Sáng kiến kinh nghiệm MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG Mục lục 01 Phần 1: Mở đầu 02 Lý chọn đề tài 02 Mục đích nghiên cứu 03 Nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu 03 Phạm vi đối tượng nghiên cứu 03 Điểm SKKN 03 Phần 2: Nội dung 04 Chương 1: Cơ sở lý luận 04 Chương 2: Giải pháp cũ thường làm Chương 3: Giải pháp 16 Chương 4: Kết thực nghiệm 22 Phần 3: Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 26 Sáng kiến kinh nghiệm Phần 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Việc nâng cao phương pháp dạy học cần thiết thường xuyên giáo viên tất môn Trong môn toán có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải thực tích cực trau dồi, bồi dưỡng kiến thức phương pháp đạt hiệu truyền tải kiến thức cho học sinh Hơn nữa, thời điểm nay, với cấu trúc thi đại học ban hành, nhiều phần kiến thức giáo viên phải tìm tòi sáng tạo, tìm phương pháp để học sinh giải toán đề thi học sinh giỏi, thi đại học cao đẳng Và toán chứng minh bất đẳng thức ứng dụng môn toán THPT ngoại lệ Khi gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức, giáo viên thường củng cố nêu kiến thức phương pháp kinh điển, phương pháp có sẵn để giải toán Nội dung sáng kiến kinh nghiệm giới thiệu phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà tác giả tìm tòi, học hỏi trang bị cho học sinh Qua học sinh có thêm công cụ giải tập, có hướng tìm sử dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức Bên cạnh đó, xuất phát từ thực tế giảng dạy nhiệm vụ giải tập chứng minh bất đẳng thức (nhất đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng giáo dục đào tạo) nhiệm vụ khó khăn Nhu cầu học sinh trước giải tập dạng có cách nhìn khái quát, định hướng phương pháp giải Nội dung sáng kiến kinh nghiệm nêu rõ phương pháp cách áp dụng chứng minh bất đẳng thức Với nội dung nêu trên, đề tài sáng kiến là: “ Sử dụng phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số chứng minh bất đẳng thức” Sáng kiến kinh nghiệm Mục đích nghiên cứu : Khi kết thúc chương trình lớp 12, gặp toán chứng minh bất đẳng thức ứng dụng đòi hỏi học sinh phải nhận dạng toán chứng minh bất đẳng thức vận dụng theo phương pháp Sự kết hợp phần kiến thức khác đại số, hình học, giải tích cho ta phương pháp chứng minh thích hợp Vận dụng tính chất tiếp tuyến đường cong, ứng dụng với tính chất bất đẳng thức cho ta phương pháp chứng minh mới, phù hợp mục đích sáng kiến kinh nghiệm Nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu: Kết lớn sáng kiến tìm thêm phương pháp chứng minh bất đẳng thức, việc tổng hợp 10 phương pháp làm tập chứng minh bất đẳng thức Từ phân biệt phương pháp giải toán bất đẳng thức, liên quan đến bất đẳng thức (tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số, ) đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng thi học sinh giỏi cấp Khi giáo viên rút kinh nghiệm giảng sáng tạo toán Phương pháp nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm phân tích, tổng hợp hiệu phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông thường Từ sáng tạo phương pháp mới, đồng thời phân tích, tổng hợp để làm rõ hiệu phương pháp Phạm vi đối tượng nghiên cứu: Về người thầy cô giáo giảng dạy môn toán THPT em học sinh học trường THPT Trong phần toán học, đối tượng nghiên cứu phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà học sinh học chương trình phổ thông Điểm sáng kiến kinh nghiệm: Là nêu phương pháp chứng minh bất đẳng thức, vận dụng tổng hợp kiến thức tính chất bất đẳng thức, ứng dụng đạo hàm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm bao gồm: Chương 1: Cơ sở lý luận (Phương pháp dạy học chứng minh bất đẳng thức) 1) Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm 2) Rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh qua chứng minh bất đẳng thức 3) Hướng dẫn học sinh tìm nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức 4) Phát hiện, khắc phục sửa chữa sai lầm chứng minh bất đẳng thức Chương 2: Cơ sở thực tiễn (Giải pháp cũ thường làm) 10 phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp Chương 3: (Giải pháp mới) Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Chương 