ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐỀ THI XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chào người! Quay trở lại với lời hẹn mùa Toán Cao cấp năm trước, xin chia sẻ với người đáp án tham khảo đề thi Xác suất – Thống kê khóa trước Thành thật với bạn học không nhiều Chính xác luôn, họa vào lớp vài ba lần toàn để ngủ Vậy nên sau đợt kiểm tra lấy điểm cột điểm cột vắng mặt (do kiểm tra ngày nào) Mình khai báo điều để bạn tự cân nhắc lại xem có nên tin tưởng vào đáp án đề nghị đứa “vô học” hay không Toàn thứ mày mò từ sách tài liệu liên quan suốt tuần qua Chính không qua giáo viên giảng nên thứ viết có lỗi, sai không phù hợp với cách học cách dạy bạn lớp Nhưng mong rằng, tin tưởng mình, bạn có phản hồi tích cực để giúp tài liệu tham khảo ngày hoàn thiện Đối với tập tin chia sẻ cho bạn, tập tin tài liệu hoàn toàn miễn phí không mục đích thương mại Mình viết để kiếm tiền, không thánh thiện đến mức lòng tốt chia sẻ cho người Lý viết chia sẻ tài liệu xin phép không tiết lộ Mong người giữ gìn danh nghĩa cho tài liệu này, là: “Chỉ để tham khảo ôn thi mà thôi!” Có phần chưa nghiên cứu tới nên chưa giải Có phần chưa cách làm lập luận nên chưa thể công bố Có sơ sót, lỗi sai (rất nhiều) Và tất theo hướng tự luận Mình ghét trắc nghiệm (thông cảm) Rất mong nhận phản hồi, góp ý từ bạn! Mọi ý kiến thắc mắc, đề nghị “Bình luận” trực tiếp facebook “Gửi tin nhắn” trực tiếp cho Cũng liên hệ qua e-mail: keh_hikari_f@yahoo.com.vn (Dạo không thảnh thơi đợt Toán Cao cấp nên không giải nhiều đề Nhưng nói chung cố gắng) TRIỆU ĐOAN AN Khóa 40 – Đề 01 Câu 1: Có 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Lấy ngẫu nhiên chữ số Tính xác suất để tổng chữ số lấy số lẻ -Tổng số cách lấy ba chữ số là: C10 -Để tổng chữ số lấy số lẻ số đó: (Có số lẻ số chẵn) (Cả số số lẻ) -Suy số cách chọn số để tổng chúng số lẻ là: C51 C52 + C53 -Xác suất cần tính: P= C51 C52 + C53 = C10 Câu 2: Có lô hàng có sản phẩm, có phế phẩm, chia thành phần Tính xác suất để phần có phế phẩm *Trước tiên, ta phải tính số cách chia sản phẩm thành phần -Để chia sản phẩm thành phần nhau, ta cần thực công việc: Chọn từ sản phẩm tạo thành nhóm Số cách: C93 Chọn từ sản phẩm lại tạo thành nhóm Số cách: C63 Chọn từ sản phẩm lại tạo thành nhóm Số cách: C33 -Các công việc thực liên tiếp nên số cách thực là: C93 C63 C33 *Ta phải chia sản phẩm thành phần, phần gồm sản phẩm tốt phế phẩm -Để làm điều trên, ta cần làm công việc liên tiếp sau: Chọn sản phẩm từ sản phẩm tốt phế phẩm từ phế phẩm Số cách: C62 C31 Chọn tiếp sản phẩm từ sản phẩm tốt lại phế phẩm từ phế phẩm lại Số cách: C42 C21 Còn lại sản phẩm tạo thành phần có sẵn sản phẩm tốt phế phẩm Số cách C22 C11 -Vì công việc thực liên tiếp nên tổng số cách thực là: (C62 C31 ) (C42 C21 ) (C22 C11 ) *Xác suất để chia sản phẩm thành phần bàng phần có phế phẩm là: P= C62 C31 C42 C21 C22 C11 C62 C31 C42 C21 = = 3 3 28 C9 C6 C3 C9 C6 Câu 3: Một kiện hàng gồm sản phẩm, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại tùng sản phẩm gặp phế phẩm dừng lại Tìm số lần lấy trung bình để gặp phế phẩm -Số lần lấy để lấy phế phẩm 1, số lần nhiều để lấy phế phẩm Xác suất để lấy lần phế phẩm là: P1 = 3 Xác suất để lấy lần phế phẩm là: P2 = = 10 2 Xác suất để lấy lần phế phẩm là: P3 = = 1 Xác suất để lấy lần phế phẩm là: P4 = = 10 -Số lần lấy trung bình là: 1 n = + + + = 10 10 Câu 4: Tung xúc xắc cân đối đồng chất 30 lần Gọi X tổng số chấm xuất 30 lần tung Tìm phương sai X -Gọi Xi số chấm xuất lần tung thứ i Ta có: 30 X = ∑ Xi i=1 -Do lần tung độc lập với nên: 30 Var(X) = ∑ Var(Xi ) i=1 -Các lần tung nên phương sai tung 30 Var(X) = ∑ Var(Xi ) = 30Var(Xi ) i=1 Với Var(Xi ) phương sai chung của số chấm xuất lần tung Ta có: 1+2+3+4+5+6 35 μ(X) = = 3,5 ; Var(Xi ) = ∑(k − μ)2 Pk = 12 k=1 -Từ đó, ta được: Var(X) = 30Var(Xi ) = 87,5 Câu 5: Một xạ thủ có xác suất bắn trúng bia 0,8 Xạ thủ bắn 100 viên đạn Tính xác suất để có số viên đạn bắn trúng bia từ 70 đến 80 viên -Gọi X số viên đạn bắn trúng bia -Đại lương X đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối nhị thức: X ∼ B(n = 100; p = 0,8) *Cách - Sử dụng phân phối nhị thức túy: Vì lần bắn độc lập với nên: 80 80 i P(70 ≤ X ≤ 80) = ∑ P(X = i) = ∑ C100 0,8i (1 − 0,8)100−i = 0,5338 i=70 i=70 *Cách – Liên hệ với phân phối chuẩn: -Vì n=100 lớn 0,8 không gần 0, không gần 1, nên ta xấp xỉ: X ∼ N(μ = np = 80; σ2 = npq = 16) ⇒ 𝑋 − 80 ∼ N(0; 1) -Khi đó, ta tính xác suất: P(70 ≤ X ≤ 80) = P (−2,5 ≤ X − 80 ≤ 0) = Φ(2,5) = 0,4938 Dù đáp số 0,4938 có trùng với bốn đáp án đề, 0,5338 không nên nhớ chất đại lượng X tuân theo luật phân phối nhị thức, chuyển sang phân phối chuẩn chẳng qua cách lấy xấp xỉ Như vậy, thực tế, đáp án lý thuyết cách làm theo phân phối nhị thức Đáp án 0,5338 Câu 6: Tại khu bảo tồn động vật, lần đầu người ta săn bắt 100 tê giác, đánh dấu chúng thả lại vào khu bảo tồn Một thời gian sau, người ta săn bắt 200 thấy có 40 có đánh dấu Hãy ước lượng số tê giác có khu bảo tồn với độ tin cậy 96% 𝚽(𝟐, 𝟓𝟕𝟔) = 𝟎, 𝟒𝟗𝟓𝟎; 𝚽(𝟐, 𝟑𝟐𝟔) = 𝟎, 𝟒𝟗𝟎𝟎; 𝚽(𝟐, 𝟏𝟕𝟎) = 𝟎, 𝟒𝟖𝟓𝟎; 𝚽(𝟐, 𝟎𝟓𝟒) = 𝟎, 𝟒𝟖𝟎𝟎 -Với mức tin cậy 96%, ta có: 2Φ(𝑧) = 96% ⇒ Φ(𝑧) = 0,48 ⇒ z = 2,054 -Gọi N số tê giác có khu bảo tồn Như vậy, sau đánh dấu, tỉ lệ tìm săn bắt số tê giác là: P= 100 N -Trong 200 săn bắt được, thấy có 40 đánh dấu nên tỉ lệ mẫu thu được: f= 40 = 0,2 200 -Suy độ xác: f(1 − f) 0,2.0,8 ε = z√ = 2,054 √ = 0,0581 n 200 -Khoảng tin cậy: P ∈ (f ± ε) ⇒ 100 ∈ (0,1419; 0,2581) ⇒ N ∈ (387; 705) N Câu 7: Cho tổng thể đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối xác suất sau: X P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Gọi (𝐗 𝟏 , 𝐗 𝟐 , … , 𝐗 𝟓𝟎 ) mẫu ngẫu nhiên gồm n=50 quan sát độc lập chọn từ tổng thể ̅ = 𝟏 ∑𝐧𝐢=𝟏 𝐗 𝐢 (chọn theo phương pháp có hoàn lại) Tìm phương sai 𝐗 𝐧 n n i=1 i=1 1 ̅) = Var ( ∑ Xi ) = Var (∑ Xi ) Var(X n n2 -Vì 50 quan sát mẫu độc lập nên: n 1 ̅) = ∑ Var(Xi ) = nVar(Xi ) = Var(X Var(Xi ) n2 n2 50 i=1 Với Var(Xi ) phương sai chung quan sát -Ta tính được: μ(X) = 1+2+3+4+5+6 = 3,5 6 Var(Xi ) = ∑(Xk − μ)2 Pk = k=1 35 12 -Thay vào, ta được: ̅) = Var(X Var(Xi ) = 50 120 Câu 8: Một mẫu ngẫu nhiên gồm có n quan sát độc lập rút từ tổng thể có phân phối chuẩn với trung bình 𝛍 độ lệch chuẩn 𝛔 = 𝟖 ̅ − 𝛍| ≤ 𝟎, 𝟗𝟖) = 𝟎, 𝟗𝟓 Tìm n cho: 𝐏(|𝐗 n ̅ 82 X−μ ̅ X = ∑ Xi ∼ N (μ; σ = ) ⇒ √n ∼ N(0; 1) n n i=1 -Ta có: ̅ − μ| ≤ 0,98) = 2Φ(X ̅ − μ = 0,98) = 2Φ ( P(|X ̅ X−μ 0,98 0,98 √n = √n) = 2Φ ( √n) 8 -Theo đề bài: ̅ − μ| ≤ 0,98) = 0,95 P(|X 0,98 ⇒ Φ( √n) = 0,475 ⇒ 0,1225√n = 1,96 ⇒ n = 256 Câu 9: Lấy mẫu kích thước 200 ta tính trung bình mẫu 14,2 Lấy tiếp mẫu kích thước 100 ta tính trung bình mẫu 14,8 Trung bình mẫu mẫu gộp lại hai mẫu bao nhiêu? Trung bình mẫu: ̅ X= 14,2.200 + 14,8.100 = 14,4 300 Câu 10: Điều tra ngẫu nhiên thu nhập (triệu đồng/tháng) 200 công nhân (CN) làm việc thành phố A B, ta có số liệu: Thu nhập Thành phố = A 15 25 24 B 55 45 36 Với mức ý nghĩa 5%, tính giá trị tiêu chuẩn kiểm định xét xem thu nhập CN có phụ thuộc vào nơi làm việc hay không A 𝛘𝟐 = 𝟓, 𝟎𝟖𝟒 Thu nhập CN có phụ thuộc vào nơi làm việc B 𝛘𝟐 = 𝟓, 𝟎𝟖𝟒 Thu nhập CN không phụ thuộc vào nơi làm việc A 𝛘𝟐 = 𝟔, 𝟔𝟔𝟕 Thu nhập CN có phụ thuộc vào nơi làm việc A 𝛘𝟐 = 𝟔, 𝟔𝟔𝟕 Thu nhập CN không phụ thuộc vào nơi làm việc -Ta thống kê lại giá trị mi nj tổng số n Thu nhập Thành phố A B nj -Lập bảng chứa số A B nj = mi 15 55 70 25 45 70 24 36 60 64 136 n=200 mi n j n , ta thu kết quả: = 60.64 = 19,2 200 60.136 = 40,8 200 60 mi 64 136 n=200 -Từ đó, ta tính được: χ2 = + (15 − 22,4)2 (25 − 22,4)2 (24 − 19,2)2 + + 