Đang tải... (xem toàn văn)
1.2. Công thức tích phân F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn a;b thì 1.3. Phương pháp đổi biến số 1.3.1. Dạng 1 : Tính I = + Đặt t = x a b t + Đổi cận : I = 1.3.2. Dạng 2 : Tính I = bằng cách đặt x = Dạng chứa : Đặt x = asint, t (a>0) 1.4. Phương pháp tích phân từng phần Công thức tính : Đặt Ta thường gặp hai loại tích phân như sau: Loại 1: , trong đó là đa thức bậc n. Loại 2: 1.5. Tính chất tích phân Tính chất 1: , k: hằng số Tính chất 2: Tính chất 3: 1.6. Diện tích hình phẳng 1.6.1. Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên a; b. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là: () Lưu ý: vô nghiệm trên (a;b) thì có 1 nghiệm thì 1.6.2. Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên a; b. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: () Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức () thực hiện tương tự đối với công thức (). 1.7. Thể tích vật thể tròn xoay Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: Lưu ý: Diện tích, thể tích đều là những giá trị dương.
Thai Nguyen University Thai Nguyen University of Technology Faculty of International Training (MAT003) CALCULUS II Group Supervisor : Nguyen Minh Trang Thai Nguyen May 24th 2016 Students: Lê Phước Khánh Trần Ngọc Nam Trịnh Ngọc Tân CONTENT: 1, Definition of Integration 2, Application 3, Give an Example DEFINITION OF INTEGRATION A function F is called an antiderivative (also an indefinite integral) of a function f in the interval I if F '( x) = f ( x) for every value x in the interval I The process of finding the antiderivative of a given function is called antidifferentiation or integration APPLICATIONS OF INTEGRATION Applications to Physics and Engineering In this section, we will talk about: The applications of integral calculus to force due to water pressure HYDROSTATIC FORCE AND PRESSURE Suppose that a thin plate with area A m2 is submerged in a fluid of density ρ kg/m3 at a depth d meters below the surface of the fluid HYDROSTATIC FORCE AND PRESSURE The fluid directly above the plate has volume V = Ad So, its mass is: m = ρV = ρAd HYDROSTATIC FORCE Thus, the force exerted by the fluid on the plate is F = mg = ρgAd where g is the acceleration due to gravity HYDROSTATIC FORCE • The force F exerted by a fluid of a constant weightdensity w against a submerged vertical plane region from x = a to x = b is b F = w∫ h( x ) L( x)dx a • Where w= ρ g, h(x) is the depth of the fluid and L(x) is the horizontal length of the region at x Trinh Ngoc Tan HYDROSTATIC FORCE AND PRESSURE This helps us determine the hydrostatic force against a vertical plate or wall or dam in a fluid EXAMPLE HYDROSTATIC F AND P A dam has the shape of the trapezoid shown below – The height is 20 m – The width is 50 m at the top and 30 m at the bottom Example HYDROSTATIC F AND P Find the force on the dam due to hydrostatic pressure if the water level is m from the top of the dam Example HYDROSTATIC F AND P We choose a vertical x-axis with origin at the surface of the water Example HYDROSTATIC F AND P The depth of the water is 16 m – So, we divide the interval [0, 16] into small intervals of equal length with endpoints xi – We choose xi* ∈ [xi–1, xi] Example HYDROSTATIC F AND P The i th horizontal strip of the dam is approximated by a rectangle with height Δx and width wi Example HYDROSTATIC F AND P From similar triangles, a 10 = * 16 − xi 20 Example 16 − xi xi a= = 8− 2 * or * HYDROSTATIC F AND P Hence, wi = 2(15 + a ) = 2(15 + − xi ) = 46 − xi Example * * HYDROSTATIC F AND P If Ai is the area of the strip, then Ai ≈ wi ∆x = (46 − xi ) ∆x * If Δx is small, then the pressure Pi on the i th strip is almost constant, and we can use Equation to * write: Pi ≈ 1000 gxi Example HYDROSTATIC F AND P The hydrostatic force Fi acting on the i th strip is the product of the pressure and the area: Fi ≈ Pi Ai ≈ 1000 gxi (46 − xi ) ∆x * Example * HYDROSTATIC F AND P Adding these forces and taking the limit as n → ∞, the total hydrostatic force on the dam is: n F = lim ∑1000 gxi (46 − xi ) ∆x n →∞ * * i =1 16 = ∫ 1000 gx(46 − x) dx 16 = 1000(9.8) ∫ (46 x − x ) dx Example 16 x = 9800 23 x − ≈ 4.43 ×107 N 0 Thank You For Listening!!!