Xử lý số tín hiệu Chương 8: Biến đổi DFT FFT Lấy mẫu tần số: Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)  Công thức DTFT cho chuỗi thời gian rời rạc x(n): X ( )    jn x ( n ) e Discrete Time Fourier Transform  n    Nhận xét: X(ω) hàm liên tục -> thực phần cứng phép biến đổi tín hiệu miền tần số  Cần rời rạc phổ tín hiệu miền tần số hay lấy mẫu tần số   Lấy mẫu “đủ” để khôi phục lại tín hiệu x(n) hay X(ω) ban đầu? Lấy mẫu tần số: Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) (tt)  Do phổ X(ω) lặp lại với chu kỳ 2, ta cần lấy mẫu X(ω) khoảng [0,2]  Giả sử khoảng tần số ta lấy N mẫu cách ω=2/N mẫu cho bởi:  2 X N 2 j kn   N k    x ( n)e ,  n  k  0,1, , N   Đổi biến n=m-lN với m=0,1,…,N-1, l=- ∞,…,∞  2 X  N 2   j N km  N 1   k      x(m  lN ) e ,  m0  l    x p ( m) k  0,1, , N  1 Lấy mẫu tần số: Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) (tt)  x p (n)  l  x(n  lN ) tính từ x(n)  cách lặp lại x(n) sau N mẫu  Giả sử x(n) dài L mẫu, ta có trường hợp: Lấy mẫu tần số: Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) (tt) Nhận xét:  Nếu N≥L: ta khôi phục hoàn toàn x(n) từ xp(n) cách chọn x(n)  x p (n),  n  N 1  Nếu N thực tính toán chỗ  Giải thuật dựa vào chia nhỏ chuỗi thời gian rời rạc x(n) gọi giải thuật chia nhỏ miền thời gian (decimation-in-time)  Cho phép ghép nối nhiều khối FFT N điểm để tính FFT nhiều điểm Biến đổi FFT (tt)  VD: Tính DFT điểm x(n)=[1,2,3,4] x0  x2  -2 1 x1  x3  -2 1 10 X0 -2+2j X w 1 1 w j 1 4 -2 X2 -2-2j X 27 Biến đổi FFT (tt) Giải thuật chia nhỏ miền tần số (Decimation-infrequency) X (k )  n0 x(n)WNkn  n N / x(n)WNkn N / 21 N 1  n0 x(n)WNkn  WNkN / n0 x(n  N / 2)WNkn N / 21  n0 N / 21 N / 21 x(n)  (1) k  x(n  N / 2) WNkn Chia X(k)thành mẫu chẵn lẻ thì: X (2k )  n0 N / 1  x(n)  x(n  N / 2)WNkn/ ,   g ( n) X (2k  1)  n 0 N / 1 k  0,1, , N/2 -    n x(n)  x(n  N / 2)WN WNkn/ , k  0,1, , N/2 -      h(n)   Biến đổi FFT (tt) Sơ đồ thực hiện: Biến đổi FFT (tt) Chia đôi Biến đổi FFT (tt) Chia đôi lần nữa! Biến đổi FFT (tt)  VD: Tính DFT điểm x(n)=[1,2,3,4] x0  10 x1  2 x2  2 x3  1 w 1 w 2j 1 1 2  j 2  j X0 X2 X1 X3 Biến đổi IFFT  Tính IFFT giải thuật FFT N 1 X ( k )   x( n )wNkn n 0 N 1 x( n )   X ( k )wN kn N k 0 X(k) X* X*(k) DFT N 1 x* ( n )   X * ( k )wNkn N k 0 X* 1/N x(n) Biến đổi IFFT  VD: Tính IDFT điểm X(k)=[10,-2+2j,-2,-2-2j] w  ( j ) n X*(k)=[10,-2-2j,-2,-2+2j] 10 -2-2j -2 -2+2j 1 w40 1 w14 n w  (1) n 1/4 x(0) -4 12 1/4 x(2) 1 12 1/4 x(1) -4 16 1/4 x(3) 1 n [...]... khối DFT 4 điểm thành 2 khối DFT 2 điểm: x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) 2-point DFT X(0) W80 W82 W80 X(1) W81 X(2) W82 X(3) W83 X(4) 4 W8 X(5) W85 W84 W86 W86 W87 W82 2-point DFT W84 W86 2-point DFT 2-point DFT W80 X(6) X(7) 3 Biến đổi FFT (tt) Tính các khối DFT 2 điểm x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7) W80 W84 W80 W84 X(0) W80 W82 W84 W86 W80 W80 W84 W82 W80 W84 W84 W86 W80 X(1) W81 X(2)... hiện FFT: giả sử ta cần tính DFT 8 điểm: x(0) X(0) x(2) X(1) x(4) X(2) x(6) x(1) 8- point DFT X(3) X(4) x(3) X(5) x(5) X(6) x(7) X(7) 3 Biến đổi FFT (tt) Chia khối DFT 8 điểm thành 2 khối DFT 4 điểm: F1(0) x(0) x(2) x(4) 4-point DFT x(6) x(5) x(7) F1(2) F1(3) F2(0) x(1) x(3) F1(1) 4-point DFT F2(1) F2(2) F2(3) X(0) W80 X(1) W81 X(2) W82 X(3) W83 X(4) 4 W8 X(5) 5 W8 X(6) 6 W8 X(7) 7 W8 3 Biến đổi FFT. .. W82 W80 W84 W84 W86 W80 X(1) W81 X(2) W82 X(3) W83 X(4) 4 W8 X(5) 5 W8 X(6) 6 W8 X(7) 7 W8 3 Biến đổi FFT (tt) Do WNr+N/2=WNrWNN/2=-WNr, ta rút gọn được: x(0) x(4) X(0) W80 -1 x(2) x(6) W80 X(1) W80 W82 -1 -1 x(1) x(5) X(3) W80 W81 W80 -1 x(3) x(7) X(2) -1 W80 W82 W80 -1 W82 -1 -1 W83 -1 -1 -1 -1 X(4) X(5) X(6) X(7) 3 Biến đổi FFT (tt) Nhận xét:  Ở mỗi tầng, phép tính toán cơ bản được cho bởi sơ đồ bướm:...   