RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T TI SNG KIN KINH NGHIM S YU L LCH - H v tờn: Nguyn Th Mai Chinh - Sinh ngy: 23/7/1979 - Nm vo ngnh: 2009 - Chc v v n v cụng tỏc: Giỏo viờn -Trng THCS Tam Hng - Trỡnh chuyờn mụn: i hc - H o to: T xa - B mụn ging dy: Toỏn Nm hc: 2013 - 2014 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T MC LC PHN I: T VN I C s lý lun 1.2: Xõy dng cỏc phng phỏp gii c bn v phõn tớch a thc thnh nhõn t .5 1.3: Vn dng v phỏt trin k nng 1.4: Phỏt trin t 11 1.5: Mt s bi ng dng 15 Bin phỏp v kt qu thc hin 18 2.1: Bin phỏp: 18 2.2: Kt qu: 19 PHN III: KT LUN 20 PHN I: T VN I.Lý chn ti: Toỏn hc l b mụn khoa hc c coi l ch lc, bi trc ht toỏn hc hỡnh thnh cho cỏc em tớnh chớnh xỏc, tớnh h thng, tớnh khoa hc, logic, v l mt cụng c b tr cho cỏc mụn khoa hc khỏc Vỡ th cht lng dy v hc mụn toỏn rt c trỳ trng cỏc trng ph thụng i vi trỡnh hc sinh THCS, vic trang b kin thc cú o sõu suy ngh, rốn luyn nng lc t toỏn hc, phỏt huy trớ lc hc sinh l mt iu vụ cựng quan trng, nú l c s vng chc cỏc em hc tt hn Trong chng trỡnh toỏn hc ph thụng phn kin thc phõn tớch a thc thnh nhõn t l mt c bit quan trng, vỡ nú c s dng rt nhiu gii toỏn trờn cỏc a thc, rỳt gn phõn thc, quy ng mu thc cỏc phõn thc, bin i ng nht cỏc biu thc hu t, chng minh ng thc, gii phng trỡnh, gii bt phng trỡnh, v xuyờn sut quỏ trỡnh hc sau ny ca cỏc em phõn tớch a thc thnh nhõn t cú nhiu phng phỏp Vic tỡm phng phỏp thớch hp cho mt bi toỏn c th cho ngn gn, chớnh xỏc, khoa hc, d hiu, hay tỡm nhiu cỏch gii khỏc cho mt bi toỏn ph thuc Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T vo vic tip thu v kh nng dng kin thc ca hc sinh Khi phõn tớch a thc thnh nhõn t hc sinh cũn cn phi dng cỏc kin thc cú liờn quan nh: nhõn, chia hai ly tha cựng c s, cỏc tớnh cht ca phộp nhõn, phộp cng Núi chung, gii bi toỏn liờn quan n vic phõn tớch a thc thnh nhõn t ũi hi hc sinh t nhanh nhy, tớch cc sỏng to, bit quy l v quen cú phng ỏn hp lớ cho bi toỏn giỳp cỏc em hc sinh tip cn v tỡm tũi li gii cho cỏc bi toỏn phõn tớch a thc thnh nhõn t v cỏc bi toỏn ỏp dng phõn tớch a thc thnh nhõn t, cng nh nhm nõng cao kin thc cn thit giỳp cỏc em hc tt mụn toỏn v ng thi phỏt huy trớ tu lc ca hc sinh II.Mc tiờu ca sỏng kin - Nhm o sõu ni dung v phõn tớch a thc thnh nhõn t, giỳp hc sinh nm c cỏc phng phỏp phõn tớch, rốn luyn nhiu k nng gii toỏn loi ny v nhm phỏt trin nng lc t duy, nng lc sỏng to ca hc sinh - Giỳp hc sinh cng c, khc sau kin thc c bn, cú h thng v phõn tớch a thc thnh nhõn t +.Bi phõn tớch thnh nhõn t +.Bi phõn tớch a thc thnh nhõn t gúp phn rốn luyn cho hc sinh c tớnh cn thn, sỏng to ca ngi nghiờn cu khoa hc + Bi cú ỏp dng phõn tớch a thc thnh nhõn t nhm cng c kin thc v phõn tớch a thc ca hc sinh Thy c tỏc dng rt nhiu ca kin thc ny gii mt s dng bi tp, ng thi qua ú phỏt trin trớ tu ca hc sinh, k nng dng ca kin thc ó hc v nhng kin thc tip theo, t logic toỏn hc, tớnh sỏng to *Phm vi, gii hn + Mt s phng phỏp, mt s bi toỏn phõn tớch a thc thnh nhõn t + p dng vi hc sinh lp 8D nm hc 2003 - 2004 PHN II NI DUNG I C s lý lun Trc s phỏt trin mnh m nn kinh t tri thc khoa hc cụng ngh thụng tin nh hin nay, mt xó hi thụng tin ang hỡnh thnh v phỏt trin thi k i mi nh nc ta ó v ang t nn giỏo dc v o to trc nhng thi c v thỏch thc mi hũa nhp tin phỏt trin ú thỡ giỏo dc v o to luụn m nhn vai trũ ht sc quan trng vic o to nhõn lc, nõng cao dõn trớ, bi dng nhõn ti m ng, nh nc ó Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T Nhm ỏp ng c mc tiờu giỏo dc ton din cho hc sinh, ng nht l nõng cao cht lng hc ca hc sinh ngy t nh trng ph thụng L giỏo viờn cng mong mun hc sinh ca mỡnh tin b, lnh hi kin thc d dng, phỏt huy t sỏng to, rốn tớnh t hc, thỡ mụn toỏn l mụn hc ỏp ng y nhng yờu cu ú + Vic hc toỏn khụng phi ch l hc nh SGK, khụng ch lm nhng bi Thy, Cụ m phi nghiờn cu o sõu suy ngh, tỡm tũi , tng quỏt húa v rỳt c nhng iu gỡ b ớch Dng toỏn phõn tớch a thc thnh nhõn t l mt dng toỏn rt quan trng ca mụn i s 8, ỏp ng yờu cu ny, l nn