Khóa TỔNG ÔN + LUYỆN ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 TỔNG HỢP VỀ OXY VÀ HỆ PT (Lớp off) – PHẦN Thầy Đặng Việt Hùng ĐZ ( x + y )( x − y − 1) + x + xy + y = Bài 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình  3 x − + x + y − = x + y + −  ( x + 1) + x − y = x − y +  Bài 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình  1 + x − y + x + y − = 3 x + y − Bài 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình Bài 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình Bài 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình Bài 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình (1) (1) ( x, y ∈ ℝ) (2) ( x, y ∈ ℝ) (2) x +1  2  x + 3x − y = x + y +   x − + y − = + xy − y +   x + + y + = y  2 x + − y + = x  x y + x y + − xy + x = y x + + ( )   2 x + + y + = x + y + 13 2 x + y − y = ( x − y )(1 − x + y ) (1) ( x, y ∈ ℝ)   x + y + − − x − y = ( x − 1) − 13 x + 27 (2) ( )  x + y + y = x + y + x + Bài 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình   10 y + 10 + ( y + 5) x + = x + x + y + 12 Bài 8: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn ( C ) : x + y + x − y + = M ( 0;1) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết M trung điểm cạnh AB A có hoành độ dương Đ/s: A (1; ) , B ( −1; ) , C ( −1; ) Bài 9: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − y − = điểm A ( 2;6 ) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết hai điểm B, C thuộc đường thẳng d, tam giác 35 ABC vuông A có diện tích Đ/s: (T ) : ( x − ) + ( y − ) = 25 (T ) : ( x − ) + ( y − 3) = 25 2 2 Bài 10: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD A ( −1; ) Gọi M, N trung điểm AD DC, E giao điểm BN CM Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BME biết BN nằm đường thẳng x + y − = B có hoành độ lớn Đ/s: (T ) : ( x − 1) + ( y − 3) = 2 Bài 11: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + = 0, d : x − y + = điểm M (1; ) Viết phương trình đường tròn qua M cắt d1 hai điểm A B cho AB = đồng thời tiếp xúc với d Đ/s: (T ) : ( x − ) + ( y + 3) = 50 (T ) : ( x + ) + ( y − ) = 50 Bài 12: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp điểm I ( 4; ) phương trình hai đường thẳng chứa đường cao đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A 2 2 Trung tâm Đống Đa – Số 5/ngách 33, ngõ 64 Nguyễn Lương Bằng – Đống Đa – HN Tel: 04.3629.0880 Khóa TỔNG ÔN + LUYỆN ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 tam giác d1 : x + y − = d : x + y − = Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC biết B có tung độ dương Đ/s: Phương trình BC : x − y − = 0, phương trình AB : y = 1, phương trình AC : x + y − LỜI GIẢI BÀI TẬP ( x + y )( x − y − 1) + x + xy + y = Bài 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình  3 x − + x + y − = x + y + − (1) ( x, y ∈ ℝ) (2) Lời giải: 2 x + xy + y ≥   ĐK:  x ≥ (*)  2 x + y ≥ 2 Khi (1) ⇔ ( x + y )( x − y ) + x + 3xy + y − ( x + y ) = ⇒ ( x − y )( x + y ) + x + xy + y − x − y − xy x + xy + y + x + y x( x − y) ⇔ ( x − y )( x + y ) + x + xy + y + x + y =0 =0   x =0 ⇔ ( x − y) x + 2y +  x + 3xy + y + x + y   Từ (2) ⇒ x + y + − ≥ ⇒ x + y + ≥ (3) > ⇒ x + y + > Kết hợp với x + y ≥ ⇒ ( x + y + ) + ( x + y ) > ⇒ ( x + y ) > ⇒ x + y > Mặt khác x ≥ x > ⇒ x + 2y + > x + xy + y + x + y Do (3) ⇔ x − y = ⇔ y = x Thế y = x vào (2) ta 3 x − + x − = x + − ⇔ x + − x − − = Đặt x + = a; 5a −  b=  5a − 7b − =  3x − = b ⇒  ⇔ 2 a − 2b =  a −  5a −  − =       5a −  Ta có a −   − = ⇔ 49a − ( 25a − 30a + ) − 294 =   ⇔ 49a − 50a + 60a − 312 = ⇔ ( a − ) ( 49a + 48a + 156 ) = Với x ≥ (4) ⇒ a = x + > ⇒ 49a + 48a + 156 > Khi (4) ⇔ a − = ⇔ a = Trung tâm Đống Đa – Số 5/ngách 33, ngõ 64 Nguyễn Lương Bằng – Đống Đa – HN Tel: 04.3629.0880 Khóa TỔNG ÔN + LUYỆN ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ⇒ x + = ⇔ x = ⇒ y = Thử lại x = y = thỏa mãn hệ cho Đ/s: Hệ có nghiệm ( x; y ) = (1;1)  ( x + 1) + x − y = x − y +  Bài 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình  1 + x − y + x + y − = 3 x + y − (1) ( x, y ∈ ℝ) (2) Lời giải: ( x + 1) + x − y ≥  ĐK:  x + y − ≥ (*) x − y ≥  Khi (1) ⇔ ( x + 1) 2 − y + x2 − x = x − y + ( x + 1) + x − y − x = x − y + ⇔ ( x − y + 1)( x + y + 1) = x − y + 2 ( x + 1) + x − y + x ( x + 1) + x − y + x ⇒ Do x − y ≥ ⇒ x − y + ≥ > nên (3) ⇔ ( x + 1) (3) + x2 − y + x = x + y +  y ≥ −1  y ≥ −1  y + ≥ ⇔ ⇔ ⇔   2 2 2 2 x + x = y + y ( x − y )( x + y + 1) = ( x + 1) + x − y = ( y + 1) (4) 2 x − y + ≥ 2 x − y + ≥   Từ (1) (2) ta có  x + y − ≥ ⇒  x + y − ≥ 3 x + 3y − >  x + 3y − >  ⇒ ( x − y + 1) + ( x + y − ) + ( x + y − 3) > ⇒ ( x + y ) > ⇒ x + y + > >  y ≥ −1  y ≥ −1 Do (4) ⇔  ⇔ x − y = y = x Thế y = x vào (2) ta + x − = 3 x − 3b −  a=  1 + 2a = 3b  Đặt a = x − ≥ 0; b = x − ⇒  ⇔  4a − 3b = 4  3b −  − 3b3 =    b =  3b −   3 Ta có   − 3b ⇔ 13b − 9b + 6b = ⇔ b =   b = Với b = ⇒ a = − ⇒ Loại a ≥ Với b = ⇒ x − = ⇔ x = ⇒ y = Với b = ⇒ x − = ⇔ x = 11 11 ⇒y= 4 Trung tâm Đống Đa – Số 5/ngách 33, ngõ 64 Nguyễn Lương Bằng – Đống Đa – HN Tel: 04.3629.0880 Khóa TỔNG ÔN + LUYỆN ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95   11 11   Thử lại ( x; y ) = (1;1) ,  ;   thỏa mãn hệ cho  4     11 11   Đ/s: Hệ có nghiệm ( x; y ) = (1;1) ,  ;    4   x +1  2  x + 3x − y = x + y + Bài 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình   x − + y − = + xy − y +  Lời giải:  x ≥ 1; y ≥ ĐK:   xy − x + ≥ Khi đó: PT (1) ⇔ x + 3x − y = x + y + x + ⇔ x + 3x − y − x + y + x + 3x − y − x − = ⇔ x2 − x − y − y2 x + 3x − y + x + y 2 + x − 2y x + 3x − y + x + =0   x + y −1 ⇔ ( x − 2y)  +  = (1)  x + 3x − y + x + y x + 3x − y + x +  Do x ≥ 1; y ≥ : (1) ⇔ x = y vào PT (2) ta có: y −1 + y − = 1+ y2 − y +  y − =  y = ( loai ) y − ⇒ a + b = + ab ⇔ ( a − 1)( b − 1) = ⇔  ⇔  y − =  y = 3; x = Vậy x = 6; y = nghiệm PT cho Đặt a = y − 1; b =  x + + y + = y Bài 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2 x + − y + = x Lời giải: Ta có: PT ( ) ⇔ x + − x = y + ⇔ = y2 + ⇔ x2 + + 2x = x +1 + x ⇒ x2 + = y2 + + y2 + vào PT(1) ta có: y2 + + y2 + y +3 = 3y y ≥ ⇔ ( y + 3) + = y y + ⇔ y + 19 = 12 y y + ⇔  4 25 y + 190 y + 361 = 144 y + 432 y ⇔ y = ⇒ x = nghiệm HPT cho ( )  x y + x y + − xy + x = y x + + ( )  Bài 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình  2 x + + y + = x + y + 13 Lời giải: DK : x; y ≥ ( ) ( ) Ta có: