.11) M>nh 9G 3.3 V%i m'i v, v ∈ Vq0 ( Ω ) có %c l Av − Av ≤ (3.12) −1 δ u0 + f ( u0 , v ) ng sau k2 v−v λ1 − γ V%i chuBn L2 ( Ω ) Chnh 9G 3.5 V%i m'i u , u ∈ Vq0 ( Ω ) ta có %c l sau ng Tu − Tu ≤ h u − u (3.22) V%i h= Chú ý rMng T 3.4 ta có m+nh ( β + k1 )(δ + k2 ) + k1 ( λ1 − γ − k2 ) ( λ1 − α )( λ1 − γ − k2 ) :c coi nh m t toán t vào L2 ( Ω ) , m t ánh x co n u: h= ( β + k1 )(δ + k2 ) + k1 ( λ1 − γ − k2 ) < ( λ1 − α )( λ1 − γ − k2 ) Hi#n nhiên rMng b$t Yng th/c thQa mãn n u chT n u: (3.23) λ1 − α − k1 > ( β + k1 )(δ + k2 ) < ( λ1 − α − k1 )( λ1 − γ − k2 ) Knh lý 3.2 Gi s i0u ki6n (3.13) (3.23) th7a mãn t n t i m t nghi6m y u u Vq0 ( Ω ) c4a toán bi n phân sau: (H (3.24) u ∂Ω q − α ) u = β Bu + f1 ( u , Bu ) = 0, u ( x ) → x → +∞ Ch[...]... ε ) Theo nh lý 2.5 suy ra F có i#m b$t lim F n ( x ) = u v3i m,i x ∈ X n →∞ D8 dàng ch/ng minh :c i#m b$t ng là duy nh$t 25 ng duy nh$t u v3i NhYn xét 2.2 Chú ý rMng φ ( t ) = Lt v3i 0 ≤ L < 1 nh lý 2.1 là tr 9ng h:p riêng c a nh lý 2.6 n u ta ch,n Ang d ng: Ta sK áp d ng ph ng pháp i#m b$t ng trong vi+c chT ra s) t*n t i và duy nh$t nghi+m c a bài toán giá tr ban ;u Tìm nghi+m c a toán y '(t )... −1,1] g ( x0 ) = x0 − f ( x0 ) = 0 hay f ( x0 ) = x0 V=y [ -1,1] có tính ch$t i#m b$t sao cho ng Knh lý 2.15 Hình c u óng n v B = B [ 0,1] trong n có tính ch t i9m b t ng Vi+c ch/ng minh nh lý này c;n s d ng nhi u k t qu@ và khá dài nên không :c trình bày trong lu=n vDn này Ch/ng minh chi ti t nh lý có th# tham kh@o trong [6] Knh lý 2.16 M'i t p con l i, óng, b ch n và khác r(ng trong i9m b t ng Ch'n i0u ki6n b 0 sao cho 2 a ( u , u ) ≥ c u , v3i ∀u ∈ X Knh 7L 1.12 N u a (.,.) là d ng song tuy n tính liên t c 7a & n i0u ki6n bng c u t? V lên V’ Trong ó V là không... gian topo X d :c g,i là có tính ch t i9m b t m,i ánh x liên c f : X → X u có i#m b$t ng Knh lý 2.13 N u X có tính ch t i9m b t ch t i9m b t ng ng và X ng n u ng phôi v%i Y thì Y cCng có tính Ch