Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình vi phân cấp 1 cách giải ví dụ cụ thể phương trình vi phân có biến phân ly phương trình vi phân đẳng cấp phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 phương trình BECNOULLI phương trình vi phân toàn phần
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 2.1 Tổng quát phương trình vi phân cấp I 2.1.1 Định nghĩa Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng F(x, y, y’) = (1) đó: x biến số độc lập; y hàm phải tìm; y’ đạo hàm cấp y Hay y’ = f(x;y) hay = f(x;y) (2) Ví dụ 1: Phương trình vi phân 3yy’ + 3x2 = y2 dx + xdy = y’ = 2.1.2 Định lý tồn nghiệm Xét y’ = f(x;y) Nếu hàm f(x;y) liên tục miền chứa (x 0, y0) phương trình vi phân cấp cho tồn nghiệm y = y(x0); nghiệm nhận giá trị y0 = y(x0) Ngoài liên tục miền nói y = y(x) nghiệm phương trình vi phân cấp cho Điều kiện để hàm y = y(x) nhận giá trị y x = x0 gọi kiện hay điều kiện đầu phương trình vi phân cấp một thường ký hiệu: học mà nói thì: hàm f(x;y) nghiệm: Như phương diện hình liên tục miền có chứa (x 0, y0) tồn y = y(x) mà đồ thị luôn qua điểm (x 0, y0) 2.1.3 Nghiệm tổng quát nghiệm riêng phương trình vi phân cấp Ta gọi nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp số có dạng y = j(x, c) c số tùy ý thỏa mãn phương trình Ta gọi nghiệm riêng phương trình vi phân cấp nghiệm y = j(x,c 0) có từ nghiệm tổng quát ta cho c = c0 giá trị cụ thể Ví dụ 2: Phương trình vi phân y’ = - y= có y = nghiệm tổng quát; nghiệm riêng c = Nhiều giải phương trình vi phân cấp ta tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân dạng tường mà dạng ẩn: f(x,y,c) = c số tùy ý, hệ thức liên hệ biến độc lập x nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp gọi tích phân tổng quát phương trình vi phân cấp Rồi từ tích phân tổng quát cho c = c giá trị cụ thể f(x,y,c) = gọi tích phân riêng phương trình vi phân cấp Về phương diện hình học tích phân tổng quát phương trình vi phân cấp xác định cho ta họ đường cong mặt phẳng, họ phụ thuộc vào số tuỳ ý c đường cong họ gọi đường cong tích phân riêng 2.2 Phương trình vi phân có biến phân ly 2.2.1 Định nghĩa Phương trình vi phân có biến phân ly phương trình có dạng: M(x)dx + N(y)dy = (1) Trong đó: hàm phụ thuộc x, y (x biến độc lập; y hàm cần tìm) Ví dụ 3: ; (ex + x + 1)dx + (siny + 2cosy)dy = 2.2.2 Cách giải Từ (1) ta có: M(x)dx = -N(y)dy Lấy tích phân hai vế: Û tích phân tổng quát (1) · Chú ý: Xét phương trình vi phân cấp M1(x) N1(y)dx + M2(x) N2(y)dy = Nếu M2(x), N1(y) ¹ chia hai vế cho M2(x), N1(y) (2) Û