Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (h-FEM, p-FEM) CHO PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA KẾT CẤU DÀN PHẲNG A REFINED FINITE ELEMENT METHOD (h-FEM, p-FEM) APPLIED TO FREE VIBRATION ANALYSIS OF STRUSS STRUCTURES Đỗ Văn Hiến Khoa Cơ khí Chế tạo máy, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TPHCM hiendv@hcmute.edu.vn TÓM TẮT Trong báo này, hai phiên làm mịn h-FEM p-FEM áp dụng phân tích dao động cho toán dàn phẳng Khác với phương pháp phần tử hữu hạn chuẩn, phần tử có nhiều hai nút nút chọn làm nút làm giàu Độ xác hiệu phương pháp so sánh với kết công bố công trình nghiên cứu trước (so sánh với phương pháp CEM GFEM) qua ví dụ số Kết nghiên cứu p-FEM cho kết hội tụ tốt h-FEM Từ khóa: dàn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử composite, dao động tự ABSTRACT In this paper, an application of h-version and p-version Finite Element Method (FEM) to free vibration analysis of plane trusses is presented The h-FEM and p-FEM are developed by enriching the standard Finite Element Method The frequencies obtained by this method convege with previous publishes such as CEM and GFEM This research shows that p-FEM gives a better result than h-FEM Keywords: Truss, FEM, p-FEM, h-FEM,CEM, GFEM, adaptive GFEM, free vbiration GIỚI THIỆU Kết cấu kỹ thuật ngày cao hơn, mảnh hơn, nhẹ rẻ Máy móc, xe máy bay chế tạo với vật liệu nhẹ đáp ứng yêu cầu kỹ thuật cao Ảnh hưởng động học ngày ý và, hầu hết trường hợp, phân tích dao động kết cấu cần thiết Có vài phương pháp phân tích dao động tìm thấy công trình nghiên cứu trước Phương pháp kể đến phương pháp giải tích, với phương pháp giải số toán đơn giản [1] Tuy nhiên, với kết cấu phức tạp, phương pháp không giải Để giải toán này, nhà nghiên cứu dùng phương pháp số khác để giải Trong thực tế, đa số toán kỹ thuật giải phương pháp phần tử hữu hạn [2] Một số nhà nghiên cứu sử dụng phương pháp số khác để nâng cao kết phân tích dao động cho kết dàn như: phương pháp phần tử kết hợp (CEM – Composite Element Method) [3-4], phương pháp thích nghi suy rộng phần tử hữu hạn (adaptive GFEM – adaptive Generalized Finite Element Method) [5] CEM đề xuất Zeng, phương pháp kết hợp linh hoạt phương pháp phần tử hữu hạn với độ xác cao lời giải lý thuyết Nghĩa là, lời giải giải tích từ lý thuyết thêm vào hàm dạng FEM GFEM đề xuất Babuska đồng nghiệp [6-7], sử dụng hàm sở PUM (Partion of Unity Method) bảo đảm xác xấp xỉ địa phương toàn cục 884 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Trong báo này, tác giả trình bày sở lý thuyết phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng hai phương pháp làm mịn h-FEM p-FEM cho toán dàn phẳng Tính hiệu độ hội tụ cách tiếp cận kiểm chứng qua ví dụ số Bài báo gồm phần sau: Phần trình bày sở lý thuyết xây dựng công thức dao động cho toán dàn phẳng Một số ứng dụng giới thiệu phần Cuối cùng, kết thúc báo với phần kết luận PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN DÀN Xét phần tử chịu biến dạng dọc trục Theo tư tưởng chủ đạo phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH), hàm chuyển vị u e phần tử nội suy qua véctơ chuyển vị nút {q e } ue ( x ) = [ N ( x )]{qe} (1) Hay n ue ( x ) = ∑ N i ( x )ui (2) i =1 Ở đây, N i ( x ) hàm dạng bậc n-1; ui chuyển vị dọc trục nút thứ i thuộc phần tử bậc tự q i véctơ chuyển vị nút phần tử {q e } Đối với h-FEM, tác giả sử dụng hàm nội suy tuyến tính Còn p-FEM tác giả sử dụng hàm nội suy bậc hai ba phân tích dao động dàn Đối với PPPTHH chuẩn, toán dàn phần tử có nút số bậc tự cho