SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm có 01 trang) Câu (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: a + x2 a + x2 −2 a + +2 a x x với a > 0, x > A= b) Tính giá trị biểu thức P = ( x − y ) + 3( x − y )( xy + 1) biết: x = 3 + 2 − 3 − 2 , y = 17 + 12 − 17 − 12 Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x + = x3 − x + ( b) Giải hệ phương trình: )( )  x + x2 + 2x + + y + y + =    x − xy − y = Câu (2,0 điểm) a) Tìm dạng tổng quát số nguyên dương n biết: M = n.4n + 3n chia hết cho b) Tìm cặp số (x; y) nguyên dương thoả mãn: (x2 + 4y2 + 28)2 − 17(x4 + y4) = 238y2 + 833 Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A điểm di chuyển đường tròn (O) (A khác B C) Kẻ AH vuông góc với BC H M điểm đối xứng điểm A qua điểm B a) Chứng minh điểm M nằm đường tròn cố định b) Đường thẳng MH cắt (O) E F (E nằm M F) Gọi I trung điểm HC, đường thẳng AI cắt (O) G (G khác A) Chứng minh: AF2 + FG2 + GE2 + EA2 = 2BC2 c) Gọi P hình chiếu vuông góc H lên AB Tìm vị trí điểm A cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCP đạt giá trị lớn Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Q = 14(a + b + c ) + ab + bc + ca a 2b + b c + c a Hết -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2016 - 2017 (Hướng dẫn chấm gồm: 04 trang) Nếu học sinh có cách làm khác cho điểm tối đa Câu Ý Nội dung a Rút gọn biểu thức: A= ( x− a) 2 x + ( x+ a) 0,25 x 0,25 x − a + x + a 2x = =2 x x− a = x− a x ≥ a x x +) Với nên A = ( b 0,25 a −x+x+ a a = x x Tính giá trị biểu thức: P = ( x − y ) + 3( x − y )( xy + 1) biết: x = + 2 − − 2 , y = 17 + 12 − 17 − 12 x = ( 3 Ta có: 3+ 2 − 3− 2 ) ( )( )( 3+ 2 − 3−2 ) ⇒ x = − x ⇔ x + x = (1) Tương tự: y + y = 24 (2) 3 Giải phương trình: x + = x − x + (1) +) ĐK: x ≥ −1 PT (1) ⇔ (x2 - 3x + 3) + 3(x + 1) = (x + 1)(x − 3x + 3) (2) 3(x + 1) x +1 1+ =4 x − 3x + x − 3x + Do x2 - 3x + > nên (2) ⇔ Đặt t= 0,25 0,25 Trừ vế với vế (1) (2) ta được: x − y + 3( x − y ) = −20 ⇔ (x - y)3 + 3(x - y)(xy + 1) = −20 Vậy P = −20 a 1,00 = + 2 − + 2 − 33 + 2 − 2 0,25 ) x− a =− x− a = a − x +) Với < x < a nên A = 1,00 x− a +x+ a x Điểm a + x − 2x a a + x + 2x a + = x x A= = a+x a+x −2 a + +2 a x x với a > 0, x > t = ⇔  (TM) x +1 t = ; t ≥ 2 x − 3x +  ⇔ PT: + 3t = 4t 3t - 4t + = 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 +) Với t = PT: +) Với t = PT: b Giải hệ phương trình: Ta có: x +1 = ⇔ x − 4x + = ⇔ x = ± x − 3x + 0,25 x +1 = ⇔ x − 12x − = ⇔ x = ± 42 x − 3x + 3 0,25 ( )( )  x + x + x + + y + y + = (1)   x − 3xy − y = (2) ( )( (1) ⇔ x + x + 2x + + y2 + + y )( ) ( y2 + − y = y2 + − y 1,00 ) 0,25 (Do y + − y ≠ với y) ⇔ x + + (x + 1) + = − y + y + ⇔ x + y +1+ (x + 1) − y (x + 1)2 + + y2 + =0   x +1− y ⇔ (x + y + 1) 1 + ÷= 2  ÷ (x + 1) + + y +   x + y + = ⇔ 2  (x + 1) + + (x + 1) + y + − y = (3) Do a b (x + 1) + > x + ≥ x + 1, ∀x y + > y ≥ − y, ∀y 0,25 nên (3) vô nghiệm x =  x = − Thay y = - x - vào (2) tìm nghiệm   1 − ⇒y= − ; ÷ ⇒ 3 Với x = y = -2; x = Vậy hệ có nghiệm (1;-2),  3  Tìm dạng tổng quát số nguyên dương n biết: M = n.4n + 3n chia hết cho +) n = 2k (k nguyên dương): M = 2k.42k + 32k = 2k.16k + 9k Ta có: 16k 9k dư với 2k chia ⇒ M dư với (2k.2k + 2k) = 2k.