tng, lm c s hc sinh hc tip cỏc chng sau ny nht l hc v rỳt gn phõn thc i s, quy ng mu thc nhiu phõn thc v vic gii phng trỡnh, Tuy nhiờn, vỡ lý s phm v kh nng hc sinh i tr m chng trỡnh ch cp n bn phng phỏp c bn ca quỏ trỡnh phõn tớch a thc thnh nhõn t thụng qua cỏc vớ d c th, vic phõn tớch ú khụng quỏ phc + Vn t l lm th no hc sinh gii bi toỏn phõn tớch a thc thnh nhõn t mt cỏch chớnh xỏc, nhanh chúng v t hiu qu cao thc hin tt iu ny, ũi hi giỏo viờn cn xõy dng cho hc sinh nhng k nng nh quan sỏt, nhn xột, ỏnh giỏ bi toỏn c bit l k nng gii toỏn, k nng dng bi toỏn, tựy theo tng i tng hc sinh, m ta xõy dng cỏch gii cho phự hp trờn c s cỏc phng phỏp ó hc v cỏc cỏch gii khỏc, giỳp hc sinh hc tt hn II C s thc tin Tn ti nhiu hc sinh yu tớnh toỏn, k nng quan sỏt nhn xột, bin i v thc hnh gii toỏn, phn ln mt kin thc cn bn lp di, nht l cha ch ng hc t u chng trỡnh lp Do chõy li hc tp, li da vo ngi khỏc, cha n lc t hc, t rốn, ý thc hc yu kộm a s cỏc em s dng cỏc loi sỏch bỡa cú ỏp ỏn tham kho, nờn gp bi khú cỏc em thng lỳng tỳng, cha tỡm c hng gii thớch hp, khụng bit ỏp dng phng phỏp no trc, phng phỏp no sau, phng phỏp no l phự hp nht, hng gii quyt no tt nht Ph huynh hc sinh cha thc s quan tõm ỳng mc n vic hc ca em mỡnh nh theo dừi, kim tra, ụn c nhc s hc nh III Ni dung Mt s gii phỏp ca ti 1.1: Sp xp bi toỏn theo cỏc mc , nhng dng toỏn c bn *i vi hc sinh yu kộm: (Dng toỏn cng c kin thc c bn) + Phng phỏp t nhõn t chung Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T + Phng phỏp dựng hng ng thc + Phng phỏp nhúm nhiu hng t *i vi hc sinh i tr: (Dng toỏn dng v phỏt trin k nng) + Phi hp nhiu phng phỏp (cỏc phng phỏp trờn) + Cha cỏc sai lm ca hc sinh gii toỏn + Cng c cỏc phộp bin i c bn v hon thin cỏc k nng thc hnh + Khai thỏc bi toỏn, tỡm tũi nhng cỏch gii hay + Gii thiu hai phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t (nõng cao) *i vi hc sinh khỏ gii (Dng toỏn phỏt trin t duy) + Tỏch mt hng t a thc thnh nhiu hng t khỏc + Thờm v bt cựng mt hng t vo a thc 1.2: Xõy dng cỏc phng phỏp gii c bn v phõn tớch a thc thnh nhõn t * Cỏc phng phỏp c bn: Phng phỏp t nhõn t chung PP: + Tỡm nhõn t chung ca cỏc h s (CLN ca cỏc h s) + Tỡm nhõn t chung ca cỏc bin (mi bin chung ly vi s m nh nht) Nhm a v dng: A.B + A.C - A.D = A.(B + C - D) Chỳ ý: Nhiu lm xut hin nhõn t ta cn i du cỏc hng t Vớ d 1: Phõn tớch a thc 14x2 y 21xy2 + 28x2y2 thnh nhõn t (BT39c SGK Tr 19) Giỏo viờn gi ý: + Tỡm nhõn t chung ca cỏc h s 14; 21; 28 cỏc hng t trờn ( HS tr li l 7: Vỡ CLN(14; 21; 28) = 7) + Tỡm nhõn t chung ca cỏc bin x2y, xy2, x2y2 ( HS tr li l xy) + Nhõn t chung ca cỏc hng t a thc a thc ó cho l: 7xy Gii: 14x2 y 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x 3y + 4xy) Vớ d 2: Phõn tớch a thc 10x(x y) 8y(y x) thnh nhõn t (BT39e SGK Tr 19) Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T Giỏo viờn gi ý: + Tỡm nhõn t chung ca cỏc h s 10 v 8? ( HS tr li l 2: Vỡ CLN(10; 8) = 2) + Tỡm nhõn t chung ca x(x y) v y(y x) ? ( HS tr li l (x y) hoc (y x) ) + Nhõn t chung ca cỏc hng t a thc a thc ó cho l: 2(x-y) hoc -2(y-x) + Hóy thc hin i du tớch 10x(x y) hoc tớch 8y(y x) cú nhõn t chung (y x) hoc (x y)? Cỏch 1: i du tớch 8y(y x) = 8y(x y) Cỏch 2: i du tớch 10x(x y) = 10x(y x) Gii: Cỏch 1: 10x(x y) 8y(y x) = 10x(x y) + 8y(x y) = 2(x y).5x + 2(x y).4y = 2(x y)(5x + 4y) Cỏch 2: 10x(x y) 8y(y x) = - 10x(y x) - 8y(y x) = -2(y x).5x - 2(y x).4y = -2(y x)(5x + 4y) = 2(x y)(5x + 4y) Vớ d 3: Phõn tớch a thc 9x(x y) 10(y x)2 thnh nhõn t Li gii sai: 9x(x y) 10(y x)2 = 9x(x y) + 10(x y)2 ( i du sai 10(y x)2 = 10(x y)2 vỡ (y x)2 = (x y)2 ) Li gii ỳng: 9x(x y) 10(y x)2 = 9x(x y) 10(x y)2 = (x y)[9x 10(x y)] = (x y)(10y x) Quy vớ d trờn giỏo viờn cng c cho hc sinh: Cỏch tỡm nhõn t chung ca cỏc hng t (Tỡm nhõn t chung ca cỏc h s v nhõn t chung ca cỏc bin, mi bin chung ly s m nh nht) Quy tc i du v cỏch i du ca cỏc nhõn t mt tớch Chỳ ý: Tớch khụng i ta i du hai nhõn t tớch ú (mt cỏch tng quỏt, tớch khụng i ta i du mt