CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHAÂN A LÝ THUYẾT CẦN NẮM I - NGUYÊN HÀM - Tính chất nguyên hàm: 1) ( ∫ f(x)dx )’ = f(x) 2) ∫ af(x)dx = a ∫ f(x)dx (a ≠ 0) 3) ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx 4) ∫ f(t)dt = F(t) + C ⇒ ∫ f(u)du = F(u) + C - Bảng nguyên hàm thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp ∫ du = u + C ∫ dx = x + C x α +1 ∫ x dx = α + + C ∫ x dx = ln x + C α Hàm số hợp tương ứng (dưới u = u(x)) ( α ≠-1) (x ≠ 0) x x e dx = e +C ∫ ax x ∫ a dx = ln a + C (0 < a ≠ 1) ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos x dx = tan x + C ∫ sin x dx = − cot x + C u α +1 ∫ u du = α + + C ∫ u du = ln u + C α ( α ≠ -1) (u ≠ 0) u u e du = e +C ∫ au ∫ a du = ln a + C u (0 < a ≠ 1) ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin udu = − cos u + C ∫ cos u du = tan u + C ∫ sin u du = − cot u + C Hệ quả: Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số sơ cấp ( ax + b )α + ∫ ( ax + b ) dx = a α + + C (α ≠ -1) 1 dx = ln ax + b + C ∫ ax + b a α ax +b e +C a ax + b e ∫ dx = ∫a mx + n a mx + n dx = +C m ln a ∫ cos( ax + b )dx = sin( ax + b ) + C a sin( ax + b ) dx = − cos( ax + b ) + C ∫ a 1 dx = tan(ax + b) + C ∫ cos2 (ax + b) a 1 dx = − cot(ax + b) + C ∫ sin (ax + b) a II – TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH – Định nghĩa: b b ∫ f(x)dx = F(x) a = F(b) – F(a) a (Trong F(x) nguyên hàm f(x)) – Tính chất tích phân xác định a (1) ∫ f ( x)dx = a (2) b a a b b b a a ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx (3) ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx b b b a a a (4) ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx (5) c b c a a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx b (6) f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ a b b a a (7) f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a; b] ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x) b (8) m ≤ f(x) ≤ M , ∀x ∈ [a; b] ⇒ m(b − a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) a B CÁC DẠNG TOÁN Chủ điểm PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Vấn đề 1: Dùng phép biến đổi sơ cấp công thức vi phân Bài 1: Tính tích phân bất định sau: x + 2x + x + 2x + 1) ∫ dx x2 ln 2010 x 3) ∫ dx x 3x + dx 5) ∫ x +x   2) ∫  x + ÷ dx x  cos x dx 4) ∫ + sin x dx 6) ∫ (x + 3x + 2) x − 3x − 1   7) ∫  x +  dx  x 8) ∫  x +  dx 9) ∫    x 10) ∫ ( x + 23 x ) dx 11) ∫ ( x + 1)( x - x4 dx x + ) dx  x +  dx 13) ∫    x  x +  dx 12) ∫    x x + 4x dx 14) ∫ x ( ) x4 + x−4 + 15) ∫ ax + b dx 16) ∫ 17) ∫ x ( x + a )( x + b ) dx x x 18) ∫ e dx ( )2 dx x -x 20) ∫ e + e + 2dx 19) ∫ x − e x dx 21) ∫ e + e − 2dx x x3 22) ∫ -x x-1 e 2-5x + ex dx 23) ∫ x + dx 24) ∫ - cos2xdx 4sin x dx 25) ∫ + cosx 26) ∫e 2009 x dx + 2010 Bài 2: Tìm nguyên hàm hàm số sau: f(x) = x – 3x + x x 3x ĐS F(x) = − + ln x + C 2x + f(x) = x2 2x3 ĐS F(x) = − +C x f(x) = ĐS F(x) = lnx + x −1 x2 ( x − 1) f(x) = x2 f(x) = f(x) = x +3 x +4 x −3 x x ( x − 1) f(x) = x x −1 f(x) = x f(x) = sin x +C x x3 ĐS F(x) = − 2x + + C x 3 ĐS F(x) = x + 3x + x + C ĐS F(x) = x − 33 x + C ĐS F(x) = x − x + ln x + C ĐS F(x) = 3 x − x +C ĐS F(x) = x – sinx + C 10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C 