(2k + 1) chia ⇒ (2k + 1) chia hết cho ⇒ k chia dư 3, hay k = 7q + ⇒ n = 14q + (q ∈ N ) +) n = 2k + (k nguyên dương): M = (2k + 1).42k + + 32k+1 = 4(2k+1).16k + 3.9k ⇒ M dư với (k + 4).2k + 3.2k = (k + 7).2k chia ⇒ k chia hết cho ⇒ k = 7p (p ∈ N ) Vậy n = 14q + n = 14p + 1, với p q số tự nhiên Tìm cặp số (x; y) nguyên dương thoả mãn: (x2 + 4y2 + 28)2 - 17(x4 + y4) = 238y2 + 833 Ta có: ( x + y + 28 ) − 17( x + y ) = 238 y + 833 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 2 ⇔  x + 4( y + 7)  = 17  x + ( y + 7)  ⇔ 16 x − x ( y + 7) + ( y + 7) = ⇔  x − ( y + 7)  = ⇔ x − y − = 0,25 0,25 ⇔ (2 x + y )(2 x − y ) = (1) * Vì x, y ∈ N nên x + y > x − y x + y > Do từ (1) suy ra: 2 x + y =  x = ⇔  x − y =  y = 0,25 0,25 KL: (x; y)=(2; 3) thoả mãn toán a Chứng minh điểm M nằm đường tròn cố định A 1,00 F S B C K H O I E G D M b Lấy K điểm đối xứng O qua B, B O cố định nên K cố định Tứ giác OAKM hình bình hành nên KM = OA BC OA = không đổi BC ⇒ M nằm đường tròn tâm K, bán kính Chứng minh tổng bình phương cạnh tứ giác AEGF không đổi 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 · · · · · Xét ∆ AHB ∆ CHA có BHC = BHA =900, BAH = ACB (cùng phụ với ABC ) ⇒ ∆ AHB đồng dạng ∆ CHA Gọi S trung điểm AH, I trung điểm HC nên 0,25 · ∆ ABS đồng dạng ∆ CAI ⇒ ·ABS = CAI Ta lại có BS đường trung bình ∆ AMH · ⇒ BS//MH ⇒ ·ABS = ·AMH ⇒ ·AMH = CAI 0,25 · · · Mà CAI + MAI =900 ⇒ ·AMH + MAI =900 ⇒ AI ⊥ MF Xét tứ giác AEGF nội tiếp (O), có AG ⊥ EF c Kẻ đường kính AD, GD ⊥ AG EF ⊥ AG nên EF // GD, tứ giác nội tiếp 0,25 EFGD hình thang cân ⇒ FG = ED ⇒ AE2 + FG2 = AE2 + ED2 = AD2 = BC2 Tương tự ta chứng minh được: AF2+ EG2 = BC2 0,25 Vậy AE2+ FG2 +AF2+ EG2 = 2BC2 Gọi P hình chiếu vuông góc H lên AB Tìm vị trí điểm A cho bán kính 1,00 đường tròn ngoại tiếp tam giác BCP đạt giá trị lớn Gọi Q hình chiếu H AC ⇒ Tứ giác APHQ hình chữ nhật (S tâm) · · · = AHP = ABC ⇒ AQP nên tứ giác BPQC nội tiếp A Q S P B H O 0,25 C O' Đường trung trực đoạn thẳng PQ, BC, QC cắt O’ O’ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCP Có: OO’ // AH vuông góc với BC OA ⊥ PQ O 'S ⊥ PQ ⇒ O’S//OA nên tứ giác ASO’O hình bình hành AH ⇒ OO’ = AS = AH Trong trường hợp A nằm cung BC ta có: OO’ = AS = OC + 0,25 0,25 AH Do OC không đổi nên O’C lớn 0,25 Tam giác OO’C vuông O nên O’C = AH lớn ⇔ A cung BC Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Ta có: P = 14(a + b + c ) + ab + bc + ca a 2b + b 2c + c 2a 1,00 a2 + b2 + c2 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Theo bất đẳng thức Cô si: 0,25 a3 + ab2 ≥ 2a2b; b3 + bc2 ≥ 2b2c; c3 + ca2 ≥ 2c2a ⇒ a2 + b2 + c2 ≥ 3(a2b + b2c + c2a) Do đó: P ≥ 14(a + b + c ) + 3(ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 Đặt t = a2 + b2 + c2 Ta có: 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a +b + c)2 = Do vậy: t ≥ Khi đó: P ≥ 14t + 3(1 − t ) t 27t 3 1 27t 3 23 = + + − ≥ +2 − = 2t 2 2t 2 2t 23 Vậy MinP = a = b = c = 0,25 0,25 0,25