PT (1) ⇔ x y + x y + − xy − x y + + x − y = xy ( x − y )  xy  x− y = ⇔ ( x − y) +  = ⇔ x = y  MS MS x+ y x + y   Thế vào PT(1) ta có: x + + x + = x + x + 13 ⇔ + Trung tâm Đống Đa – Số 5/ngách 33, ngõ 64 Nguyễn Lương Bằng – Đống Đa – HN Tel: 04.3629.0880 Khóa TỔNG ÔN + LUYỆN ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇔2 ( ) ( Facebook: LyHung95 ) 3x + − ( x + ) + x + − ( x + 3) = x + x x = y =   ⇔ ( x2 + x )  +  = ⇔  x = y = −1 nghiệm HPT 5x + + x +   3x + + x +  2 2 x + y − y = ( x − y )(1 − x + y ) (1) Bài 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ ℝ)  x + y + − − x − y = ( x − 1) − 13 x + 27 (2) Lời giải: x + 3y ≥ x + y + ≥  (*) ĐK:  x + y + ≥ ⇔  x + y ≤ 5 − x − y ≥  2 Khi (1) ⇔ x + y − y = x − y − ( x − y ) ( x2 + y ) − ( x + y ) ⇔ x + 3y − ( x + 3y) + ( x − y) = ⇒ ⇔ 2 x + y − xy x2 + y2 + ( x + y ) 2 + ( x − y) = 2 x + 3y + ( x + 3y ) + ( x − y) = ⇔ 2 3( x − y ) + ( x − y) = 2 x2 + y + ( x + y )   ⇔ ( x − y)  + 1 =  x2 + y + ( x + y )    (3) Ta có ( x + y ) − ( x + y ) = x + y − xy = ( x − y ) ≥ 2 ⇒ ( x2 + y ) ≥ ( x + y ) ≥ ⇒ x2 + y2 ≥ x + y ≥ − ( x + y ) ⇒ x2 + y + ( x + y ) ≥ ⇒ x2 + y + ( x + y ) + > Do (3) ⇔ x − y = ⇔ y = x Thế y = x vào (2) ta x + − − x = ( x − 1) − 13 x + 27 ⇔ x + − + − − x = x − x − 10 x + 24 ⇔ x + − − x = x3 − x − 10 x + 26 ⇔ x + − + − − x = x − x − 10 x + 24 ⇔ 3( x − 2)   ⇔ ( x − 2)  + − x + x + 12  =  3x + + + − x  Với −1 ≤ x ≤ ⇒ + ( x − 2) 3x + + + − x = ( x − ) ( x − x − 12 ) (4) có − x + x + 12 = ( x + 3)( − x ) > + − x + x + 12 > 3x + + + − x Do (4) ⇔ x − = ⇔ x = ⇒ y = Thử lại x = y = thỏa mãn hệ cho Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2; ) Trung tâm Đống Đa – Số 5/ngách 33, ngõ 64 Nguyễn Lương Bằng – Đống Đa – HN Tel: 04.3629.0880 Khóa TỔNG ÔN + LUYỆN ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  x + y + y = x + y + x + Bài 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình   10 y + 10 + ( y + 5) x + = x + x + y + 12 Lời giải: x + y ≥   y + 2x + ≥ Điều kiện:   y ≥ −1  x ≥ −1  (1) ⇔ x + y − ( x + 1) + y + − y + x + = ⇔ y − 2x −1 x2 + y + x + + y − 2x −1 y + + y2 + 2x + =0   1 ⇔ ( y − x − 1)  +  = ⇔ y − x − = (do x, y ≥ −1 )  x2 + y + x + y + + y + x +    Thay vào (2) ta 10 x + 15 + ( x + ) 3x + = x + x + 13 ⇔ ( x + ) − 10 x + 15 + ( x + 3) − ( x + ) x + = − ( x + 1)  =0 x + + 10 x + 15 x + + 8x + ( x + 3) ( x − x + 1) x2 − 2x + x+3   ⇔ + = ⇔ ( x − 1)  + =0 x + + 10 x + 15 x + + 8x +  x + + 10 x + 15 x + + x +  ( x + 4) ⇔ − (10 x + 15) ⇔ x =1⇔ y = + ( x + 3) ( x + 3) (thỏa mãn)  3 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = 1;   2 Bài 8: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn ( C ) : x + y + x − y + = M ( 0;1) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết M trung điểm cạnh AB A có hoành độ dương Lời giải: Gọi I tâm đường tròn ( C ) ta có: I ( −1; ) ; IA = IB = IC = R = Do tam giác ABI cân I nên ta có IM ⊥ AB Mặt khác IM (1; −1) Phương trình đường thẳng AB qua M vuông góc với IM là: AB : x − y + = Khi toạ độ điểm Avà B nghiệm HPT:  A (1; )  x2 + y2 + 2x − y + =  x = 1; y = ⇔ ⇒ ( xA > )   x = −1; y =    B ( −1;0 ) x + y −1 = Phương trình