S GIO DC V O TO HNG YấN TRNG THPT TRIU QUANG PHC Triu Quang Phc , ngy 22 thỏng nm 2013 SNG KIN KINH NGHIM DY HC TèM CC TR BIU THC BNG PHNG PHP HM S MC LC Ni dung Trang I t II Gii quyt Ngi vitvn SKKN Hiu Trng C s lý lun ca 2 Thc trng ca 3 Cỏc bin phỏp ó tin hnh gii quyt Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim XUN VNG Lấ TH NGUYT 15 III Kt lun Ti liu tham kho Triu Quang Phc , ngy 22 thỏng nm 2013 15 MC LC Ni dung Trang I t II Gii quyt C s lý lun ca 2 Thc trng ca 3 Cỏc bin phỏp ó tin hnh gii quyt Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim 16 III Kt lun 17 Ti liu tham kho 18 Danh mc ch vit tt 19 I.T VN Trong chng trỡnh toỏn THPT núi chung v lp 12 núi riờng, hc sinh ó c trang b kin thc v hm s, tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s, nhiờn k nng ỏp dng phng phỏp ny vo gii quyt cỏc bi toỏn tỡm cc tr ca mt biu thc cú nhiu bin s, hoc chng minh mt bt ng thc ca a s hc sinh cũn nhiu hn ch Nguyờn nhõn l bi toỏn chng minh bt ng thc, tỡm cc tr l mt dng toỏn khú m thi lng chng trỡnh li cũn ớt Kin thc dn tri sut c ba nm hc THPT gõy khú khn cho hc sinh vic xõu chui, h thng hoỏ kin thc hỡnh thnh phng phỏp cho bn thõn Thụng thng , gp bi toỏn trờn hc sinh thng hoang mang, khụng bit la chn phng phỏp phự hp Vỡ vy, vic lm phong phỳ thờm cỏc phng phỏp gii dng toỏn trờn l mt vic lm cn thit, gúp phn rốn luyn t duy, k nng v thay i thỏi ca hc sinh tip cn dng toỏn trờn, gúp phn nõng cao cht lng giỏo dc mụn Toỏn THPT Xut phỏt t nhng suy ngh trờn, tụi chn vit sỏng kin kinh nghim: Dy hc ỏp dng phng phỏp hm s gii bi toỏn cc tr ú l nhng kinh nghim ca bn thõn c ỳc rỳt quỏ trỡnh ging dy mụn Toỏn cỏc lp thuc Ban Khoa hc t nhiờn II GII QUYT VN C s lý lun ca : 1.1 GTLN, GTNN ca hm s -nh ngha: Cho hm s y=f(x) xỏc nh trờn D M f ( x), x D x0 D : M f ( x0 ) + M max f ( x) D m f ( x), x D x0 D : m f ( x0 ) + m f ( x) D - nh lý: Nu hm s y f ( x) liờn tc trờn on a; b thỡ luụn tỡm c GTNN, GTLN ca hm s trờn a; b 1.2 S dng kho sỏt hm s tỡm GTLN,GTNN ca hm s Bi toỏn: Tỡm GTLN, GTNN ( nu cú ) ca hm s y=f(x) vi x D Ă Phng phỏp: Quy tc 1:Trng hp tng quỏt ( Khi D khụng l mt on)Tin hnh theo cỏc bc + Tớnh o hm ca hm s + Lp bng bin thiờn ca hm s trờn D + Cn c vo bng bin thiờn kt lun v GTLN,GTNN Quy tc 2: Trng hp c bit: D a;b , tin hnh theo cỏc bc: +Tớnh o hm ca hm s, + Tỡm cỏc im ti hn ca hm s thuc a; b ( l cỏc im thuc TX m ti ú, o hm trit