Sở Giáo dục Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP - THCS CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2012 - 2013 (khóa ngày 27/3/2013) MÔN TOÁN Thời gian làm bài:150 phút Bài (4 điểm) Cho ba số a , b , c khác thỏa điều kiện a  b  c  1) Chứng minh: a3  b3  c3  3abc (a  b  c)3  (b  c  a)3  (c  a  b)3 2) Tính giá trị biểu thức P  a(b  c)  b(c  a)  c(a  b)  abc Bài (4 điểm) Giải phương trình : 1) ( x  x  1)(3x  x  3)  x 2) x   x Bài (3 điểm) ( x  x)( y  y )  45 Giải hệ phương trình:  ( x  1)( y  1)  Bài (3 điểm) Cho ba số dương a , b , c Chứng minh bất đẳng thức sau: 1) (3a  b)(2c  a  b)  (2a  b  c)2 a 3b b 3c c 3a a 2bc b 2ca c ab 2)      3a  b 3b  c 3c  a 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b Bài (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) có tia AB cắt tia DC E tia AD cắt tia BC F Gọi M giao điểm thứ hai (khác C ) hai đường tròn ( BCE ) (CDF ) Chứng minh rằng: a) Ba điểm E , M , F thẳng hàng b) M thuộc đường tròn ( ADE) c) OM vuông góc với EF Bài (2 điểm) Tìm tất số nguyên n cho biểu thức có giá trị nguyên HẾT 25 625 25 625  n   n 4 ĐÁP ÁN Bài (4 điểm) Cho ba số a , b , c khác thỏa điều kiện a  b  c  1) Chứng minh: a3  b3  c3  3abc (a  b  c)3  (b  c  a)3  (c  a  b)3 2) Tính giá trị biểu thức P  a(b  c)  b(c  a)  c(a  b)  abc Giải 1/ a  b3  c3  a  b3  (a  b)3  3ab(a  b)  3abc (1đ) 3 3 3 (a  b  c)  (b  c  a)  (c  a  b) 8(a  b  c )  2/ P  2 a(b  c)  b(c  a)  c(a  b)  abc ab(a  b)  bc(b  c)  ca (c  a )  5abc 24abc (3đ)  3 8abc Bài (4 điểm) Giải phương trình : 1/ ( x  x  1)(3x  x  3)  x  (3x  3x  3)(3x  x  3)  12 x  (3x  x   x)(3x  x   x)  12 x  (3x  x  3)2  16 x  (1đ)  (3x  x  3)(3x  3x  3)  3 x  x     x  x    61 (0,5đ) 1  * x2  x    x  (0,5đ) 2/ x   x  x  x   x  x  4  (2 x  1)  (2 x  ) 2 1  x   x   (2 x  1)   x   x  2 Bài (3 điểm) ( x  x)( y  y )  45 Giải hệ phương trình:  ( x  1)( y  1)  Giải ( x  x)( y  y )  45  x y  xy  xy ( x  y )  45   ( x  1)( y  1)   xy  ( x  y )   x y  xy  xy ( xy  7)  45  x y  18 xy  45     x  y  xy   x  y  xy  * 3x  x    x  (0,5đ) (1,5đ) (0,5đ) (0,5đ) ( xy  3)( xy  15)   xy   xy  15    (1đ) x  y  xy  x  y   x  y      x  1  x  3  x   x      (1đ)  y  3  y  1  y   y  Bài (3 điểm) Cho ba số dương a , b , c Chứng minh bất đẳng thức sau: 1/ (3a  b)(2c  a  b)  (2a  b  c)2  3a  b  2c  a  b  * (3a  b)(2c  a  b)     (2a  b  c)   3 ab bc ca a bc b 2ca c ab      2/ 3a  b 3b  c 3c  a 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b (1đ) a 3b c ab a 4b c 2a 2bc 2a 2bc (0,5đ)  2   3a  b 2c  a  b (3a  b)(2c  a  b) (3a  b)(2c  a  b) 2a  b  c Chứng minh tương tự ta có b 3c a 2bc 2b 2ca ; (0,5đ)   3b  c 2a  b  c 2b  c  a c3a b 2ca 2c ab   ;(0,5đ) 3c  a 2b  c  a 2c  a  b Cộng ba bất đẳng thức trên, ta có điều phải chứng minh (0,5đ) Bài (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( O ) có tia AB cắt tia DC E tia AD cắt tia BC F Gọi M giao điểm thứ hai (khác C ) hai đường tròn ( BCE ) (CDF ) Chứng minh rằng: a) Ba điểm E , M , F thẳng hàng b) M thuộc đường tròn ( ADE) c) OM vuông góc với EF Giải A  a/ BEMC nội tiếp  EMC ABC (0,25đ)  ADC (0,25đ) DCMF nội tiếp  FMC * B C E Mà  ABC   ADC  1800 (do ABCD nội tiếp) (0,25đ)   FMC   1800 Nên EMC  E , M , F thẳng hàng(0,25đ) b/   FCD  (0,25đ) DCMF nội tiếp  FMD   BAD  (0,25đ) ABCD nội tiếp  FCD O I M J D F   BAD  (0,25đ)  FMD  AEMD nội tiếp  đpcm (0,25đ) c/   ECM  (0,25đ) BEMC nội tiếp  EBM   MCD  (0,25đ)  MBA   MDC   MBA ~  MCD (0,25đ) Mặt khác MAB Gọi I , J trung điểm AB, CD Ta chứng minh  MBI ~  MCJ (0,25đ)   MJC   IEMJ nội tiếp (0,25đ)  MIB Mặt khác IEJO nội tiếp (0,25đ) Nên điểm O , I , E , M , J nội tiếp đường tròn đường kính OE (0,25đ)   900 hay OM  EF (0,25đ)  OME Bài (2 điểm) Tìm tất số nguyên n cho biểu thức Giải có giá trị nguyên 25 625 25 625  n   n 4 25 625 25 625  n   n 4 a  a  25  (0,5đ)  a  25  n  n      Dễ thấy a lẻ a  (0,5đ) 625  Nếu a  n  không thỏa điều kiện có nghĩa a (0,25đ)  a   n  144 (0,25đ)  a5  n0 Vậy n  n  144 (0,25đ) (0,25đ)