đường thẳng BC qua B vuông góc với AI là:  y = ⇒ C ( −1; ) ≡ B ( loai ) BC : x = −1 Với x = −1 ⇒   y = ⇒ C ( −1; ) Đ/s: A (1; ) , B ( −1; ) , C ( −1; ) Bài 9: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x − y − = điểm A ( 2;6 ) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết hai điểm B, C thuộc đường thẳng d, tam giác 35 ABC vuông A có diện tích Trung tâm Đống Đa – Số 5/ngách 33, ngõ 64 Nguyễn Lương Bằng – Đống Đa – HN Tel: 04.3629.0880 Khóa TỔNG ÔN + LUYỆN ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Lời giải: Gọi H chân đường cao hạ từ A Ta có: AH = d ( A; BC ) = 35 AH BC = ⇒ BC = 10 = R ⇔ R = 2 Do ∆ABC vuông A nên tâm I thuộc đường thẳng BC t = 2 Gọi I ( t ; t − 3) ta có: IA2 = ( t − ) + ( t − ) = 25 ⇔  t = Mặt khác Với t = ⇒ I ( 6;3) ⇒ ( T ) : ( x − ) + ( y − 3) = 25 2 Với t = ⇒ I ( 5; ) ⇒ ( T ) : ( x − ) + ( y − ) = 25 2 Bài 10: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD A ( −1; ) Gọi M, N trung điểm AD DC, E giao điểm BN CM Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BME biết BN nằm đường thẳng x + y − = B có hoành độ lớn Lời giải: Dễ thấy cos NBC = Mặt khác NBC + ABN = 900 sin ABN = cos NBC = Lại có: d ( A; BN ) = AB sin ABN ⇔ = AB ⇔ AB = Gọi B ( t ;8 − 2t ) ( t > ) ta có: AB = 16 5 t = 2 ⇔ ( t + 1) + ( − 2t ) = 16 ⇔  ⇒ B ( 3; ) t = ( loai )  Ta có tan NBC = tan MCD ⇒ NBC = MCD ⇒ NBC + ECB = 900 hay BN ⊥ CM Giả sử AI cắt BC F AMCF hình bình hành ⇒ NB ⊥ AI Ta có : AI : x − y + = Phương trình trung trực AB là: x = ( d ) ⇒ I = d ∩ AI ⇒ I (1;3) ⇒ IB = = R Do (T ) : ( x − 1) + ( y − 3) = 2 Bài 11: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y + = 0, d : x − y + = điểm M (1; ) Viết phương trình đường tròn qua M cắt d1 hai điểm A B cho AB = đồng thời tiếp xúc với d Lời giải Gọi I ( a; b ) tâm đường tròn, H trung điểm AB Ta có M (1; ) ∈ d , mà M ∈ ( C ) ⇒ M giao điểm d ( C ) H ∈ d ⇒ H ( a; a + 1) AB = 2 2 ⇒ ( a − 1) + ( a − 1) = 32 ⇔ ( a − 1) = 16 Ta có MH =  a = ⇒ H ( 5;6 ) ⇒  a = −3 ⇒ H ( −3; −2 ) Trung tâm Đống Đa – Số 5/ngách 33, ngõ 64 Nguyễn Lương Bằng – Đống Đa – HN Tel: 04.3629.0880 Khóa TỔNG ÔN + LUYỆN ĐỀ – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 12: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp điểm I ( 4; ) phương trình hai đường thẳng chứa đường cao đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác d1 : x + y − = d : x + y − = Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC biết B có tung độ dương Lời giải Gọi M trung điễm BC , H chân đường cao kẻ từ A Ta có A = AH ∩ AM ⇒ A (1;1) Đường thẳng IM qua I song song với AH ⇒ IM : x + y − = Ta có M = IM ∩ AM ⇒ M ( 5; −1) Đường thẳng BC qua M vuông góc với AH ⇒ BC : x − y − = Đường tròn ngoại tiếp ∆ABC có tâm I ( 4; ) bán kinh IA = 10 ( C ) : ( x − ) + y = 10 B, C giao điểm ( C ) với BC nên tọa độ B, C thỏa  x = 7, y =  x − y − = mãn hệ phương trình  ⇒  ( x − ) + y = 10  x = 3, y = −3 Giả sử B ( 7;1) , C ( 3; −3) Đường thẳng AB qua A (1;1) B ( 7;1) ⇒ AB : y = Đường thẳng AC qua A (1;1) C ( 3; −3) ⇒ AC : x + y − = Thầy Đặng Việt Hùng Trung tâm Đống Đa – Số 5/ngách 33, ngõ 64 Nguyễn Lương Bằng – Đống Đa – HN Tel: 04.3629.0880