tiờu hoc khụng xỏc nh) + Tớnh GT ca hm s ti cỏc im ti hn v ti cỏc im a,b + So sỏnh cỏc GT tỡm c kt lun 1.2 Cỏc bt ng thc b tr cho phng phỏp: + Bt ng thc Cụ-si: Vi a1;an l cỏc s thc khụng õm, ta cú: a1 a2 an n n a1a2 an ; mg thc a1 a2 an + Bt ng thc Bunhiacụpxki: Vi hai b s thc a1 , a2 , an v b1 , b2 , bn , ta cú a1b1 a2b2 anbn a12 a22 an2 b12 b22 bn2 ng thc cú hai b s tng ng t l + Tp giỏ tr ca hm s: Cho hm s y f ( x) vi xỏc nh D, giỏ tr ca hm s l : T y Ă | x D : y f ( x) Hay : T={ y Ă : phng trỡnh f(x)=y n x cú nghim Thc trng ca : Khi gii quyt bi toỏn tỡm cc tr ca mt biu thc bng phng phỏp s dng s bin thiờn ca hm s, thc cht l i xỏc nh giỏ tr ca biu thc, ca hm s vi iu kin cho trc Cn c vo c trng ca biu thc ( Tớnh i xng ca cỏc bin, iu kin ca cỏc bin cú tớnh ng cp vi cỏc bin) tin hnh i bin, hc sinh thng gp cỏc khú khn v hay mc cỏc sai lm sau: Sai lm: - Lp BBT khụng chun xỏc: Tớnh sai cỏc giỏ tr ti cỏc u mỳt D ( nht l D khụng phi l mt on, thng khụng thụng qua gii hn xỏc nh GT ca hm s) - Khi ỏp dng quy tc 2, hc sinh thng tớnh tha cỏc giỏ tr hm s ti cỏc im ti hn, khụng loi i cỏc im ti hn khụng thuc a; b ,dn n kt qu sai Khú khn : - Khụng linh hot chuyn biu thc cn tỡm cc tr v dng hm mt bin qua phộp t bin ph - Khi t c bin ph, thng khụng cỏc nh c GT ca bin ph theo iu kin ban u, dn n sai kt qu Cỏc bin phỏp ó tin hnh gii quyt 3.1 Hỡnh thnh phng phỏp s dng kho sỏt hm s tỡm GTLN, GTNN - Yờu cu hc sinh hiu thu ỏo nh ngha, nhn mnh l GTLN, GTNN ca hm s t c trờn D phi l GT ca hm s ti ớt nht im ca D Do ú, tỡm c GTLN, GTNN ca hm sụ, nht thit phi ch gi tr ú t ti im no trờn hp D - Hỡnh thnh cho hc sinh quy tc rừ rng theo cỏc bc, ỏp dng tng TH c th D l hay khụng l mt on - Rốn luyn k cho hc sinh k nng lp bng BT ca hm s, xỏc nh TGT ca hm s da trờn BBT - Hỡnh thnh v rốn luyn k nng dng vo bi toỏn tỡm cc tr ca biu thc hai bin, ba bin: + K nng i bin s: + K nng tỡm iu kin ca bin mi thụng qua cỏc ng: ỏnh giỏ nh cỏc bt ng thc, phng phỏp giỏ tr, phng phỏp dựng BBT + K nng s dng cụng c hm s xỏc nh giỏ tr ca hm - a cỏc vớ d mu in hỡnh cú phõn tớch li gii, h thng bi a dng hỡnh thc, phong phỳ v ni dung, phự hp v mc , giỳp hc sinh c t rốn luyn k nng t d n khú 3.2 H thng vớ d v bi a Tìm cực trị hàm biến GV cần l-u ý cho học sinh: - Xác định tập xác định: Tìm GTLN, GTNN tập nào? ( Xác định D) - Chọn cách giải phù hợp D đoạn, D không đoạn Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số