www.VNMATH.com Hướng tiếp cận toán tích phân Để làm tốt toán tích phân, trước tiên học sinh cần phải nắm vững đạo hàm nguyên hàm hàm số Bên cạnh học sinh phải thành thạo kỹ phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân phần Cuối cùng, học sinh cần số định hướng để tiếp cận xử lý tốt toán tích phân Dưới số hướng tiếp cận Bước Ta có tính chất “tích phân tổng tổng tích phân” tính chất “tích phân tích tích tích phân” Do đó, ta phải biến đổi tích phân tích thành tích phân tổng (nếu được) Bước Sau bước mà chưa tính tích phân ta nên nghĩ đến phương pháp đổi biến số Bước Nếu dấu hiệu để ta sử dụng phương pháp đổi biến số ta chuyển sang phương pháp tích phân phần Ví dụ Tính tích phân Giải + ln(x + 1) dx x2 3 + ln(x + 1) dx = x2 ln(x + 1) x2 ln(x + 1) + dx = I1 + I2 , đó, I1 = x x2 Ta có I = I2 = • Tính I1 Ta có I1 = 1 1 dx = − x x (Đề thi đại học khối A 2012) 1 dx x2 =− +1= 3 • Tính I2 (Ta nhận thấy I2 dấu hiệu để ta sử dụng phương pháp đổi biến số nên ta sử dụng phương pháp tích phân phần Chú ý thứ tự ưu tiên cho biểu thức u là: Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ.)     dx du =  u = ln(x + 1)  x+1 ⇒ Khi Đặt dv =  dx   x2 v = − x I2 = − ln(x + 1) − x − 1 x 1 dx = − ln + ln + x+1 3 1 dx x(x + 1) 1 1 ln + ln + − dx = − ln + ln + (ln |x| − ln |x + 1|) x x+1 1 = − ln + ln + (ln − ln 4) − (ln − ln 2) = ln − ln 3 =− Vậy I = + ln − ln 3 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Hướng tiếp cận toán tích phân www.VNMATH.com Phân tích thành tổng tích phân Một toán tích phân mà học sinh cảm thấy phức tạp, thường tổng tích phân đơn giản 1.1 Hàm hữu tỉ phân tích thành tổng hàm hữu tỉ P (x) Hàm hữu tỉ hàm số có dạng , P (x) Q(x) đa thức biến x Q(x) Trong phần ta không giải toán tích phân của hàm hữu tỉ tổng quát, ta xét dạng tích phân biểu thức dấu tích phân hàm hữu tỉ có “dấu hiệu” giúp ta phân tích tích phân thành tổng tích phân đơn giản 3x2 − 2x + + Ví dụ Tính I = 1 x+1 dx Giải Ta dễ dàng tìm nguyên hàm hàm số dấu tích phân tính tích phân theo công thức Newton-Leibnizt I = x3 − x2 + x + ln |x + 1| = (8 − + + ln 3) − (1 − + + ln 2) = + ln − ln = + ln Vậy I = + ln 2 Ví dụ Tính J = 3+ 1 2x + dx Giải Cũng giống ví dụ trên, ta dễ dàng tính tích phân sau J= 3x + ln |2x + 1| 2 = 3.2 + 1 ln − 3.1 + ln 2 =3+ 1 ln − ln = + ln 2 Vậy J = + ln Nhận xét Quả thật, ví dụ đơn giản, học sinh biết cách tính tích phân giải Vậy để làm cho toán khó hơn, người đề giấu chất đơn giản toán cách quy đồng mẫu thức chung cộng số hạng biểu thức dấu tích phân để “thách thức” học sinh Ta có (3x2 − 2x + 1)(x + 1) + 3x3 + x2 − x + 3x2 − 2x + + = = , x+1 x+1 x+1 3+ 3(2x + 1) + 6x + = = 2x + 2x + 2x + 2 3x3 + x2 − x + 6x + dx J = dx Rõ x+1 1 2x + ràng, việc tính I J phức tạp Cụ thể, ta phải thực thao tác ngược với thao tác quy đồng mẫu thức người đề, thao tác chia đa thức để biến đổi biểu thức dấu tích phân dạng ví dụ đề cập Như thế, ta có toán tính tích phân I = http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phân tích thành tổng tích phân www.VNMATH.com Tổng quát, biểu thức dấu tích phân f (x) có dạng f (x) = P (x) + R(x) P (x).Q(x) + R(x) S(x) = = , Q(x) Q(x) Q(x) S(x) Q(x) hàm hữu tỉ, có bậc đa thức tử lớn bậc đa thức mẫu Đối với loại này, bước xử lý trình tính tích phân thực phép chia đa thức tử cho đa thức mẫu P (x), Q(x), R(x) đa thức S(x) = P (x).Q(x) + R(x) Khi f (x) = Một câu hỏi tự nhiên đặt với hàm hữu tỉ mà có bậc tử nhỏ bậc mẫu ta làm nào? Ta xem xét ví dụ để tìm phần câu trả lời Ví dụ Tính tích phân K = − 2x + x + dx Giải Ta có K = (ln |2x + 1| − ln |x + 2|) = (ln − ln 4) − (ln − ln 3) = ln − ln + ln Vậy K = ln − ln + ln Nhận xét K tích phân đơn giản Tuy nhiên K trở nên phức tạp ta quy đồng mẫu tính toán rút gọn biểu thức dấu tích phân Ta có 2(x + 2) − 3.