3 Biến đổi FFT (tt) Sơ đồ thực hiện: 3 Biến đổi FFT (tt) Chia đôi 3 Biến đổi FFT (tt) Chia đôi lần nữa! 3 Biến đổi FFT (tt)  VD: Tính DFT 4 điểm x(n)=[1,2,3,4] x0  1 4 10 x1  2 6 2 x2  3 2 x3  4 1 w 0 4 1 w 1 4 2j 1 1 2  2 j 2  2 j X0 X2 X1 X3 4 Biến đổi IFFT  Tính IFFT bằng giải thuật FFT N 1 X ( k )   x( n )wNkn n 0 1 N 1 x( n )   X ( k )wN kn N k 0 X(k) X* X*(k) DFT N...2 Biến đổi DFT (tt)  Biến đổi DFT N điểm cho x(n) X (k )   e L 1  j 2kn / N n 1 e  jk ( L 1) / N sin(kL / N ) sin(k / N )  Nếu N=L, X(k) trở thành: k 0 L X (k )    0 k  1,2, , L  1 2 Biến đổi DFT (tt)  Tăng N:  N=50  N=100 ⇒ Tăng N sẽ giúp ta có được biểu diễn tốt hơn của X(ω) 2 Biến đổi DFT (tt)  Phân tích phổ tần số của tín hiệu sử dụng biến đổi DFT – Độ phân giải tần số. .. F1(k), F2(k) là DFT N/2 điểm của chuỗi x(2m) và x(2m+1) 3 Biến đổi FFT (tt)  So sánh chi phí tính toán: DFT N điểm: N2 phép nhân phức  2 DFT N/2 điểm: N2/2+N/2 phép nhân phức  Khi N lớn: độ lợi tính toán: lim N  N2 N  2 2 1 N2 2 ⇒ Khi chia nhỏ khối DFT N điểm thành 2 khối DFT N/2 điểm, ta giảm được ½ chi phí tính toán! ⇒ Càng chia nhỏ càng tiết kiệm được chi phí tính toán! 3 Biến đổi FFT (tt) Cách... 64 ⇒ Độ phân giải tần số: /32  Khi khoảng cách giữa 2 tần số thu hẹp nhỏ hơn độ phân giải tần số của cửa sổ chữ nhật thì trên phổ DFT không phân biệt được 2 tần số này 3 Biến đổi FFT  Nhu cầu: cần một giải thuật thực hiện DFT hiệu quả về mặt tính toán và đơn giản, dễ ứng dụng trên phần cứng số  Công thức DFT: đặt WN=e-j2/N X (k )  n0 x(n)WNkn , N 1 k  0,1, , N  1  Để tính N điểm X(k), ta... xét: Theo lý thuyết, phổ X(ω) là 2 xung diract ở ±ω0  Phổ của X’(ω) tập trung ở ±ω0 nhưng rải trong 1 khoảng tần số chứ ko tập trung tại 1 tần số như X(ω)  Độ phân giải tần số hay khoảng cách tối thiểu của 2 tần số nằm gần nhau có thể phân biệt đc trên phổ DFT chính bằng ½ độ rộng của cửa sổ chữ nhật 2/L hay fs/L  2 Biến đổi DFT (tt) VD: Tín hiệu gồm 2 thành phần tần số được phân tích DFT với cửa... thanh ghi để lưu giá trị phức của ngõ vào, kết quả cũng như toàn bộ quá trình tính toán -> có thể thực hiện tính toán tại chỗ  Giải thuật dựa vào sự chia nhỏ chuỗi thời gian rời rạc x(n) được gọi là giải thuật chia nhỏ trên miền thời gian (decimation-in-time)  Cho phép ghép nối nhiều khối FFT N điểm để tính FFT nhiều điểm hơn 3 Biến đổi FFT (tt)  VD: Tính DFT 4 điểm x(n)=[1,2,3,4] x0  1 4 x2 ... WNr -1 B=a-WNrb  Mỗi sơ đồ bướm gồm 1 phép nhân phức và 2 phép cộng phức Với N=2v, ta có log2N=v tầng, mỗi tầng có N/2 sơ đồ bướm Như vậy chi phí tính toán là:  (N/2)log2N phép nhân phức (Tính trực tiếp cần N2)  Nlog2N phép cộng phức (Tính trực tiếp cần N(N-1)) 3 Biến đổi FFT (tt) 3 Biến đổi FFT (tt) Nhận xét (tt):  Khi đã thực hiện xong việc tính toán cho 1 tầng thì ta không cần lưu kết quả của