y x x x Lời giải: Điều kiện 3x x x 1;3 ( D đoạn) Tính đạo hàm: y ' Tìm 3x x 3x điểm 3x x tới hạn thuộc 1;3 : y ' 3x2 x 3x x Tính giá trị hàm điểm đầu mút, điểm tới hạn: f (1) 0; f (3) 4; f (2) So sánh, kết luận: max f x =2; f = x =1 Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số : x y = x2 Li gii: TX: D = R Ta cú : y= x x ; y= x BBT: thiên hàm số: x f + - f -1 Dựa vào BBT, GTLN hm s đạt x=1 Khụng cú giỏ tr nh nht ca hm s /D NHN XẫT: Sai lm: Lp BBT khụng chun xỏc: Tớnh sai cỏc giỏ tr ti cỏc u mỳt D ( nht l D khụng phi l mt on, thng khụng thụng qua gii hn xỏc nh GT ca hm s) Ví dụ 3: Tìm y= x x / 10;10 GTLN, GTNN hàm số : Li gii: Cỏch 1: +) ỏnh giỏ y x R Du bng xy x =1 hoc x =2 thuc on 10;10 Vy GTNN ca hm s bng x =1 hoc x =2 +) Lp BBT ca hm s y = x 3x / 10;10 T ú kt lun GTLN ca hm s bng 132 x =-10 Cỏch 2: Lp BBT ca hm s y = x 3x / 10;10 x -10 f - + + 10 f 132 72 Kt lun giỏ tr LN, NN nh cỏch NHN XẫT: Sai lm: Lp BBT khụng chun xỏc: im o hm khụng tn ti x =1, x =2 Hoc kt lun giỏ tr nh nht sai b Tìm cực trị hàm biến phức tạp biểu thức có nhiều biến Giáo viên l-u ý cho học sinh, tìm cách đổi biến để có đ-ợc hàm số với biến dạng đơn giản Chú ý: -Nếu biểu thức có dạng đối xứng với biến đ-ợc biểu diễn đ-ợc qua tổng hai biến tích biến -Nếu điều kiện biểu thức đẳng cấp theo vế ( Tốt chênh bậc) Thì phép đặt ẩn phụ x=ty ta tính đ-ợc x,y theot Ví dụ 4: Ta có: y Đặt t Tìm GTLN, GTNN hàm số y x3 x x x2 x ( x 1) x x x x x x x3 x x x 2 x x Để tìm điều kiện t, sử dụng công cụ bất đẳng thức, hoac ph-ơng pháp miền giá trị nh- sau: Cách1: Dùng BĐT Cô-si + Với x=0 t=0 + Với x , xét Cách2: t t x2 1 1 1 x t x x t ; t x x x x 2 GT biểu x ẩn x có nghiệm x thức Ph-ơng trình tx2 x t có nghiệm 4t 1 t 2 Bài GTLN,GTNN toán trở thành: Tìm hàm 1 g (t ) t t ; t ; 2 Hàm đạt cực tiểu tại: t 1 3 g ( ) ; g ( ) GTLN ; GTNN 4 4 Ví số y dụ 5: Tìm GTLN, GTNN hàm x4 x2 x2 x2 x2 Điều kiện: x Đặt t x x Tìm điều kiện t: Cách1: Dùng BĐT Theo Bunhia ta có: ( x2 x2 )2 2.1 x x t Cũng có: t ( x x ) x t Vậy t 2;2 Cách2: Khảo sát hàm t x x Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN hàm số t2 t y t , với t 2;2 Kết quả: Maxy= Vídụ6: x=0; Miny= 2 x=1 Cho x,y hai số thực d-ơng thoả mãn 4x+9y=6 Tìm GTLN P xy xy Hng dn Cỏch 1: Rỳt xy theo x ri th vo P, thu c hm mt bin s Cỏch 2: Coi xy l bin s, vy phi tỡm iu kin cho xy : - Cú th thụng qua ỏnh