(2x + 1) −4x + − = = 2x + x + (2x + 1)(x + 2) 2x + 5x + 2 −4x + dx Bây biểu thức dấu tích phân tích phân K hàm 2x + 5x + hữu tỉ có bậc tử nhỏ bậc mẫu Vì ta thực thao tác chia đa thức Đi ngược lại trình quy đồng mẫu thức chung cộng hai phân thức, ta có cách “khôi phục” lại toán gốc sau: Như thế, K = • Phân tích mẫu thành nhân tử: 2x2 + 5x + = (2x + 1)(x + 2) • Giả sử A B −4x + = + (2x + 1)(x + 2) 2x + x + • Tìm A, B Ví dụ Tính tích phân H = −3 x2 dx − 5x + Định hướng giải • Phân tích mẫu thành nhân tử: x2 − 5x + = (x − 3)(x − 2) A B = + (∗) • Giả sử (x − 3)(x − 2) x−3 x−2 Ta có A B A(x − 2) + B(x − 3) (A + B)x − 2A − 3B + = = x−3 x−2 (x −http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 3)(x − 2) (x − 3)(x − 2) (∗∗) Hướng tiếp cận toán tích phân www.VNMATH.com A+B =0 Từ (∗) (∗∗) ta thu hệ −2A − 3B = 1 1 • Vậy = − x − 5x + x−3 x−2 ⇔ A=1 B = −1 Giải Ta có 1 − x−3 x−2 H= −3 dx = (ln |x − 3| − ln |x − 2|) −3 = (ln | − 2| − ln | − 1|) − (ln | − 6| − ln | − 5|) = ln − ln = ln 5 Vậy H = ln Ví dụ Tính tích phân L = 2x − dx (2x + 1)2 Định hướng giải • Một số học sinh mắc sai lầm giả sử phân tích B A 2x − + = (2x + 1) 2x + 2x + A B A(2x + 1) + B(2x + 1) (2A + 2B)x + A + B + = = 2x + 2x + (2x + 1)2 (2x + 1)2 2A + 2B = Tiếp đến đồng hệ số để thu hệ Tuy nhiên hệ vô nghiệm Điều A + B = −1 làm học sinh lúng túng cách giải toán A 2x − B A B = • Để ý, phân tích + không hợp lý phân thức , có (2x + 1) 2x + 2x + 2x + 2x + mẫu Do đó, thực phép cộng mẫu chung 2x + không thiết (2x + 1)2 • Sau thấy không hợp lý trên, không khó để ta nghĩ đến phân tích Rồi cộng số hạng lại B A 2x − + = (2x + 1) 2x + (2x + 1)2 • Thực phép cộng 2Ax + A + B A B = đồng hệ số, ta thu + 2x + (2x + 1) (2x + 1)2 A = 1, B = −2 Giải Ta có L= = Vậy L = − 2x + (2x + 1)2 1 ln |3| + − dx = ln |1| + 1 ln |2x + 1| + 2x + 1 = ln − ln − Nếu biểu thức dấu tích phân hàm hữu tỉ có bậc đa thức tử nhỏ bậc đa thức mẫu, ta thường gặp dạng f (x) = ax + b ax + b g(x) = (cx + d)(ex + f ) (cx + d)2 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phân tích thành tổng tích phân www.VNMATH.com tương ứng phân tích thành f (x) = A B A B + g(x) = + cx + d ex + f cx + d (cx + d)2 Sau đó, ta đồng hệ số để tìm A, B tách tích phân cần tính thành tổng hai tích phân mà ta dễ dàng tìm nguyên hàm Một câu hỏi đặt là: Nếu đa thức mẫu không phân tích thành nhân tử giải dx nào? Chẳng hạn, tính tích phân ? (Xem phần sau rõ!) 1+x 1.2 Công thức biến đổi tích thành tổng lượng giác Ta biết, công thức lượng giác có công thức biến tổng thành tích Từ công thức này, người đề chọn lấy hàm số lượng giác cộng lại thực biến đổi thành tích yêu cầu ta tính tích phân tích Nếu ta công thức biến đổi ngược lại từ tích thành tổng thực khó khăn tính tích phân thuộc dạng Công thức biến tổng thành tích Công thức biến tích thành tổng a+b a−b cos 2 a+b a−b sin a − sin b = cos sin 2 a−b a+b cos cos a + cos b = cos 2 a+b a−b cos a − cos b = −2 sin sin 2 [sin(a + b) + sin(a − b)] cos a sin b = [sin(a + b) − sin(a − b)] cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] sin a sin b = − [cos(a + b) − cos(a − b)] sin a + sin b = sin sin a cos b = π sin 2x cos x dx Ví dụ Tính tích phân Giải Ta có π π sin 2x cos x dx = 0 1 (sin 3x + sin x) dx = 2 π π 1 − cos − cos − − cos 3.0 − cos 6 √ √ 8−3 3 − − = − = 2 12 = π Vậy − cos 3x − cos x √ 8−3 sin 2x cos x dx = 12 π Ví dụ Tính tích phân cos2 x dx http://toanlihoasinh.blogspot.com/ π 6 Hướng tiếp cận toán tích phân www.VNMATH.com Định hướng giải Nếu nhìn nhận cos2 x = cos x cos x ta có biến đổi cos x cos x = 1 [cos(x + x) + cos(x − x)] = (cos 2x + 1) 2 Tuy nhiên, ta nhớ công thức hạ bậc cos2 x = (1 + cos 2x) π π cos2 x