22,4 22,4 19,2 (55 − 47,6)2 (45 − 47,6)2 (36 − 40,8)2 + + 47,6 47,6 40,8 ⇒ χ2 = 325 ≈ 5,804 56 -Với mức ý nghĩa 5%, ta tính được: χ2α (I − 1)(J − 1) = χ20,05 (2 − 1)(3 − 1) = χ20,05 (2) = 5,911 -Vì χ2 = 5,804 < 5,911 = χ20,05 (2) nên ta kết luận rằn thu nhập công nhân không phụ thuộc vào nơi làm việc Câu 11: Một bến xe có xe bus chạy tuyến đường chuẩn bị xuất phát Có hành khách lên xe cách ngẫu nhiên độc lập với Tính xác suất để xe có người lên -Giả sử xe xếp thẳng hàng từ đến Bây giờ, hành khách lên xe -Gọi Ai biến cố xe thứ i có người lên B biến cố xe có người lên Như vậy, ta có: ̅) P(B) = − P(B Với: ̅̅̅1 ∪ A ̅̅̅2 ∪ A ̅̅̅3 ∪ A ̅̅̅4 ∪ A ̅̅̅5 ) ̅) = P(A P(B -Vì xe có vai trò nên theo công thức cộng xác suất: ̅̅̅1 ) − C52 P(A ̅̅̅1 ̅̅̅ ̅̅̅1 ̅̅̅ ̅̅̅3 ) − C54 P(A ̅̅̅1 ̅̅̅ ̅̅̅3 ̅̅̅ ̅) = C51 P(A P(B A2 ) + C53 P(A A2 A A2 A A4 ) 8 8 ̅ ⇒ P(B) = C5 ( ) − C5 ( ) + C5 ( ) − C5 ( ) = 0,67744 5 5 -Vậy xác suất để xe có người lên là: ̅) = 0,32256 P(B) = − P(B Câu 12: Một người có chỗ ưa thích để câu cá Xác suất để câu cá chỗ 0,7; 0,8 0,9 Biết người chọn ngẫu nhiên chỗ thả câu lần câu cá Tìm xác suất cá câu chỗ thứ -Gọi Ai biến cố chọn điểm câu cá thứ i Vì ba chỗ câu ưa thích nên: P(A1 ) = P(A2 ) = P(A3 ) = -Gọi C biến cố thả câu lần câu cá Do hệ biến cố {A1 , A2 , A3 } đầy đủ xung khắc đôi nên: P(C) = P(C|A1 ) + P(C|A2 ) + P(C|A3 ) -Ta dễ dàng tính xác suất thành phần trên, xác suất câu chỗ câu i: P(C|A1 ) = C31 0,7 0,32 = 0,189 P(C|A2 ) = C31 0,8 0,22 = 0,096 P(C|A3 ) = C31 0,9 0,12 = 0,027 -Như vậy, ta được: P(C) = 0,312 -Theo đề bài, ta cần tính: P(A1 |C) = P(A1 C) 0,189 = = 0,6058 P(C) 0,312 Câu 13: Khối lượng gà chọn ngẫu nhiên đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 1,8kg độ lệch chuẩn 0,2kg Khối lượng vịt chọn ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 2,5kg độ lệch chuẩn 0,3kg Chọn mua ngẫu nhiên gà vịt Tìm xác suất để tổng khối lượng thịt gà thịt vịt mua nằm khoảng [18;20] (kg) -Gọi G V khối lượng gà vịt Theo đề bài, hai đại lượng tuân theo luật phân phối chuẩn: G ∼ N(μ = 1,8; σ2 = 0,22 ) ; V ∼ N(μ = 2,5; σ2 = 0,32 ) ⇒ 5G ∼ N(μ = 9; σ2 = 12 ) ; 4V ∼ N(μ = 10; σ2 = 1,22 ) -Gọi M tổng khối lượng gà vịt, ta có: M = 5G + 4V -Vì G V biến ngẫu nhiên độc lập với nên: M ∼ N(μ = + 10; σ2 = 12 + 1,22 ) ⇒ M ∼ N (μ = 19; σ2 = ⇒ 5(M − 19) √61 61 ) 25 ∼ N(0; 1) -Ta có: P(18 ≤ M ≤ 20) = P (− √61 ≤ 5(M − 19) √61 ≤ 5 ) = Φ ( ) ≈ 2Φ(0,64) = 0,4778 √61 √61 Câu 12: Một lô hàng có 100 kiện hàng, kiện hàng có 10 sản phẩm Giả sử kiện hàng lô có luật phân phối xác suất giống sau: X (số sản phẩm hỏng) P(X=x) 0,375 0,125 0,375 0,125 a) Tìm số sản phẩm hỏng trung bình lô hàng 𝑋̅ = 0.0,375 + 1.0,125 + 2.0,375 + 3.0,125 = 1,25 b) Tìm độ lệch chuẩn số sản phẩm hỏng lô hàng 𝜎 = √1,252 0,375 + (1,25 − 1)2 0,125 + (1,25 − 2)2 0,375 + (1,25 − 3)2 0,125 = 1,088 Câu 13: Trong đợt khảo sát khối lượng loại trái vườn, ta thu bảng số liệu dạng khoảng (𝐚𝐢 ; 𝐛𝐢 ] sau: Khối lượng (g) Số trái 200 – 400 35 400 – 570 17 570 – 680 25 680 – 800 13 800 – 1000 10 a) Những trái có khối lượng lớn 680g xem trái to vượt trội Tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ trái to vượt trội vườn độ tin cậy 97% Dùng giá trị trung bình khoảng làm đại diện, ta bảng: Khối lượng (g) Số trái 300 35 485 17 625 25 740 13 -Với độ tin cậy 97%, ta tìm được: Φ(z) = 97% = 0,485 ⇒ z = 2,17 -Tỷ lệ mẫu: f= 23 = 0,23 100 -Từ đó, ta tính độ xác: ε = z √ f(1 − f) 0,23.0,77 = 2,17 √ ≈ 0,0913 n 100 -Khoảng tin cậy tỷ lệ trái to vượt trội: F ∈ (f ± ε) ⇒ F ∈ (0,1387; 0,3213) 900 10 b) Giả sử sau đợt khảo sát, người ta áp dụng loại phân bón làm cho khối lượng trung bình trái vườn 590g Với mức ý nghĩa 5%, cho biết loại phân bón có làm cho khối lượng trung bình loại trái tăng lên hay không? -Có thể