4: Kết thực nghiệm trường công tác Phần 2: NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN Bất đẳng thức dạng toán khó bậc trung học phổ thông đại trà học sinh Điều đồng nghĩa với việc dạy học bất đẳng thức nội dung không đơn giản Nhiều giáo viên xác định không cần dành nhiều thời gian để củng cố ôn tập cho học sinh phần kiến thức này, chấp nhận từ bỏ toán chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Chưa hẳn điều đúng, nghiêm túc phân bậc đối tượng học sinh cần bồi dưỡng lực giải tập bất đẳng thức tùy theo mức độ nhóm học sinh khác 1) Phân bậc hoạt động chứng minh bất đẳng thức: Điều quan trọng, vào số lượng biến, phức tạp đối tượng, vào mức độ tường minh, phối hợp hay nhiều hoạt động để xây dựng hệ thống toán từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, nhằm rèn luyện phương pháp chứng minh bất đẳng thức Nhằm rèn luyện cho học sinh vận dụng Bất đẳng thức Cô-si lấy hệ thống toán phân bậc sau Ta lấy ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức sau: (1) 1 (a  )(b  )  , với a, b  a b (2) a  b2  c  ab  bc  ca với a, b, c  (3) a  b2  c  d  e2  a(b  c  d  e) với a, b, c, d , e  (4) Cho x, y, z  0, xyz  chứng minh rằng: Sáng kiến kinh nghiệm  x2  y  y2  z2  z  x2   3 xy yz zx (5) Cho x, y, z  0, 1    chứng minh rằng: x y z 1   1 2x  y  z y  z  x 2z  x  y Trong hệ thống tập mức độ vận dụng toán khó dần: (1) cần vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi cho hai số (2) phải ghép đôi áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số (3) phải biết tách a  a2 a2 a2 a2    ghép đôi 4 4 (4) vừa áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số căn, vừa áp dụng cho ba số hạng vế trái (5) câu khó đề thi tuyển sinh Đại học,Cao đẳng khối A năm 2002 1 1 1 Đòi hỏi vận dụng sáng tạo: Từ (a  b)(  )  với a, b  đến (  )  a b a b ab Từ đó: 1 1  (   ) tương tự cho hai hạng tử lại x  y  z 16 x y z 2) Rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh qua chứng minh bất đẳng thức: Bất đẳng thức ứng dụng thuận lợi để rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh: phân tích, so sánh, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá,… Học sinh cần phải có cách giải toán, đồng thời cách suy nghĩ để giải toán, giải vấn đề Ví dụ: Giáo viên nêu dấu hiệu gợi ý cho học sinh nghĩ đến bất đẳng thức Côsi (đây hoạt động phân tích, so sánh) như: số tham gia bất đẳng thức dương; Có bậc 2, bậc 3; Vì phải sáng tạo, đặc biệt hoá dấu xảy để làm gì?; Áp dụng bất đẳng thức (1) cho bất đẳng thức (2) hay ngược lại cách linh hoạt (1) Cho a, b, c  a  b  c  CMR: a  3b  b  3c  c  3a  Sáng kiến kinh nghiệm (2) Cho a, b, c  abc  1.CMR: a  3b  b  3c  c  3a  3) Hướng dẫn học sinh tìm nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức: Một toán có nhiều cách giải khác nhau, bất đẳng thức ngoại lệ cách nhìn khác nhau, từ nhiều phương diện khác Ta tìm hiểu qua ví dụ sau đây: a) Ví dụ 1: Cho  x, y  Chứng minh rằng: x y  y x  Cách 1: Dựa vào điều kiện  x, y  ta có:VT  xy ( x  y )  y (1  y ) xy ( x  y )  y (1  y )  Lúc lại áp dụng bất đẳng thức Côsi: Cách 2: Đặc biệt hoá dấu xảy x = 4y Vậy biến đổi ta phải để ý điều VT  x y ( x  y )  x ( y  ( x  y) x x )   4 Cách 3: Đặt t  y  t x  x.t   Vế trái tam thức bậc t, có  t  x  x  nên ta ĐPCM b) Ví dụ 2: Cho 36 x  16 y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức sau: T = y – 2x + Cách 1: Ta có: 36 x  16 y   x2 y2   Đặt x  cos , y  sin  / / 16 Ta có: T  y  x   (3sin   4cos )   sin(   )  , 4 15 25 T  (với cos  ,sin   ) Khi 5 4 Ta GTLN T 15 25 sin(   )  , GTNN sin(   )  1 4 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki 1 1 25 ( y  x)2  ( y  x)  (  )(16 y  36 y )  16 Sáng kiến kinh nghiệm Khi đó: 5 15 25   y  2x    T  4 4 Cách 3: Từ giả thiết ta có tập giá trị T để hệ phương trình có nghiệm Thế y  T  x  vào 36 x  16 y   100 x  64(T  5) x  16(T  5)2   Phương trình có nghiệm   => 15 25 T  4 4) Phát hiện, khắc phục sửa chữa sai lầm cho học sinh: a) Ví dụ 1: Chứng minh rằng: a  b2  c  d  e2  a(b  c  d  e) với số thực a, b, c, d , e Lời giải: Theo Cô-si ta có: a  b  ab, 2 a  c  ac, a  d  ad , a  e2  ae Cộng bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Đánh giá: Ở học sinh nhầm ví dụ với ví dụ phần I.1, vận dụng bất đẳng thức Cô-si sai, số âm Tuy nhiên, bất đẳng thức a theo Cô-si, mà (  b)2  0, b) Ví dụ 2: Cho a, b, c, d cạnh tứ giác lồi Chứng minh diện tích tứ giác không lớn (ab  cd ) Lời giải: Giả sử bốn cạnh tứ giác AB = a, BC = b, CD = c, DA = d 1 Lúc ta có: S  S ABC  SCDA  (ab sin B  cd sin D)  (ab  cd ) => ĐPCM 2 Đánh giá: Lời giải thiếu trường hợp hai cạnh có độ dài a, b đối diện c) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức M  x(2a  x)(2b  x) với a, b dương, phân biệt < x < 2a, < x < 2b Lời giải: Vì M  x(2a  x)(2b  x) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số 2x, 2a - x, 2b - x nên M lớn chúng nhau, điều không xảy nên M giá trị lớn Sáng kiến kinh nghiệm Đánh giá: Điều sai logic số có giá trị lớn nhất, không chưa kết luận d) Ví dụ 4: Cho  a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 2a + Lời giải: Sai lầm thường gặp: S  2a  a2 1  a  a   3 a a   minS = a a a Nguyên nhân sai lầm: S =  a  a  1  mâu thuẫn với giả thiết  a  2 a Phân tích tìm tòi lời giải: Xét bảng sau để dự đoán Min S a 10 2.a 2 1 a2 100 81 64 49 36 25 16 S 100 81 64 49 36 25 16 Nhìn bảng ta thấy a tăng S nhỏ từ dẫn đến dự đoán a S nhận giá trị nhỏ Theo phân tích ta sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi cho số a, a, : a2 Cách 1: Ta dự đoán sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số a, a, Sơ đồ điểm rơi 1: => 2a + ta có:  a2 1   a  a    2   8  a       a2 a3 7.4    =  a  a     3 a.a    a 8a  8a a 8a  Với a = giá trị nhỏ S Sáng kiến kinh nghiệm Cách 2: Ta dự đoán sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số  a,  a, Sơ đồ điểm rơi 2: => S = 2a + ta có: a2 1   a  a    2     8   a   a        a2 a3 1 =  8a  8a    14a  3 8a.8a  14a a a  a  = 12  14 a  12 14  Với a = Min S = Chương 2: GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM Thực tế giáo viên cố gắng để truyền thụ tới học sinh phương pháp giải tập chứng minh bất đẳng thức Việc thực đầy đủ phần theo ý kiến cách hợp lý để giải dạng toán Khi chứng minh bất đẳng thức theo quan điểm có 10 phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường sử dụng Việc phân chia phương pháp hay phương pháp khác tương đối, tuỳ theo quan niệm người Trong phương pháp có phương pháp kia, khó rạch ròi phân biệt Ví dụ đặt a = cosx hiểu đặt ẩn phụ, gọi phương pháp lượng giác hoá Dưới giới thiệu phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp biến đổi tương đương : Sử dụng tích chất bất đẳng thức, phép biến đổi kéo theo, tương đương Có dường quy nạp diễn dịch để có kết toán Ví dụ : Bài 4(SGK CTC10Tr.79): Chứng minh rằng: x3  y  x y  xy x, y  Giải: x3  y  x y  xy  (x  y )2 (x  y )  => ĐPCM Ví dụ 2: (CM bất đẳng thức Bunhiacopxki) Với a,b,c,d thì: (ac  bd )2  (a  c )(b  d ) Giải: (ac  bd )2  (a  c )(b2  d )  2abcd  a 2c  b2d Sáng kiến kinh nghiệm  (ac  bd )2  => ĐPCM Dấu xảy ac  bd Phương pháp sử dụng bất đẳng thức bản: Các bất đẳng thức gồm bất đẳng thức Cô-si (cho số, cho số), bất đẳng thức trị tuyệt đối, … Một số bất đẳng thức Cơ đây: (1) Với a, b thì: (a  b)   a  b  ab a,b R (2) Với a, b, c dương ab  ab ; abc  abc (BĐT Cô-si) (3) Với a, b thì: a  b  a  b  a  b Ta lấy số ví dụ: a b4 c4 Ví dụ 1: CMR với a,b,c dương thì:    3abc b c a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hạng tử vế trái => ĐPCM Ví dụ 2: Với a,b,c thì: a  b2  c  ab  bc  ca Giải: Với a,b,c thì: (a  b)   a  b  2ab (b  c)2   b2  c  2bc (c  a)2   c  a  2ca Cộng tương ứng bất đẳng thức suy ĐPCM Phương pháp quy nạp toán học: Để chứng minh mệnh đề P(n) với n  no Ta làm bước: Bước 1: Kiểm tra tính sai mệnh đề với n=no Bước 2: Giả sử P(n) đến n = k  no Ta chứng minh với n = k+1 Hơn bất đẳng thức mệnh đề logic với điều kiện cho trước Vì hoàn toàn áp dụng phương pháp Ví dụ: CMR với n nguyên dương lớn thì: Giải: Với n = BĐT trở thành: 1     n 1 n 1    Giả sử BĐT với đến n = k tức là: 10 1     k 1 k Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp hình học: Áp dụng bất đẳng thức liên hệ điểm: AB + BC  AC a  b  c  d  (a  c )2  (b  d )2 Ví dụ 1: CMR với a,b,c,d ta có: Giải: Trong mặt phẳng toạ Oxy xét điểm A(a;b), B(-c;-d) ta có: OA + OB  AB Suy điều cần chứng minh Ta áp dụng chứng minh cho việc chúng minh bất đẳng thức sau: Ví dụ 2: CMR: a2  ab  b2  a2  ac  c2  b2  bc  c2 (2) b 3b2 c 3c b c 3b 3c Bởi BĐT (2)  (a  )   (a  )   (  )2  (  ) 4 2 2 Phương pháp hàm số: Ví dụ 1: CMR với a,b,c không âm thì: a  b2  c  2(cos a  cos b  cos c)   Lời giải: Xét hàm số: f (t )  t  2cos t, t  0;   Ta có: f '(t )  2t  2sin t , f ''(t )   2cos t f ''(t )  0, t  0;   Khi đó: f '(t ) đồng biến 0;  => f '(t )  f '(0)   f (t ) đồng biến 0;  Do f (t )  f (0)   f (a)  f (b)  f (c)  => ĐPCM Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (1  n 1 )  (1  ) n với n N* n 1 n x Lời giải: Xét hàm số f ( x)  (1  ) x , x  1 f '( x) 1  ln f ( x)  x ln(1  )   ln(1  )  x f ( x) x 1 x   f '( x)  f ( x) f ''( x) x( x  1)  f '( x) ( )'   0 2 f ( x) ( x  1) f ( x )   Ta có: f '( x) f '( x) f '(1)    f '( x)  đồng biến 1;    f ( x) f ( x) f (1)  f ( x) đồng biến 1;   Nói riêng với n N* => ĐPCM Phương pháp đặt ẩn phụ: 12 Sáng kiến kinh nghiệm Đôi ta đặt ẩn phụ chuyển sang bất đẳng thức khác cần chứng minh trông đẹp Lấy ví dụ: Bài 20(SGK NC Đại số 10 Tr112): “Chứng minh x  y  x  y  ” Giải: Đặt x  sin  ; y  cos  x  y  sin   cos   sin(   ) Xét ví dụ khác: “Cho số dương a,b,c thoả mãn: a  b2  c2  thì: Giải: Cần chứng minh: a2  Đặt Khi đó: ab bc ca    3” c a b ab bc ca     a 2b  b 2c  c 2a  3abc c a b 3x 3y 3z , b2  , c2  x yz x yz x yz (1) ( x, y, z  0)  xy  yz  zx  3xyz ( x  y  z ) (1)  ( xy  yz  zx)2  3xyz ( x  y  z ) 2   xy  yz    yz  zx    zx  xy    với x, y, z   2 => ĐPCM 9) Phương pháp đánh giá Ví dụ 1: 16 (SGK Đại số 10NC, Tr.112), chứng minh rằng: 1 Giải: Ta có: 1 1     2 n 1 1    n n(n  1) n 1 n (n  N *) ( n  1) 1 1 1 1 1               (n  1) 2 n 2 n 1 n n Ví dụ 2: Chứng minh rằng:  Giải: Đặt S  a b c d    2 abd abc bcd acd a b c d    abd abc bcd acd Ta chứng minh được: a a ac   abcd abd abcd 13 Sáng kiến kinh nghiệm b b ad   abcd abc abcd Tương tự: c c ca   abcd bcd abcd d d d b   abcd abd abcd Cộng vế ta có: 1< S < 10) Phương pháp dồn biến: Nội dung phương pháp tìm cách đưa toán nhiều biến phức tạp, thành toán ẩn số cách hợp lý 4 Ví dụ: Cho a  b2  c  , ab  bc  ca  1, chứng minh   a  3 Giải: Từ giả thiết ta có (a  b  c)2   b  c    a (b  c) (2  a ) 3a  4a  a b c a  a   2 2 2 4  3a  4a  Vậy   a  3 Tất nhiên thời lượng phân phối môn đủ thời gian để giáo viên trang bị cho học sinh tất phương pháp nêu Nhưng giáo viên gợi mở, tăng sáng tạo học sinh Cụ thể tiếp cận với đề thi hoàn toàn giáo viên cần trang bị cho học sinh khả tái kiến thức phương pháp sáng tạo tìm cách giải toán Ta xét câu hỏi bất đẳng thức đề thi đại học, cao đẳng năm 2009 năm 2012 - Thứ nhất: Đề thi tuyển sinh đại học khối A môn toán năm 2009, câu V: Chứng minh với x, y, z  thoả mãn x( x  y  z )  yz ta có: ( x  y)3  ( x  z )3  3( x  y)( x  z )( y  z )  5( y  z )3 Phương pháp làm bài: Đặt a  x  y, b  x  z , c  y  z toán trở thành: Cho a, b, c  thoả mãn: c  a  b2  ab chứng minh rằng: a3  b3  3abc  5c3 Phương pháp đặt ẩn phụ giúp đưa toán toán đỡ phức tạp hơn, gần gũi Tuy nhiên câu đề thi khối A nên độ khó ta 14 Sáng kiến kinh nghiệm biết Các thầy cô tìm hiểu lời giải đáp án đề thi đại học khối a năm 2009 giáo dục đào tạo - Thứ hai: Đề thi tuyển sinh cao đẳng môn toán năm 2009, câu V : Cho a , b thoả mãn:  a  b  , chứng minh rằng: a ln b  b ln a  ln a  ln b Phương pháp làm bài: BĐT cần chứng minh tương đương với: Xét hàm số f (t )  ln a ln b  (2) a 1 b 1 ln t , t  (0;1) Ta chứng minh f '(t )  hàm f (t ) t2 1 đồng biến khoảng (0;1) Suy ĐPCM Bài toán có lẽ không cách khác việc sử dụng phương pháp hàm số Tuy nhiên học sinh cần luyện tập nhiều phát tương đồng vế BĐT (2) - Thứ ba: Đề thi tuyển sinh đại học khối D môn toán năm 2009, câu V Cho x, y  thoả mãn x  y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức sau: S  (4 x  y)(4 y  3x)  25xy Phương pháp làm bài: Ta thấy đối xứng x, y biểu thức S điều kiện toán.Dẫn đến hình thành tư liên hệ tổng tích x y Trong x  y  lúc gợi ý đặt xy=t Cần sử dụng đến BĐT  xy  ( x  y)2 1  đó:  t  Bài toán trở thành: 4  