s chn nhõn t tớch ú) Bi ỏp dng: 1/ 4xy2 + x2y 2/ 10x 5y 3/ 5x(x 1) 3y(x 1) 4/ 2x(x 3) 5(3 x) Phng phỏp dựng hng ng thc Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T PP: S dng by hng ng thc ỏng nh di dng tng hoc hiu a v dng tớch A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 2AB + B2 = (A B)2 A2 B2 = (A B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 3A2 B + 3AB2 B3 = (A B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 AB + B2) A3 B3 = (A B)(A2 + AB + B2) Vớ d 4: Phõn tớch a thc (x + y)2 (x y)2 thnh nhõn t (BT 28a SBT tr6) Giỏo viờn gi ý: + a thc trờn cú dng hng ng thc no? (HS: cú dng A2 B2 ) Li gii sai: (x + y)2 (x y)2 = (x + y x y)(x + y + x y) ( Thiu du ngoc) = 0.(2x) = ( Kt qu sai) Li gii ỳng: (x + y)2 (x y)2 = [(x + y) (x y)].[(x + y) + (x y)] = (x + y x + y)(x + y + x y) = 2y.2x = 4xy Cỏc sai lm hc sinh d mc phi: + Quy tc b du ngoc, ly du ngoc v quy tc du + Phộp bin i, k nng nhn dng hng ng thc hiu hai bỡnh phng, bỡnh phng ca mt hiu Khai thỏc bi toỏn: i vi hc sinh khỏ gii, giỏo viờn cú th cho cỏc em lm bi di dng phc hn + Nu thay m bi m ta cú bi toỏn Phõn tớch (x + y)3 (x y)3 thnh nhõn t (BT-44b)-SGK-tr20) +t x + y = a, x y = b, thay m bi m ta cú bi toỏn Phõn tớch a6 b6 thnh nhõn t (BT-26c)-SBT-tr6) a6 b6 = ( a ) ( b3 ) = (a3 b3)( a3 + b3) 2 Vớ d 5: Phõn tớch a6 b6 thnh nhõn t (BT-26c)-SBT-tr6) Gii: a6 b6 = ( a ) ( b3 ) = (a3 b3)( a3 + b3) 2 = (a b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 ab + b2) Giỏo viờn cng c cho hc sinh: Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T Cỏc hng ng thc ỏng nh, k nng nhn dng hng ng thc qua bi toỏn, da vo cỏc hng t, s m ca cỏc hng t m s dng hng ng thc cho thớch hp Phng phỏp nhúm nhiu hng t PP: La chn cỏc hng t thớch hp thnh lp nhúm, nhm lm xut hin nhõn t chung hoc hng ng thc Chỳ ý: Cỏc hng t ca mt nhúm c mt ngoc Thụng thng ta da vo cỏc mi quan h sau: + Quan h gia cỏc h s, gia cỏc bin ca cỏc hng t bi toỏn + Thnh lp nhúm theo mi quan h ú, phi tha món: - Mi nhúm u phõn tớch c - Sau phõn tớch a thc thnh nhõn t mi nhúm thỡ quỏ trỡnh phõn tớch thnh nhõn t phi tip tc thc hin c na * Nhúm nhm xut hin phng phỏp t nhõn t chung Vớ d 6: Phõn tớch a thc x2 xy + x y thnh nhõn t (BT 47a)-SGK-tr22) Cỏch 1: nhúm (x2 xy) v (x y) Cỏch 2: nhúm (x2 + x) v ( xy y) Li gii sai: x2 xy + x y = (x2 xy) + (x y) = x(x y) + (x y) = (x y)(x + 0) (Kt qu sai vỡ thc hin phộp chia sai) Sai lm ca hc sinh l: HS cho rng ngoc th hai t nhõn t chung (x-y) thỡ cũn li Li gii ỳng: x2 xy + x y = (x2 xy) + (x y) = x(x y) + 1.(x y) = (x y)(x + 1) Nhúm nhm xut hin phng phỏp dựng hng ng thc Vớ d 7: Phõn tớch a thc x2 2x + 4y2 thnh nhõn t Gii: x2 2x + 4y2 = (x2 2x + 1) (2y)2 = (x 1)2 (2y)2 = (x 2y)(x + 2y) Nhúm nhm s dng hai phng phỏp trờn Vớ d 8: Phõn tớch a thc x2 2x 4y2 4y thnh nhõn t Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T Li gii sai: x2 2x 4y2 4y = (x2 4y2) (2x 4y) (t du sai) = (x + 2y)(x 2y) 2(x 2y) (sai t trờn) = (x 2y)(x + 2y 2) (Kt qu du sai) Sai lm ca hc sinh l: Nhúm x2 2x 4y2 4y = (x2 4y2) (2x 4y) (t du sai ngoc th hai) Hc sinh cng r mc sai lm cỏch nhúm x2 2x 4y2 4y = (x2 2x ) (4y2 + 4y ) = x(x 2) 4y (y + 1) (ti õy ta khụng thc hin tip c na) Li gii ỳng: x2 2x 4y2 4y = (x2 4y2) + ( 2x 4y) = (x + 2y)(x 2y) 2(x + 2y) = (x + 2y)(x 2y 2) Qua cỏc vớ d trờn, giỏo viờn lu ý cho hc sinh: Cỏch nhúm cỏc hng t v t du tr hoc du cng + trc du ngoc, phi kim tra li cỏch t du thc hin nhúm Trong phng phỏp nhúm thng dn n s sai du, vỡ vy hc sinh cn chỳ ý cỏch nhúm v kim tra li kt qu sau nhúm Lu ý: Sau phõn tớch a thc thnh nhõn t mi nhúm thỡ quỏ trỡnh phõn tớch thnh nhõn t khụng thc hin c na, thỡ cỏch nhúm ú ó sai, phi thc hin li 1.3: Vn dng v phỏt trin k nng Phi hp cỏc phng phỏp thụng thng PP: L s kt hp nhun nhuyn gia cỏc phng phỏp nhúm nhiu hng t, t nhõn t chung, dựng hng ng thc Vỡ vy, hc sinh cn nhn xột bi toỏn mt cỏch c th, mi quan h ca cỏc hng t v tỡm hng gii thớch hp Ta thng xột tng phng phỏp: t nhõn t chung; dựng hng ng thc; nhúm nhiu hng t Vớ d 9: Phõn tớch a thc x4 9x3 + x2 9x thnh nhõn t (BT- ?2 -SGKtr22) Gi ý phõn tớch: xột tng phng phỏp: t nhõn t chung; Dựng hng ng thc; Nhúm nhiu hng t Cỏc sai lm hc sinh thng mc phi: Li gii cha hon chnh: Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T a) x4 9x3 + x2 9x = x(x3 9x2 + x 9) ( phõn tớch cha trit ) b) x4 9x3 + x2 9x = (x4 9x3 ) + (x2 9x) = x3(x 9) + x(x 9) = (x 9)(x3 + x) ( phõn tớch cha trit ) Li gii ỳng: x4 9x3 + x2 9x = x(x3 9x2 + x 9) = x[(x3 9x2 ) + (x 9)] = x[x2 (x 9) + 1.