xem số khảo sát độ lệch chuẩn hai trường hợp -Ta tính giá trị: z0 = x̅̅̅2 − x̅1 2 √σ + σ n n = 590 − 530 √2.200 100 = 2,12 -Với ý nghĩa 5%, ta tìm được: Φ(z) = − 5% = 0,475 ⇒ z = 1,96 -Vì z0 = 2,12 > 1,96 = z nên ta xem loại phân bón có tác dụng làm tăng khối lượng trung bình trái vườn K40 – Đề 04 (Đang hoàn thành) Câu 1: Cho A, B hai biến cố Phát biểu sau sai? ̅ 𝐁, 𝐀 ̅𝐁 ̅ đầy đủ xung khác đôi A Hệ 𝐀, 𝐀 ̅ hai biến cố xung khắc B 𝐀, 𝐀 ̅ (𝐀𝐁 + 𝐀𝐁 ̅+𝐁+𝐁 ̅ )] = 𝟎 C 𝐏[𝐀 D 𝐏(𝐀|𝐁) = 𝟎 ⇒ 𝐏(𝐀𝐁) = 𝟎 ̅B + A ̅B ̅ (B + B ̅ Ω = A + A ̅=Ω ̅ =A+A ̅) = A + A A) -Về tính đầy đủ: A + A ̅ xung khắc nên A, A ̅B A, A ̅B ̅ xung khắc -Về tính xung khắc: A, A ̅B, A ̅B ̅ xung khắc nên A ̅ xung khắc B, B ̅B, A ̅B ̅ đầy đủ xung khác đôi Vậy hệ A, A ̅ hai biến cố xung khắc – điều hiển nhiên, có từ định nghĩa B) A, A C) Ta có: ̅+B+B ̅ = AB + AB ̅+Ω=Ω AB + AB ̅ (AB + AB ̅ Ω = A ̅ ̅+B+B ̅) = A ⇒A Vậy nên: ̅(AB + AB ̅) ̅+B+B ̅)] = P(A P[A ̅) nên ta chưa thể khẳng định P[A ̅(AB + AB ̅+B+B ̅)] = Kết phụ thuộc vào P(A D) Đã biết P(A|B) = hiển nhiên: P(AB) = P(A|B) P(B) = ̅+𝐀 ̅ 𝐁) Câu 2: Cho 𝐏(𝐀) = 𝟎, 𝟐; 𝐏(𝐁) = 𝟎, 𝟒 𝐯à 𝐏(𝐀 + 𝐁) = 𝟎, 𝟓 Tính 𝐏(𝐀𝐁 ̅B xung khắc nên: ̅ A -Vì AB ̅ B) = P(AB ̅B) ̅+A ̅) + P(A P(AB -Áp dụng công thức: ̅ 𝑩) = 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨𝑩) 𝑷(𝑨 -Ta được: ̅ B) = [P(A) − P(AB)] + [P(B) − P(AB)] = P(A) + P(B) − 2P(AB) ̅+A P(AB -Ta tính P(AB) nhờ: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) ⇒ −P(AB) = P(A + B) − P(A) − P(B) -Thay vào, ta được: ̅B) = 2P(A + B) − P(A) − P(B) = 2.0,5 − 0,2 − 0,4 = 0,4 ̅+A P(AB Câu 3: Tung đồng xu nhiều lần đếm đủ mặt sấp ngưng Biết phải tung lần, tính xác suất lần tung thứ năm mặt sấp -Từ đề bài, ta suy lần tung thứ phải mặt sấp Như vậy, lần nhận mặt sấp lại rơi vào lần tung trước Số trường hợp: C52 = 10 -Số trường hợp có lần nhận mặt sấp có lần rơi vào lần tung thứ 5: C41 = -Vậy xác suất cần tính: P= = 0,4 10 Câu 4: Gặp ngẫu nhiên 200 sinh viên Tính xác suất có 90 sinh viên thi đậu môn XSTK Nhiều ý kiến cho xác suất gặp sinh viên đậu môn SXTK 0,5 – Điều thiếu sở hoàn toàn Đồng ý có khả đậu rớt, nghĩa hai khả có xác suất Như việc gặp ngẫu nhiên người, có hai khả giới tính sinh học người nó: nam nữ Vậy thực tế hai khả có 0,5 hay không? Thực tế trả là không Ở xin không bàn cách làm độ chuẩn xác số liệu, mà chủ yếu xoay quanh vấn đề đế không rõ ràng Trên thực tế, đề phải cho ta biết xác suất cụ thể để gặp sinh viên đậu môn XSTK Câu 5: Chiều dài linh kiện sản xuất đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn mm Linh kiện gọi tốt có chiều dài sai lệch so với chiều dài trung bình nhỏ 0,5 mm Lấy ngẫu nhiên linh kiện Tính xác suất để có nhiều linh kiện tốt Trước tiên, ta cần tính xác suất lấy linh kiện tốt Theo đề bài, chiều dài X linh kiện tuân theo luật phân phối chuẩn: X ∼ N(μ; σ2 = 22 ) ⇒ X−μ ∼ N(0; 1) Xác suất lấy linh kiện tốt: P(|X − μ| ≤ 0,5) = P(−0,5 ≤ X − μ ≤ 0,5) = P (−0,25 ≤ X−μ ≤ 0,25) = Φ(0,25) = 0,1974 2 Số sản phẩm tốt lấy tuân theo luật phân phối nhị thức: P(2 < X ≤ 7) = ∑ C7i 0,1974i 0,80267−i = 0,1436 i=3 Câu 6: Lô hàng có 10000 sản phẩm, có 400 phế phẩm Tính xác suất để có không 15 phế phẩm 300 sản phẩm lấy ngẫu nhiên -Xét tỷ lệ phế phẩm lô hàng ban đầu: f= 400 = 4% 10000 -Xét tỷ lệ phể phẩm sau lấy 300 sản phẩm với 15 phế phẩm đó: f′ = 385 ≈ 3,86% 99700 -Nhận thấy tỷ lệ phế phẩm lô hàng thay đổi không nhiều Vậy nên ta sử dụng phân phối nhị thức cho toán với tỷ lệ lấy phế phẩm f = 4% -Cách 1: Theo công thức phân phối nhị thức: 15 15 P(X ≤ 15) = ∑ C300 0,04i 0,96300−i = 0,8489 i=0 -Cách 2: Nếu liên hệ với công thức phân phối chuẩn: X ∼ N(μ = 12; σ2 = 11,52) X − 12 P(X ≤ 15) = P ( ≤ 0,88) = Φ(0,88) + 0,5 = 81,06% √11,52 Câu 7: Từ mẫu quan sát gồm 10 độ đo đường kính cầu, người ta