SỞ GD & ĐT NINH BÌNH TRƯỜNG THPT BÌNH MINH TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Đinh Hồng Chinh Chức vụ: Giáo viên Học vị: Cử nhân sư phạm Toán Địa liên hệ: Trường THPT Bình Minh – Kim Sơn – Ninh Bình Số điện thoại: 0936850333 Đỗ Thị Lan Chức vụ: Giáo viên Học vị: Cử nhân sư phạm Toán Địa liên hệ: Trường THPT Bình Minh – Kim Sơn – Ninh Bình Số điện thoại: 0919222356 Nguyễn Thị Lan Hương Chức vụ: Giáo viên Học vị: Cử nhân sư phạm Toán Địa liên hệ: Trường THPT Bình Minh – Kim Sơn – Ninh Bình Số điện thoại: 01668607570 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giả thuyết khoa học 3 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa đề tài Cấu trúc đề tài NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Kiến thức phương trình đường thẳng Bài tập phương trình đường thẳng CHUYÊN ĐỀ XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC 59 Giải tam giác biết tính chất đường tam giác 59 Một số toán giải tam giác biết tính chất tam giác: 79 CHUYÊN ĐỀ 3: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA TỨ GIÁC 87 BÀI TOÁN: HÌNH BÌNH HÀNH 87 BÀI TOÁN: HÌNH THANG 98 BÀI TOÁN: HÌNH THOI 113 BÀI TOÁN: HÌNH CHỮ NHẬT 120 BÀI TOÁN: HÌNH VUÔNG 132 KẾT LUẬN 149 PHỤ LỤC 150 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học có vai trò quan trọng trình hình thành phát triển tư học sinh Trong toán học phổ thông, toán hình học phẳng chiếm vị trí đặc biệt quan trọng, xuất hầu hết kỳ thi, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi toán cấp, kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng… thường xuất dạng toán khó đề Đề toán hình học phẳng phát biểu ngắn gọn học sinh lại gặp nhiều khó khăn tìm lời giải Trước vấn đề nhận thấy cần tìm thuật giải, hướng cụ thể để giải vấn đề toán Hình học phẳng nội dung hay Toán phổ thông, nội dung quan trọng nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh Tuy vậy, tài liệu tham khảo đầy đủ dạng tập ít, chủ yếu nằm rải rác nhiều tài liệu khác chưa hệ thống thành phương pháp giải Việc sử dụng phương pháp cho toán cụ thể phụ thuộc vào nội dung toán kinh nghiệm người giải Chúng nhận thấy cần phải có hệ thống sở lý thuyết, phương pháp, tập xuyên suốt phần hình học phẳng giúp em dễ dàng chủ động rèn luyện kĩ cho thân Có vừa tích cực hóa việc học người học, vừa rèn luyện tính linh hoạt nhìn nhận vấn đề theo nhiều phương diện khác nhau, nhằm nâng cao khả tư duy, phát triển trí tuệ đồng thời bồi dưỡng niềm đam mê toán học cho em học sinh Từ lý trên, sáng kiến kinh nghiệm chọn với đề tài : “Sử dụng kiến thức phương trình đường thẳng để giải toán liên quan đến tam giác, tứ giác hình phẳng” Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng hệ thống tập cách hợp lý, lồng ghép vào câu hỏi, tình gợi vấn đề trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành hoạt động tư giúp em nắm bắt cách giải dạng toán đồng thời góp phần bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh THPT Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tổng hợp hệ thống dạng tập hình học phẳng, tạo nguồn tài liệu đầy đủ dễ hiểu cho học sinh rèn luyện kĩ giải toán Nhiệm vụ nghiên cứu: - Tổng hợp phân dạng tập hình học phẳng - Chỉ phương pháp, hướng cho dạng tập Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các toán hình học phẳng trường trung học phổ thông kì thi học sinh giỏi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Phạm vi nghiên cứu: Một số lớp toán thường gặp hình học phẳng đề thi học sinh giỏi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận Tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề liên quan đến đề tài định hướng cho việc nghiên cứu, phân tích tổng hợp, định hướng phương pháp giải cho toán Ý nghĩa đề tài Tạo nguồn tài liệu đầy đủ chi tiết cho học sinh, giáo viên tham khảo, trình dạy học Nhằm rèn luyện kĩ giải toán, nâng cao chất lượng dạy học nhà trường THPT nói chung toán hình học phẳng nói riêng Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu kết luận, phần nội dung sáng kiến gồm chuyên đề: Chuyên đề Phương trình đường thẳng Chuyên đề Xác định yếu tố tam giác Chuyên đề Xác định yếu tố tứ giác Trong phần, có sở lý thuyết, phân dạng tập, phương pháp giải cho dạng, ví dụ tập tự luyện NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Giáo viên thực hiện: Đỗ Thị Lan Kiến thức phương trình đường thẳng 1.1 Vectơ phương đường thẳng r r Vectơ u  gọi vectơ phương đường thẳng  giá song song trùng với  Nhận xét: r r – Nếu u vectơ phương  ku (k  0) vectơ phương  – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm vectơ phương 1.2 Vectơ pháp tuyến đường thẳng r r Vectơ n  gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng  giá vuông góc với  r r Nhận xét: – Nếu n vectơ pháp tuyến  kn (k  0) vectơ pháp tuyến  – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm vectơ pháp tuyến r r r r – Nếu u vectơ phương