(x 9)] = x(x 9)(x2 + 1) Vớ d 10: Phõn tớch a thc A = (x + y + z)3 x3 y3 z3 thnh nhõn t (BT 57 SBT tr toỏn 1) + Trong vớ d ny cú nhiu cỏch gii, hc sinh cn phi linh hot la chn cỏch gii phự hp nht, gn nht p dng hng ng thc: (A + B)3= A3 + B3 + 3AB(A + B) Suy ra: A3 + B3 = (A + B)3 3AB(A + B) Gii: A = (x + y + z)3 x3 y3 z3 = [(x + y) + z]3 x3 y3 z3 = (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) x3 y3 z3 = [(x + y)3 x3 y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z) Khai thỏc bi toỏn: Chng minh rng A chia ht cho vi mi s nguyờn x, y, z Cho x + y + z = Chng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bi 38-SBT-tr7) HD: Dựng x3 + y3 = (x + y)3 3xy(x + y) v x + y + z = x + y = z Phõn tớch a thc x3 + y3 + z3 3xyz thnh nhõn t (Bi 28c)-SBT-tr6) HD: Dựng x3 + y3 = (x + y)3 3xy(x + y) Trong chng trỡnh SGK toỏn hin hnh ch gii thiu phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t ú l: t nhõn t chung, dựng hng ng thc, nhúm nhiu hng t trờn gii (Chng hn nh bi 53, 57 gsk/24 25) Tỏc gi cú gi ý cỏch tỏch mt hng t thnh hai hng t khỏc hoc Thờm v bt cựng 10 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T mt hng t thớch hp ri ỏp dng cỏc phng phỏp trờn gii Xin gii thiu thờm v hai phng phỏp ny, hc sinh dng rng rói thc hnh gii toỏn 1.4: Phỏt trin t Phng phỏp tỏch mt hng t thnh nhiu hng t: Vớ d 11: Phõn tớch a thc f(x) = 3x2 8x + thnh nhõn t Gii: + Cỏch 1: (Tỏch hng t: 3x2) 3x2 8x + = 4x2 8x + x2 = (2x 2)2 x2 = (2x x)( 2x + x) = (x 2)(3x 2) 3x2 8x + = 3x2 6x 2x + + Cỏch 2: (Tỏch hng t: 8x) = 3x(x 2) 2(x 2) = (x 2)(3x 2) Cỏch 3: (Tỏch hng t: 4) 3x2 8x + = 3x2 12 8x + 16 = 3(x2 22) 8(x 2) = 3(x 2)(x + 2) 8(x 2) = (x 2)(3x + 8) = (x 2)(3x 2) Nhn xột: T vớ d trờn, ta thy vic tỏch hng t thnh nhiu hng t nhm: - Lm xut hin hng ng thc hiu ca hai bỡnh phng (Cỏch 1) - Lm xut hin cỏc h s mi hng t t l vi nhau, nh ú lm xut hin nhõn t chung x 2.( Cỏch 2) - Lm xut hin hng ng thc v nhõn t chung.(Cỏch 3) Vỡ vy, vic tỏch hng t thnh nhiu hng t khỏc l nhm lm xut hin cỏc phng phỏp ó hc nh: t nhõn t chung, dựng hng ng thc, nhúm nhiu hng t l vic lm ht sc cn thit i vi hc sinh gii toỏn Khai thỏc cỏch gii: Tỏch hng t: -8x( cỏch 2) Nhn xột: Trong a thc 3x2 6x 2x + ta thy h s cỏc s hng l: 3, 6, 2, t l = Hay ( 6).( 2) = 3.4 v ( 6) + ( 2)= Khai thỏc: Trong a thc 3x2 8x + t a = 3, b = 8, c = Tớnh tớch a.c v phõn tớch a.c = b1.b2 cho b1 + b2 = b 11 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T (a.c = b1.b2 = 3.4 = ( 6).( 2) = 12; b1 + b2 = b = ( 6) + ( 2)= 8) Tng quỏt: phõn tớch a thc dng ax2 + bx + c thnh nhõn t, ta tỏch hng t bx thnh b1x + b2x cho b1b2 = ac Trong thc hnh ta lm nh sau: Bc 1: Tỡm tớch a.c Bc 2: phõn tớch a.c thnh tớch ca hai tha s nguyờn bng mi cỏch Bc 3: Chn hai tha s m tng bng b p dng: Phõn tớch a thc 6x2 + 7x thnh nhõn t (Bi 35c)-SBT-tr7) Ta cú: a = 6; b = 7; c = Bc 1: ac = (6).(2) = 12 Bc 2: ac = (6).(2) = (4).(3) =(12).