tích phân tổng quát (2) Nếu cách thử trực tiếp: · x = a (khi y ¹ b) · y = b (khi x ¹ a) chúng nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình x2(y + 1)dx + (x3 – 1)(y – 1)dy = * Nếu (1) (2) Þ Tích phân tổng quát phương trình Û * Nếu Û Þ Thử: Khi (1) Û x2(y + 1)dx = Hàm f(x;y) gọi hàm đẳng cấp k x, y f(lx, ly)= l k.f(x;y); l ¹ Khi đó, k = 0: f(lx,ly) = f(x;y) Ta nói f(x;y) hàm đẳng cấp cấp đẳng cấp x, y Nếu f(x;y) hàm đẳng cấp k x, y luôn biểu diễn với dạng: f(x;y) = x k j( ) Chứng minh: l ¹ nên ta chọn l = Vì f(lx, ly) = lk.f(x;y) Û f(1; )=( )k f(x;y) Þ f(x;y) = xk f(1; ) = xk j( ) Þ Nếu f(x;y) hàm đẳng cấp x, y luôn biểu diễn f(x;y) = j( Ví dụ 5: f(x;y) = = f(x;y) = =j( = ) ) = j( ) 2.3 Phương trình vi phân đẳng cấp Định nghĩa: Phương trình vi phân đẳng cấp cấp phương trình y’ = f(x;y) f(x;y) hàm đẳng cấp x, y nghĩa f(x;y) = j( ) y’ = j( ) (1) Ví dụ 6: y’ = phương trình vi phân đẳng cấp cấp hay y’ = Cách giải: y’ = j( Đặt (1) = u với u hàm số x Þ y = u.x Þ · ) =u+x Þu+x = j(x) Þ x = j(u) – u Nếu j(u) – u ¹ (luôn khác 0) từ (2) ta có vế + Þ = f(u) Û = Nếu j(u) – u = Þ Þx=C lấy tích phân hai =C = Þ · = = f(u) + Tích phân tổng quát (1) x = C · (2) hay + Þ = Þ = = Nếu j(u) – u = số hữu hạn giá trị u = u0, u = u1=, , u = un; y = u0x, y = u1x, …, y = unx Ví dụ 7: Đặt u = y’ = = = j( ) Þ y = u x Þ y’ = u + x Þu+x Ûx = = Ûx Þ = = -u= = Þ = + Û - Ûx= Û Û = Đặt u = Þ = x2(x2 + y2) Þu+x -u= = + Ûx.C Û = arctgu Û x C = = = + + = Ûx Û Û Û = ) Þ y = u x Þ y’ = u + x Ûx Û Þy= = j( = = Ûx= * Giải: y’ = - Þ arctgu = = Sang hệ tọa độ cực: , (*)Þ r = họ đường xoắn ốc logarit (*) 2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp I 2.4.1 Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình có dạng: y’ + p(x)y = q(x) (1) Trong đó: p(x), q(x) hàm số liên tục biến x · Nếu q(x) = (1): y’ + p(x)y = (2) gọi phương trình · Nếu q(x) ¹ (1) gọi phương trình không Ví dụ 8: y’ + 3x2 y = phương trình phương trình không 2.4.2 Cách giải Để tìm nghiệm tổng quát phương trình (1) trước hết ta tìm nghiệm tổng quát phương trình tương ứng: y’ + p(x)y = C (2) Từ (2), · Nếu y ¹ Þ Þ Þ (3) nghiệm tổng quát (1) · Nếu y = nghiệm nghiệm riêng phương trình (1) ứng với C = · Ta tìm nghiệm tổng quát (1) dạng (3) ta coi C số biến x: C = C(x) để (3) nghiệm (1) Từ (3) có: = + C[-p(x)] - Cp(x) thay vào (1): + p(x).C = q(x) dC = q(x) .dx Þ C = (4) (3) nghiệm (1) Vậy nghiệm tổng quát (1) là: y=[ ] hay y = x + (5) Vậy nghiệm tổng quát phương trình không (1) luôn nghiệm cộng với nghiệm riêng phương