tính đường kính trung bình 4,38 cm độ lệch chuẩn mẫu 0,06 cm Dựa vào kết mẫu trên, với độ tin cậy 95% độ xác đạt tối đa 0,03 cm cầu dùng để ước lượng độ đo đường kính trung bình cầu tổng thể phải khảo sát kích thước mẫu tối thiểu bao nhiêu? Cho biết 𝐓 ∼ 𝐭(𝟗) 𝐏(𝐓 > 𝟐, 𝟐𝟔𝟐𝟐) = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 𝐓 ∼ 𝐭(𝟏𝟎) 𝐏(𝐓 > 𝟐, 𝟐𝟐𝟖𝟏) = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 (Câu xin cho qua nhiều thời gian để nghiên cứu thêm phần này) Câu 8: Xem tổng thể gồm công ty hoạt động lĩnh vực có lợi nhuận lần lượ 2, 3, 6, 8, 11 (tỷ đồng/năm) Tính trung bình tổng thể 𝛍 phương sai tổng thể 𝛔𝟐 μ = ; σ2 = 10,8 Câu 9: Khảo sát 400 sản phẩm nhà máy thấy có m sản phẩm tốt Nếu cho tỷ lệ sản phẩm tốt nhà máy từ 7,5% đến 12,5% độ tin cậy đạt là: -Theo đề ta có tỷ lệ sản phẩm tốt: m f = 0,1 ∈ (0,075; 0,125) ≡ (0,1 − 0,025; 0,1 + 0,025) ≡ (f − ε; f + ε) ⇒ { ε = 0,025 400 -Ta có công thức độ xác: ε = z√ f(1 − f) n 400 ⇒ z = ε√ = 0,025√ = 1,67 n f(1 − f) 0,1.0,9 -Độ tin cậy: α = Φ(z) = 90,5% Câu 10: Trong kỳ thị tốt nghiệp năm trường trung học phổ thông, người ta khảo sát điểm thi số học sinh chọn ngẫu nhiên thu bảng số liệu dạng khoảng (𝐚𝐢 ; 𝐛𝐢 ] sau: Tổng điểm thi – 30 30 – 42 42 – 48 48 – 54 54 – 60 Số học sinh 20 35 37 32 20 Biết điểm thi tốt nghiệp trung bình học sinh trường năm trước 39 Với mức ý nghĩa 1%, cho điểm trung bình học sinh trường năm tăng lên so với năm trước hay không? Yêu cầu tính giá trị tiêu chuẩn kiểm điểm đưa kết luận -Có thể xem số học sinh khảo sát độ lệch chuẩn hai trường hợp khảo sát Ta có: 𝑛 = 144 ; 𝜎 = 12,71 ; ̅̅̅ 𝑥1 = 39 ; 𝑥 ̅̅̅2 = 41,65 -Ta tính giá trị: z0 = x̅̅̅2 − x̅1 2 √σ + σ n n = 41,65 − 39 √2.12,71 144 = 1,77 -Với ý nghĩa 5%, ta tìm được: Φ(z) = − 1% = 0,495 ⇒ z = 2,57 -Vì z0 = 1,77 < 2,57 = z nên ta xem điểm trung bình học sinh trường năm tăng lên so với năm trước Câu 11: Kiện hàng Phân xưởng có 10 sản phẩm loại A sản phẩm loại B Kiện hàng Phân xưởng có 12 sản phẩm loại A sản phẩm loại B Cửa hàng nhận 20 kiện hàng từ phân xưởng 30 kiện hàng từ phân xưởng Chọn ngẫu nhiên kiện hàng từ kiện đó, chọn ngẫu nhiên sản phẩm sản phẩm loại A a) Tính xác suất để sản phẩm loại A chọn từ kiện hàng Phân xướng -Gọi Xi biến cố chọn kiện hàng từ Phân xưởng i Theo đề bài: P(X1 ) = ; P(X2 ) = 5 -Gọi A biến cố chọn sản phẩm loại A Vì hệ {X1 ; X2 } đầy đủ xung khắc nên: P(A) = P(X1 ) P(A|X1 ) + P(X2 ) P(A|X ) = 10 12 56 + = 15 15 75 -Ta cần tính: 10 P(X1 A) 15 P(X1 |A) = = = 56 P(A) 14 75 b) Cũng từ kiện đó, chọn tiếp sản phẩm Hãy tính xác suất để sản phẩm chọn tiếp sản phẩm loại A -Gọi Ai biến cố lấy lần thứ i sản phẩm loại A -Ta cần tính: P(A2 A3 |A1 ) = P(A1 A2 A3 ) P(X1 ) P(A1 A2 A3 |X1 ) + P(X2 ) P(A1 A2 A3 |X2 ) = P(A1 ) P(A)(a) 10 12 11 10 + 1899 ⇒ P(A2 A3 |A1 ) = 15 14 13 15 14 13 = ≈ 0,7453 56 2548 75 Lưu ý câu a) yêu cầu ta tính xác suất sản phẩm A lấy từ Phân xưởng 1, không khẳng định sản phẩm lấy từ Phân xưởng Như vậy, ta chưa biết ta chọn kiện hàng Phân xưởng Vì vậy, ta phải xét đầy đủ trường hợp Câu 12: Hộp gồm có bi trắng, bi đen bi vàng Lấy ngẫu nhiên bi Tính hiệp phương sai số bi trắng số bi đen có bi lấy Trường hợp Trắng (T) 1 0 Đen (Đ) Vàng (V) 0 1 Xác suất 2/9 2/9 1/3 1/45 2/15 1/15 Tổng hợp lại, ta được: Tích TĐ Xác suất 7/9 2/9 2 E(TĐ) = + = 9 T Xác suất 2/9 5/9 2/9 E(T) = + + = 9 Đ Xác suất 28/45 E(Đ) = 16/45 1/45 28 16 + + = 45 45 45 Ta có: Cov(T, Đ) = E(TĐ) − E(T) E(D) = − 45 Câu 13: Điều tra lượng điện tiêu dùng tháng (kWH) số hộ gia đình quận ta có bảng số liệu dạng khoảng [𝐚𝐢 ; 𝐛𝐢 ) sau: kWH Số hộ – 100 100 – 150 22 150 – 250 29 250 – 400 20 400 – 600 15 600 – 1000 a) Trước đây, điện tiêu thụ tháng bình quân hộ gia đình 237,5 kWH Với độ tin cậy 96%, cho biết mức sử dụng điện có tăng hay không? -Có