Chương Bài toán tối ưu GV: Nguyễn Thị Thùy Liên Email: thuyliennt@gmail.com Bài toán tối ưu  Trong toán học, thuật ngữ tối ưu hóa việc nghiên cứu cá toán có dạng: Cho trước hàm f: A->R từ tập hợp A tới tập số thực Tìm: phần từ x0 thuộc A: cho f(x0)≤f(x) với x thuộc A(“cực tiểu hóa”) cho f(x0)≥f(x) với x thuộc A(“cực đại hóa”)  Một phát biểu toán gọi quy hoạch toán học Nhiều toán thực tế lý thuyết mô hình theo cách tổng quát Bài toán tối ưu  Miền xác định A hàm f gọi không gian tìm kiếm Thông thường tập Rn , thường xác định tập ràng buộc, đẳng thức, bất đẳng thức mà thành viên A phải thỏa mãn  Các phần tử A gọi lời giải khả thi  Hàm f gọi hàm mục tiêu hàm chi phí cực tiểu hóa(hoặc cực đại hóa) hàm mục tiêu gọi lời giải tối ưu  Các lĩnh vực chính:  Quy hoạch tuyến tính  Quy hoạch phi tuyến Bài toán quy hoạch tuyến tính Mô hình toán quy hoạch tuyến tính (QHTT) Hàm mục tiêu: n f(x1, xn ) =  CjXj  max(min) j1 Hệ ràng buộc n  AijXj  Bi : ràng buộc quản lý (=, >=, Giải toán tối ưu tìm phương án tối ưu Quy trình giải toán tối ưu Excel Mô tả toán – Lập mô hình Tổ chức liệu Excel Giải toán Solver Lập mô hình B1: Xác định đặt tên biến  Biến định: nhà quản lý “kiểm soát được”  Biến ngoài: ảnh hưởng không kiểm soát -> tham số toán  Biến trung gian: làm rõ ý nghĩa toán Phải đặt tên cho biến Ví dụ: x1- chọn xe đạp; c1- chi phí xe đạp, v- giá vé xe bus… Lập mô hình B2: Xác định mục tiêu => hàm mục tiêu Xác định mục tiêu biểu diễn dạng hàm mục tiêu (hàm theo biến định bước dạng mục tiêu -> min/max) Z(X) = CX =>min/max/const Ví dụ: Cực đại hóa lợi nhuận Lợi nhuận = Z(x) = c1x1+ c2x2 + c3x3 ->max Ví dụ: Cực tiểu hóa chi phí Chi phí = Z(x = c1x1+ c2x2 + c3x3 ->min Lập mô hình B3: Xác định hệ ràng buộc Xác định tất hạn chế, ràng buộc toán biểu diễn dạng phương trình hay bất phương trình theo biến định AX B X ≥0 Chú ý: Ràng buộc tự nhiên: Giá trị không âm, số nguyên, chọn Không chọn Ví dụ: xi ≥ (i=1,n); xi nguyên, Xi ϵ {0,1} Lập mô hình – ví dụ Bài tập: mô hình hóa toán điểm hòa vốn (BEP) Biến đinh: Q: sản lượng Tham số: F: cp cố định, V cp biến đổi bình quân, P giá Biến trung gian: TC:tổng cp, TR:tổng lợi nhuận Hàm mục tiêu: B: lợi nhuận, B=TR-TC =0 Phương tình quan hệ: TR = P*Q, TC = F+V*Q, Q≥0 =>giải: B= TR-TC = P*Q – (F+V*Q) = Q(P-V)-F B = Qhv(P-V) –F =0 (hòa vốn)  Qhv = F/(P-V) 10 Solver – Answer report 30 Solver – Answer report Các điều kiện ràng buộc thỏa mãn 31 Phân tích kết Phương án tối ưu (phương án cực biên) x=(200, ,0,0,200) với f(x) max = 124 000 Hay: phương án sản xuất tối ưu nhà máy sản xuất 200 đơn vị sản phẩm 200 đơn vị sản phẩm lợi nhuận tối ưu đạt 124 000 đơn vị tiền tệ 32 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát  Các ký hiệu  Ẩn: x = (x1 , x2 ,… xn ) Với ràng buộc ẩn xj>=0 xj max/min  Các ràng buộc phương trình: ai2x1 + ai2x2 +… + ain xn –bi =0 =0 i= 1, 2,…m Bài toán tìm x thỏa mãn ràng buộc làm tối ưu hàm f 33 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát  Các bước thực  Phát biểu toán  Giải  Kết luận  Ví dụ: Giải toán quy hoạch tuyến tính sau f=2x1 - 3x2 + x3 -> 2x1 - x2 + 3x3 >=4 -x1 +2x2 + x3 =1 4x1 +2x2 - x3 =0 (j=1,3) 34 Phát biểu giải toán Ở đây, vế phải chuyển sang vế trái nhằm đơn giản khai báo ràng buộc Hàm mục tiêu Các ẩn Các ràng buộc 35 Kết Phương án tối ưu tìm (0.951, 0.537, 0.878) Fmin = 1.1707 36 Bài toán vận tải Có m kho hàng (điểm phát) chứa loại hàng hoá, lượng hàng kho i Có n nơi tiêu thụ (điểm thu) loại hàng này, nhu cầu nơi j bj Chi phí vận chuyển đơn vị hàng từ điểm phát i tới điểm thu j cij Xác định lượng hàng vận chuyển xij từ điểm phát i tới điểm thu j cho tổng chi phí nhỏ nhu cầu điểm thu thoả mãn 37 Bài toán vận tải- mô tả D1 D2 Dj … Dn Dự trữ K1 C11 C12 C1j … C1n a1 K2 C21 C22 C2j C2n a2 …… … Ki Ci1 Ci2 Cij Cin ……… … Km Cm1 Cm2 … Cmj Cmn am Nhu cầu tiêu thụ b1 b2 bj bn  Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng từ kho đến điểm tiêu thu cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ 38 Phân tích Gọi xij lượng hàng vận chuyển từ kho i đến điểm tiêu thụ j : xij>=0; i=1,n; j=1,m m n Tổng chi phí vận chuyển:  CijXij i 1 j 1 Lượng hàng vận chuyển khỏi kho i: n  Xij j 1 m Lượng hàng vận chuyển đến điểm tiêu thụ j: 39  Xij i 1 Mô tả toán Mô hình toán học: m  CijXij  Hàm mục tiêu: f(x) =  Các ràng buộc: n i 1 j 1 n  Xij  j 1 m  Xij  bj i 1 Xij  0, i   m, j   n  Ta thấy điều kiện cần đủ để toán vận tải có phương án tối ưu tổng tất lượng mhàng tiêu thu n tổng tất lượng hàng kho    bj i 1 40 j 1 Bài toán vận tải – Ví dụ Hãy lập phương án vận chuyển xăng tối ưu từ kho đến trạm bán lẻ xăng công ty kinh doanh xăng dầu khu vực V với bảng chi phí vận chuyển sau: 41 Mô tả bảng liệu 42 Giải toán solver 43 Kết  Vì tổng xăng dự trữ kho tổng nhu cầu xăng trạm (50) nên phương án tìm phương án tối ưu 44 [...]... hao nguyên vật liệu, lợi nhuận đơn vị thu được và giới hạn dự trữ như sau: S1 S2 S3 S4 S5 Dự trữ NVL 1 2 5 6 8 4 1200 NVL 2 3 1 5 6 1 800 NVL 3 7 5 4 5 2 2000 NVL 4 8 5 7 9 1 1 865 Lợi nhuận đơn vị 300 250 500 150 320 Hãy xây dựng phương án sản xuất để nhà máy đạt được tổng lợi nhuận lớn nhất 26 B1: Lập mô hình  B1: Xây dựng bài toán Gọi xj (j=1,5) là sản lượng sản phẩm loại j sẽ sản xuất (xj>0) Phương... xuất (xj>0) Phương án sản xuất của nhà máy là vector x = (x1,x2,x3,x4,x5) Hàm mục tiêu: f(x) = 300x1+ 250x2+500x3+150x4+320x5->max Các ràng buộc: 2x1+ 5x2+6x3+8x4+4x5 max (c1 = a1-b1) (c2 = a2-b2)  3 Xác định ràng buộc • Ràng buộc chi phí: 60 000x1+40000x2