trình không (1) Ví dụ 9: Tìm nghiệm tổng quát phương trình: điều kiện y(1) = (1) tìm nghiệm riêng thỏa mãn Ta thấy (1) phương trình tuyến tính không cấp Trước hết ta giải : Þ = Þ = Þ y= ; C số tùy ý nghiệm tổng quát phương trình Ta coi C = C(x) y= Thay vào (1), Þ y’ = + - = 3x = 3x C’ = 3x2+ Þ C = x3 + x Vậy: nghiệm tổng quát phương trình cho: y = (x3 + x) hay y = x2 + y’x = = nên = + x Þ x = Þ y = x2 nghiệm riêng phương trình (1) thỏa mãn y’x = = 2.5 Phương trình BECNOULLI 2.5.1 Định nghĩa Phương trình Becnoulli phương trình có dạng: y’ + p(x).y = q(x) thực bất kỳ, a ¹ {0, 1} , p(x), q(x) hàm số liên tục x a số 2.5.2 Cách giải Với giả thiết y ¹ chia hai vế (1) cho Đặt Z = Z(x) = , y’ + p(x) = q(x) (2) (*) Z’ = (1 - a) y’ Þ thay vào (2), ta có: y’ = Z’ + p(x) Z = q(x) Þ Z’ + (1 - a).p(x) Z = (1 - a) q(x) (3) Phương trình (3) phương trình tuyến tính cấp không Z = Z(x) hàm số phải tìm Giải phương trình (3) ta nhận nghiệm Z = Z(x) sau thay Z vào Z = nghiệm tổng quát phương trình Becnoulli Ví dụ 10: phương trình y’ – 2x.y = x3.y2 (1); (a = 2) · Nếu y ¹ 0: - = x3 Û y’.y2 – 2x.y-1 = x3 Þ Z’ = - y-2y’ Þ w: - Z’ + 2x.Z = x3 Û Z’ + 2xZ = - x3 Giải phương trình: Z’ + 2xZ = (*) Û Û =-2 + Ta coi C = C(x): Z = C Þ Z’ = Þ C’ = - x3 Û Þ Z’ = (C’– 2Cx) Þ (2) = - 2xZ Û = - 2x.dx = - x2 Û Z = C nghiệm tổng quát .C’ + C (- 2x) (C’– 2Cx) + 2xC = - x3 Û C’ = - x3 ta ÞC=- =- =- nghiệm tổng quát (2) là: Z = [ [x2 - (1 – x2) + x] (1 – x2) + x ]= = (1 – x2) + x Thay Z vào (2) Þ nghiệm tổng quát (1) là: Z = y- Þ y = Z-1 = 2.6 Phương trinh vi phân toàn phần 2.6.1 Định nghĩa Phương trình P(x;y)dx + Q(x;y)dy = (1) gọi phương trình vi phân toàn phần vế trái (1) vi phân toàn phần hàm u(x;y) D nghĩa D: ; 2.6.2 Cách giải Để nhận biết phương trình (1) có phải phương trình vi phân toàn phần hay không tìm cách giải ta xét định lý sau: Giả sử hàm P(x;y); Q(x;y) hàm số liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng miền D điều kiện cần đủ cho P(x;y)dx + Q(x;y)dy vi phân toàn phần hàm (x;y) D điểm (x;y)ÎD; = Chứng minh: * Điều kiện cần "(x;y)ÎD: Þ du = dx + = dy = Pdx + Qdy Þ ; = ; ; = liên tục "(x;y)ÎD Þ Theo định lý Sơvacxơ: = ; Þ liên tục D = Vậy: "(x;y)ÎD rõ ràng P(x;y)dx + Q(x;y)dy vi phân phần hàm u(x;y) miền D Pdx + Qdy = du = Û · = dx + ; Điều kiện đủ "(x;y)ÎD: dy Þ P = = Þ ;Q= = = Û = chứng minh Pdx + Qdy = du Với u(x;y) miền D Þ u(M) = u(x;y) = với A(x0, y0) điểm cố định tùy ý miền D M(x;y) điểm chạy tùy ý nằm miền D, C số tùy ý Thật vậy: Trước hết điều kiện "(x;y)ÎD: = điều kiện