giỏ: x y x.9 y 12 xy xy là: xy 1 xy Vậy đk xy 4 - Cú th s dng phng phỏp giỏ tr: Tỡm iu kin ca t h sau cú x y cng tỡm c xy xy t 2nghim dng : Khảo sát hàm số : P(t ) 2t 1 ; Với t t2 Ví dụ 7: Cho cos x cos y 1, x , y Ă ; Tìm GTNN biểu thức A tan x tan y Lời giải: Biến đổi biểu thức A để sử dụng đ-ợc điều kiện: A tan x tan y (tan x 1) (tan y 1) 1 2 cos x cos y 1 cos x cos y Điều kiện cho biến đổi thành: cos x cos y 3, x , y Ă Đặt t cos x cos y t , điều kiện: cos y cos 2x (1 cos 2x ) t 1;1 t 1 với t t 3t Xét hàm số : f (t ) f '(t ) 1 t (3 t ) t 2 t (3 t ) Bảng biến thiên hàm số: t f 3 - + f Dựa vào BBT, GTNN A đạt cos x Ví dụ 8: Cho a, b d-ơng t/m:a 2+b2=1 Tìm GTLN biểu thức M ab ab2 Cách1: a b ab Theo Cô- si ta có: M Dấu= Khi a=b Do đó: ab ab a b 2 ab Đặt t ab Ta có: ab a b a 0;b ab t 2 2 GTLN M GTLN hàm Khảo sát hàm số f (t ) t2 t2 ;0 t Là hàm đồng 2t 2 t biến liên tục 0; Đáp số: max M 22 t2 t2 f (t ) với t 2t 2 t 2 f (t ) f ( ) 2 2 Cách2: ab ab a b M ab2 ab2 ab2 a b 0 a b Lại theo Bunhia: a b 2(a b ) Đặt t a b t 0; M t2 g (t ) ; Với : g (t ) t2 t2 2t (t 2) t t 4t g '(t ) : g(t) đồng biến 2 t2 t t Vậy M g ( 2) 2(2 2) 10 0; Ví dụ 9: Cho x;y số thực thoả : x y xy Tìm GTLN, GTNN biểu thức M x y xy x3 y3 HD: Từ GT suy x y xy Thế vào ta có M x y x y xy x y = xy x y xy x3 y = x3 y x y xy Đặt t=xy Để tìm điều kiện M ta có hai cách sau: Cách1: Tìm t cho hệ sau có nghiệm : x y xy xy t Cách 2: Từ điều kiện đầu ta có: GTLN; GTNN hàm số: xy x y xy 3xy xy ( x y)2 xy xy xy ( x y)2 Vậy t 3;1 Bài toán trở f (t ) t t 2t 9; thành tìm t 3;1 Khảo sát hàm số f (t ) t t 2t 9; t 3;1 ta có kết Ví dụ 10( Khối D- 2009) Cho x,y hai số thực không âm thoả mãn : x+y=1 Tìm GTLN, GTNN biểu thức S (4 x y)(4 y 3x) 25 xy Ta có: S 16( xy )2 12( x3 y3 ) 34 xy 16( xy )2 12 ( x y )3 3xy ( x y ) 34 xy Thay x+y=1, Ta có S 16( xy)2 12(1 3xy) 34 xy 16( xy)2 xy 12 Đặt t=xy Dễ thấy t 0; 11 Xét hàm số f (t ) 16t 2t 12 với t 0; có kết GTNN 191 25 ; GTLN 16 12 Ví dụ 11: Cho hai s thc x, y thay i cho : 2(x2 + y2) - xy = Tỡm GTNN v GTLN ca biu thc : P = Nhn x + y4 2xy + xột : = 2(x2 + y2) - xy 2.2xy - xy = 3xy xy = 2(x2 + y2) - xy = 2.