11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = 12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C 1 x + sin x + C 13 f(x) = sin x cos x ĐS F(x) = tanx - cotx + C 14 f(x) = cos x sin x cos x ĐS F(x) = - cotx – tanx + C 15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = − cos x + C 16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = − cos x − cos x + C 17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = e−x ) 18 f(x) = e (2 + cos x ĐS F(x) = 2ex + tanx + C x x 19 f(x) = 2a + x 20 f(x) = e3x+1 2 f’(x) = – x f(2) = 7/3 f’(x) = x − x f(4) = + f(1) = x2 2x e − ex + C 2a x x ĐS F(x) = + +C ln a ln ĐS F(x) = Bài 3: Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + f(1) = f’(x) = x - x +1 e +C ĐS f(x) = x2 + x + x3 ĐS f(x) = x − +1 x x x 40 ĐS f(x) = − − 3 x + + 2x − ĐS f(x) = x f’(x) = 4x3 – 3x2 + f(-1) = ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + b x2 + + f’(x) = ax + , f ' (1) = 0, f (1) = 4, f (− 1) = ĐS f(x) = x x Bài 4: Tính tích phân bất định sau:  e− x  x ∫ e 1 + ÷dx ∫ x.3x +1dx x   dx e x dx ∫ ∫ 2x x.ln x e −1 Bài 5: Tính tích phân sau: x x x  ∫  sin − cos ÷ dx ∫ sin dx 2 2  cos 2x dx ∫ ∫ cot x dx sin x + cos x cot x dx ∫ ∫ cos3 x dx + sin x dx 10 ∫ tan x dx 11 ∫ sin x cos5 x π 16 ∫ π dx π cos x.cos(x + ) 4 13 ( ) ĐS (TPXĐ): 17 ∫ π 6 ∫ tan x dx ∫ sin x dx 12 ∫ dx π sin x.sin(x + ) 14 ( ) ln(ex) dx + x ln x sin x − sin x cotx dx 15 ∫ sin x π 14 ∫ dx cos x cos 2x dx cos x.sin x π π dx 13 I = ∫ π sin x ∫ 15 ( − (ds:2.ln ) 83 Bài 6: Tính tích phân bất định sau:   ∫  x − ÷ dx x  x + 2x + x + 2 ∫ dx x2 + x + ∫ dx x + x5 dx ∫ x −x x3 ∫ dx x −2 ∫ (3x + 1) dx (x + 1) 2x dx ∫ x − − x +1 ∫ 10 ∫ (2x + 3) 2x + dx 11 ∫ dx − 2x 12 ∫ 3x + dx 2x − 2x − 7x + 13 ∫ dx x−2 14 ∫ 4x − dx 2x − 7x + 15 ∫ x−2 dx x − 3x + dx 16 ∫ x(x n + a) m − ex 17 ∫ dx + ex 18 ∫ dx dx e 2x + x + x −1 dx ∫ (4x − 4x + 1)5 dx Vấn đề 2: Phương pháp đổi biến số A Phương pháp: Bài giảng lớp B Bài tập tự luyện: Bài 1: Tính tích phân sau: dx 2) ∫ (3 − x) 1) ∫ (5 x − 1) dx 4) ∫ 7) ∫ dx 2x −1 x + 1.xdx dx ∫ 13) ∫ sin 16) tan xdx ∫ cos2 x ∫ x (1 + e x )2 17) x x + 1) xdx ln x 11) ∫ dx x sin x dx 14) ∫ cos x x cos xdx dx ∫ (2 x x dx 8) ∫ x +5 10) 20) 5) 21) dx ∫ sin x e x dx ∫ e −3 x 18) 3) ∫ 6) ∫ (x 9) ∫ 12) − x dx + 5) x dx 3x + 2x ∫ x.e x +1 dx dx − ex dx ∫ x 1+ e ln 15) dx ∫ cos x e tan x 22) ∫ dx cos x 19) ∫ tan xdx 23) ∫ − x dx 24) dx ∫ 25) − x2 ∫x dx 26) ∫ +x2 − x dx 2 27) ∫ x dx 1− x2 dx dx 28) ∫ 29) ∫ cos x sin xdx 30) ∫ x x − 1.dx 31) ∫ x x + x +1 e +1 xdx 2 25 3 33 ) 2x x + 1dx 34) x − x dx 35) x x + 2dx 36 ) 32) ∫ x x + 1.dx ∫ ∫ ∫ ∫ x +1 37) xdx ∫ 38) x2 + 41) ∫ sin x cos xdx 45) ∫ e sin(e )dx x 49) x e x dx ∫ ex + ∫ ∫ 42) 39) x5 + cosxdx ∫3 46) ∫ 50) 53) ∫ tan 3xdx 57) x dx 43) sin x (2x-3)dx e 2x dx ∫ e2x + a 2x − 61) ∫ ( 3x + 1) dx 62) ∫ 65) ∫ x x + 1dx 66) ∫ e x + dx 69) ∫ x3 x − 2x + ( dx 70) ∫ x − 4x + (x dx )3 x7 +1 ) dx dx 73) ∫ cos xdx 74) ∫ 77) ∫ tan xdx 78) ∫ 2x + x 2dx sin xcos x ( ln x dx x 44) xdx )3 55) ∫ sin2x + cos2 x dx dx + x2 ∫ cos2 x dx + tan x x dx ∫ x3 +1 56) dx xdx 71) ∫ ( x + 1) 75) ∫ x 2x - 1dx dx ∫ x ln x 60) ∫ e − x x 2dx 64) ∫ 63) ∫ xlnx x 3x2 − 5x + 52) ∫ cot xdx 59) ∫ e x xdx 67) ∫ (6x-5)dx 48) + x2 51) ∫ tan xdx 58) ∫ esin x cos xdx x ∫ 40) ∫ x4 + 47) ∫ x − 3x + 54) ∫ cot( 2x + 1)dx ( lnx ) m dx ∫3 x3dx 68) ∫ 2x x + x −1 x+4 x − 2x + dx dx 72) ∫ x x + 1dx 76) ∫ x dx (x − 4) x 79) ∫ sin x cos xdx 80) ∫ x e dx 81) ∫ e tgx cos x 82) ∫ dx 1− x ln 1+ x dx 1− x dx 33 83) ∫ x + x dx 84) ∫ x ln x ln( ln x ) Bài 2: Tính tích phân sau: 1) I = ∫ (2x − 3) x − 3x + dx dx 2) J = ∫ x ln x 3) T = ∫ dx + x2 1 x2 −1 x3 − x x4 dx 7) ∫ dx 5) L = ∫ dx 6) ∫ dx 4) K = ∫ X + 8X + x +1 x + 4x + 4x + −1 HD ĐS: 3) Đặt x = tant ⇒ T = ln( + 1) 4) Giả sử x ≠ 0, chia tử mẫu cho x2 1 x − 2x + ln | | +C Sau đặt u = x + ⇒ ĐS: K = x 2 x + 2x + 5) Giả sử x ≠ 0, chia tử mẫu cho x3, Sau đặt u = x + x x + 2x + +C ⇒ ĐS: K = ln x + 2x + 1 8x ln +C Câu 6; 7: Đặt t = -x ; câu 7: ĐS: 1/5 ; câu 6: ĐS: − ln + 8x Vấn đề 3: Phương pháp tích phân phần A Phương pháp: Bài giảng lớp B Bài tập tự luyện: Tính tích phân sau: Bài 1: 1) ∫ (x + 2x).e dx x e 2) ∫ (1 + x).ln x dx e 3) ∫ ln x dx HD-ĐS: 1) e e2 2) + 4 3) Đặt u = ln2x, dv = dx: ĐS: e-2 Bài 2: e 1) ∫ (1 + x) e dx (Đặt u = (1 + x) , dv = e dx) 2x 2 2) ∫ x.ln x dx 2x e ln x 3) 1∫ (x + 1) dx (Đặt u = lnx , dv = dx) (1 + x) 2 ln x dx x 4) ∫ e 5) ∫ x + dx (Đặt u = x + , dv = dx) ∗ π π ) ∫ dx cos x 6) ∫ x.cos x dx π π 7) ∫ x.sin x.cos x dx (Đặt u = x, dv = sin x.cos x dx ) 8) ∫ e x cos x dx 0 eπ 9) ∫ cos(lnx) dx (Đặt u = cos(lnx), dv = dx) π 11) ∫ + sin x e x dx + cos x ĐS: e π 2 10) ∫ x ln(1+ ) dx x (x + 1) x e dx 12) ∫ (x + 1) ĐS: HD & ĐS: 5e − 1) ∗ e2 − 2) 3) 4) (1 − ln 2) dx , dv = , ĐS: + ln( + 1) ) Đặt u = cos x cos x 2 9) - (e π + 1) π2 5) − 16 π 7) π 8) (2e − 3) 10 10) Đặt u = ln(1+ ) , dv = x2dx, ĐS: 3ln3- ln2+ x 10 π I = ∫ (cos3 − 1)cos xdx ĐS : I = π − 15 Bài 22 (ĐH B2009) : Tính tích phân : Error: Reference source not found 3 + ln x 27 I=∫ dx ĐS : I = (3 + ln ) 16 ( x + 1) Bài 23 (ĐH D2009) : Tính tích phân : Error: Reference source not found dx I=∫ x ĐS : e −1 Bài 24 (ĐH A2010) : Tính tích phân : Error: Reference source not found x + e x + x 2e x I =∫ dx ĐS : 2e x + Bài 25 (ĐH B2010) : Tính tích phân : Error: Reference source not found e ln x I =∫ dx ĐS : x (ln x + 2) Bài 26 (ĐH D2010) : Tính tích phân : Error: Reference source not found e I = ∫ (2 x − ) ln xdx ĐS : x Bài 27 (ĐH A2011) : Tính tích phân : Error: Reference source not found I = ln(e + e + 1) − 1 + 2e I = + ln 3 I = − +l n I= e2 −1 π  π π  x sin x + ( x + 1) cos x I = + l n + ĐS :  ÷  I=∫ dx  4 ÷ ÷ x sin x + cos x   Bài 28 (ĐH B2011) : Tính tích phân : Error: Reference source not found π + x sin x ĐS : dx c os x Bài 29 (ĐH D2011) : Tính tích phân : Error: Reference source not found 4x −1 I =∫ dx ĐS : x + + Bài 30 (ĐH A2012) : Tính tích phân : Error: Reference source not found + ln( x + 1) I =∫ dx ĐS : x Bài 31 (ĐH B2012) : Tính tích phân : Error: Reference source not found x3 I =∫ dx ĐS : x + 3x + Bài 32 (ĐH D2012) : Tính tích phân : Error: Reference source not found I =∫ I= π/ ∫ x(1 + sin 2x)dx I = 3+ 2π +l n 2− 3 ( I= 34 3 + 10l n  ÷ 5 I= 2 + l n − ln 3 ) I = l n − ln 2 ĐS : I = π2 + 32 Bài 33 (ĐH A2013) : Tính tích phân : Error: Reference source not found 23 x2 −1 ln x dx ĐS : I = ln − x 2 Bài 34 (ĐH B2013) : Tính tích