dx = Giải Ta có 0 1 (1 + cos 2x) dx = 2 x+ sin 2x π = π 1.3 Tính chất phân phối phép nhân phép cộng Sử dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng ta biến đổi tích thành tổng công thức đây: a+b a b a(b + c) = ab + ac, = + c c c x2012 (1 + x) dx Ví dụ Tính tích phân 1 x Giải Ta có 2012 (1 + x) dx = Ví dụ 10 Tính tích phân e +x 2013 dx = e Giải Ta có x 2012 = 4027 4054182 x3 + dx x e x3 + dx = x x2013 x2014 + 2013 2014 x + x dx = x3 + ln |x| e = e3 + ln e − + ln 3 = e3 + 1.4 Biến đổi thành tổng nhờ sử dụng lượng liên hợp a2 − b a2 − b2 a − b = a−b a+b Do đó, thay tính tích phân hàm số (f (x) + g(x)) người đề yêu cầu tính tích phân hàm h(x) h(x) , h(x) = f (x) − g (x) số f (x) − g(x) f (x) + g(x) Từ đẳng thức a2 − b2 = (a − b)(a + b) ta biến đổi thành a + b = √ Ví dụ 11 Tính tích phân 1 √ dx x+1− x Giải Ta có √ 1 √ dx = x+1− x √ √ x + + x dx = 1 (x + 1) + x dx Tích phân cuối đơn giản nên học sinh tự tính toán Cùng ý tưởng vậy, từ đẳng thức a3 −b3 = (a−b)(a2 +ab+b2 ) ta có biến đổi a−b = a3 − b3 a2 + ab + b2 a3 − b Vì thế, quan sát thấy hàm số dấu tích phân có chứa biểu thức a−b dạng (a2 + ab + b2 ) nên nghĩ đến việc nhân với lượng liên hợp (a − b) http://toanlihoasinh.blogspot.com/ a2 + ab + b2 = Phương pháp đổi biến số www.VNMATH.com Phương pháp đổi biến số Nhắc lại công thức tính vi phân • Nếu t hàm số theo biến x, cụ thể t = u(x) dt = u (x) x • Nếu f (t) = g(x) f (t) dt = g (x) dx theo biến t theo biến x Trong chương trình phổ thông, học sinh trang bị nhóm hàm số sơ cấp là: hàm số lũy thừa, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit Kết hợp ý tưởng hàm hợp vào nhóm hàm số cho ta nhiều toán tích phân lạ t5 dt Ví dụ Tính tích phân t5 dt = Giải Ta có t6 = 26 21 − = 6 Nhận xét Đây toán tính tích phân (theo biến t) đơn giản Tuy nhiên, ta xem t = x3 + t=1⇒x=0 dt = 3x2 dx t=2⇒x=1 Khi ta có toán tính tích phân theo biến x 3x2 (x3 + 1)5 dx Ví dụ Tính tích phân Để gây khó khăn cho học sinh việc “nhận ra” 3x2 kết phép tính đạo hàm x3 + 1, người ta nhân vào số có toán khó sau x2 (x3 + 1)5 dx Ví dụ Tính tích phân Giải Đặt t = x3 + ⇒ dt = 3x2 dx ⇒ x2 dx = dt Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 2 t6 Ta có x2 (x3 + 1)5 dx = t dt = = 18 b f (t) dt, người đề đổi Qua ví dụ ta thấy, từ toán tính tích phân đơn giản a biến cách xem t = u(x) dt = u (x).dx thu toán tính tích phân phức tạp β f [u(x)] u (x) dx, α, β số thực cho u(α) = a; u(β) = b α Vậy hàm số dấu tích phân tích hàm số: f (x).g(x) ta phát biểu thức u(x) mà đạo hàm sai khác số nhân so với hàm số f (x) g(x) (tức u (x) = k.f (x) u (x) = k.g(x), k số) ta đặt biểu thức t để đổi biến số đưa toán tích phân đơn giản http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Hướng tiếp cận toán tích phân π 12 Ví dụ Tính tích phân www.VNMATH.com e1+sin 2x cos 2x dx Định hướng giải Hàm số dấu tích phân e1+sin 2x cos 2x = f (x).g(x), f (x) = e1+sin 2x g(x) = cos 2x Để ý biểu thức + sin 2x, ta thấy (1 + sin 2x) = cos 2x (sai khác hàm số g(x) số 2) Vậy ta đổi biến t = + sin 2x Giải Đặt t = + sin 2x ⇒ dt = cos 2x dx ⇒ cos 2x dx = dt π Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒t= 12 π 12 1 √ 1 Khi đó, et dt = et = e1+sin 2x cos 2x dx = e − e = e( e − 1) 2 2 π Ví dụ Tính tích phân cos x dx − sin2 x Giải Đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx √ π Đổi cận x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Khi đó, π cos x dx = − sin2 x √ 2 dt = − t2 √ 2 dt = (1 + t)(1 − t) = (ln |1 + t| − ln |1 − t|) π Vậy √ 2 √ 2 1 + 1+t 1−t dt √ √ √ 2+ √ = ln(3 + 2) = ln( + 1) = ln 2− 2 √ cos x dx = ln( + 1) − sin x π Nhận xét Tích phân vừa tính có hình thức khác khó e Ví dụ Tính tích phân cos x dx = cos2 x π dx cos x ln x dx x Định