Đang tải... (xem toàn văn)
giải tích số dành cho sinh viên chuyên ngành toán.Giải tích số là ngành nghiên cứu về thuật toán sử dụng các số xấp xỉ đối với hàm liên tục.Nội dung của bài này bao gồm các kiến thức cơ bản và ví dụ dễ hiểu giúp sinh viên dễ dàng tiếp thu kiến thức, vận dụng vào làm bài tập một cách nhanh chóng, chuẩn xác.
GIẢI TÍCH SỐ- DÀNH CHO SINH VIÊN CHUYÊN NGÀNH TOÁN -PHẦN I: Lí thuyết Ví dụ cụ thể -PHẦN II: Bài tập -Phần I: -Số gần sai số +Sai số tuyệt đối sai số tương đối +Các loại sai số: sai số mô hình, liệu, phương pháp, tính toán -Nội suy đa thức: Tìm đa thức P(x) có bậc không n cho P(xi) = yi với i =0,1, ,n *Khi f : [a;b] → R ; yi = f(xi) , i= 0, ,n P gọi đa thức nội suy cấp n f -Đa thức nội suy Lagrange: ∏(x − x ) P ( x) = ∑ y , j = 0, , n ( x − x ) ∏ n n j =0 i i≠ j j i≠ j j i - Ví dụ 1: Viết đa thức nội suy Lagrange f(x) = ex ứng với mốc nội suy -1; 0; -Giải: Ở ta có xi, i=0,1,2 tương ứng đề cho là: x0 =-1; x1 = 0; x2 =1 Ta tính yi theo công thức yi = f(xi) , i= 0, ,n y0= f(x0)=f(-1)=1/e; y1 =1; y2 =e Thay vào công thức ta có: ∏ (x − x ) ∏ (x − x ) ∏ (x − x ) P ( x) = y +y +y ( x − x ) ( x − x ) ∏ ∏ ∏ (x − x ) i≠ Ở i i≠0 i i i ≠1 i ≠1 i i i≠2 i≠ 2 x0 =-1; x1 = 0; x2 =1 y0 = 1/e; y1 = 1; y2 = e i Ta đến kết quả: P2 ( x) = y0 ( x − x0 ).( x − x2 ) ( x − x0 ).( x − x1 ) ( x − x1 ).( x − x2 ) + y1 + y2 ( x0 − x1 ).( x0 − x2 ) ( x1 − x0 ).( x1 − x2 ) ( x2 − x0 ).( x2 − x1 ) Vậy : ( x − 0).( x − 1) ( x − (− 1)).( x − 1) ( x − ( − 1)).( x − 0) P2 ( x) = + + e e (− − 0).(− − 1) (0 − (− 1)).(0 − 1) (1 − ( − 1)).(1 − 0) hay: x.( x − 1) ( x + 1).( x − 1) ( x + 1).x P2 ( x) = + + e e −1 -Sai số xấp xỉ qua đa thức nội suy Lagrange: Giả sử f khả vi cấp (n+1) [a;b] Pn đa thức nội suy f ứng với (n+1) mốc nội suy xi , i=0, ,n ; xi∈ [a;b].Ta có công thức sai số: f ( x) − Pn ( x) ≤ M n +1 Wn +1 ( x) , ∀x ∈ [a; b] (n + 1)! Trong đó: n Wn +1 ( x) = ∏ ( x − xi ) i =0 M n +1 = sup f n +1 ( x ) , x ∈ [a; b] - Ví dụ 2: Tính sai số Ví dụ -Giải: Ta áp dụng công thức Ở n=2 ta cần tính M n +1 = M = sup f ( x) , x ∈ [-1;1] Ta có f ’(x) = ex , f ’’(x) = ex, f ’’’(x) = ex M3 = e Thay vào công thức ta có: M3 W3 ( x) , ∀x ∈ [-1;1] 3! e f ( x) − P2 ( x ) ≤ ( x − x0 ).( x − x1 ).( x − x2 ) e f ( x) − P2 ( x ) ≤ ( x + 1).x.