1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ S  f (t )  16t  2t  12, t  0;  Bài tập  4 thực không khó học sinh.tuy nhiên sau tìm xong 25 191 max f (t )  f ( )  ; f (t )  f ( )  công việc tìm xem có x, y  1  1 16 16 0; 0;      4  4 thoả mãn t  (t  ) hay không? Từ kết luận kết toán 16 Trên câu hỏi đề thi đại học, cao đẳng năm 2009 Với phương pháp nêu trang bị cho học sinh Tôi tin học sinh thực tốt câu hỏi - Thứ tư: Đề thi tuyển sinh đại học khối A môn toán năm 2012, câu 15 Sáng kiến kinh nghiệm “Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  y z  z  x  6(x  y  z ) ” Trước toán này, câu hỏi đặt giải theo hướng nào? Các phương pháp kể có giải toán hay không? Chương 3: GIẢI PHÁP MỚI Xuất phát yêu cầu kiến thức giai đoạn khác nhau, giáo viên bổ sung cho học sinh phương pháp, cách giải phù hợp Dạy học chứng minh bất đẳng thức Người giáo viên tìm tòi, bổ sung phương pháp chứng minh cho học sinh phương pháp hiệu điều cần thiết Ngoài phương pháp thường làm kể trên, học phần kiến thức Đạo hàm ứng dụng Ngay chương trình lớp 11, có khái niệm đạo hàm có ý nghĩa hình học quan trọng đạo hàm “Nếu tồn tại, f '(x ) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f (x) điểm M0 (x ;f (x )) Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0 y  y0  f '(x ).(x  x ) ” Ta có nhận xét sau: Nếu đường thẳng (d): y  ax  b tiếp tuyến đồ thị (C): y  f (x) điểm M0 (x ;f (x )) ( không điểm uốn), tồn khoảng D chứa điểm x cho đồ thị (C) nằm phía đồ thị (d) nằm phía đồ thị (d) Tức f (x)  ax  bx  D f (x)  ax  bx  D Và đẳng thức xảy x  x Hơn ta phân tích f (x)  (ax  b)  (x  x )k g(x) với k  N, k  Khi ta xét dấu g(x) để so sánh f (x) (ax  b) Từ việc phân tích ta thấy, để chứng minh bất đẳng thức hay nhiều biến ta biến đổi bất đẳng thức dạng chẳng hạn f (a1 )  f (a )   f (a n )  E Khi điểm rơi a1  a   a n  x Khi ta viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f (x) x  x sử dụng nhận xét kể 16 Sáng kiến kinh nghiệm Ta xét số ví dụ để làm rõ điều này: Bài 1: Cho số dương a,b,c,d thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh 6(a  b3  c3  d )  a  b  c  d  Nhận xét Dấu xảy a  b  c  d  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (6a  a )  (6b  b )  (6c3  c )  (6d  d )  1  f (a)  f (b)  f (c)  f (d)  8 Trong f (x)  6x  x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f (x) x 1 1 5x  x  (0;1) y  f '( ).(x  )  f ( )  x  Ta cần so sánh f (x) 4 8 Lời giải Ta có 6a  a  5a   48a  8a  5a    (4a  1) (3a  1)  a  (0;1) (Dấu xảy a  ) Vai trò a, b, c, d bình đẳng nên ta có (6a  a )  (6b3  b2 )  (6c3  c2 )  (6d3  d2 )  5(a  b  c  d)   =>ĐPCM 8 (Dấu xảy a  b  c  d  ) Bài 2: Cho a, b,c   ;a  b  c  Chứng minh a b c    a  b  c  10 Nhận xét Dấu xảy a  b  c  , f (a)  f (b)  f (c)  số f (x)  với hàm 10 x   liên tục   ;   Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số x 1   y  f (x) x  36x  y  Từ gợi ý cho ta dẫn đến lời giải toán 50 Lời giải 36a  a (3a  1) (4a  3) 36a  a    0a     Ta có 50 a 1 50(a  1) 50 a 1 17 Sáng kiến kinh nghiệm Suy a b c 36(a  b  c)  9      ĐPCM a 1 b 1 c 1 50 10 (Dấu xảy a  b  c  ) Qua tập ta nhận thấy phương trình tiếp tuyến đường lối sở để dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh Điều quan trọng biến đổi để có hàm số điểm rơi cần thiết Qua cho thấy hạn chế phương pháp Tuy nhiên công cụ giúp ta giải tập chứng minh bất đẳng thức cách tự nhiên Người đọc giải thích câu hỏi như: Tại lai có bất đẳng thức đó? Nó xảy nào? Cách để tìm Thực tế giải tập, không thiết phải trình bày chi tiết cách tìm bất đẳng thức sở, từ suy điều phải chứng minh Ta tiếp tục xét số toán thuộc dạng Bài Cho số dương a,b,c biết a  b  c  Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca (1) Nhận xét (1)  a  b2  c2  2( a  b  c)  (a  b  c)2  Do ta xét hàm số f (x)  x  x viết phương trình tiếp tuyến (PTTT) đồ thị hàm số điểm có hoành độ Và làm tương tự làm tập tập Lời giải Ta có: a  a  3a  ( a  1)2 (a  a )   a  a  3a Tương tự ta có b2  b  3b;c2  c  3c Cộng bất đẳng thức ta ĐPCM (Dấu xảy a  b  c  ) Bài Cho a,b,c  Chứng minh a b c    2 (b  c) (c  a) (a  b) 4(a  b  c) Lời giải Không tính tổng quát với số a, b, c ta đặt a  b  