hướng giải Đối với phép chia, ta viết lại thành phép nhân biểu thức tử với nghịch đảo biểu ln x 1 thức mẫu Cụ thể = ln x Đến đây, không khó để nhận (ln x) = Vì thế, ta đổi biến x x x t = ln x dx x Đổi cận x = ⇒ t = 0; x = e ⇒ t = 1 e ln x t2 Khi đó, dx = t dt = = x 2 Giải Đặt t = ln x ⇒ dt = Nhận xét Không phải lúc ta dễ nhận thấy biểu thức u(x) để đổi biến t = u(x) Ta xem ví dụ sau π Ví dụ Tính tích phân x cos x dx x sin xhttp://toanlihoasinh.blogspot.com/ + cos x Phương pháp đổi biến số www.VNMATH.com Định hướng giải x cos x = x cos x, thật khó tìm thấy biểu x sin x + cos x x sin x + cos x x cos x thức mà có đạo hàm "gần giống" x sin x + cos x Ta thử đặt t = x sin x + cos x xem sao? Thật bất ngờ, ta có dt = x cos x dx Quan sát hàm số dấu tích phân Giải Đặt t = x sin x + cos x, ta có dt √ = x cos x dx π 2(π + 4) Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = √ √ √ 2(π+4) π 2(π+4) 2(π + 4) x cos x dt Khi dx = = ln |t| = ln t x sin x + cos x Nhận xét Ví dụ giải xong ta chưa hết thắc mắc "Tại lại đặt t biểu thức b b f (x) mẫu?" Đối với tính tích phân dạng dx, ta viết lại f (x) dx Bây ta quan a g(x) a g(x) sát cách đổi biến: Tích phân b a b a Đổi biến f (x) dx g(x) f (x) dx g(x) Vi phân t = f (x) t = g(x) Phần lại dt = f (x) dx dx g(x) dt = g (x) dx f (x) dx Nhận xét Rất có khả vi phân giống với phần lại Về mặt hình thức cách đổi biến t = g(x) cho ta biểu thức vi phân giống với phần lại cách đổi biến t = f (x) Vậy, tích phân mà biểu thức dấu tích phân thương hai hàm số ta ưu tiên đổi biến t hàm số mẫu ln √ Ví dụ Tính tích phân e2x dx ex + √ Định hướng giải Theo phân tích trên, ta thử đặt t = ex + Khi để tính vi phân đơn giản, ta bình phương vế để t2 = ex + 2t dt = ex dx Biểu thức mẫu thay t, nhiên ta chưa thấy rõ mối liên hệ phần lại e2x dx với t dt Để ý, e2x = ex ex , e2x dx = ex ex dx = ex 2t dt Vậy lượng ex xử lý nào? Đơn giản, ex = t2 − √ Giải Đặt t = ex + ⇒ t2 = ex + ⇒ 2t.dt = ex dx Vì t2 = ex + nên ex √ = t2 − √ Đổi cận x = ⇒ t = 2; x = √ ln ⇒ t = √ √ √ ln 3 e2x (t2 − 1)2t.dt 2t 2 √ Khi đó, dx = √ = √ (2t − 2)dt = − 2t √ = t 3 ex + 2 Nhận xét Qua ví dụ này, ta thấy phép đổi biến t = u(x) hợp lý ta biểu diễn phần lại hoàn toàn qua biến Thông thường, làm việc với biểu thức chứa mạnh Biết điểm yếu này, người đề thường xuất phát từ toán tích phân đơn giản đổi biến thức để http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 10 Hướng tiếp cận toán tích phân www.VNMATH.com gây khó khăn cho Vậy, thấy hàm số dấu tích phân có chứa thức, thử đặt t thức tìm cách biểu diễn phần lại qua biến t Ví dụ Tính tích phân √ x + x dx √ Giải Đặt t = + x ⇒ t2 = + x ⇒ 2t.dt = dx Vì t2 = + x nên x = t2 − Đổi cận x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = √ 2 Khi đó, x + x dx = (t2 − 1)t.2t dt = (2t4 − 2t2 ) dt = 1 Ví dụ 10 Tính tích phân 2t5 2t3 − = xdx √ 1+ x−1 √ Giải Đặt t = x − ⇒ t2 = x − ⇒ x = t2 + ⇒ dx = 2t.dt Đổi cận, x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Khi đó, 1 xdx (t2 + 1).2t.dt (2t3 + 2t)dt √ 2t2 − 2t + − = = = 1+t 1+t t+1 x−1 1+ 0 Ví dụ 11 Tính tích phân √ 62 14 116 − = 15 dt = 11 − ln dx √ x x2 + √ Định hướng giải Tương tự ví dụ trên, để có biểu thức đơn giản, ta đặt t = x2 + tìm cách biểu diễn phần lại qua t Ta có t2 = x2 + ⇒ 2t.dt = 2x.dx Như tính vi phân xuất lượng x.dx, dx x.dx dx Có thể ta bối rối nhờ tính chất phân thức ta viết = phần lại x x x Hơn ta có biểu diễn x2 = t2 − Tóm lại, ta hoàn toàn biểu diễn phần lại theo biến t √ Giải Đặt t = x2 + ⇒ t2 = x2 + ⇒ 2t.dt = 2x.dx ⇒ t.dt = x.dx Vì t2 = x2 + 9√nên x2 = t2 − Đổi cận: x = ⇒ t = 4; x = ⇒ t = Khi đó, √ dx √ = x x2 + √ x.dx √ = x2 x2 + t.dt = (t − 9)t = (ln |t − 3| − ln |t + 3|) Vậy = dt = t −9 1 − t−3 t+3 dt (ln − ln + ln 