phân : Error: Reference source not found I =∫ I = ∫ x − x dx ĐS : I = 2 −1 Bài 35 (ĐH D2013) : Tính tích phân : Error: Reference source not found ( x + 1) I =∫ dx ĐS : I = + ln x + Bài 36 (ĐH A, A12014) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x − x + đường thẳng y = 2x + ĐS : I = 2 x + 3x + dx Bài 37 (ĐH B2014) : Tính tích phân ∫ ĐS: + ln3 x2 + x Bài 38 (ĐH D2014) : Tính tích phân I = π ∫ (x + 1)sin 2xdx ĐS : I = MỘT SỐ ĐỀ CĐ, ĐH KHÁC Bài Tham khảo 2005 x+2 I=∫3 dx x + Bài Tham khảo 2005 KQ: π 141 10 KQ: ln − I = ∫ sin xtgxdx Bài Tham khảo 2005 I= π ∫ ( tgx + e sin x ) cos x dx KQ: ln + e − Bài Tham khảo 2005 e I = ∫ x ln xdx KQ: e + 9 KQ: −8 Bài CĐ Khối A, B – 2005 I = ∫ x x + 3dx Bài CĐ Xây Dựng Số – 2005 24 I= ∫3 x−3 x +1 + x + Bài CĐ GTVT – 2005 dx KQ: ln − −1 I = ∫ x − x dx KQ: 105 Bài CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005 π KQ: 3.e I = ∫ e 3x sin 5xdx 3π +5 34 Bài CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005 I= ∫ x + 1.x dx KQ: 848 105 Bài 10 CĐ Truyền Hình Khối A – 2005 π − sin x I=∫ dx + sin 2x KQ: ln 2 Bài 11 CĐSP Tp.HCM – 2005 dx 3π I=∫ KQ: 18 −1 x + 2x + Bài 12 CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005 e ln x I = ∫ dx KQ: − e x Bài 13 CĐSP Vĩnh Long – 2005 I=∫3 x +1 KQ: dx 3x + Bài 14 CĐ Bến Tre – 2005 I= π cos 3x 46 15 KQ: − 3ln ∫ sin x + dx Bài 15 CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 π I=∫ sin xdx , sin x + cos x.cos e I = ∫ x ln xdx x sin xdx π KQ: I = ln , J = − sin x cos x J =∫ x Bài 16 CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005 π KQ: e2 + Bài 17 CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005 I= π2 ∫ x sin x dx KQ: π2 −4 25 Bài 18 CĐSP Hà Nội – 2005 x + 2x + 4x + I=∫ dx x2 + Bài 19 CĐ Tài Chính – 2005 xdx I=∫ ( x + 1) Bài 20 CĐSP Vĩnh Phúc – 2005 e dx I= ∫ x − ln x Bài 21 CĐSP Hà Nội – 2005 KQ: + KQ: KQ: π π π π sin 2004 x KQ: dx ∫0 sin 2004 x + cos 2004 x Bài 22 CĐSP KonTum – 2005 I= π sin x I=∫ dx + cos x Bài 23 Tham khảo 2006 dx I=∫ 4x + 2x + + Bài 24 Tham khảo 2006 π I = ∫ ( x + 1) sin 2x dx KQ: KQ: ln − 12 KQ: π +1 KQ: − ln 4 Bài 25 Tham khảo 2006 I = ∫ ( x − ) ln x dx Bài 26 Tham khảo 2006 10 dx I= ∫ KQ: ln + x − x −1 Bài 27 Tham khảo 2006 e 10 11 − ln x 2− I= ∫ dx KQ: 3 x + ln x Bài 28 CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006 1 I = ∫ x ln + x dx KQ: ln − (Đổi biến t = + x , phần) Bài 29 CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006 ln ( + x ) I=∫ dx KQ: 3ln − ln x Bài 30 CĐ Nông Lâm – 2006 ( ) 26 I = ∫ x x + 1dx KQ: 2 −1 Bài 31 ĐH Hải Phòng – 2006 x I=∫ dx + x Bài 32 CĐ Y Tế – 2006 KQ: ln 2 π I=∫ π sin x − cos x dx + sin 2x KQ: ln Bài 33 CĐ Tài Chính Kế Toán – 2006 I = ∫ x ln ( x + ) dx KQ: ( 14 ln14 − 5ln − ) Bài 34 CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 π I=∫ cos 2x ( sin x − cos x + 3) dx KQ: 32 Bài 35 Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006 π I = ∫ ( x − 1) cos x dx KQ: π −1 Bài 36 CĐ KTKT Đông Du – 2006 π cos 2x KQ: ln dx + 2sin 2x Bài 37 CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 2006 ln2 e2x I= ∫ dx 3− KQ: ex + Bài 38 CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 I=∫ π 4sin3 x KQ: dx + cos x Bài 39 CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006 I=∫ π π x KQ: + ln dx cos2 x Bài 40 CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006 x−3 I= ∫ dx KQ: ln − x + + x + −1 Bài 41 CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006 468 I = ∫ x − x dx KQ: − I=∫ 27 Bài 42 CĐ Bến Tre – 2006 e  x3 +  I = ∫ ÷ln x dx x  1 KQ: 2e3 11 + 18 KQ: 3−2 Bài 43 I = ∫ x + x dx Bài 44 I = π ∫ ( 2x − 1) cos xdx ( ) ( ) 1 π π  KQ:  − + 1÷ 2  e2 − 14 Bài 46 CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006 2x Bài 45 I = ∫ x e + x − dx π sin 3x dx cos3x + I=∫ Bài 47 KQ: KQ: Không tồn CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006 ( ) I = ∫ x ln + x dx Bài 48 CĐ Xây dựng số – 2006 x x −1 I=∫ dx x−5 Bài 49 CĐ Xây dựng số – 2006 ( ) I = ∫ x + cos3 x sin x dx KQ: ln − KQ: 32 − 10 ln 3 KQ: KQ: ln Bài 50 CĐ GTVT III – 2006 π cos x dx − 2sin x I=∫ J = ∫ ( 2x + ) ln ( x + 1) dx KQ: 24 ln − 14 Bài 51 CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006 π ( ) I = ∫ − tg8 x dx KQ: 76 105 Bài 52 CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006 4x + I=∫ dx KQ: 18 ln − ln x − 3x + Bài 53 CĐSP Hưng Yên - Khối B– 2006 π sin 3x − sin3 3x dx + cos3x I=∫ 1 KQ: − + ln 28 Bài 54 CĐSP Hưng Yên - Khối D1 , M– 2006 e ln x + ln x I=∫ dx KQ: 3 − 2 x Bài 55 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006 ( π ( ) I = ∫ cos4 x − sin x dx KQ: ) Bài 56 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006 π cos2x dx + 2sin 2x I=∫ KQ: ln KQ: Bài 57 CĐSP Trung Ương – 2006 π I = ∫ sin x sin 2xdx Bài 58 CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006 I=∫ x ( x + 3) KQ : ln − dx Bài 59 CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006 π π2 KQ: −2 I = ∫ x cos xdx Bài 60 CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006 e dx x + ln x I=∫ ( KQ: ) π Bài 61 CĐKT Y Tế I – 2006 π I=∫ π sin x − cos x dx + sin 2x KQ: ln Bài 62 CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006 π I=∫ π ln ( tgx ) sin 2x dx KQ: ln 16 Bài 63 CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006 π ( ) I = ∫ sin 2x + sin x dx KQ: 15 Bài 64 CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006 e ln x dx x I=∫ KQ: − e Bài 65 CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006 29 I=∫ dx x + 2x + 2 KQ: π Bài 66 CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006 x+2 I=∫ KQ: dx 46 15 3x + Bài 67 CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006 π π − ln Bài 68 CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – 2006 I=∫ x dx cos2 x KQ: I = ∫ ( 4x − 1) ln x dx KQ: ln − Bài 69 CĐSP Hà Nội Khối D1 – 2006 π dx ln KQ:  π π sin x.sin  x + ÷ 3  Bài 70 Tham khảo khối A – 2007 I=∫ ∫1+ 2x + 2x + KQ: + ln2 dx Bài 71 Tham khảo khối B – 2007 KQ: π + ln2 − Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x y = − x KQ: π + Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = y = Bài 72 Tham khảo khối B – 2007 Bài 73 Tham khảo khối D – 2007 ∫ x ( x − 1) x −4 dx x ( − x) x +1 KQ: + ln2 − ln3 Bài 74 Tham khảo khối D – 2007 π ∫x cos x dx KQ: π2 −2 Bài 75 CĐSPTW – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình y = x2 − ; y = x ; x = −1; x = KQ: Bài 76 CĐ GTVT – 2007 π cos3 x KQ: ∫0 + sin x dx Bài 77 CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007 x+2 231 KQ: ∫0 x + dx 10 Bài 78 CĐ Khối A – 2007 30 2007 1 ∫1 x2 1  1+ x ÷   32008 − 22008 KQ: 2008 dx Bài 79 CĐ Cơ khí luyện kim – 2007 e ∫ ( x ln x ) dx KQ: 5e3 − 27 KQ: π π2 − + 384 32 ( ) Bài 80 CĐSP Vĩnh Phúc – 2007 π ∫ ( x sin x ) dx Bài 81 CĐ Khối B – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x , y = x + cos2 x , x = , x = π π KQ: Bài 82 CĐ Khối D – 2007 ∫ x + dx KQ: −2 Bài 83 CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007 dx π KQ: − − ∫1 x2 x2 + 12 Bài 84 CĐ Hàng hải – 2007 ( ) 14 Bài 85 CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007 −2 31 2x KQ: e − ∫−1 x e + x + dx 60 ∫x x2 − 1dx ( KQ: ) Bài 86 CĐ Công nghiệp Phúc Yên – 2007 ∫ xe dx x KQ: Bài 87 CĐ Khối A, B, D – 2008 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) : y = − x + x đường thẳng d : y = x KQ: (đvdt) 100 BÀI TẬP TÍCH PHÂN THAM KHẢO A = ∫ B = π /2 ∫ π − /4 dx x +1 + x −1 − cos x dx đs: ( 27 − − 1) đs: 2 − 31 x2 − 2x + dx 2− x C = ∫ D = đs : − + 3ln 2 π /2 ∫ cos π x.cos x dx đs : − /6 π /2 ∫ cos x(sin π E = x + cos x)dx − đs: /6 F = 2π ∫ 32 + sin x dx đs: 4sin xdx + cos x đs: G = π /2 ∫ 2 H = ∫ | x + x − | dx đs: I = ∫ (| x + | − | x − |) dx đs: −3 10 K = ∫ (| x − 1| − | x |) dx đs: 5/2 −1 11 Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx , g(x) = cosx + 2sinx a) Tìm số A , B cho g(x) = A.f(x) + B.f ’(x) π /4 π g ( x) − ln dx đs:A =2/5,B = –1/5 , b) Tính ∫ 10 f ( x) 12 Tìm số A,B để hàm số f(x) = Asinπx + B thỏa mãn đồng thời điều kiện f ’(1) = ∫ f ( x)dx = đs: A = –2/π , B =    2− ÷ dx x − x2  /2  1/2 ∫ 13 M = e 14 N = ∫x dx − ln x đs: π + −2 đs : π đs: π − x3 dx x8 + đs: π 16 x4 −1 dx 17 Q = ∫ x +9 đs: 20π − 18 đs: π − 24 16 /2 ∫ 15 O = 16 P = ∫ x2 1− x dx 4/ 18 R = ∫ 2/ 19 R = ∫ x2 − dx x3 dx x x −1 đs: − π 12 32 dx 20 S = ∫ đs: − ln( − 1) + x2 21 T = ∫ + x dx đs: − ln( − 1) 2 đs: π − đs : π π − 36 đs : π +1− x2 22 U = ∫ 4− x dx x + x2 + 23 V = ∫ /2 1+ x dx 1− x ∫ 24 X = x dx 4− x 25 Y = ∫ ( x − 2) 0 26 A = ∫x −1 dx + 2x + ( 1− x ) 27 B = ∫ π /2 sin x dx + sin x 3π 16 đs: π + 3−2 π đs: π đs: 32 + 15 x2 + dx x +1 đs: 106 15 3x − dx 4− x đs: − ∫ x2 + dx x4 + x4 + dx x6 + đs: đs: + 10 31 F = ∫ 3π 18 đs : π 2π − đs: π − đs: ∫ 30 E = dx 1+ x dx 3− x 28 C = ∫ 29 D = dx 2 32 A = ∫ x x + dx 33 B = ∫ 34 C = ∫ −4 35 D = ∫ x3 + x2 dx 99 đs: 141/20 dx x 1+ 36 E = ∫ 37 F = ∫ dx x+ x đs: 2(1 – ln2) đs: ln 33 x dx ( x + 1)3 38 G = ∫ 7/3 ∫ 39 H = 3 ∫3 40 I = −1 π /2 42 I = x +1 dx 3x + đs: 46/15 x−3 dx x +1 + x + đs: 6ln – cos x dx (sin x − cos x + 3)3 ∫ 41 K = đs: đs: 32 π /2 dx sin x /3 đs : ln x dx đs: − ln 2 x dx đs: π − xdx đs: ∫ π 43 L = π /3 ∫ tan π /4 ∫ tan 44 M = 45 N = π /4 ∫ tan 46 O = π /2 sin x + sin x dx + 3cos x ∫ đs: 34 27 đs: ( + 1) 15 47 P = ∫ x + x dx ln 48 Q = ∫ − ex dx + ex đs: ln x dx + x − 1 49 R = ∫ e 50 S = ∫x − ln x dx + ln x 13 π − 15 đs: 11 − ln đs: 10 − 11 51 T = ∫ dx x + x3 đs: ln 52 U = ∫ dx x x3 + đs: 16 ln ln 53 V = ∫ 54 X = ( ex dx (e x + 1) π /4 ∫ e 55 Y = ∫ ) đs : dx cos x đs : + 3ln x ln x dx x đs: 116 135 34 56 A = ∫ 57 B = ∫ 58 C = dx x + x +1 + đs: ln − dx x + x −1 + đs: ln − 3π π /2 ∫ (cos x + sin x ) dx đs: 59 R = ∫ 64 60 D = x2 