(1) = 6.2 = 4.3 = 12.1 Bc 3: b = = + Khi ú ta cú li gii: 6x2 + 7x = 6x2 + 4x + 3x = ( 6x2 + 4x) + (3x 2) = 2x(3x 2) + (3x 2) = (3x 2)(2x + 1) Lu ý: i vi a thc f(x) cú bc t ba tr lờn, lm xut hin cỏc h s t l, tựy theo c im ca cỏc h s m ta cú cỏch tỏch riờng cho phự hp nhm dng phng phỏp nhúm hoc hng ng thc hoc t nhõn t chung Vớ d 12: Phõn tớch a thc sau tha s: n3 7n + Gii: n3 7n + = n3 n 6n + = n(n2 1) 6(n 1) = n(n 1)(n + 1) 6(n 1) = (n 1)[n(n + 1) 6] = (n 1)(n2 + n 6) = (n 1)(n2 2n + 3n 6) = (n 1)(n(n 2) + 3(n 2)) = (n 1)(n 2)(n + 3) Vớ d 13: Phõn tớch a thc x4 30x2 + 31x 30 thnh nhõn t Ta cú cỏch tỏch nh sau: x4 30x2 + 31x 30 = x4 + x 30x2 + 30x 30 Gii: x4 30x2 + 31x 30 = x4 + x 30x2 + 30x 30 = x(x3 + 1) 30(x2 x + 1) 12 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T = x(x + 1)(x2 x + 1) 30(x2 x + 1) = (x2 x + 1)(x2 + x 30) = (x2 x + 1)(x 5)(x + 6) Phng phỏp thờm v bt cựng mt hng t Phng phỏp thờm v bt cựng mt hng t nhm s dng phng phỏp nhúm xut hin dng t nhõn t chung hoc dng hng ng thc Vớ d 14: Phõn tớch a thc x4 + x2 + thnh nhõn t Ta phõn tớch: - Tỏch x2 thnh 2x2 x2 ( Lm xut hin hng ng thc) Ta cú x4 + x2 + = x4 + 2x2 + x2 = (x4 + 2x2 + 1) x2 - Thờm x v bt x: (Lm xut hin hng ng thc v nhõn t chung) Ta cú x4 + x2 + = x4 x + x2 + x + = (x4 x) + (x2 + x + 1) Gii: x4 + x2 + = x4 x + x2 + x + = (x4 x) + (x2 + x + 1) = x(x 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 x + 1) Vớ d 15: Phõn tớch a thc x5 + x4 + thnh nhõn t Cỏch 1: Thờm x3 v bt x3 (lm xut hin hng ng thc v t nhõn t chung) Gii: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 x3 + = (x5 + x4 + x3) + (1 x3) = x3(x2+ x + 1) + (1 x)(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 x + ) Cỏch 2: Thờm x3, x2, x v bt x3, x2, x (lm xut hin nhõn t chung) Gii: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 x3 + x2 x2 + x x + = (x5 + x4 + x3) + ( x3 x2 x) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 x + ) Chỳ ý: Cỏc a thc cú dng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,.; tng quỏt nhng a thc dng x3m+2 + x3n+1 + 1hoc x3 1, x6 u cú cha nhõn t x2 + x + Vớ d 16: Phõn tớch a thc x4 + thnh nhõn t (Bi 57d sgk- tr 25) Gi ý: Thờm 4x2 v bt 4x2 (lm xut hin hng ng thc) Gii: x4 + = x4 + 4x2 + 4x2 = (x2 + 2)2 (2x)2 = (x2 + 2x)( x2 + + 2x) 13 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T Khai thỏc bi toỏn: Thay thnh 64y4, ta cú bi toỏn: x4 + 64y4 Hng dn gii: Thờm 16x2y2 v bt 16x2y2 (lm xut hin hng ng thc) x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 (4xy)2 = (x2 + 8y2 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy) Trờn õy l mt vi vớ d in hỡnh giỳp cỏc em hc sinh gii quyt nhng khú khn quỏ trỡnh gii bi toỏn cú liờn quan n vic phõn tớch a thc thnh nhõn t Phng phỏp t bin ph Trong mt s trng hp, vic phõn tớch a thc thnh nhõn t c thun li, ta phi t bin ph thớch hp Vớ d 17: Phõn tớch thnh nhõn t A = (x2 + 2x + 8)2 + 3x(x2 + 2x + 8) + 2x2 t y = x2 + 2x + ta cú A = y2 + 3xy + 2x2 = (x+y)(2x +y) A= (x2 + 3x + 8)(x + 2)(x + 4) Phng phỏp gim dn s m ca ly tha Phng phỏp ny ch ỏp dng c cho cỏc a thc nh a7 + a5 + 1; a8 + a4 + 1; l nhng a thc cú dng a3k +2 +a3k+1 +1 Khi phõn tớch cỏc a thc cú dng nh trờn thỡ biu thc sau phõn tớch u cú nhõn t l a2 + a + Vớ d 18: Phõn tớch a thc thnh nhõn t B = a5 + a4 + B = a5 + a4 + a3 a3 a2 - a + a2 + a + = a3(a2 + a + 1) a(a2 + a + 1) + (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1)( a3 - a + 1) Phng phỏp dựng h s bt nh C s ca phng phỏp ny l: Hai a thc (vit di dng thu gn) l ng nht v ch mi h s ca cỏc n thc ng dng cha hai a thc ú phi bng Vớ d 19 : Phõn tớch a thc sau thnh tớch ca a thc: mt a thc bc nht, mt a thc bc hai x3 19x 30 Ta cú kt qu phõn tớch cú dng : x3 19x 20 = (x + a)( x2 + bx + c) = x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac = x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac Ta phi tỡm h s a, b, c tha món: 14 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T a+b=0 c + ab = -19 ac = -30 Vỡ a, c Z v tớch ac = -30 ú a, c { 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} Vi a = 2; c = -15 ú b = -2 tha h thc trờn, ú l b s phi tỡm tc l: x3 19x 30 = (x + 2)(x2 2x 15) Trờn õy l mt s phng phỏp thng dựng phõn tớch a thc thnh nhõn t Thụng qua cỏc phng phỏp phõn tớch ny ta thy, vic phõn tớch a thc thnh nhõn t khụng phi lỳc no cng ỏp dng khuụn mu theo mt phng phỏp gii c nh no ú Do ú, tựy tng bi m hc sinh la chn cho mỡnh mt phng phỏp gii thớch hp, ụi phi phi hp nhiu phng phỏp cú mt cỏch phõn tớch nhanh nht v cú hiu qu