( x − 1) f ( x) − P2 ( x ) ≤ Chọn x ∈ [-1;1] t suy sai số cụ thể -Đa thức nội suy Newton +Định nghĩa tỷ sai phân: Cho hàm f xác định [a;b] -Cho x, y ∈ [a;b], x ≠ y, tỷ sai phân cấp f ứng với mốc x, y là: f [ x, y ] = f ( y ) − f ( x) y−x Tỷ sai phân cấp f ứng với mốc x, y, z là: f [ x, y , z ] = f [ y , z ] − f [ x, y ] z−x Một cách quy nạp, giả sử tỷ sai phân cấp (n-1) định nghĩa, ta có tỷ sai phân cấp n với (n + 1) mốc x0, , xn f [ x0 , x1 , , xn ] = f [ x1 , , xn ] − f [ x0 , , xn −1 ] xn − x0 -Đa thức nội suy Newton với mốc n k −1 k =1 i =0 Pn ( x ) = f ( x0 ) + ∑ f [ x0 , ,x k ].∏ ( x − xi ) Đa thức Pn(x) xác định công thức đa thức nội suy f ứng với (n + 1) mốc x0, , xn.Biễu diễn gọi đa thức nội suy Newton Ví dụ 1: -Viết đa thức nội suy Newton cho hàm f(x)= 2x ứng với mốc -2, 0, Giải: Ở ta có xi, i=0,1,2 tương ứng đề cho là: x0 =-2; x1 = 0; x2 =1 Ta tính yi theo công thức yi = f(xi) , i= 0, ,n y0= f(x0)=f(-2)=1/4; y1 =1; y2 =2 Pn ( x) = f ( x0 ) + f [ x0 , x1 ].( x − x0 ) + f [ x0 , x1 , x2 ].( x − x0 ).( x − x1 ) Ta có: −1 f (−2) − f (0) f [−2, 0] = = = −2 − −2 f [0,1] = f (0) − f (1) =1 −1 f [−2, 0,1] = f [0,1] − f [ −2, 0] = − (−2) 24 Thay vào ta được: Pn ( x ) = + ( x + 2) + ( x + 2).x 24 - Đa thức nội suy Newton với mốc cách +Định nghĩa sai phân: Cho hàm f xác định [a;b] cho trước h ∈ ¡ -Sai phân cấp f x, ứng với bước sai phân h là: ∆f ( x, h) = f ( x + h) − f ( x ) Khi h xác định, nhầm lẫn, ta viết: ∆f ( x, h) = ∆f ( x) -Sai phân cấp f x: ∆ f ( x, h) = ∆(∆f )( x, h) = f ( x + 2h) − f ( x + h) + f ( x) Một cách quy nạp, sai phân cấp n f x: ∆ n f ( x, h) = ∆(∆ n −1 f )( x, h) -Đa thức nội suy Newton với mốc cách đều: Xét f(x) xác định [a;b] Cho (n + 1) mốc x0, ,xn ∈ [a;b] cách xi = x + ih, i=0, ,n Ở h = x1 – x0 = x2 – x1 = Đặt x = x0 + th ⇔ t = x − x0 h Từ công thức đa thức nội suy Newton tổng quát mối liên hệ sai phân tỷ sai phân ta có công thức nội suy Newton với mốc cách sau: ∆ j f ( x0 ) j −1 Pn ( x) = Pn ( x0 + th) = f ( x0 ) + ∑ ∏ (t − i ) j ! j =1 i =0 n Ví dụ 2: Viết công thức nội suy Newton f(x) = 2x với mốc -1; 0; Giải: Ta thấy mốc nội suy cách x1 – x0 = x2 – x1 = = h Đặt x = x0 + th = -1 + t Bảng sai phân: X Y -1 1/2 SAI PHÂN CẤP SAI PHÂN CẤP 1/2 1/2 1 Vậy ta có: P2 ( x) = P2 ( −1 + t ) = 1 1 + t + t (t − 1) 