cần đủ để không phụ thuộc vào đường lấy tích phân nên ta chọn đường lấy tích phân đường gấp khúc ALM hay ANM có cạnh song song với trục tọa độ Chẳng hạn ta chọn đường lấy tích phân đường gấp khúc ALM: Þ u(x;y) = + +C + +C Trên AL; y = y0 Þ dy = 0; Trên LM; x = x0 Þ dx = Þ u(x;y) = Þ u(x;y) = + +C Þ u(x;y) = + +C (2) Tương tự ta chọn đường lấy tích phân ANM thì: u(x;y) = + Þ u(x;y) = Từ (2): Từ (3): Þ du = +C= + + +C + C (3) = Q(x;y) = P(x;y) dx + dy = P(x;y)dx + Q(x;y)dy (4) Þ P(x;y)dx + Q(x;y)dy vi phân phần hàm u(x;y) mà u(x;y) xác định (2) (3) Phương trình P(x;y)dx + Q(x;y)dy = Þ nghiệm tổng quát (1) u(x;y) = x xác định (2) (3) Thật vậy: (1) Û du = Þ u = u(x;y) = x Ví dụ 11: 1) Giải phương trình 2x.y dx + x2dy = (1) Ta có: P = 2x.y, Q = x2 liên tục với đạo hàm riển R2 Þ = 2x; = 2x Þ = = 2x Þ (1) PTVP toàn phần Þ nghiệm tổng quát (1) là: u(x;y) = C u xác định (2) (3) u(x;y) = + +x cho x0 = 0; y0 = Þ u(x;y) = + (2 + 2x – y2)dx – 2y 2) Giải phương trình: P= Þ + x = x2y + x2y + x = x2y + x Þ x2y = x dy = (2) (2 + 2x – y2) , Q = - 2y = - 2y ; = -2y Þ = = -2y "(x;y) Þ (2) phương trình vi phân toàn phần Þ nghiệm tổng quát (1) là: u = (x;y) = C (x;y) xác định bởi: u(x;y) = Gọi x0 = 0; y0 = Þ u(x;y) = Þ u(x;y) = Þ 2x - + -2 y2 = x Þ u(x;y) = 2x - y2 + x [...]... tích phân là ANM thì: u(x;y) = + Þ u(x;y) = Từ (2): Từ (3): Þ du = +C= + + +C + C (3) = Q(x;y) = P(x;y) dx + dy = P(x;y)dx + Q(x;y)dy (4) Þ P(x;y)dx + Q(x;y)dy là vi phân từng phần của một hàm u(x;y) mà u(x;y) được xác định bởi (2) hoặc (3) Phương trình P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0 Þ nghiệm tổng quát của (1) là u(x;y) = x được xác định bởi (2) hoặc (3) Thật vậy: (1) Û du = 0 Þ u = u(x;y) = x Ví dụ 11 : 1) Giải. .. Û du = 0 Þ u = u(x;y) = x Ví dụ 11 : 1) Giải phương trình 2x.y dx + x2dy = 0 (1) Ta có: P = 2x.y, Q = x2 liên tục cùng với các đạo hàm riển của trong R2 Þ = 2x; = 2x Þ = = 2x Þ (1) là PTVP toàn phần Þ nghiệm tổng quát của (1) là: u(x;y) = C trong đó u xác định bởi (2) hoặc (3) u(x;y) = + +x cho x0 = 0; y0 = 0 Þ u(x;y) = + (2 + 2x – y2)dx – 2y 2) Giải phương trình: P= Þ + x = x2y + x2y + x = x2y + x Þ... u(x;y) = + (2 + 2x – y2)dx – 2y 2) Giải phương trình: P= Þ + x = x2y + x2y + x = x2y + x Þ x2y = x dy = 0 (2) (2 + 2x – y2) , Q = - 2y = - 2y ; = -2y Þ = = -2y "(x;y) Þ (2) là phương trình vi phân toàn phần Þ nghiệm tổng quát của (1) là: u = (x;y) = C trong đó (x;y) được xác định bởi: u(x;y) = Gọi x0 = 0; y0 = 0 Þ u(x;y) = Þ u(x;y) = 2 Þ 2x - + -2 y2 = x Þ u(x;y) = 2x - y2 + x