(x + y)2 - 5xy -5xy xy xy + 2 - 2x y 4 2 2 x +y (x + y ) - 2x y -7(xy) + 2xy + V : P = = = = 2xy + 2xy + 2xy + 8xy + Khi ú, t : t = xy , k : t ; 1 Bi toỏn a v tỡm GTNN v GTLN ca hm s : f(t) = -7t + 2t + vi 8t + 1 t ; t = -1 (loai) 56t - 56t ' f (t) = ; f (t) = 56t 56t = t = (8t + 4) ' 2 f(- ) = , f( ) = , f(0) = 15 15 2 x + y = Vy : Max P = Max f(t) = 1 xy = - ; 2 x + y2 = x + y2 = Min P = Min f(t) = 1 15 1 ; xy = xy = Vớ d 12 Cho x2 + xy + y2 = Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc: 12 S = x2 xy + y2 Gii Xột y = x2 = S = l giỏ tr ca hm s Xột y 0, ú bin i biu thc di dng sau õy S x xy y x / y ( x / y ) t t u u x xy y ( x / y ) ( x / y ) t t vi t x y u(t2 + t + 1) = t2 t + (u 1)t2 + (u + 1)t + (u 1) = (*) + Nu u = 1, thỡ t = x = 0, y = u = l giỏ tr ca hm s + Nu u 1, thỡ u thuc giỏ tr hm s phng trỡnh (*) cú nghim t = (3u 1)(3 u) Vy giỏ tr ca u l Min S = Min u , u 3 t=1 Min u ; Max u = x y x y x xy y Max S = Maxu = t = x 3, y x y 2 x 3, y x xy y Ví dụ13(ĐHA-2006) Cho x,y Ă * thoả mãn x y xy x2 y xy Tìm GTLN A 1 x3 y BG : 2 2 x3 y x y x xy y x y 1 A 3 2 x y x3 y x y x y Đặt x=ty, từ x y xy x2 y xy , suy t ty t t y Vậy y t2 t t2 t ; x ty t2 t t Thay vào t 2t A ta có: A t t Ví dụ 14 13 Cho x,y khỏc v tho món: x y x y y x Tỡm GTLN,GTNN ca S x y Hng dn: t y=tx, T gi thit ta cú x t x x 2tx t x x x (1 t ) x3 (2t t ) Suy ra: x t2 v y tx t t 2t Vy f (t ) 5t t2 t2 t 2t t2 t2 KSHS ,/s: MaxS=9/2; minS=-1/2 Vớ d 15: Các số d-ơng x,y,z thoả mãn: x y z 16 xyz Tìm GTNN của: S x y z xyz 4( xy yz zx) Lời giải: Từ BĐT: x y z xy yz zx ta có: S Thay S : 4( x y z ) 16 xyz sử x y z xyz 4( x y z ) dụng Côsi ta có: 3 xyz xyz x y z xyz 4( x y z ) 2(1 xyz ) Đặt t xyz Dễ thấy t>0 Từ điều kiện ban đầu, ta tìm điều kiện cho t: Ta 16 xyz 4( x y z ) 4.3 ( xyz ) có Hay : 16t 12t 16t 12t Sử dụng ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử sử dụng ph-ơng pháp KSHS ta có: 16t 12t t t t Tìm GTNN ca hàm số 3t 4t f (t ) ; 2(1 8t ) t 0; 14 Bài toán trở thành: Đáp số: Min S= 13 Đạt x=y=z=1/4 18 BI TP T GII Bi ChoABC : A B C 900 CMR: cos 3C cos 2C cos C HD: Vì C 600 cos C (0; ] Đặt x=cosC, Khảo sát hàm số ta có ĐPCM Bài (ĐH Cho x 0; ; CMR : Lâm nghiệp) : tan x cot x tan x cot x HD: (tan3 x cot3 x)(tan4 x cot4 x ) 2(tan x cot x ) Đặt t tan x cot x; d / k :t Bài (An ninhA-2000): Cho n số tự nhiên lớn HD: Cách1: ln n ln(n 1) ; xét hàm f(x)=1/x n n Bài4(QGA-2000): Choa,b,c số thực t/m a+b+c=0 CMR 8a 8b 8c 2a 2b 2c HD : (2a )3 2a (2b )3 2b (2c )3 2c Xet hàm f(x)=x3-x với x 0; Chứng minh hàm lõm Bi 5: CMR : a HD : ln a 2a ln a : ln a 2a ln(e a ) a 2a e a2 KSHS có ĐPCM Bài 6: Cho x,y số thực