2 2! -Sai số nội suy đa thức Newton giống sai số nội suy đa thức Lagrange -Tích phân số (Tính gần tích phân) Xét tích phân Riemann b I = ∫ f ( x)dx a Với f [a;b] → ¡ khả tích Cần tính gần tích phân I 1.Phương pháp hình thang: *Phương pháp xấp xỉ hình thang bản: Xấp xỉ f(x) [a;b] đa thức nội suy bậc P1(x) với mốc a,b b b a a I = ∫ f ( x)dx ≈ ∫ P1 ( x )dx = b Đặt S n = ∫ P1 ( x)dx = a Ví dụ 1: b−a ( f (a ) + f (b)) b−a ( f (a ) + f (b)) Dùng công thức hình thang tính gần tích phân sau: I = ∫ (1 + x )dx Giải: f(x) = + x3, a = 0, b = 1, f(0) = 1, f(1) = Áp dụng công thức hình thang ta có: I = ∫ (1 + x )dx ≈ 1− ( f (0) + f (1)) = 2 -Công thức sai số: Giả thiết f khả vi cấp [a;b] M = sup f ''( x ) , x ∈ [a; b] Từ sai số công thức nội suy đa thức ta suy sai số phương pháp hình thang bản: M (b − a)3 I − Sn ≤ 12 Ví dụ 2: Tính sai số tích phân Ví dụ 1: Giải: M = sup (1 + x3 ) '' = x = 6, x ∈ [0;1] M (b − a )3 6.1 I − Sn ≤ = = 12 12 *Công thức hình thang tổng quát: Chia [a;b] thành n phần điểm chia: x0, ,xn xk = a + k (b − a ) , k = 0, , n n n xk k =1 xk −1 I = ∑ Ik ; Ik = ∫ f ( x)dx, k = 0, , n Đặt yk = f(xk) Áp dụng công thức hình thang cho Ik ta suy công thức hình thang tổng quát: I≈ b−a ( y0 + y1 + y2 + + yn −1 + yn ) 2n Đặt S n = b−a ( y0 + y1 + y2 + + yn −1 + yn ) 2n Ta có công thức sai số cho công thức tổng quát: M (b − a )3 I − Sn ≤ 12n 1.Công thức parabol (Simson ): *Công thức parabol bản: Xấp xỉ f(x) qua đa thức nội suy cấp P2(x) ứng với mốc a, (a+b)/2, b b I ≈ ∫ P2 ( x )dx = a Đặt S n = b−a a+b f ( a ) + f ( ) + f (b) b−a a+b f ( a ) + f ( ) + f (b) Ví dụ 1: dx + x2 Xét tích phân I = ∫ Dùng công thức parabol để tính gần tích phân Giải: f(x) = 1/(1+x2) , a = 0, b = 1, f(0) = 1, f(1/2) = 4/5, f(1) = 1/2 Áp dụng công thức parabol ta có: dx 1− 0 +1 47 ≈ [ f (0) + f ( ) + f (1)] = + x2 60 I =∫ -Công thức sai số: (4) Giả thiết f khả vi cấp [a;b] M = sup f ( x) , x ∈ [a; b] Ta có công thức sai số: M (b − a )5 I − Sn ≤ 2880 Ví dụ 2: Tính sai số tích phân Ví dụ 1: Giải: M = sup f (4) 24(1 + x − 10 x ) x = = 24, x ∈ [0;1] (1 + x )5 M (b − a )5 24 I − Sn ≤ = 2880 2880 *Công thức parabol tổng quát: Chia [a;b] thành 2n phần điểm chia: x0, ,x2n i (b − a ) , i = 0, , 2n 2n yi = f ( xi ) xk = a + Áp dụng công thức parabol đoạn [x2i,x2i+2 ] suy công thức parabol tổng quát: I≈ b−a ( y0 + y1 + y2 + y3 + y2 n − + y2 n −1 + yn ) 6n Đặt S n = b−a ( y0 + y1 + y2 + y3 + y2 n −2 + y2 n −1 + yn ) 6n Ta có công thức sai số cho công thức tổng quát: M (b − a )5 I − Sn ≤ 2880n -Xấp xỉ đa thức * Bài toán xấp xỉ tốt không gian định chuẩn Cho ( X, ) không gian định chuẩn Cho M ⊆ X tập đóng khác rỗng X Ta có x ∈ X Ta muốn xấp xỉ x phần tử z ∈ M Một cách tự nhiên hợp lý, ta xấp xỉ x phần tử z ∈ M cho: x − z = Inf x − y = d ( x, M ), y ∈ M + z∈ M thỏa công thức gọi xấp xỉ tốt x M - Bài toán xấp xỉ đều: Xét không gian định chuẩn C[a; b] , không gian hàm liên tục [a; b] chuẩn f ∞ = max f ( x) , x ∈ C[a; b], f ∈ C[a; b] +Gọi Pn ⊆ C[a; b] không gian tất đa thức bậc nhở n +Với f ∈ C[a; b] , xấp xỉ tốt f Pn gọi xấp xỉ bậc n f [a; b] Cụ thể, p ∈ Pn xấp xỉ bặc n f nếu: f −p ∞ = f − q KH ∞ = En ( f ), q ∈ Pn * Giả sử [a; b] đoạn đối xứng [a; b] = [-b; b] (Ví dụ [-2; 2] đoạn đối xứng) Xấp xỉ tốt hàm chẵn [-b; b] đa thức chẵn Xấp xỉ tốt hàm lẻ [-b; b] đa thức lẻ 2 Ví dụ: Xấp xỉ tốt f ( x) = e x đoạn [-1; 1] đa thức chẵn *Xấp xỉ tốt bậc nhất: - Thường xét cho hàm lồi (f” > 0) lõm (f” < 0) Xét hàm f ∈ C[a; b] P1 = {α + α1 x; α , α1 ∈ ¡ } Gọi r ∈ P1 xấp xỉ tốt bậc r ( x) = α x + β ;α , β ∈ ¡ - f hàm lồi đoạn [a; b] f đạt cực đại a, b đạt cực tiểu a < x1 < b -f hàm lõm đoạn [a; b] f đạt cực tiểu a, b đạt cực đại a < x1 < b α= f (a ) − f (b) a −b α = f '( x1 ) ⇒ x1 β= f (a ) + f ( x1 ) − α ( x1 + a ) (Xem kĩ phần tập dạng Ôn tập tập giải tích số.) -Giải xấp xỉ phương trình(Giải gần phương trình) *Sự tồn nghiệm Xét phương trình ẩn (thực) f(x) = 0, x ∈ [a; b] (1) Trong f hàm biến thực xác định [a; b] -Định lý Cauchy-Bonzano: Nếu f hàm lồi liên tục [a; b] f(a).f(b) < (1) có nghiệm (a;b) -Định lí điểm bất động: Giả sử g : [a;b] → [a; b], liên tục tồn x0 ∈ [a; b], g(x0) = x0 Điểm x0 gọi điểm bất động g - Định nghĩa khoảng tách nghiệm: Ta nói (a; b) khoảng tách nghiệm (1) (1) có nghiệm (a; b) *Phương pháp chia đôi: Xét phương trình (1) với giả thiết f liên tục [a; b] f(a).f(b) < ∆ = [a; b], c= a +b + Nếu f(c) = ⇒ c nghiệm + Nếu f(a).f(c) < ⇒ ∆1 = [a; c] chứa nghiệm + Nếu f(c).f(b) < ⇒ ∆1 = [c; b] chứa nghiệm Lặp lại trình cho ∆ , ∆1 , ta trường hợp sau: +TH1: Sau hữu hạn bước tìm nghiệm +TH2: Xây dựng dãy đoạn ∆ n = [a n ; b n ], n= 0,1,2, thỏa: - ∆ ⊇ ∆1 ⊇ - bn − an = b−a 2n -Nghiệm ξ (1) [a n ; b n ] Khi dừng bước thứ n, ta xấp xỉ nghiệm ξ bằng: cn = an + bn Sai số xấp xỉ: ξ − cn ≤ *Phương pháp lặp đơn: b−a 2n +1 Phương pháp: Xét (1) Đưa (1) toán tìm điểm bất động g g(x) = x , x ∈ [a; b] Xuất phát từ x0 ∈ [a; b].X ây dựng dãy {xn } theo công thức truy hồi xn+1 = g(xn), n= 0,1,2, *Phương pháp Newton: Xét (1).Giả sử f khả vi [a; b].Dãy Newton xấp xỉ (1) định nghĩa: x0 ∈ [a; b] f ( xn ) , n = 0,1, 2, x = x − n + n f '( xn ) Ở giả thiết f‘(xn) ≠ , n=0,1,2, Phần tập chương bạn xem Ôn tập va tập giải tích số Lưu ý: Trong sử dụng công thức ttrong phần MathType Tải phần mềm MathType máy để xem (nếu chưa có) [...]... tiểu tại a, b và đạt cực đại tại a < x1 < b α= f (a ) − f (b) a −b α = f '( x1 ) ⇒ x1 β= f (a ) + f ( x1 ) − α ( x1 + a ) 2 (Xem kĩ phần bài tập dạng này trong bài Ôn tập và bài tập giải tích số.) -Giải xấp xỉ phương trình (Giải gần đúng phương trình) *Sự tồn tại nghiệm Xét phương trình 1 ẩn (thực) f(x) = 0, x ∈ [a; b] (1) Trong đó f là hàm 1 biến thực xác định trên [a; b] -Định lý Cauchy-Bonzano: Nếu... (1) được định nghĩa: x0 ∈ [a; b] f ( xn ) , n = 0,1, 2, x = x − n + 1 n f '( xn ) Ở đây giả thiết rằng f‘(xn) ≠ 0 , n=0,1,2, Phần bài tập chương này các bạn xem ở bài Ôn tập va bài tập giải tích số Lưu ý: Trong bài sử dụng các công thức ttrong phần MathType Tải phần mềm MathType về máy để xem bài (nếu chưa có) ... tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 ∆ 0 = [a; b], c= a +b 2 + Nếu f(c) = 0 ⇒ c là nghiệm + Nếu f(a).f(c) < 0 ⇒ ∆1 = [a; c] chứa nghiệm + Nếu f(c).f(b) < 0 ⇒ ∆1 = [c; b] chứa nghiệm Lặp lại quá trình trên cho ∆ 0 , ∆1 , ta được 1 trong 2 trường hợp sau: +TH1: Sau hữu hạn bước tìm được nghiệm +TH2: Xây dựng được dãy các đoạn ∆ n = [a n ; b n ], n= 0,1,2, thỏa: - ∆ 0 ⊇ ∆1 ⊇ - bn − an = b−a 2n -Nghiệm ξ...2 Ví dụ: Xấp xỉ đều tốt nhất của f ( x) = e x trên đoạn [-1; 1] là đa thức chẵn *Xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất: - Thường xét cho hàm lồi (f” > 0) hoặc lõm (f” < 0) Xét hàm f ∈ C[a; b] P1 = {α 0 + α1 x; α 0 , α1 ∈ ¡ } Gọi r ∈ P1 là xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất r ( x) = α x + β ;α , β ∈ ¡ - f là hàm lồi trên đoạn [a; b] thì