7) xdx √ = (ln − ln + ln 7) 1+ x−1 Nhận xét Không phải có thức ta đặt t thức giải vấn đề Có ta làm thức mà "bao" thức lại t Chúng ta xét ví dụ sau Ví dụ 12 Tính tích phân √ − x2 dx Định hướng giải √ Nếu đặt t = − x2 t2 = − x2 ⇒ 2t.dt = −2x.dx http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương pháp đổi biến số 11 www.VNMATH.com √ −t.dt Vì t2 = − x2 nên x2 = − t2 ⇒ x = − t2 ⇒ dx = √ − t2 Và đó, tích phân cho trở thành −t2 dt √ Tích phân không đơn giản tích phân ban đầu − t2 Tuy nhiên, từ t2 = − x2 ⇔ t2 + x2 = 1, điều gợi ý cho ta liên hệ đến đẳng thức lượng giác √ 2 2 sin √ α + cos α = Do đó, để làm dấu căn, ta xem x = sin t − x = − sin t = cos2 t = | cos t| Tập giá trị hàm sin t đoạn [−1, 1] t biến thiên đoạn − π2 , π2 sin t quét hết đoạn [−1, 1] Do đó, để đơn giản, đổi biến x = sin t ta xét t ∈ − π2 , π2 Với t ∈ − π2 , π2 cos t ≥ Vì thế, | cos t| = cos t Vậy ta lựa chọn đổi biến x = sin t Giải Đặt x = sin t, t ∈ [− π2 , π2 ] Khi đó, dx = cos t dt Đổi cận, x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = π2 Ta có √ 1− x2 π π 2 − sin t cos t dt = dx = 0 √ π cos2 t cos t dt = π π = cos2 t dt = cos t cos t dt = | cos t| cos t dt 0 π Tích phân cuối ta biết cách tính Ví dụ √ Nhận xét Trong toán trên, ta xử lý biểu thức√ − x2 thật hiệu nhờ vào đẳng thức lượng giác sin2 t + cos2 t = Vậy, biểu thức + x2 ta biến đổi nào? Liên hệ với 1 đẳng thức lượng giác, ta đẳng thức là: + tan2 t = + cot2 t = cos t sin2 t √ Ví dụ 13 Tính tích phân dx x2 + dt Giải Đặt x = tan t, t ∈ − π2 , π2 ⇒ dx = cos2 t π Đổi cận, x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Khi dx √ = x2 + π π = √ dt cos2 t tan t + π = dt = cos2 t cos1 t π π dt cos2 t cos2 t dt = cos t = π 0 cos2 dt t | cos t| cos tdt cos2 t Tích phân cuối tính Ví dụ Nhận xét Bằng cách đổi biến x = tan t tổng số hạng x2 gom lại thành số hạng Và trình tính tích phân, ta rút kinh nghiệm rằng: biểu cos2 t thức mẫu có số hạng đơn giản nhiều số hạng Như thế, ta thử áp dụng ý tưởng đổi biến xem có giải câu hỏi đặt cuối mục 1.1 không? Ví dụ 14 Tính tích phân dx + x2 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 12 Hướng tiếp cận toán tích phân www.VNMATH.com dt Giải Đặt x = tan t, t ∈ − π2 , π2 ⇒ dx = cos2 t Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = π4 Khi đó, 1 Vậy dx = + x2 π π dt cos2 t + tan t = dt = cos2 t cos12 t π dt = t π = 0 π π dx = 1+x Nhận xét Thật bất ngờ, toán giải Bây giờ, ta thử mở rộng toán chút cách thay x x − để có toán sau Ví dụ 15 Tính tích phân Giải Ta có dx − 2x + x2 dx = x2 − 2x + 2 dx (x − 1)2 + dt cos2 t Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = π4 Khi đó, Đặt x − = tan t, t ∈ − π2 , π2 ⇒ dx = 2 Vậy π dx = x2 − 2x + π dt cos2 t + tan t = dt = cos2 t cos12 t π dt = t π = π π dx = x2 − 2x + Nhận xét • Qua ví dụ 14, 15, phần ta có câu trả lời cho câu hỏi cuối mục 1.1 √ •√Ở ví dụ 12, ta biết cách xử lý biểu thức − x2 đẳng thức sin2 t + cos2 t = 1, x2 − giải nào? √ Ví dụ 16 Tính tích phân √2 x2 −1 dx Định hướng giải Quan sát đẳng thức sin2 t + cos2 t = ⇔ sin2 t = − cos2 t, 1 + tan2 t = ⇔ tan2 t = − 1, cos t cos2 t 1 + cot2 t = − ⇔ cot t = sin t sin2 t √ 1 Ta thấy dở bỏ dấu cho x2 − cách đặt x = x = sin t cos t Giải π π cos t Cách Đặt x = ,t ∈ , Khi đó, dx = − dt sin t sin t π π Đổi cận: x = √ ⇒ t = ; x = ⇒ t = Vậy 2 √ π √ dx = x2 − π π cos t − dt = π sin t cos2 t −1 sin2 t sin2 t http://toanlihoasinh.blogspot.com/ cos t sin2 t dt Phương pháp đổi biến số 13 π = π π www.VNMATH.com cos t sin t cos t sin2 t dt = cos t sin t π π cos t sin2 t dt = π dt sin t Tích phân cuối tính tương tự Ví dụ √ √ x x2 − x + Cách Để ý, x + x2 − = + √ = √ Ta có, x2 − x2 − √ 2 x + x2 − 1 √ √ dx = · √ dx 2−1 2−1 2−1 x x x √2 √2 x + 3 √ √ x + x2 − Đặt t = x + x2 − ⇒ dt = √ dx x2 − √ √ Đổi cận: x = √ ⇒ t = 3; x = ⇒ t = + Khi đó, √ √2 Vậy √ x2 − √ 2+ dx = √ · dt = ln |t| t √ 2+ √ = ln(2 + √ √ 3) − ln 3 √ √ √ dx = ln(2 + 3) − ln x2 − Khi đổi sang biến t ta cần đảm bảo nguyên tắc phần lại dấu tích phân phải biểu diễn qua t Dưới số trường hợp thường gặp: β • f [u(x)] u (x) dx Đặt t = u(x) α β • α f (x) dx Thử đặt t = g(x) g(x) β • f x, u(x) dx Thử đặt t = u(x) α √ π π a2 − x2 dx Đặt x = |a| sin t với t ∈ − , x = |a| cos t với t ∈ [0, π] 2 α β √ π π • f x, a2 + x2 dx Đặt x = |a| tan t với t ∈ − , x = |a| cot t với t ∈ (0, π) 2 α β √ |a| π π π |a| • f x, x2 − a2 dx Đặt x = với t ∈ − , \{0} x = với t ∈ [0, π] \ sin t 2 cos t α β • f x, Bài tập Tính tích phân sau √ e √ + ln x ln x a dx, (Đặt t = + ln x t = ln x.) x e b π c π d π sin(ln x) dx, x (Đặt t = ln x.) e2+tan x dx, cos2 x (Đặt t = + tan x.) esin x sin 2x dx, (Đặt t = sin2 x.) http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 14 Hướng tiếp cận toán tích phân www.VNMATH.com π 2 esin x sin x cos3 x dx, e (Đặt t = sin2 x.) √ e f 3x+1 dx, (Đặt t = √ 3x + 1.) e ln x g e + ln2 x dx, x ln x dx , x + ln2 x h ln ex √ dx, (ex + 1) ex − i π (Đặt t = + ln2 x t = ln x.) (Đặt t = + ln2 x t = ln x.) (Đặt t = √ ex − 1.) cos3 x dx, (Biến đổi cos3 x = − sin2 x cos x đặt t = sin x.) √ + x2 dx, (Đặt x = tan t, t ∈ − π2 , π2 x = cot t, t ∈ (0, π).) j k √ √ x2 − x2 dx, l −1 m dx , +3 √ n o x2 dx , x +x+1 √ 4x − x2 + dx, −1 p dx , x x2 − √ √ π q π π r (Đặt x = sin t, t ∈ − π2 , π2 x = cos t, t ∈ [0, π].) (Đặt x = √ √ cot t, t ∈ (0, π).) tan t, t ∈ − π2 , π2 x = (Biến đổi x2 +x+1 = x + + 34 đặt x+ 21 = √ tan t, t ∈ − π2 , π2 ) (Biến đổi 4x − x2 + = − (x − 2)2 đặt x − = sin t, t ∈ − π2 , π2 x − = cos t, t ∈ [0, π].) dx x.dx Đặt x = , t ∈ 0, π2 biến đổi √ = √ đặt 2 sin t x x −9 x x2 − √ t = x2 − tan x √ dx, cos x + cos2 x (Biến đổi tan x = sin x đặt t = cos x.) cos x sin3 x dx, cos2 x (Biến đổi sin3 x = (1 − cos2 x) sin x đặt t = cos x.) Bài tập Tính tích phân sau cách đặt t biểu thức mẫu √ a π d g x3 dx √ , x2 + sin 2x + sin x √ dx, + cos x dx, ex − b π e h √ dx, 2x + π c √ − sin x dx, + sin 2x x dx, − x2 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ f √ sin 2x cos x dx, + cos x x5 + 2x3 dx, x2 + √ i x3 + x2 Phương pháp tích phân phần www.VNMATH.com x2 + √ dx, x+1 j 15 π x+1 √ dx, 3x + k sin 2x dx + cos x l Bài tập Tính tích phân sau cách đặt t thức 22 √ a 3x + dx, b g x √ dx, (x + 1) x + dx , x x2 + √ x2 − dx, x √ √ 3 m e √ 1 f x (x2 + 4)3 dx, i h √ − dx , x x2 − √ √ ln l + ln x dx, x x dx √ , 2x + x2 + √ dx, k x x2 + −2 √ n x − x dx, x √ dx, 1+ x−1 √ c dx, 2x + √ e √ √ j d √ x − x2 dx, √ ex − dx, o x+1 √ dx 3x + Bài tập Tính tích phân sau cách đặt t biểu thức lũy thừa x3 + x a dx, x5 − x3 b dx, π sin 2x + sin x d π dx, e 0 sin x cos x (1 + cos x)2 dx, f − π2 (1 + 2x) + 3x + 3x dx, h 0 x3 x4 − c 0 g π x3 dx, (x2 + 1)3 i dx, sin 2x dx, (2 + sin x)2 sin5 x dx Để ý sin5 x = (1 − cos2 x) sin x nên ta đặt t = cos x tích phân câu i Phương pháp tích phân phần b b b − u.dv = u.v Công thức: v.du a a a Trong phương pháp tích phân phần ta cần lưu ý: • Sau chọn biểu thức cho u rồi, phần lại dv • Phải chọn u cho từ dv ta dễ tìm nguyên hàm v Thứ tự ưu tiên chọn biểu thức cho u là: “Nhất log (logarit), nhì đa (thức), tam lượng (giác), tứ mũ (hàm mũ)” (x + 1).ex dx Ví dụ Tính tích phân Giải Đặt u=x+1 dv = ex dx ⇒ du = dx v = ex 1 (x + 1).ex dx = (x + 1)ex − Ta có 0 ex dx = 2e − − ex = 2e − − e + = e http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 16 Hướng tiếp cận toán tích phân www.VNMATH.com e x2 ln x Ví dụ Tính tích phân Giải    du = dx u = ln x x ⇒ Đặt  x dv = x dx  v = e e e e3 x3 ln x − x dx = − x Ta có