nút (bài toán dàn phẳng) (cho toán dàn không gian) Khi áp dụng h-FEM p-FEM phần tử có nhiều nút số bậc tự nút khác Cụ thể, toán dàn phẳng nút biên phần tử hình có bậc tự (các nút q q ), nút bên có bậc tự (các nút c , c , ), Do đó, theo cách tiếp cận cần phải thay đổi vị trí nút phần tử ma trận xoay Hình 1: Các nút phần tử Tương tự PPPTHH chuẩn, xây dựng ma trận độ cứng phần tử k e ma trận khối lượng me k e = ∫ BT DBdV (3) V me = ∫ ρ R T RdV (4) V Xây dựng ma trận chuyển cho phần tử dựa vào mối quan hệ véctơ chuyển vị phần tử địa phương toàn cục ue = Teu g (5) Ở đây, u e = [ q1 c1 c2  q2 ] u g = ui vi u j v j c1 c2  véctơ chuyển vị phần tử hệ tọa độ địa phương toàn cục T T 885 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Tương tự, ma trận độ cứng khối lượng K e = T eT k e T e (6) M e = T eT me T e (7) Đối với trường hợp phẳng, ma trận xoay T e xây dựng sau: lij 0  0 Te =   0   mij 0  0  0  0 lij mij           0    0    0  0 (8) Hình 2: Tọa độ phần tử dàn trường hợp 2D Ở đây, lij , mij cosin phương trục phần tử hệ tọa độ tổng L chiều dài phần tử ij tính L = lij cos = = γ x j − xi L (x − xi ) + ( y j − yi ) j ,= mij sin = γ y j − yi L (9) VÍ DỤ SỐ 3.1 Dao động tự dàn phẳng gồm bảy Dao động tự dàn phẳng tạo thành từ bảy phân tích để minh họa cho ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn dùng phương pháp làm mịn h p Bài toán đề xuất Zeng [3] dùng để kiểm tra phương pháp phần tử kết hợp (CEM) Thông số hình học điều kiện biên toán trình bày Hình Tất có diện tích mặt cắt ngang A = 0.001 m2, khối lượng riêng ρ = 8000 kg m-3 mô đun đàn hồi vật liệu E = 2.1 × 1011 Nm-2 Hình 3: Dàn phẳng gồm bảy 886 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Sử dụng bảy phần tử C0 cho phân tích phần tử hữu hạn chuẩn để đại diện cho hình học dàn Tần số dao động tự thu sau phân tích trình bày bảng Kết phân tích rằng, hai cách tiếp cận h-FEM p-FEM hội tụ với lời giải giải CEM GFEM Bảng 1: Tần số dao động tự dàn gồm bảy FEM (ndof=6) CEM[3,8] (ndof=13) GFEM[5,8] (ndof=41) h-FEM h-FEM p-FEM p-FEM ω (rad/s) (ndof=20) (ndof=69) (ndof=13) (ndof=20) ω (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) 01 1683.5214 1648.52 1651.728 1648.139 1648.063 1647.785 02 1776.2784 1741.66 1647.785 1740.840 1744.798 1741.196 1741.210 1740.840 03 3341.3752 3119.12 3111.326 3136.623 3113.594 3117.085 3111.403 04 5174.3538 4600.60 4561.819 4634.777 4568.371 4597.860 4562.601 05 5678.1845 4870.58 4823.253 4921.266 4832.014 4869.001 4825.087 06 8315.4006 7380.83 7379.482 7719.317 7409.903 7430.303 7429.357 07 8047.93 7499.144 7850.122 7530.508 8100.925 7502.200 08 8272.61 8047.936 8418.729 8081.071 8273.784 8100.906 09 11167.57 9922.385 10730.657 9995.462 11364.162 10086.189 10 12051.90 10477.443 11457.831 10565.54 12324.403 10687.263 Mode ndof: bậc tự sau khử điều kiện biên Các dạng mode mô hình dàn gồm bảy hình Ở mode thấp PPPTHH chuẩn p-FEM tương đối giống nhau, khác so với h-FEM Ở mode cao khác dạng mode FEM, h-FEM p-FEM rõ ràng Mode 01 Mode 02 Mode 03 Mode 06 Hình 4: Các dạng mode 3.2 Dàn phẳng gồm 15 Dao động tự dàn phẳng tạo thành từ 15 phân tích để minh họa cho ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn dùng phương pháp làm mịn h p Bài toán đề xuất Zeng [3] dùng để kiểm tra phương pháp phần tử kết hợp (CEM) Thông số hình học điều kiện biên toán trình bày Hình Tất có diện tích mặt cắt ngang A = 0.001 m2, khối lượng riêng ρ = 8000 kg m-3 mô đun đàn hồi vật liệu E = 2.1 × 1011 Nm-2 Hình 5: Dàn phẳng gồm 15 887 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Sử