thể xem số hộ khảo sát độ lệch chuẩn hai trường hợp khảo sát Ta có: 𝑛 = 100 ; σ = 181,62 ; x̅1 = 237,5 ; ̅̅̅ x2 = 270 -Ta tính giá trị: z0 = x2 − x̅1 ̅̅̅ 2 √σ + σ n n = 270 − 237,4 √2.181,62 100 = 1,27 -Với độ tin cậy 96%: Φ(z) = 96% = 0,48 ⇒ z = 2,05 -Vì z0 = 1,27 < 2,05 = z nên ta xem mức sử dụng điện tăng b) Những hộ sử dụng điện tháng từ 150 kWH đến 600 kWH gọi hộ bình thường Hãy ước lượng mức sử dụng điện trung bình hộ bình thường với độ tin cậy 98% -Giá trị trung bình độ lệch chuẩn: μ = 270 ; σ = 181,6246 -Với độ tin cậy 98%, ta có: Φ(z) = 0,98 ⇒ Φ(z) = 0,49 ⇒ z = 2,33 -Độ xác: ε=z σ √n = 2,33 181,6246 √100 = 42,3185 -Khoảng tin cậy: ̅ − ε; ̅ (X X + ε) = (227; 313) Khóa 39 – Đề 01 Câu 1: Kiểm tra 10 sản phẩm Gọi A biến cố có phế phẩm 10 sản phẩm kiểm tra Gọi B biến cố có phế phẩm 10 sản phẩm kiểm tra Cho biết 𝐏(𝐀) = 𝟎, 𝟑 𝐯à 𝐏(𝐁) = 𝟎, 𝟏 Các câu sau đây, câu sai? A 𝐏(𝐀|𝐁) = 𝟎 B 𝐏(𝐀𝐁) = 𝟎, 𝟎𝟑 ̅∪𝐁 ̅) = 𝟏 C 𝐏(𝐀 ̅∩𝐁 ̅ ) = 𝟎, 𝟔 D 𝐏(𝐀 -Rõ ràng A B xung khắc nên: A ∩ B = AB = ∅ ⇒ P(AB) = -Ta có: P(A|B) = P(AB) =0 P(B) ̅∪B ̅) + P(B ̅B ̅) = P(A ̅) − P(A ̅) P(A -Ta tính: ̅B ̅) − P(A ̅B) = P(A ̅) − [P(B) − P(AB)] = P(A ̅) − P(B) + P(AB) ̅) = P(A P(A -Thay vào, ta được: ̅∪B ̅) + P(B ̅) + P(B) − P(AB) = − P(AB) = ̅) = P(A ̅) − P(A P(A -Ta có: ̅∩B ̅̅̅̅̅̅̅ ̅) = P(A P(A ∪ B) = Câu 2: A, B biến cố thuộc không gian biến cố sơ cấp 𝛀 Biết 𝐏(𝐀) = 𝟎, 𝟖; 𝐏(𝐁) = ̅ ) 𝟎, 𝟕𝟓 𝐯à 𝐏(𝐀𝐁) = 𝟎, 𝟔 Tính 𝐏(𝐀|𝐁 ̅) = P(A|B ̅) P(A) − P(AB) 0,8 − 06 P(AB = = = = 0,8 ̅) − P(B) − 0,75 P(B Câu 3: Một lớp có 50 sinh viên, có sinh viên học giỏi Anh văn, sinh viên học giỏi Toán sinh viên học giỏi Anh văn Toán Gặp ngẫu nhiên sinh viên lớp Tính xác suất để gặp sinh viên học giỏi môn Toán sinh viên học không học giỏi môn hai môn Toán Anh Văn -Số sinh viên học giỏi hai môn Toán Anh Văn là: 8+5-3=10 -Số sinh viên không học giỏi môn hai môn Toán Anh Văn là: 50-10=40 -Xác suất cần tính: P= C51 C40 = 0,19898 C50 Câu 4: Thu nhập người làm việc ngành đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với thu nhập trung bình 5,3 triệu đồng/tháng độ lệch chuẩn 1,4 triệu đồng/tháng Tính tỷ lệ người có thu nhập từ triệu đồng/tháng trở lên -Theo đề bài, thu nhập X người làm việc ngành tuân theo luật phân phối chuẩn: X ∼ N(μ = 5,3; σ2 = 1,42 ) ⇒ X − 5,3 ∼ N(0; 1) 1,4 -Ta cần tính: P(X ≥ 6) = P ( X − 5,3 ≥ 0,5) = 0,5 − Φ(0,5) = 0,3085 = 30,85% 1,4 Câu 5: Một lô hàng đựng 10 sản phẩm, có sản phẩm loại A, sản phẩm loại B sản phẩm loại C Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Gọi X, Y tương ứng số sản phẩm loại A, B có sản phẩm lấy Tìm 𝐄(𝐘|𝐗 = 𝟏) -Khi biết X=1 Y ∈ {0; 1; 2} Như vậy, ta có: E(Y|X = 1) = E(Y = 0|X = 1) + P(Y = 1|X = 1) + P(Y = 2|X = 1) -Ta tính: 5.3.2 P[(Y = 1)(X = 1)] C10 P(Y = 1|X = 1) = = = P(X = 1) C5 5 C10 C32 P[(Y = 2)(X = 1)] C3 P(Y = 2|X = 1) = = 210 = P(X = 1) C5 10 C10 -Thay hết vào, ta được: 3 E(X|Y = 1) = + + = 1,2 10 Câu 6: Có hai kiện hàng Mỗi kiện có 20 sản phẩm Kiện thứ có 16 sản phẩm loại I Kiện thứ hai có 12 sản phẩm loại I Từ kiện lấy ngẫu nhiên không hoàn lại sản phẩm Gọi X tổng số sản phẩm loại I có 10 sản phẩm lấy từ hai kiện Tìm phương sai X -Gọi X1, X2 số sản phẩm loại I lấy từ kiện hàng -Ta có: X = X1 + X ⇒ Var(X) = Var(X1 + X2 ) -Vì X1 X2 độc lập nên: Var(X1 + X2 ) = Var(X1 ) + Var(X2 ) -Rõ ràng X1 X2 tuân theo luật phân phối siêu bội: X1 ∼ H(N1 = 20; M1 = 16; n = 5) ; X2 ∼ H(N2 = 20; M2 = 12; n = 5) ⇒ Var(X1 ) = 16 20 − 12 12 20 − 18 = ; Var(X2 ) = = 20 20 20 − 19 20 20 20 − 19 -Vậy nên: Var(X) = 30 19 Câu 7: Xem tổng thể tập hợp gồm công ty A, B, C, D với lợi nhuận (tỷ đồng/năm) ̅) 25, 27, 28, 30 Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại kích thước n=2 từ tổng thể Tính 𝐄(𝐗 Số trường hợp mẫu C42 = Ta xét trung bình cặp chọn 25 25 25 25 