x ln x = 3 1 π Ví dụ Tính tích phân I = e e3 e3 2e3 + = − + = 9 x2 cos x dx Giải Đặt u = x2 dv = cos x dx π 2 Ta có I = x sin x π − 0 • Tính I1 u = 2x Đặt dv = sin x dx π π2 − I1 , I1 = 2x sin x dx = du = 2.dx v = − cos x ⇒ Ta có I1 = −2x cos x Vậy I = du = 2x.dx v = sin x ⇒ π − 2x sin x dx π −2 cos x dx = + π2 − π 2 cos x dx = sin x Ví dụ Tính tích phân I = = 0 π π ex sin x dx Giải Đặt u = sin x dv = ex dx ⇒ π x Ta có I = e sin x x Ta có I1 = e cos x π − • Tính I1 u = cos x Đặt dv = ex dx du = cos x.dx v = ex e cos x dx = e − I1 , I1 = ⇒ π ex cos x dx du = − sin x.dx v = ex π − π π x π x −e sin x dx = −1 + ex sin x dx = −1 + I π π Như thế, I = e − (1 + I) ⇔ I = e − − I ⇔ 2I = e − ⇔ I = e2 − π Vậy I = e2 − π π e ln x dx Ví dụ Tính tích phân Định hướng giải Qua ví dụ trên, phần ta biết cách tính tích phân phương pháp tích phân phần Vậy làm nào? Thật đơn giản, đặt u = ln x, dv =? Rõ ràng phần lại dx Do dv = dx http://toanlihoasinh.blogspot.com/ Phương pháp tích phân phần www.VNMATH.com Giải Đặt 17 u = ln x dv = dx  du = dx ⇒ x v = x e e e ln x dx = x ln x − Ta có e = e − e + = dx = e − x 1 1 eπ Ví dụ Tính tích phân I = cos (ln x) dx Giải Đặt u = cos (ln x) dv = dx ⇒   eπ sin(ln x) dx = −e − + I1 , I1 = 1 • Tính I1   ⇒ sin(ln x) dx du = cos(ln x) dx x v = x eπ eπ Ta có I1 = x sin(ln x) eπ π + Ta có I = x cos(ln x) Đặt v = x eπ u = sin (ln x) dv = dx − sin(ln x) dx x du = cos(ln x) dx = − I = −I − 1 Như thế, I = −eπ − − I ⇔ 2I = −eπ − ⇔ I = − (eπ + 1) π Vậy I = − (e + 1) π Ví dụ Tính tích phân π ln(tan x) dx cos2 x Giải.  u = ln(tan x) du = dx Đặt ⇒ cos x tan x dv = v = tan x dx cos2 x π π π √ √ ln(tan x) 3 dx = tan x ln(tan x) − dx = ln − tan x Ta có π π π cos2 x cos2 x 4 Ví dụ Tính tích phân π π √ √ = ln − + x2 ex dx (x + 2)2 Giải.  u = x2 ex du = xex (x + 2)dx Đặt ⇒ dv =  dx v = − (x + 2)2 x+2 2 x2 e x x2 ex Ta có dx = − + xex dx = (x + 2) x + 0 Nhận xét Trong ví dụ ta không đơn giản đặt u = x u = ex , đó, phần lại ex x dv = dx dv = dx khó tìm nguyên hàm v so với cách đặt (x + 2)2 (x + 2)2 giải http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 18 Hướng tiếp cận toán tích phân ( π2 ) Ví dụ Tính tích phân www.VNMATH.com √ sin x dx Định hướng giải √ Thực biểu thức x gây √ cảm giác “không thoải mái” ta đặt bút giải tích phân Vì ta có thể√thử “bao bọc” x lại biến t xem có thu toán tích phân “dễ chịu” không Đặt t = x ⇒ t2 = x ⇒ 2t.dt = dx π π Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒t= 2 π ( π2 ) √ 2t sin t dt Tích phân giải dễ dàng phương pháp Khi đó, sin x dx = 0 tích phân phần Bài tập Tính tích phân sau (x − 2)e dx, a π 3 2x x ln x dx, b π ln(x − x) dx, d e esin x sin x cos3 x dx, f x (x + 1)e dx, g h √ cos − x dx 1− π4 x dx, + cos 2x c ln(1 + x) dx, x2 ln x dx x5 e x3 + ln x dx x i Bài tập tổng hợp Bài tập Tính tích phân sau π esin x + cos x cos x dx a x e2x + b d 2 g j 1 x2 m 1+ x dx dx x − 5x + sin 2x cos x dx + cos x ( π2 ) sin p π x2 − 5x + dx x+1 π √ e c √ x tan2 x dx π 12 sin h π k π n π 2x − π 16 dx sin x dx + cos x (tan x + 1)2 dx cos2 x q √ sin x dx cos 6x cos 2x dx i π π o π x ln(1 + x ) dx e dx x.e t ecot x dx sin2 x √ x r π ln 2 √ cos x + sin x dx l 1 dx x + x3 ( π2 ) x dx f 0 x + dx −1 s √ −x dx http://toanlihoasinh.blogspot.com/ u π x dx sin2 x Bài tập tổng hợp 19 Bài tập Tính tích phân sau π 0 π e x2 + ex + 2x2 ex dx + 2ex h b x sin x + (x + 1) cos x dx x sin x + cos x d g 1 + ln(x + 1) dx x2 a www.VNMATH.com π e cos3 x − cos2 x dx j k π m tan4 x dx cos 2x π n π x3 dx x4 + 3x2 + c + x sin x dx cos2 x f ln x dx x(2 + ln x)2 i + ln x dx (x + 1)2 l 4x − √ dx 2x + + e 2x − sin x − π4 dx o sin 2x + 2(1 + sin x + cos x) http://toanlihoasinh.blogspot.com/ x(1 + sin 2x) dx dx dx −1 ex x ln x dx x3 ln x dx [...]