thoả mãn : xy 1& x y Tìm GTLN, GTNN P xy xy HD : x y Vậy: ĐK xy KSHS P 2t 2x 3y xy 12 xy 15 Với t t2 Bài7:Cho x,y hai số thực thay đổi thoả mãn điều kiện x2+y2=2 Tìm GTLN,GTNN P x y 3xy ( CĐ A-2008) b Bài 8: Cho a b 0; Ta a b a b CM : cú : (pcm) + + Xột a hm s : f(x) = f ' (x) = b b a a ( H D-2007) ln(4a + 1) ln(4b + 1) a b ln(1 + x ) vi x > x 4x ln4x - (1 + 4x ).ln(1 + 4x ) < , x (0; +) x (1 + 4x ) f(x) l hm s luụn nghch bin trờn khong (0; + ) Khi Bài ú : a b > f(a) f(b) toán f (t ) 16t 2t 12, trở ln(4a + 1) ln(4b + 1) a b thành Tìm GTLN, GTNN t 0; Bài 9:(B-2010) Cho a;b;c không âm thỏa a+b+c=1 Tìm Min M 3(a 2b2 c 2b2 a 2c ) 3(ab bc ca) a2 b2 c2 HD: 3(a 2b2 c 2b2 a 2c2 ) ab bc ca bunhia Đặt t ab bc ca Có 3(ab bc ca) a b c t M f (t ) t 3t 2t Với t 3 Min M=2 Bi10 : Cho a, b l cỏc s thc tha : < a < b < Chng minh rng : a lnb - b2 lna > lna - lnb (TSC - Khi A, B, D - Nm 2009) Bi11 : Cho a > b > Chng minh rng : a+b a-b > lna - lnb Bài12: Cho a.b hai số không âm Chứng ming 3a 7b3 9ab Bi 13: 16 Cho x,y l cỏc s thc thay i Tỡm GT nh nht ca biu thc A ( x 1)2 y ( x 1)2 y y HD: Xột M ( x 1; y), N ( x 1; y) T BT OM ON MN , ta cú A ( x 1)2 y ( x 1)2 y y Do ú A y y f ( y) Kho sỏt hm s f(y) ta s cú kt qu Bai 14 Cho cỏc s x; y; z dng, tho x y z x Tỡm GTNN ca A x y z 1 y z Bài 15 : a,b,c,d l cỏc s nguyờn thay i tho a b c d 50 , chỳng minh bt ng thc a c a c b b 50 v tỡm GTNN ca S b d b d 50b 17 4.Hiu qu ca SKKN Trong quỏ trỡnh dy hc kin thc v bi toỏn cc tr cho hc sinh lp 12, bờn cnh cỏc phng phỏp m cỏc em ó c bit cỏc lp di nh: S dng cỏc bt ng thc kinh in ( Cụ-si, Bunhiacụpxki ), phng phỏp giỏ tr hm s ( a bi toỏn tỡm cc tr v bi toỏn tỡm iu kin tham s mt phng trỡnh hoc mt h phng trỡnh cú nghim), tụi thng c gng hng cỏc em n li gii s dng phng phỏp hm s nu cú th Vic giỳp hc sinh cú c s lý thuyt vng vng, cú k nng vic i bin, iu kin ca bin mi thụng qua mt s vớ d tiờu biu v h thng bi phự hp ó giỳp hc sinh dng kin thc v hm s vo gii quyt tt mt s bi toỏn cc tr Giỳp cho hc sinh thy c tm quan trng ca t hm s, thy c kin thc hm s cỏc em hc c ỏp dng mt cỏch hiu qu vo cỏc dng toỏn cú liờn quan, giỳp hc sinh thờm yờu mụn toỏn Hc sinh cỏc lp tụi dy cỏc khoỏ t 2006-2009; 2009-2012: 2012-2013 ó cú hng thỳ hn tip cn cỏc bi toỏn cc tr III KT LUN V KIN NGH Bi toỏn tỡm cc tr ca biu thc l bi toỏn khú i vi a s hc sinh, nờn vic cung cp thờm cho cỏc em cụng c hm s gii quyt