dx x − x + 12 dx x+3 x ∫ đs 25ln − 16 ln + đs: 11 + ln e ln x + ln x dx x 61 E = ∫ ln 62 F = e2 x ∫ e +2 x 63 G = π /2 ∫ π /6 64 H = π /2 ∫ 65 I = π /4 ∫ cos x + sin x cos x dx + sin x đs: + ln sin x ∫ + cos x dx e 67 L = ∫ đs − đs: sin x dx sin x + cos6 x π /2 3 ( 16 − 1) đs: cos3 x dx sin x 66 K = dx ln ( ex ) + x ln x dx 8 19 − 10 2 đs: ln đs: 3ln2 – đs: ln π 68 M = ∫ sin x sin x − sin x dx đs: 4/5 69 N = π /2 cos x.dx ∫ 13 − 10sin x − cos x ln đs: 0 dx 70 π − /4 cos x.cos  x +  ÷ 4  π /2 sin x S = 71 ∫0 sin x + cos x dx O= ∫ π 2ln 72 P = ∫ ln 73 Q = π /2 ∫ dx e −1 x dx − cos x đs: ln đs: π + ln đs: π đs: 2π 35 x.dx 74 R = ∫ x + x2 −1 75 S = π /6 ∫ tan x dx cos x dx 76 T = ∫ x2 ∫ 2x − x 1/2 − 3 đs: 10 ln(2 + 3) − 27 đs : ln( + 2) x2 − 2x + 77 U = (A–2008) đs: dx đs: 5x2 + dx x3 + 78 V = ∫ đs : 79 Cho hai tích phân: I = π /2 ∫ cos x.cos x dx ; J = π /2 π + −2 4π + 3ln ∫ sin x.cos 2 x dx a) Tính I + J I – J b) Tính I , J đs: π/4 ; ; π /8 80 Giả sử f(x) hàm số liên tục [0;π] Chứng minh rằng: π π /2 ππ ∫0 x f (sin x)dx = ∫0 f (sin x)dx = π ∫0 f (sin x)dx π x.sin x dx + cos x Áp dụng : J = ∫ đs: π2/4 81 Cho hàm số f(x) liên tục R với x thuộc R ta có : f(x) + f(–x) = − cos 2x Tính 3π /2 ∫π f ( x)dx đs: −3 /2 82 X = ∫ (e −1 83 Y = π /2 ∫ x dx + x2 − )( ) sin x dx sin x + cos x đs: – ln đs: 84 A = ∫ x.ln( x + x + 1)dx đs: π π ln − 12  1 85 B = ∫ x ln 1 + ÷ dx  x đs: 3ln − π 86 C = ∫ x.sin x.cos x dx đs: eπ 10 ln + π − (eπ + 1) 87 D = ∫ cos(ln x) dx đs: 88 E = ∫ ln( x − x)dx đs: 3ln3 – 36 89 F = π /2 ∫e sin x sin x cos xdx đs: 1/2 90 G = π /4 ∫ x tan xdx đs: π /2 ∫e 91 H = x   π2 đs:  2e − ÷ 5  cos xdx e2   92 I = ∫  − ÷dx ln x ln x   e đs: π 93 K = + sin x e x dx ∫0 + cos x 94 L = ∫ x 2e x ( x + 2) dx π π2 − − ln 32 e ( − e) π đs: e 3−e đs: 95 M = π   ÷ 2 ∫ cos x dx đs: π – x sin x dx đs 2π − 96 N = π2 ∫ e (e − 1) 97 O = ∫ x.ln x dx đs: x 98 P = ∫ ( x + x).e dx đs: e 1 99 Q = ∫ ln( x + + x )dx đs: ln(1 + 2) − + 1 100 R = ln( x + 1) ∫ e x + dx −1 đs: ln − + π 37 [...]... đường: x = a ; x = b (a < b) ; y = f(x) và y = g(x) = 0 (trục hoành) được cho bởi công thức sau: b S = ∫ | f(x) | dx a (1) ∇ Tổng quát: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường: x = a ; x = b (a < b) ; y = f(x) và y = g(x) được cho bởi công thức sau: 16 b S = ∫ | f(x) - g(x) | dx (2) a Chú ý: • Công thức (2) trở thành công thức (1) nếu g(x) = 0 • Tính các tích phân (1), (2): Dùng pp ở vấn đề tính... quay quanh Ox (ĐS: 16π đvtt) x3 Bài 8: Miền D giới hạn bởi các đường y = và y = x2 3 Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay quanh Ox 5 2.3π (ĐS: đvtt) 35 20 TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013 Bài 1 (ĐH A2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x2 − 2x + 3 y = x + 3 ĐS : S = 109 6 Bài 2 (ĐH B2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường... KTKT Công Nghiệp II – 2006 1 1 I = ∫ x ln 1 + x 2 dx KQ: ln 2 − (Đổi biến t = 1 + x 2 , từng phần) 2 0 Bài 29 CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006 2 ln ( 1 + x ) 3 I=∫ dx KQ: 3ln 2 − ln 3 2 x 2 1 Bài 30 CĐ Nông Lâm – 2006 ( ) 26 1 I = ∫ x x 2 + 1dx KQ: 2 2 −1 3 Bài 31 ĐH Hải Phòng – 2006 1 x I=∫ dx 2 1 + x 0 Bài 32 CĐ Y Tế – 2006 KQ: 1 ln 2 2 0 π 2 I=∫ π 4 sin x − cos x dx 1 + sin 2x KQ: ln 2 Bài 33 CĐ Tài Chính... Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006 3 x−3 I= ∫ dx KQ: 6 ln 3 − 8 3 x + 1 + x + 3 −1 Bài 41 CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006 9 468 I = ∫ x 3 1 − x dx KQ: − 7 1 I=∫ 27 Bài 42 CĐ Bến Tre – 2006 e  x3 + 1  I = ∫ ÷ln x dx x  1 KQ: 2e3 11 + 9 18 KQ: 2 3 3−2 2 9 1 2 3 Bài 43 I = ∫ x 2 + x dx 0 Bài 44 I = π 2 ∫ ( 2x − 1) cos 2 xdx 0 1 ( ) ( ) 1 π 2 π  KQ:  − + 1÷ 2 4 2  e2 1 − 4 14 0 Bài 46 CĐ KT-KT Công... 24 I= 3 ∫3 x−3 x +1 + x + 3 Bài 7 CĐ GTVT – 2005 dx KQ: 6 ln 3 − 8 −1 1 I = ∫ x 5 1 − x 2 dx KQ: 0 8 105 Bài 8 CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005 π 2 KQ: 3.e I = ∫ e 3x sin 5xdx 0 3π 2 +5 34 Bài 9 CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005 I= 3 ∫ x 3 + 1.x 5 dx KQ: 0 848 105 Bài 10 CĐ Truyền Hình Khối A – 2005 π 4 1 − 2 sin 2 x I=∫ dx 0 1 + sin 2x KQ: 1 ln 2 2 Bài 11 CĐSP Tp.HCM – 2005 0 dx 3π I=∫ 2 KQ: 18 −1 x + 2x... sin 2 xdx π 3 KQ: I = ln 2 , J = − 2 sin 2 x cos x 0 3 4 J =∫ x 2 Bài 16 CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005 0 π 3 KQ: 1 e2 + 1 4 Bài 17 CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005 I= π2 4 ∫ 0 x sin x dx KQ: π2 −4 2 25 Bài 18 CĐSP Hà Nội – 2005 2 x 3 + 2x 2 + 4x + 9 I=∫ dx x2 + 4 0 Bài 19 CĐ Tài Chính – 2005 1 xdx I=∫ 3 0 ( x + 1) Bài 20 CĐSP Vĩnh Phúc – 2005 e dx I= ∫ 2 1 x 1 − ln x Bài 21 CĐSP Hà Nội – 2005 KQ: 6 + KQ:... các đường: x = a ; x = b (a < b) ; y = 0 và y = f(x) quay xung quanh trục b 2 π Ox, được cho bởi công thức sau đây: Vox = ∫ f (x)dx a ∇ Thể tích của vật thể tròn xoay Voy sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = a ; y = b (a < b) ; x = 0 và x = g(y) quay xung b quanh trục Oy, được cho bởi công thức sau đây: Voy = π ∫ g 2 (y)dy a ’ ∇ Nếu hình phẳng giới hạn bởi (C): y = f(x) và (C ): y =... π 2 I=∫ π 4 sin x − cos x dx 1 + sin 2x KQ: ln 2 Bài 33 CĐ Tài Chính Kế Toán – 2006 3 1 I = ∫ x ln ( x 2 + 5 ) dx KQ: ( 14 ln14 − 5ln 5 − 9 ) 2 0 Bài 34 CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 π 2 I=∫ 0 cos 2x ( sin x − cos x + 3) 3 dx KQ: 1 32 Bài 35 Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006 π 4 I = ∫ ( x − 1) cos x dx 0 KQ: π 2 −1 8 Bài 36 CĐ KTKT Đông Du – 2006 π 4 1 cos 2x KQ: ln 3 dx 4 1 + 2sin 2x 0 Bài 37 CĐ Sư Phạm... Nếu tìm được hai điểm chung mà hoành độ là a, b hoặc b không có điểm chung ⇒ S = ∫ | f(x) - g(x) | dx a ∗ Nếu tìm được một điểm chung c ∈ [a, b] c b b | f(x) g(x) | dx ⇒ S = ∫ | f(x) - g(x) | dx = ∫ + ∫ | f(x) - g(x) | dx a a c ’ (Dựa vào hình vẽ của (C) và (C ) hoặc xét dấu để phá trị tuyệt đối) Nói chung: - Nếu miền giới hạn bởi hai đường, không cho a, b: Tìm các nghiệm x 1 < x2 < < xn Khi đó S... 1) cos 2 xdx 0 1 ( ) ( ) 1 π 2 π  KQ:  − + 1÷ 2 4 2  e2 1 − 4 14 0 Bài 46 CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006 2x 3 Bài 45 I = ∫ x e + x − 1 dx π 2 sin 3x dx 2 cos3x + 1 0 I=∫ Bài 47 KQ: KQ: Không tồn tại CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006 1 ( ) I = ∫ x ln 1 + x 2 dx 0 Bài 48 CĐ Xây dựng số 2 – 2006 2 x x −1 I=∫ dx x−5 1 Bài 49 CĐ Xây dựng số 3 – 2006 1 ( ) I = ∫ x + cos3 x sin x dx 0 KQ: ln 2 − 1 2 KQ: 32