nht Nu ch cú i gii nhng bi phõn tớch a thc thnh nhõn t m khụng gii thiu nhng ng dng ca bi toỏn ny thỡ cha gõy c s say mờ, tỡm tũi ca cỏc em Sau õy l mt s ng dng ca bi toỏn phõn tớch a thc thnh nhõn t 1.5: Mt s bi ng dng Nh chỳng ta ó bit: Phõn tớch a thc thnh nhõn t l bin i a thc ú thnh mt tớch ca nhng n thc, a thc khỏc Do vy, i vi mt s dng toỏn nu ta ỏp dng kt qu phõn tớch thnh nhõn t thỡ s giỳp cho vic gii mt s dng toỏn di õy mt cỏch d dng Dng 1: Tớnh nhanh Vớ d 20: Tớnh nhanh a/ 732 272 = (73 27)(73 + 27) = 46 100 = 4600 b/ 20022 = 20022 22 = (2002 + 2)(2002 2) = 2004 2000 = 4008000 c/ 37,5.6,5 - 7,5.3,4 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) (7,5.3,4 + 6,6.7,5) = 37,5(6,5 + 3,5) 7,5(3,4 + 6,6) = 37,5.10 7,5.10 15 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T = 375 75 (hoc: = 10(37,5 7,5) = 10.30 = 300) = 300 d/ 452 + 402 152 + 80.45 = 452 + 2.40.45 + 402 152 = (45 + 40)2 152 = 852 152 = (85 15)(85 + 15) = 70.100 = 7000 Dng 2: Tớnh giỏ tr biu thc Vớ d 21: Tớnh giỏ tr cỏc biu thc sau a/ 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500 b/ 5x5(x 2z) + 5x5(2z x) , vi x = 2010; y = 2011; z = -1 Ta cú: 5x5(x 2z) + 5x5(2z x) = 5x5 (x 2z + 2z x) = 5x5.0 = Vi x = 2010; y = 2011; z = -1 thỡ biu thc bng c/ ( 43-11) ( 43+11) 432 -112 32.54 32 = = 2 = 36,5 - 27,5 ( 36,5- 27,5) ( 36,5 + 27,5 ) 9.54 3 97 +83) ( 972 -97.83+832 ) ( 97 +83 d/ -97.83 = -97.83 180 180 180.8247 = -97.83 = 8247 -97.83 = 8247 -8051=196 180 Trong vớ d trờn, c bit l cõu b nhn thy nu nh hc sinh khụng s dng cỏc phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t thỡ vic tớnh toỏn s gp rt nhiu khú khn nờn cn hng dn cho cỏc em: +Trc ht hóy phõn tớch cỏc biu thc ó cho thnh nhõn t +Thay giỏ tr ca bin vo biu thc ó phõn tớch tớnh Cú nhng biu thc hc sinh ch tớnh theo cỏch tớnh thụng thng, tc l thay cỏc giỏ tr ca bin vo biu thc tớnh giỏ tr Cỏch lm ú thng rt phc cho kt qu Vỡ vy, giỏo viờn cn gi ý cho hc sinh phõn tớch biu thc thnh nhõn t ri mi thay giỏ tr ca bin vo tớnh giỏ tr ca biu thc Chng hn nh vớ d sau õy: Vớ d 22: Tớnh giỏ tr biu thc x(x 1) y(1 x) ti x = 2000, y = 1999 16 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T Ta cú x(x 1) y(1- x) = x(x 1) + y(x 1) = (x 1)(x + y) Thay x = 2001, y = 1999 ta c (2001 1)(2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000 Dng 3: Tỡm x tha iu kin cho trc Vớ d 23: Tỡm x, bit a/ x(x 2) + x = Ta cú x(x 2) + x = x(x 2) + (x 2) = (x 2)(x + 1) Nờn (x 2)(x + 1) = hoc x = hoc x = - b/ 5x(x 3) x + = Ta cú 5x(x 3) x + = 5x(x 3) (x 3) = (x 3)(5x 1) Nờn (x 3)(5x 1) = hoc x = hoc x = Trong dng toỏn ny cú th nhn thy õy l mt cỏch bin i a mt v ca ng thc v mt tớch ca nhng nhõn t v cũn li bng nờn giỏo viờn cú th hng dn hc sinh thc hin theo trỡnh t sau: +Chuyn tt c cỏc hng t ca ng thc v v trỏi v v phi bng +Sao ú phõn tớch v trỏi thnh nhõn t c dng A(x).B(x) = +Sao ú ln lt tỡm x ca cỏc ng thc A(x) = v B(x) = ta c kt qu Dng 4: Chng minh chia ht õy l dng toỏn khụng khú lm, nhng vic dng phõn tớch a thc thnh nhõn t gii thỡ li l khú cho cỏc em hc sinh, cú th hng dn cỏc em gii theo nh hng sau õy: +Phõn tớch biu thc tha s nguyờn t xut hin s chia +S nguyờn a chia ht cho s nguyờn b (b0) nu cú s nguyờn k cho a = b.k Vớ d 24: Chng minh rng: 55n + 55n chia ht cho 54 vi mi s t nhiờn n Ta cú: 55n + 55n = 55n(55 1) = 55n.54 chia ht cho 54 Vớ d 25: Chng minh rng (5n + 2)2 chia ht cho vi mi s nguyờn n Ta cú: (5n + 2)2 = (5n + 2)(5n + + 2) = 5n(5n + 4) chia ht cho vi mi s nguyờn n Dng 5: Chng minh ng thc 17 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T Vớ d 26: CMR nu a3 + b3 + c3 = 3abc thỡ a = b = c hoc a + b + c = T ng thc ó cho suy ra: a3 + b3 + c3 3abc = Ta cú: b3 + c3 = (b + c)(b2 + c2 bc) = (b + c)[(b + c)2 3bc] = (b + c)3 3bc(b + c) a3 + b3 + c3 = a3 + (b3 + c3) = a3 + (b + c)3 3bc(b + c) = (a + b +c) [a2 a(b + c) + (b + c)2] 3bc(a + b +c) = (a + b +c)(a2 + b2 + c2 ab bc ca) Do ú nu a3 + b3 + c3 3abc = thỡ a + b + c = hoc: a2 + b2 + c2 ab bc