bi toỏn l mt vic lm cn thit, giỳp hc sinh gii mt s bi toỏn c tr mt cỏch d dng, hn na l cho hc sinh thy c kh nng, phm vi ỏp dng ca kin thc hm s c hc chng trỡnh Trong quỏ trỡnh ging dy, nh dng nhng kinh nghim ó trỡnh by, mt phn khụng nh cỏc em hc sinh ó gii quyt bi toỏn cc tr uyn chuyn hn thụng qua la chn phng phỏp phự hp cho bi toỏn, cng giỳp hc sinh thy s hn gp cỏc dng toỏn cc tr 18 Mc dự ó c gng, nhng sỏng kin kinh nghim cũn nhiu hn ch v ni dung, th loi vớ d v bi cha c phong phỳ, tụi rt mong c s hp tỏc ca cỏc thy cụ cựng cỏc em hc sinh, vi hy vng s m rng bi vit thnh mt ti y hn, bao quỏt c ton b phng phỏp s dng hm s vo cỏc bi toỏn cc tr, chng minh bt ng thc TI LIU THAM KHO Mt s tuyn sinh i hc- cao ng t nm 2006 2.Sỏch giỏo khoa gii tớch lp 12 nõng cao 3.Gii toỏn o hm v kho sỏt hm s ( T.s Nguyn Cam- NXB HQG) 4.Phng phỏp gii toỏn tỡm GTLN,GTNN( Nguyn Vn Nho-Lờ Honh Phũ) 19 DANH MC CH VIT TT TT Vit tt c l BBT Bng bin thiờn HD Hng dn GT Giỏ tr GTLN Giỏ tr ln nht GTNN Giỏ tr nh nht THPT Trung hc ph thụng 20 21 [...]... 4( x 2 y 2 z 2 ) 4.3 3 ( xyz ) 2 có Hay : 1 16t 3 12t 2 16t 3 12t 2 1 0 Sử dụng ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc sử dụng ph-ơng pháp KSHS ta có: 2 1 1 1 16t 3 12t 2 1 0 t t 0 0 t 4 4 2 Tìm GTNN ca hàm số 3t 4t 3 f (t ) ; 2(1 8t ) 1 t 0; 4 14 Bài toán trở thành: áp số: Min S= 13 Đạt khi x=y=z=1/4 18 BI TP T GII Bi 1 ChoABC : 0 A B C 900 CMR:... C (0; ] Đặt x=cosC, Khảo sát hàm số ta có ĐPCM Bài 2 (ĐH Cho x 0; ; CMR : Lâm nghiệp) : tan 7 x cot 7 x tan x cot x 2 HD: (tan3 x cot3 x)(tan4 x cot4 x ) 2(tan x cot x ) 0 Đặt t tan x cot x; d / k :t 2 Bài 3 (An ninhA-2000): Cho n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3 HD: Cách1: ln n ln(n 1) ; xét hàm f(x)=1/x n n 1 Bài4 (QGA-2000): Choa,b,c là các số thực t/m a+b+c=0 CMR 8a 8b... y 2 xy 3 xy t Cách 2: Từ điều kiện đầu bài ta có: GTLN; GTNN của hàm số: 3 xy x 2 y 2 2 xy 3xy 3 xy 1 ( x y)2 2 xy xy 3 xy ( x y)2 3 3 Vậy t 3;1 Bài toán trở f (t ) t 3 t 2 2t 9; thành tìm t 3;1 Khảo sát hàm số f (t ) t 3 t 2 2t 9; t 3;1 ta có kết quả Ví dụ 10( Khối D- 2009) Cho x,y là hai số thực không âm thoả mãn : x+y=1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S (4 x 2... ta có: M Dấu= Khi a=b Do đó: ab ab a b 2 2 ab 2 Đặt t ab Ta có: ab a 2 b 2 1 a 0;b 0 1 2 0 ab 0 t 2 2 2 2 GTLN của M là GTLN của hàm Khảo sát hàm số f (t ) 2 t2 1 t2 ;0 t Là hàm