27 27 28 30 28 30 27 27 28 28 ̅) = E(X 30 30 Trung bình 26 26,5 27,5 27,5 28,5 29 26 + 26.5 + 27.5 + 27.5 + 28.5 + 29 = 27,5 Câu 8: Cho tổng thể đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối xác suất sau: X 12 15 P 0,1 0,3 0,4 0,2 Gọi (𝐗 𝟏 , 𝐗 𝟐 , … , 𝐗 𝟐𝟓 ) mẫu ngẫu nhiên gồm n=25 quan sát độc lập chọn từ tổng thể 𝟏 ̅ 𝟐 (chọn theo phương pháp có hoàn lại) Tìm kỳ vọng toán 𝐒 𝟐 = ∑𝟐𝟓 𝐢=𝟏(𝐗 𝐢 − 𝐗) 𝟐𝟒 (Câu bí rồi, híc) ̅ trung bình mẫu ngẫu nhiên kích thước n thành lập từ đại lượng ngẫu nhiên Câu 9: 𝐗 ̅ − 𝟏𝟐𝟎| ≤ 𝟎, 𝟖𝟑𝟕) = 𝟎, 𝟗𝟕 X Cho biết 𝐗 ∼ 𝐍(𝟏𝟐𝟎; 𝟐𝟗, 𝟏𝟔) Tìm n cho: 𝐏(|𝐗 -Ta có: n ̅ − 120 29,16 X ̅ X = ∑ Xi ∼ N (μ = 120; σ2 = )⇒ √n ∼ N(0; 1) n n 5,4 i=1 -Ta có: ̅ − 120| ≤ 0,837) = Φ(X ̅ − 120 = 0,837) P(|X ̅ − 120 X 0,837 = Φ ( √n = √n) = Φ(0,155√n) 5,4 5,4 -Theo đề bài: ̅ − 120| ≤ 0,837) = 0,97 P(|X ⇒ Φ(0,155√n) = 0,485 ⇒ 0,155√n = 2,17 ⇒ n = 196 Câu 10: Khảo sát 100 người làm việc ngành, ta thấy có 20 người có thu nhập cao từ 15 triệu đồng trở lên Nếu muốn ước lượng tỷ lệ người có thu nhập từ 15 triệu đồng trở lên có độ xác 5% độ tin cậy đạt %? -Tỉ lệ mẫu là: f= 20 = 0,2 100 -Ta có, độ xác: ε = z √ f(1 − f) n 100 ⇒ z = ε √ = 5% √ = 1,25 n f(1 − f) 0,2.0,8 -Độ tin cậy: Φ(z) = Φ(1,25) = 78,88% Câu 11: Sản phẩm nhà máy sau sản xuất xong đóng thành hộp chứa 10 sản phẩm Cho biết số sản phẩm loại I hộp có phân phối sau: Số sản phẩm loại I Tỷ lệ hộp tương ứng 0,2 0,3 0,4 10 0,1 a) Từ hộp sản phẩm nhà máy sản xuất, chọn ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra thấy hai sản phẩm loại I Nếu từ hộp lấy tiếp sản phẩm để kiểm tra xác suất lấy sản phẩm loại I bao nhiêu? -Gọi Ai biến cố chọn hộp có i sản phẩm loại I Như vậy, theo đề bài: P(A7 + A8 + A9 + A10 ) = 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,1 = ⇒ {A7 , A8 , A9 , A10 } hệ biến cố đầy đủ xung khắc đôi -Gọi Xj biến cố chọn sản phẩm loại I lần chọn thứ j -Ta cần tính: 10 P(X3 |X1 X2 ) = ∑ P(Ai ) P(X3 |X1 X2 Ai ) = 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,1 = 0,8 8 8 i=7 b) Một khách hàng muốn mua lô hàng 500 hộp nhà máy Khách hàng kiểm tra hộp cách chọn ngẫu nhiên sản phẩm hộp để kiểm tra Nếu sản phẩm kiểm tra loại I mua hộp Tìm số hộp tin mà khách hàng mua -Xác suất để khách hàng chọn mua hộp: 10 P(X1 X2 X3 ) = ∑ P(Ai ) P(X1 X2 X3 |Ai ) = 0,2 i=7 7.6.5 8.7.6 9.8.7 + 0,3 + 0,4 + 0,1 10.9.8 10.9.8 10.9.8 = 0,5783 -Số hộp tin mua được: n = P N = 0,5783.500 ≈ 289 Câu 12: Khảo sát khối lượng loại trái cây, ta thu bảng số liệu có dạng khoảng (𝐚𝐢 ; 𝐛𝐢 ] cho bảng sau: Khối lượng (gram) Số trái (ni) 200 – 300 60 300 – 400 120 400 – 500 110 500 – 600 80 600 – 800 30 a) Những trái có khối lượng 400gr trái loại I Hãy ước lượng khối lượng trung bình trái loại I với độ tin cậy 95% -Xét riêng trái loại I, ta tìm giá trị trung bình độ lệch chuẩn: x̅ = 520 ; σ = 84,8248 -Với độ tin cậy 95%, có: Φ(z) = 95% ⇒ Φ(z) = 0,475 ⇒ z = 1,96 -Độ xác: ε = z σ √n = 1,96 84,8248 √220 ≈ 11 -Khoảng tin cậy: (x̅ − ε; x̅ + ε) ≡ (509; 531) b) Nếu cho tỷ lệ trái loại I 60% có chấp nhận không? Kết luận với mức ý nghĩa 2% -Tỷ lệ trái loại I theo giả thuyết: p0 = 60% = 0,6 -Ta có lệ mẫu: f= ⇒ z0 = 220 = 0,55 400 f − p0 √p0 (1 − q ) n = 0,55 − 0,6 √0,6.0,4 400 = −2,04 -Với mức ý nghĩa 5%, ta tìm được: Φ(z) = − 2% = 0,49 ⇒ z = 2,33 -Vì |z0 | = 2,04 < 2,33 = z nên ta chấp nhận tỷ lệ trái loại I 60% [...]... ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất sau Tìm phương sai của X X F(x) 1 1/8 2 3/8 3 3/4 4 1 0–1 1/8 0–2 3/8 0–3 3/4 0–4 1 1,5 2/8 2,5 3/8 3,5 1/4 -Theo đề bài: X F(x) -Ta cần chuyển về hàm xác suất: X P 0,5 1/8 -Đến đây ta dễ dàng tìm được: 𝜎 2 = 0,9375 Câu 4: Một đề thi trắc nghiệm gồm 20 câu hỏi độc lập với nhau bao gồm 4 câu hỏi (mỗi câu có 2 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng) và... sinh viên có chiều cao trên 175cm có uống sữa của công ty N 50% số sinh viên có chiều cao từ 163cm đến 175cm có uống sữa của công ty N Những SV có chiều cao dưới 163cm đều không uống sữa của công ty N a) Gặp ngẫu nhiên một SV của trường đại học M thì thấy SV này có uống sữa của công ty N Tính xác suất để SV này có chiều cao trên 175cm Gọi X là chiều cao của sinh viên thuộc trường đại học M Theo đề bài,... Theo đề bài, ta cần tính: P(A|N) = P(AN) 0,0228.0,8 = = 0,0427 P(N) 0,42749 b) Gặp ngẫu nhiên 5 SV của trường đại học M Tính xác suất để găp được ít nhất một người có uống sữa của công ty N Như đã tìm được ở câu a, xác suất để gặp được một người có uống sữa của công ty N là: p = P(N) = 0,42749 Như vậy, xác suất cần tính: P = 1 − (1 − p)5 = 0,9385 Câu 12: Một lô hàng có 100 kiện hàng, mỗi kiện hàng có. .. câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng) Trả lời đúng 1 câu hỏi loại 2 phương án trả lời thì được 1 điểm và trả lời đúng 1 câu hỏi loại 4 phương án trả lời thì được 2 điểm Một thí sinh không học bài nên trả lời các câu hỏi một cách cầu may (chọn ngẫu nhiên một đáp án) Tìm số điểm trung bình mà thí sinh này làm được -Gọi X, Y lần lượt là số câu loại 2 phương án và 4 phương án mà... Một sinh viên (SV) thi liên tiếp hai môn A và B Xác suất để sinh viên này thi đạt yêu cầu môn A là 0,8 Nếu đạt môn A thì xác suất để SV này đạt được yêu cầu môn B là 0,7 Nếu không đạt môn A thì xác suất để SV này đạt yêu cầu môn B là 0,5 Tính xác suất để sinh viên này chỉ đạt yêu cầu một môn -Gọi A, B lần lượt là biến cố SV đạt yêu cầu môn A, B -Xác suất để SV chỉ đạt yêu cầu một môn: ̅B) = P(A) P(B... tung 6 lần, tính xác suất lần tung thứ năm ra mặt sấp -Từ đề bài, ta suy ra được lần tung thứ 6 phải ra mặt sấp Như vậy, 2 lần nhận được mặt sấp còn lại rơi vào 5 lần tung trước Số trường hợp: C52 = 10 -Số trường hợp có trong 2 lần nhận được mặt sấp có 1 lần rơi vào lần tung thứ 5: C41 = 4 -Vậy xác suất cần tính: P= 4 = 0,4 10 Câu 4: Gặp ngẫu nhiên 200 sinh viên Tính xác suất trong đó có trên 90 sinh... Gọi A, B, C lần lượt là xác suất gặp được sinh viên có chiều cao trên 175, có chiều cao từ 163cm đến 175 cm, và có chiều cao dưới 163cm Dựa theo đề bài, ta cần tính: 175 − 167 ) 4 P(A) = 0,0228 175 − 167 163 − 167 P(175 ≥ X ≥ 163) = Φ ( )+Φ( ) ⇒ {P(B) = 0,8185 4 4 P(C) = 0,1587 163 − 167 P(163 > X) = 0,5 − Φ ( ) { 4 P(X > 175) = 0,5 − Φ ( Gọi N là xác suất gặp được sinh viên có uống sữa của công ty... đậu môn XSTK Nhiều ý kiến vẫn cho rằng xác suất gặp một sinh viên đậu môn SXTK là 0,5 – Điều này là thiếu cơ sở hoàn toàn Đồng ý rằng chỉ có 2 khả năng đó là đậu và rớt, nhưng không có nghĩa là hai khả năng đó có cùng xác suất Như việc gặp ngẫu nhiên một người, thì chỉ có hai khả năng về giới tính sinh học của người nó: nam hoặc nữ Vậy thực tế hai khả năng đó có như nhau và bằng 0,5 hay không? Thực... chuẩn xác của số liệu, mà chủ yếu chỉ xoay quanh vấn đề đế bài không rõ ràng Trên thực tế, đề phải cho ta biết xác suất cụ thể để gặp được sinh viên đậu môn XSTK Câu 5: Chiều dài một linh kiện được sản xuất là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn 2 mm Linh kiện được gọi là tốt nếu có chiều dài sai lệch so với chiều dài trung bình nhỏ hơn 0,5 mm Lấy ngẫu nhiên 7 linh kiện Tính xác suất. .. có 5 bi trắng, 2 bi đen và 3 bi vàng Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi Tính hiệp phương sai của số bi trắng và số bi đen có trong 2 bi đã lấy ra Trường hợp 1 2 3 4 5 6 Trắng (T) 2 1 1 0 0 0 Đen (Đ) 0 1 0 2 1 0 Vàng (V) 0 0 1 0 1 2 Xác suất 2/9 2/9 1/3 1/45 2/15 1/15 Tổng hợp lại, ta được: Tích TĐ Xác suất 0 7/9 1 2/9 7 2 2 E(TĐ) = 0 + 1 = 9 9 9 T Xác suất 0 2/9 1 5/9 2 2/9 2 5 2 E(T) = 0 + 1 + 2 = 1 9 9 9 Đ Xác