c  ta cần chứng minh a b c x    Xét hàm số f (x)  (0;1) 2 (1  a) (1  b) (1  c) (1  x)2 18 Sáng kiến kinh nghiệm Ta viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x x điểm có hoành độ (1  x) 18x  18x  (3x  1) (3  2x) y  Lại có f (x)    0x  (0;1) 4 4(1  x)  f (x)  18x  18(a  b  c)  9  f (a)  f (b)  f (c)    ĐPCM 4 Nếu a  b  c  t   a b c    , ta chứng minh tương tự cho số t t t a b c a '  ;b '  ;c '  Từ ta có điều cần chứng minh t t t Trên ta đề cập đến số tập có sử dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức dự vào phương trình tiếp tuyến đường cong Phương pháp không tối ưu trường hợp qua giúp ta giải nhiều toán chứng minh bất đẳng thức cách khó khăn theo cách giải khác Một số toán thực theo cách giải tự nhiên hơn, mang đến nhìn đơn giản Qua phần đáp ứng việc làm đơn giản hóa toán chứng minh bất đẳng thức trước học sinh Ta xét toán tổng hợp Câu đề thi đại học khối A năm 2012, tập tương đối khó “Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  y z  z  x  6(x  y  z ) ” Ta tìm hiểu đáp án chi tiết Bộ Giáo dục Đào tạo: “ Ta chứng minh 3t  t  t  (*) Xét hàm số f (t)  3t  t   f '(t)  3t ln   0t  0;f (0)   (*) Áp dụng (*) ta có x  y  y z  z  x   x  y  y  z  z  x Áp dụng bất đẳng thức a  b  a  b ta có ( x  y  y  z  z  x )2  x  y  y  z  z  x  x  y ( y  z  z  x )  2  y  z ( x  y  z  x )  z  x ( x  y  y  z )  2( x  y  y  z  z  x ) 2 Do x  y  y  z  z  x  2( x  y  y  z  z  x )  6(x  y  z )  2(x  y  z) 2 2 19 Sáng kiến kinh nghiệm  x  y  y  z  z  x  6(x  y2  z )  P  Khi x  y  z  dấu xảy Vậy giá trị nhỏ (P) 3.” (Theo đáp án môn toán khối A, đề thi tuyển sinh đại học năm 2012) Theo đáp án đây, việc tìm giá trị nhỏ toán phụ thuộc nhiều vào việc tìm bất đẳng thức (*) sử dụng Theo đáp án lời giải không thấy tự nhiên Nhưng xét theo phương pháp giải sử dụng phương trình tiếp tuyến đường y  et điểm có hoành độ y'  et  y'(0)   PTTT : y  y'(0).(t  0)  y(0)  t  Lại có ( ) t  1t   3t  e t , việc chứng minh et  t  1t  có e tập chương trình phổ thông Bên cạnh cúng cần phải nhớ x  y  0, y  z  0, z  x  Rõ ràng thực theo phương pháp giải kể lý giải việc dẫn đến bất đẳng thức (*) toán đơn giản nhiều Đây toán điển hình thể điểm thuận lợi sử dụng phương pháp chứng minh so với phương pháp thường dùng trước Tất nhiên để giải toán cần phối hợp nhiều phương pháp khác nhau, kĩ thuật khác nhau, yêu cầu toán phân hóa học sinh giỏi xuất sắc đề thi đại học khối A Ngoài toán kể trên, sử dụng phương pháp chứng minh giải tập sau nhanh chóng thuận tiện: Bài Cho a,b,c  a  b2  c2  Chứng minh b2  c2 c2  a a  b   2 a b c (*)  a  b2  c2    Ta viết PTTT đồ thị hàm só HD (*)  a b c  x2 y điểm có hoành độ x  sử dụng phương pháp 11 x Bài Cho tam giác có độ dài cạnh a, b,c Chứng minh 20 Sáng kiến kinh nghiệm 1 1     4(   ) a b c abc a b bc ca (**) HD Do vai trò a, b, c bình đẳng nhất, ta đặt a  b  c  (trong trường hợp có tổng t > ta giải tập chương 3) Khi ta xét hàm số f (x)   viết PTTT đồ thị hàm số y  f (x) 1 x x điểm có hoành độ x   vận dụng phương pháp 11 Bài Cho số dương a, b, c Chứng minh a3 b3 c3 abc    2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a HD Dấu xảy a  b  c x3 x  2bx  3b x  f '(x)  Xét hàm số f (x)  viết phương trình x  bx  b (x  bx  b ) a3 2a  b tiếp tuyến y  f (x) x = b Từ chứng minh  a  ab  b Tương tự với biểu thức lại ta có đpcm 21 Sáng kiến kinh nghiệm Chương 4: KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM I THỰC NGHIỆM 1: Bài kiểm tra chương giải tích 12 Tôi dõi tổng hợp kết học sinh lớp trực tiếp giảng dạy lớp đối chứng Tuy việc phân hóa lớp tương đối tương đồng hiệu làm rõ ràng với hướng làm mới, em vận dụng theo phương pháp 11 kết tốt nhiều Ta thống kê số liệu học sinh làm tôt câu phần tự luận ĐỀ KIỂM TRA TIẾT MÔN TOÁN LỚP 12 (CHƯƠNG 1) Ma trận đề: Chủ đề Tính đơn điệu Cực trị, GTLN,GTNN Tiệm cận Nhận biết TNKQ TL 0,5 0,5 0,5 Thông hiểu TNKQ TL Vận dụng TNKQ TL 1,5 1,5 1,0 Khảo sát hàm số 3,0 3,0 Các toán liên quan Tổng 4,0 A D (0; +∞) D (0; +∞) 1 x nghịch biến khoảng: x2 A (–∞; +∞) B (–∞; 2) C (2; +∞) Câu 4: Hàm số y  x  3x  đạt cực tiểu điểm: A x = B x = C x = 4 Câu 5: Hàm số y   x  x  đạt cực đại điểm: A x = –1 B x = C x = Câu 6: Hàm số y  3,0 3,0 3,0 Nội dung: A Phần trắc nghiệm: (4 điểm) Câu 1: Hàm số y  x3  3x2  đồng biến khoảng: A (0; 2) B (  ; 0) (2;  ) C (  ; 2) Câu 2: Hàm số y   x  x2  đồng biến khoảng: A (–∞; 0) B (–∞; –1) C (1; +∞) Câu 3: Hàm số y  Tổng D (–2; +∞) D D x = x 1 có điểm cực trị: 2 x B C 22 D 3,0 10,0 Sáng kiến kinh nghiệm Câu 7: Đồ thị hàm số y  A x 1 x2  x có tiệm cận: B Câu 8: Đồ thị hàm số y  x3 x  x2 C D có tiệm cận đứng: A B C D B Phần tự luận: (6 điểm) Bài Cho hàm số : y  x3  3x2  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: x3  x2  m Bài Cho số dương x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P  xy  x y Kết quả: Thống kê số học sinh làm tự luận thứ Việc thống kê cho ta biết học sinh giải phần tự luận theo phương pháp chứng minh 11.Qua giáo viên điều chỉnh, rút kinh nghiệm cho học sinh: + Năm học 2010 – 2011: Lớp Tên Sĩ số Hoàn thành 100% Hoàn thành 50% Ghi Thực nghiệm 12A1 51 35 Đối chứng 12A2 56 Đối chứng 12A3 51 + Năm học 2011 – 2012: Lớp Tên Sĩ số Hoàn thành 100% Hoàn thành 50% Ghi Thực nghiệm 12A1 49 32 13 Đối chứng 12A2 48 10 15 Đối chứng 12A3 50 Sĩ số Hoàn thành 100% Thực nghiệm 12A1 48 34 Đối chứng 12A2 44 16 11 Thực nghiệm 12A3 49 Đối chứng 43 + Năm học 2012 – 2013: Lớp Tên 12A4 23 Hoàn thành 50% Ghi Sáng kiến kinh nghiệm Các kết phản ánh phần học sinh trang bi tốt kiến thức phương pháp giải tôt yêu cầu toán Ở ta nói đến tập số phần tự luận Học sinh chưa biết thêm phương pháp sử dụng phương trình tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức học sinh cách vận dụng tốt bất đẳng thức cosi với điểm rơi phù hợp, học sinh có kết không cao Qua ta thấy ưu điểm phương pháp toán cụ thể II THỰC NGHIỆM 2: Cuối năm học 2011 – 2012, đề thi sát hạch khối 10 11, nội dung đề thi bám sát yêu cầu đề thi đại học cao đẳng Bộ giáo dục đàò tạo Mục kiểm tra đánh giá kết học tập em giáo viên năm học, đồng thời sở phân luồng học sinh Chúng lựa chọn tập bất đẳng thức ứng dụng đề mục tiêu kể trên, kiểm tra xem học sinh lớp 11 trang bị phương pháp kết em thay đổi Kết thi khối đặc biệt khối 11 đáp ứng phần kì vọng Kết thi sát hạch cuối năm Năm học 2011 - 2012 khối 10: Điểm thi Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu, Số luợng 19 60 123 208 Làm tốt BĐT 23 18 0 Kết thi sát hạch cuối năm Năm học 2011 - 2012 khối 11: Điểm thi Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu, Số luợng 45 78 172 101 Làm tốt BĐT 38 25 04 Qua số liệu ta thấy số học sinh làm tốt câu bất đẳng thức tăng lên đáng kể có thêm phương pháp làm Tất nhiên phụ thuộc vào nội dung đề Ta phải công nhận nhiều tập bất đẳng thức ứng dụng có hướng giải đặc biệt, khó áp dụng phương pháp giải khác Do phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào phương trình tiếp tuyến đường cong hướng giải mà người giáo viên nên trang bị cho học sinh 24 Sáng kiến kinh nghiệm Phần 3: KẾT LUẬN Qua sáng kiến kinh nghiệm nghĩ rằng: Để học sinh làm tốt toán chứng minh bất đẳng thức, việc giáo viên truyền đạt cho học sinh kiến thức bản, giáo viên nên trang bị cho em kiến thức, phương pháp làm chứng minh bất đẳng thức Thường xuyên nhắc lại phần kiến thức khác nhau, rút học sau dạy Khi kết thúc chương trình THPT học sinh có nhìn toàn diện toàn phương pháp làm chứng minh bất đẳng thức ứng dụng Đồng thời tổ chuyên môn thường xuyên tổ chức buổi sinh hoạt chuyên môn phương pháp dạy học bất đẳng thức để tìm đường hướng dẫn học sinh không lo sợ trước dạng toán Ngoài phương pháp chứng minh thông thường, giáo viên nên tìm tòi, sáng tạo tìm phương pháp chứng minh bất đẳng thức phù hợp với nhận thức học sinh giai đoạn Rất mong có đóng góp ý kiến thầy cô 25 Sáng kiến kinh nghiệm TÀI LIỆU THAM KHẢO: - Bộ sách giáo khoa, sách tập môn toán THPT - Quyển phương pháp giảng dạy môn toán nhà xuất giáo dục - Sáng tạo Bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng - Những viên kim cương chứng minh bất đẳng thức - Trần Phương - Các chuyên đề toán THPT- tác giả Phan Huy Khải - Tạp chí toán học tuổi trẻ - Nhà xuất giáo dục - Một số tài liệu bạn bè đồng nghiệp khai thác internet 26 [...]