luôn đồng 2 2t 2 2 t 1 biến và liên tục trên 0; áp số: max M 2 1 22 2 t2 1 t2 f (t ) với 0 t 2 2t 2 2 t 1 2 2 f (t ) f ( ) 2 2 2 1 2 2 Cách2: ab 2 ab 1 a b 2 M ab2 ab2 4... Xet hàm f(x)=x3-x với x 0; Chứng minh hàm lõm Bi 5: CMR : a 1 HD : ln a 2 2a 2 1 ln a 2 1 : ln a 2 2a 2 ln(e a 2 1 ) a 2 2a 2 e a2 1 KSHS có ĐPCM Bài 6: Cho x,y là các số thực thoả mãn : xy 1& 2 x 2 3 y 2 5 Tìm GTLN, GTNN của P 2 xy 1 2 xy 2 HD : 2 x 3 y Vậy: ĐK là 1 xy 3 KSHS P 2t 1 2 2x 4 3y 2 4 6 xy 12 6 xy 3 15 2 Với 1 t 3 t2 Bài7 :Cho... f (t ) 5t t2 1 t2 1 t 2 2t t2 1 t2 KSHS ,/s: MaxS=9/2; minS=-1/2 Vớ d 15: Các số d-ơng x,y,z thoả mãn: x 2 y 2 z 2 1 16 xyz 4 Tìm GTNN của: S x y z 4 xyz 1 4( xy yz zx) Lời giải: Từ BĐT: x 2 y 2 z 2 xy yz zx ta có: S Thay S : 4( x 2 y 2 z 2 ) 1 16 xyz và sử x y z 4 xyz 1 4( x 2 y 2 z 2 ) dụng Côsi ta có: 3 3 xyz 4 xyz x y z 4 xyz 1 4( x 2 y 2 z 2 ) 2(1 8 xyz... là các số thực thoả : x 2 y 2 xy 3 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức M x 4 y 4 4 xy x3 y3 HD: Từ GT suy x 2 y 2 3 xy ra Thế vào ta có M x 2 y 2 2 x 2 y 2 4 xy x 3 y 3 2 = 3 xy 2 x 2 y 2 4 xy x3 y 3 2 = x3 y 3 x 2 y 2 2 xy 9 Đặt t=xy Để tìm điều kiện của M ta có hai cách sau: Cách1: Tìm t sao cho hệ sau đây có nghiệm : x 2 y 2 xy 3 xy t Cách 2: Từ điều kiện đầu bài ta... ln(1 + 4 x ) vi x > 0 x 4x ln4x - (1 + 4x ).ln(1 + 4x ) < 0 , x (0; +) x 2 (1 + 4x ) f(x) l hm s luụn nghch bin trờn khong (0; + ) Khi Bài ú : a b > 0 f(a) f(b) toán f (t ) 16t 2 2t 12, trở ln(4a + 1) ln(4b + 1) a b thành Tìm GTLN, GTNN của 1 t 0; 4 Bài 9:(B-2010) Cho a;b;c không âm thỏa a+b+c=1 Tìm Min M 3(a 2b2 c 2b2 a 2c 2 ) 3(ab bc ca) 2 a2 b2 c2 HD: 3(a 2b2 c 2b2 a 2c2... 1 2 xy 2 HD : 2 x 3 y Vậy: ĐK là 1 xy 3 KSHS P 2t 1 2 2x 4 3y 2 4 6 xy 12 6 xy 3 15 2 Với 1 t 3 t2 Bài7 :Cho x,y là hai số thực thay đổi thoả mãn điều kiện x2+y2=2 Tìm GTLN,GTNN của P 2 x 3 y 3 3xy ( CĐ A-2008) b Bài 8: Cho a b 0; Ta a 1 b 1 2 a 2 b 2 2 CM : cú : (pcm) 4 + 1 4 + 1 Xột a hm s : f(x) = f ' (x) = b b a a ( H khi D-2007) ln(4a +... Ta có: S 16( xy )2 12( x3 y3 ) 34 xy 16( xy )2 12 ( x y )3 3xy ( x y ) 34 xy Thay x+y=1, Ta có S 16( xy)2 12(1 3xy) 34 xy 16( xy)2 2 xy 12 Đặt t=xy Dễ thấy t 0; 4 1 11 Xét hàm số bằng f (t ) 16t 2 2t 12 với 1 t 0; 4 có kết quả GTNN 191 25 ; GTLN bằng 16 12 Ví dụ 11: Cho hai s thc x, y thay i sao cho : 2(x2 + y2) - xy = 1 Tỡm GTNN v GTLN ca biu thc : P = Nhn x 4 +