... có 1 số hạng thì sẽ đơn giản hơn nhiều số hạng Như thế, ta thử áp dụng ý tưởng đổi biến này xem có giải quyết được câu hỏi đã đặt ra ở cuối mục 1.1 không? 1 Ví dụ 14 Tính tích phân 0 dx 1 + x2 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 12 Hướng tiếp cận bài toán tích phân www.VNMATH.com dt Giải Đặt x = tan t, t ∈ − π2 , π2 ⇒ dx = cos2 t Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π4 Khi đó, 1 0 1 Vậy 0 dx = 1 +... Đặt x = ,t ∈ , Khi đó, dx = − 2 dt sin t 6 3 sin t 2 π π Đổi cận: x = √ ⇒ t = ; x = 2 ⇒ t = Vậy 3 6 3 2 2 √ 3 π 6 1 √ dx = x2 − 1 π 3 1 π 3 cos t 1 − 2 dt = π 1 sin t cos2 t −1 6 sin2 t sin2 t http://toanlihoasinh.blogspot.com/ cos t sin2 t dt 2 Phương pháp đổi biến số 13 π 3 = π 6 π www.VNMATH.com 3 1 cos t sin t cos t sin2 t dt = 1 cos t sin t π 6 π 3 cos t sin2 t dt = π 6 1 dt sin t Tích phân cuối... 3 ln x ln x a dx, (Đặt t = 1 + 3 ln x hoặc t = ln x.) x 1 e b 1 π 4 c 0 π 2 d π 4 sin(ln x) dx, x (Đặt t = ln x.) e2+tan x dx, cos2 x (Đặt t = 2 + tan x.) 2 esin x sin 2x dx, (Đặt t = sin2 x.) http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 14 Hướng tiếp cận bài toán tích phân www.VNMATH.com π 2 2 esin x sin x cos3 x dx, e (Đặt t = sin2 x.) 0 1 √ e f 3x+1 dx, (Đặt t = √ 3x + 1.) 0 e ln x g 1 e 3 2 + ln2 x dx,... bằng biểu thức dưới mẫu √ a 0 π 2 d 0 3 g 1 3 x3 dx √ , x2 + 1 sin 2x + sin x √ dx, 1 + 3 cos x 1 dx, ex − 1 4 b 0 π 4 e 0 1 h 0 1 √ dx, 2x + 1 π 2 c 0 √ 2 1 − 2 sin x dx, 1 + sin 2x x dx, 4 − x2 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 3 f 0 √ sin 2x cos x dx, 1 + cos x x5 + 2x3 dx, x2 + 1 7 √ 3 i 0 x3 1 + x2 3 Phương pháp tích phân từng phần 3 www.VNMATH.com 7 3 x2 + 1 √ dx, x+1 j 0 15 π 3 x+1 √ dx, 3 3x... (giác), tứ mũ (hàm mũ)” 1 (x + 1).ex dx Ví dụ 1 Tính tích phân 0 Giải Đặt u=x+1 dv = ex dx 1 ⇒ du = dx v = ex 1 1 (x + 1).ex dx = (x + 1)ex − Ta có 0 0 ex dx = 2e − 1 − ex 0 1 = 2e − 1 − e + 1 = e 0 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 16 Hướng tiếp cận bài toán tích phân www.VNMATH.com e x2 ln x Ví dụ 2 Tính tích phân 1 Giải  1   du = dx u = ln x x ⇒ Đặt 3 2  x dv = x dx  v = 3 e e e 1 2 e3 1 3 x3... phần nào ta đã biết cách tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Vậy đối với bài này sẽ làm thế nào? Thật đơn giản, đặt u = ln x, như thế dv =? Rõ ràng phần còn lại là dx Do đó dv = dx http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 3 Phương pháp tích phân từng phần www.VNMATH.com Giải Đặt 17 u = ln x dv = dx  du = 1 dx ⇒ x v = x e e e ln x dx = x ln x − Ta có e = e − e + 1 = 1 dx = e − x 1 1 1 1 eπ... này ta không đơn giản chỉ đặt u = x hoặc u = ex , vì khi đó, phần còn lại là ex x dv = dx hoặc dv = dx sẽ khó tìm được nguyên hàm v hơn so với cách đặt như trong (x + 2)2 (x + 2)2 bài giải ở trên http://toanlihoasinh.blogspot.com/ 18 Hướng tiếp cận bài toán tích phân 2 ( π2 ) Ví dụ 9 Tính tích phân www.VNMATH.com √ sin x dx 0 Định hướng giải √ Thực sự biểu thức x gây √ ra cảm giác “không thoải mái” khi... cos 6x cos 2x dx i 0 π 2 0 π 2 o π 4 x ln(1 + x ) dx e dx 0 x.e t ecot x dx sin2 x 4 √ x r π 2 ln 2 2 √ cos x 1 + 3 sin x dx l 0 1 1 dx x + x3 1 ( π2 ) x dx 3 f 0 0 0 x + 1 dx −1 0 s √ 3 −x dx 0 http://toanlihoasinh.blogspot.com/ u π 4 x dx sin2 x 4 Bài tập tổng hợp 19 Bài tập 7 Tính các tích phân sau 3 1 π 4 0 0 π 3 e x2 + ex + 2x2 ex dx 1 + 2ex h 0 1 b x sin x + (x + 1) cos x dx x sin x + cos x d g... cos 2x π 4 n 0 π 4 x3 dx x4 + 3x2 + 2 c 1 + x sin x dx cos2 x f ln x dx x(2 + ln x)2 i 3 + ln x dx (x + 1)2 l 4 0 4x − 1 √ dx 2x + 1 + 2 e 2x − 1 3 sin x − π4 dx o sin 2x + 2(1 + sin x + cos x) http://toanlihoasinh.blogspot.com/ x(1 + sin 2x) dx 0 dx dx −1 ex 1 2 1 3 x ln x dx x3 ln x dx