... kiến thức Đạo hàm và các ứng dụng Ngay trong chương trình lớp 11, khi có khái niệm đạo hàm chúng ta có ý nghĩa hình học quan trọng về đạo hàm “Nếu tồn tại, f '(x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f (x) tại điểm M0 (x 0 ;f (x 0 )) Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0 là y  y0  f '(x 0 ).(x  x 0 ) ” Ta có nhận xét sau: Nếu đường thẳng (d): y  ax  b là tiếp. .. 25 04 0 Qua số liệu đó ta thấy số học sinh làm tốt câu bất đẳng thức đã tăng lên đáng kể khi có thêm một phương pháp làm bài mới Tất nhiên phụ thuộc vào nội dung đề bài Ta cũng phải công nhận rằng nhiều bài tập về bất đẳng thức và ứng dụng chỉ có một hướng giải đặc biệt, khó có thể áp dụng phương pháp giải khác Do đó phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào phương trình tiếp tuyến của đường cong... được trang bi tốt các kiến thức và phương pháp sẽ giải quyết rất tôt yêu cầu của bài toán Ở đây ta nói đến bài tập số 2 phần tự luận Học sinh khi chưa biết thêm phương pháp sử dụng phương trình tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức thì học sinh chỉ còn cách vận dụng tốt bất đẳng thức cosi với điểm rơi phù hợp, vì vậy các học sinh đó có kết quả không cao Qua đó ta thấy ưu điểm của phương pháp này trong bài... thiết phải trình bày chi tiết cách tìm ra bất đẳng thức cơ sở, từ đó suy ra điều phải chứng minh Ta tiếp tục xét một số bài toán thuộc dạng này Bài 3 Cho 3 số dương a,b,c biết a  b  c  3 Chứng minh rằng a  b  c  ab  bc  ca (1) Nhận xét (1)  a 2  b2  c2  2( a  b  c)  (a  b  c)2  9 Do vậy ta xét hàm số f (x)  x 2  2 x và viết phương trình tiếp tuyến (PTTT) của đồ thị hàm số tại điểm... đó ta có điều cần chứng minh t t t Trên đây ta đã đề cập đến một số bài tập có sử dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức dự vào phương trình tiếp tuyến của đường cong Phương pháp này không tối ưu trong mọi trường hợp nhưng qua đó giúp ta giải quyết được nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức một cách khó khăn theo cách giải khác Một số bài toán khi thực hiện theo cách giải này sẽ tự nhiên hơn, mang... rằng phương trình tiếp tuyến là đường lối cơ sở để chúng ta dẫn đến bất đẳng thức cơ bản cần chứng minh Điều quan trọng là biến đổi để có được hàm số và điểm rơi cần thiết Qua đó cũng cho thấy sự hạn chế của phương pháp này Tuy nhiên cũng sẽ là công cụ giúp ta giải quyết các bài tập chứng minh bất đẳng thức một cách tự nhiên hơn Người đọc sẽ giải thích được các câu hỏi như: Tại sao lai có bất đẳng thức. .. trên ta thấy, để chứng minh bất đẳng thức 2 hay nhiều biến nếu ta biến đổi một bất đẳng thức về dạng chẳng hạn như f (a1 )  f (a 2 )   f (a n )  E Khi đó điểm rơi là a1  a 2   a n  x 0 Khi đó ta sẽ viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f (x) tại x  x 0 và sử dụng nhận xét kể trên 16 Sáng kiến kinh nghiệm Ta sẽ xét một số ví dụ để làm rõ điều này: Bài 1: Cho 4 số dương a,b,c,d... bài chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng Đồng thời các tổ chuyên môn thường xuyên tổ chức các buổi sinh hoạt chuyên môn về phương pháp dạy học bất đẳng thức để tìm ra con đường hướng dẫn học sinh không còn quá lo sợ trước dạng toán này Ngoài các phương pháp chứng minh thông thường, giáo viên cũng nên tìm tòi, sáng tạo tìm ra các phương pháp chứng minh bất đẳng thức phù hợp với nhận thức của học sinh... PTTT của đồ thị hàm số y  f (x) tại 1 x x 1 3 điểm có hoành độ x   vận dụng phương pháp 11 Bài 3 Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng a3 b3 c3 abc  2  2  2 2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a 3 HD Dấu bằng xảy ra khi a  b  c x3 x 4  2bx 3  3b 2 x 2  f '(x)  Xét hàm số f (x)  2 viết phương trình x  bx  b 2 (x 2  bx  b 2 ) 2 a3 2a  b tiếp tuyến của y  f (x) tại x = b Từ đó chứng. .. toán chứng minh bất đẳng thức, ngoài việc giáo viên truyền đạt cho học sinh các kiến thức cơ bản, thì giáo viên cũng nên trang bị cho các em kiến thức, các phương pháp làm bài chứng minh bất đẳng thức Thường xuyên được nhắc lại trong các phần kiến thức khác nhau, rút ra bài học sau mỗi bài dạy Khi kết thúc chương trình THPT học sinh sẽ có cái nhìn toàn diện nhất về toàn bộ các phương pháp làm bài chứng