ca = hay (a b)2 + (b c)2 + (c a) = suy a = b = c Qua vớ d trờn nhn thy bng cỏch phõn tớch a thc thnh nhõn t ca v trỏi ng thc v dng tớch bng 0, sau ú xột tng tha s bng ri chng minh ng thc ta cú c kt qu cn tỡm Bin phỏp v kt qu thc hin 2.1: Bin phỏp: thc hin tt k nng phõn tớch a thc thnh nhõn t nờu trờn thnh tho thc hnh gii toỏn, giỏo viờn cn cung cp cho hc sinh cỏc kin thc c bn sau: Cng c li cỏc phộp tớnh, cỏc phộp bin i, quy tc du v quy tc du ngoc lp 6, Ngay t u chng trỡnh i S giỏo viờn cn chỳ ý dy tt cho hc sinh nm vng kin thc v nhõn n thc vi a thc, a thc vi a thc, cỏc hng ng thc ỏng nh Vic dng thnh tho c hai chiu ca cỏc hng ng thc Khi gp bi toỏn phõn tớch a thc thnh nhõn t, hc sinh cn nhn xột: - Quan sỏt c im ca bi toỏn: Nhn xột quan h gia cỏc hng t bi toỏn ( v cỏc h s, cỏc bin) - Nhn dng bi toỏn: Xột xem bi toỏn ó cho thuc dng no? p dng phng phỏp no trc, phng phỏp no sau cho phự hp (t nhõn t chung hoc dựng hng ng thc hoc nhúm nhiu hng t, hay dng phi hp cỏc phng phỏp) - Chn phng phỏp gii thớch hp: 18 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T T nhng c s trờn m ta chn la phng phỏp cho phự hp vi bi toỏn Lu ý: - Nu bc 1, ó s dng phng phỏp t nhõn t chung thỡ bc tip theo i vi biu thc cũn li ngoc, thng l thu gn, hoc s dng phng phỏp nhúm hoc dựng phng phỏp hng ng thc - Nu bc 1, ó s dng phng phỏp nhúm cỏc hng t thỡ bc tip theo i vi biu thc ó nhúm, thng s dng phng phỏp nhúm hoc dựng phng phỏp hng ng thc - Nu bc 1, ó s dng phng phỏp dựng hng ng thc thỡ bc tip theo ca bi toỏn thng s dng phng phỏp t nhõn t chung hoc dựng hng ng thc * Chỳ ý: + Phng phỏp t nhõn t chung khụng th s dng liờn tip hai bc lin + Phng phỏp nhúm khụng th s dng liờn tip hai bc lin + Phng phỏp dựng hng ng thc cú th s dng liờn tip hai bc lin - Trong phng phỏp t nhõn t chung hc sinh thng hay b sút hng t - Trong phng phỏp nhúm hc sinh thng t du sai Vỡ vy: Giỏo viờn nhc nh hc sinh cn thn thc hin cỏc phộp bin i, cỏch t nhõn t chung, cỏch nhúm cỏc hng t, sau mi bc gii phi cú s kim tra, phi cú s ỏnh giỏ bi toỏn chớnh xỏc theo l trỡnh nht nh, t ú la chn v s dng cỏc phng phỏp phõn tớch cho phự hp Xõy dng hc sinh thúi quen hc tp, bit quan sỏt, nhn dng bi toỏn, nhn xột ỏnh giỏ bi toỏn theo quy trỡnh nht nh, bit la chn phng phỏp thớch hp dng vo tng bi toỏn, s dng thnh tho k nng gii toỏn thc hnh, rốn luyn kh nng t hc, t tỡm tũi sỏng to Khuyn khớch hc sinh tham gia hc t, nhúm, hc sỏng to, tỡm nhng cỏch gii hay, cỏch gii khỏc 2.2: Kt qu: Kt qu ỏp dng luyn k nng ny ó gúp phn nõng cao cht lng hc ca b mụn i vi hc sinh i tr C th kt qu kim tra v dng toỏn phõn tớch a thc thnh nhõn t c thng kờ qua cỏc giai on lp 8D nm hc 2013 2014 a) Lp TS Hc sinh TRC KHI P DNG Cht lng Gii Khỏ TB Nguyn Th Mai Chinh Yu Kộm 19 Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T 8D 30 SL % SL % SL % SL % 0 20 20 66,7 13,3 b) SL % 0 SAU KHI P DNG Lp TS Cht lng Hc sinh 8D 30 Gii Khỏ TB Yu SL % SL % SL % SL % 0 15 50 15 50 0 Kộm SL % 0 * Nhn xột: Hc sinh nm vng chc cỏc kin thc v phõn tớch a thc thnh nhõn t, dng thnh tho k nng bin i, phõn tớch, bit da vo cỏc bi toỏn ó bit cỏch gii trc ú, linh hot bin i v dng hng ng thc v ó trỡnh by bi gii hp lớ hn cú h thng v logic, ch cũn mt s ớt hc sinh quỏ yu, kộm cha thc hin tt * Hc sinh tớch cc tỡm hiu k phng phỏp gii, phõn loi tng dng toỏn, ch ng lnh hi kin thc, cú k nng gii nhanh cỏc bi toỏn cú dng tng t, t nhiu mi, nhiu bi toỏn mi * Túm li: T thc t ging dy ỏp dng phng phỏp ny tụi nhn thy hc sinh nm vng kin thc hn, hiu rừ cỏc cỏch gii toỏn dng bi ny Kinh nghim ny ó giỳp hc sinh trung bỡnh, hc sinh yu nm vng v cỏch phõn tớch a thc thnh nhõn t chng trỡnh ó hc c hc v rốn luyn k nng thc hnh theo hng tớch cc húa hot ng nhn thc nhng mc khỏc thụng qua mt chui bi Bờn cnh ú cũn giỳp cho hc sinh khỏ gii cú iu kin tỡm hiu thờm mt s phng phỏp gii khỏc, cỏc dng toỏn khỏc nõng cao hn, nhm phỏt huy ti nng, toỏn hc, phỏt huy tớch t hc, tỡm tũi, sỏng to ca hc sinh hc toỏn PHN III: KT LUN Bi hc kinh nghim