dụng 15 phần tử C0 cho phân tích phần tử hữu hạn chuẩn để đại diện cho hình học dàn Tần số dao động tự thu sau phân tích trình bày bảng Bảng 2: Tần số dao động tự dàn gồm 15 ω (rad/s) CEM[5] Adap GFEM[5] h-FEM (ndof=74) (ndof=104) (ndof=44) ω (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) 01 682.2723 679.7881 679.7863 680.062 679.825 679.789 679.786 02 1149.296 1139.2077 1139.2005 1140.320 1139.358 1139.237 1139.200 03 1612.350 1581.7924 1581.7713 1585.152 1582.246 1581.995 1581.772 04 2519.866 2408.9828 2408.9115 2421.083 2410.620 2410.634 2408.926 05 2715.759 2600.4840 2600.4054 2613.366 2602.228 2602.863 2600.420 06 2968.220 2813.7161 2813.6172 2830.688 2816.014 2816.731 2813.648 07 3573.361 3290.4756 3290.3082 3321.334 3294.658 3298.203 3290.438 08 4207.781 3807.6460 3807.4113 3852.129 3813.684 3822.053 3807.703 09 5134.736 4475.3514 4475.0017 4549.053 4485.368 4505.052 4475.956 10 5399.565 4702.0397 4701.6210 4784.691 4713.268 4743.970 4702.729 11 7163.278 6059.2289 6058.3767 6228.476 6082.245 6192.400 6062.957 12 7471.073 6330.2756 6329.2786 6525.764 6356.792 6499.753 6335.244 13 7586.0742 6443.7249 6442.6448 6670.976 6474.604 6637.304 6452.215 14 8462.5861 7380.3957 7380.3513 7720.113 7427.898 7435.062 7429.870 Mode FEM (ndof=14) h-FEM p-FEM p-FEM (ndof=119) (ndof=29) (ndof=44) ω (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) ndof: bậc tự sau khử điều kiện biên Phương pháp phần tử hữu hạn phân tích dao động dàn cải thiện cách áp dụng hai phương pháp làm mịn h-FEM p-FEM Kết phân tích rằng, hai cách tiếp cận hội tụ với lời giải giải CEM GFEM Tương tự ví dụ 1, dạng mode tương tự giống mode thấp FEM, p-FEM khác với h-FEM Ở mode cao khác biệt rõ ràng Mode 01 Mode 03 Mode 11 Mode 13 Hình 6: Các dạng mode KẾT LUẬN Phân tích dao động tự dàn phẳng dùng h-FEM p-FEM trình bày báo Kết phân tích hai cách tiếp cận hội tụ so với 888 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV phương pháp CEM GFEM đồng thời p-FEM cho lời giải xác h-FEM, CEM GFEM chi phí tính toán lớn Do áp dụng p-FEM cho phân tích dao động tự kết cấu dàn phức tạp thực tế REFERENCES Book: [1] D.J Inman, Engineering Vibration, Prentice-Hall, New Jersey, 1996 [2] K Bathe, Finite Element Procedures, Prentice-Hall, New Jersey, 1996 Journal/Proceeding article: [3] P Zeng, Composite element method for vibration analysis of structures, Part I: principle and C0 element (bar), Journal of Sound Vibration, 1998, Vol 218 (4), p 619–658 [4] P Zeng, Composite element method for vibration analysis of structures, Part II:C1 element (beam), Journal of Sound Vibration, 1998, Vol 218 (4), p 659–696 [5] M Arndt, R.D Machado, An adaptive generalized finite element method applied to free vibration analysis of straight bars and trusses, Journal of Sound Vibration, 2010, Vol.329, p 659–672 [6] J.M Melenk, I Babuska, The partition of unity finite element method: basic theory and applications, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1996, Vol 139, p 289–314 [7] C.A Duarte, I Babuska, J.T Oden, Generalized finite element methods for threedimensional structural mechanics problems,Computers and Structures, 2000, Vol 77, p 215–232 Report from a university: [8] Marcos Arndt, O Método Dos Elementos Finitos Generalizados Aplicado Análise De Vibrações Livres De Estruturas Reticuladas, Curitiba, 2009 AUTHOR’S INFORMATION Đỗ Văn Hiến Khoa Cơ khí Chế tạo máy, Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TPHCM Email: hiendv@hcmute.edu.vn Phone number: 0937572020 889