Thụng qua vic nghiờn cu ti v nhng kinh nghim t thc tin ging dy, cho phộp tụi rỳt mt s kinh nghim sau: + i vi hc sinh yu kộm: l mt quỏ trỡnh liờn tc c cng c v sa cha sai lm, cn rốn luyn cỏc k nng hc sinh cú kh nng nm c phng phỏp dng tt cỏc phng phỏp phõn tớch c bn vo gii toỏn, cho hc sinh thc hnh theo mu vi cỏc bi tng t, bi t n gin n phc tp, khụng nờn dn cỏc em i quỏ xa ni dung sgk 20 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T + i vi hc sinh i tr: Giỏo viờn cn chỳ ý cho hc sinh ch nm chc cỏc phng phỏp c bn, k nng bin i, k nng thc hnh v vic dng tng phng phỏp c bn, k nng bin i, k nng thc hnh v vic dng tng phng phỏp a dng hn vo tng bi c th, luyn kh nng t hc, gi s sy mờ hng thỳ hc, kớch thớch v dy úc tỡm tũi, ch ng chim lnh kin thc + i vi hc sinh khỏ gii: Ngoi vic nm chc cỏc phng phỏp c bn, ta cn cho hc sinh tỡm hiu thờm cỏc phng phỏp phõn tớch nõng cao khỏc, cỏc bi dng m rng giỳp cỏc em bit m rng , tng t húa vic gii bi toỏn phõn tớch a thc thnh nhõn t tt hn Qua ú cho hc sinh thúi quen t hc, t tỡm tũi sỏng to, khai thỏc cỏch gii, khai thỏc bi toỏn khỏc nhm phỏt trin t mt cỏch ton din cho quỏ trỡnh t nghiờn cu ca cỏc em + i vi giỏo viờn: Giỏo viờn thng xuyờn kim tra mc tip thu v dng ca hc sinh quỏ trỡnh cung cp cỏc thụng tin mi cú liờn quan chng trỡnh i s ó cp trờn Giỏo viờn phi nh hng v vch nhng dng toỏn m hc sinh phi liờn h v ngh n tỡm hng gii hp lý nh ó cp, giỳp hc sinh nm vng hn v cỏc dng toỏn v c rốn luyn v nhng k nng phõn tớch mt cỏch tng minh mi dng bi tỡm hng gii sau ú bit ỏp dng v phỏt trin nhanh cỏc bi tng hp, k nng dng cỏc phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t mt cỏch ton din, gi s sy mờ hng thỳ hc tp, tỡm tũi sỏng to, kớch thớch v dy kh nng t hc ca hc sinh, ch ng hc v hc toỏn - Nu thc hin tt phng phỏp trờn quỏ trỡnh ging dy v hc thỡ cht lng hc b mụn ca hc sinh s c nõng cao hn, o to c nhiu hc sinh khỏ gii, ng thi truyn chn c nhiu hc sinh gii cp trng, cp huyn Hng ph bin ỏp dng ti c trin khai ph bin v ỏp dng rng rói chng trỡnh i s cho cỏc nm hc sau, cho nhng trng cựng loi hỡnh Hng nghiờn cu phỏt trin ti s c nghiờn cu tip tc cỏc phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t khỏc (nõng cao) ti nghiờn cu cho cỏc a thc phc hn, i sõu vo vic nghiờn cu cỏc a thc c bit XC NHN CA TH TRNG N V H Ni, ngy 25 thỏng 03 nm 2014 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi 21 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T khỏc Tỏc gi Nguyn Th Mai Chinh Ti liu tham kho 1.Sỏch giỏo khoa i s - (NXB GIO DC VIT NAM, Ch biờn: Tụn Thõn,V Hu Bỡnh, Trn ỡnh Chõu , tỏi bn ln th by) 2.Sỏch giỏo viờn i s - (NXB GIO DC VIT NAM, Ch biờn: Tụn Thõn,V Hu Bỡnh, Trn ỡnh Chõu , tỏi bn ln th by) 3.Sỏch bi i s - (NXB GIO DC VIT NAM, Ch biờn: Tụn Thõn,V Hu Bỡnh, Trn ỡnh Chõu , tỏi bn ln th by) 4.Kin thc c bn v nõng cao toỏn - (NXB H NI, Ch biờn: Nguyn Ngc m, Nguyn Quang Hanh, Ngụ Long Hu) Sỏch toỏn bi dng hc sinh lp (NXB GIO DC VIT NAM, Ch biờn: Tụn Thõn,V Hu Bỡnh, Trn ỡnh Chõu , tỏi bn ln th by) 6.Cỏc dng toỏn i s (NXB GIO DC VIT NAM, Ch biờn: Tụn Thõn,V Hu Bỡnh, Trn ỡnh Chõu , tỏi bn ln th by) 22 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T ý kiến nhận xét đánh giá xếp loại Hội đồng khoa học sở Chủ tịch hội đồng (Ký tên, đóng dấu) nhận xét đánh giá xếp loại Hội đồng khoa học cấp huyện 23 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T Chủ tịch hội đồng (Ký tên, đóng dấu) 24 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T 25 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng [...]... phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t khỏc (nõng cao) ti nghiờn cu cho cỏc a thc phc tp hn, i sõu vo vic nghiờn cu cỏc a thc c bit XC NHN CA TH TRNG N V H Ni, ngy 25 thỏng 03 nm 2014 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng sao chộp ni dung ca ngi 21 Nguyn Th Mai Chinh Trng THCS Tam Hng RẩN K NNG PHN TCH A THC THNH NHN T khỏc Tỏc gi Nguyn Th Mai Chinh Ti liu tham kho 1.Sỏch giỏo khoa i s 8 - tp 1 (NXB