n vectơ pháp tuyến  u  n 1.3 Phương trình tham số đường thẳng r Cho đường thẳng  qua M ( x0 ; y0 ) có vectơ phương u  (u1; u2 ) x  x  tu  Phương trình tham số  :  y  y  tu  (1) ( t tham số)  x  x  tu Nhận xét: – M(x; y)     t  R:  y  y  tu  – Gọi k hệ số góc  thì: + k = tan, +k= u2 , u1 · ,   900 với  = xAv với u1  y y v v    O A x O A  x 1.4 Phương trình tắc đường thẳng r Cho đường thẳng  qua M ( x0 ; y0 ) có vectơ phương u  (u1; u2 ) Phương trình tắc : x  x0 y  y0  u1 u2 (2) (u1  0, u2  0) Chú ý: Trong trường hợp u1 = u2 = đường thẳng phương trình tắc 1.5 Phương trình tham số đường thẳng PT ax  by  c  với a  b2  gọi phương trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: – Nếu  có phương trình ax  by  c   có vectơ pháp tuyến r r r n  ( a; b) vectơ phương u  (b; a ) u  (b; a ) r – Nếu  qua M ( x0 ; y0 ) có vectơ pháp tuyến n  (a; b) phương trình  là: a( x  x0 )  b( y  y0 )  Các trường hợp đặc biệt: Các hệ số Phương trình đường thẳng  Tính chất đường thẳng  c=0 ax  by   qua gốc toạ độ O a=0 by  c   // Ox   Ox b=0 ax  c   // Oy   Oy   qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): Phương trình : x y   a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn)   qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k: Phương trình : y  y0  k ( x  x0 ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) 1.6 Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1 y  c1  2: a2 x  b2 y  c2  Toạ độ giao điểm 1 2 nghiệm hệ phương trình:  a1 x  b1 y  c1  a x  b y  c   2 (1)  1 cắt 2  hệ (1) có nghiệm  a1 b1  a2 b2  1 // 2  hệ (1) vô nghiệm  a1 b1 c1   (nếu a2 , b2 , c2  ) a2 b2 c2  1  2  hệ (1) có vô số nghiệm  a1 b1 c1   (nếu a2 , b2 , c2  ) a2 b2 c2 (nếu a2 , b2 , c2  ) 1.7 Góc hai đường thẳng r Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1 y  c1  (có VTPT n1  (a1; b1 ) ) r 2 : a2 x  b2 y  c2  (có VTPT n2  (a2 ; b2 ) )      n1 ; n2 n1 ; n2  90 1 ,     180  n1 ; n2 n1 ; n2  90     cos1 ;    cos n1 ; n2   n1 n2   n1 n1 a1b1  a b2 a12  b12 a 22  b22 Chú ý:  1  2  a1a2  b1b2   Cho 1: y  k1x  m1 , 2: y  k2 x  m2 thì: + 1 // 2  k1 = k2 + 1  2  k1 k2 = –1 1.8 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng : ax  by  c  điểm M ( x0 ; y0 ) d ( M , )  ax0  by0  c a  b2  Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng : ax  by  c  hai điểm M ( xM ; yM ), N ( x N ; y N )   – M, N nằm phía   (axM  byM  c)(axN  byN  c)  – M, N nằm khác phía   (axM  byM  c)(axN  byN  c)   Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x  b1 y  c1  2: a2 x  b2 y  c2  cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng 1 2 là: a1x  b1 y  c1 a12  b12  a2 x  b2 y  c2 a22  b22 Bài tập phương trình đường thẳng 2.1 Các tập phương trình đường thẳng 2.1.1 Lập phương trình đường thẳng  Để lập phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng  ta cần xác r định điểm M ( x0 ; y0 )   vectơ phương u  (u1; u2 )   x  x  tu PTTS :  ; PTCT : y  y  tu  x  x0 y  y0  u1 u2 (u1  0, u2  0)  Để lập phương trình tổng quát đường thẳng  ta cần xác định điểm r M ( x0 ; y0 )   vectơ pháp tuyến n  ( a; b)  PTTQ : a( x  x0 )  b( y  y0 )   Một số toán thường gặp: +  qua hai điểm A( x A; y A ) , B( x B; y B ) (với xA  xB , y A  yB ): PT : x  xA y  yA  xB  x A y B  y A +  qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b  0): PT : x y   a b +  qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k: PT : y  y0  k ( x  x0 ) Chú ý: Ta chuyển đổi phương trình tham số, tắc, tổng quát đường thẳng  Để tìm điểm M đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta thực sau: Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng  qua M vuông góc với d – Xác định I = d   (I hình chiếu M d) – Xác định M cho I trung điểm MM Cách 2: Gọi I trung điểm MM Khi đó: uuuuur  MM   ur d (sử dụng toạ độ) M đối xứng M qua d    I  d  Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng , ta thực sau: – Nếu d // : + Lấy A  d Xác định A đối xứng với A qua  + Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với d – Nếu d   = I: + Lấy A  d (A  I) Xác định A đối xứng với A qua  + Viết phương trình đường thẳng d qua A I  Để viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, , ta thực sau: – Lấy A  d Xác định A đối xứng với A qua I – Viết phương trình đường thẳng d qua A song song với d Ví dụ 1.1 Lập PTTS, PTTQ đường thẳng qua điểm M (1; 2) có vec r tơ phương u  (2; 1) Giải r +) Vì đường thẳng  qua M (1 ;-2) có vec tơ phương u  (2; 1) nên phương trình tham số đường thẳng :  x   2t y  2  t r +) Vì đường thẳng  có vec tơ phương u  (2; 1) nên  có vec tơ pháp tuyến r n  (1; 2) Vậy phương trình tổng quát  : 1 x  1   y  2   x  y   Ví dụ 1.2 Lập PTTS, PTTQ đường thẳng qua M (1; 2) có vectơ pháp r tuyến n  (2; 3) Giải r +) Vì đường thẳng  qua M (1 ;2) có vtpt n  (2; 3) nên phương trình tổng quát đường thẳng : 2(x – 1) – 3(y – 2) =  2x – 3y + = r +) Vì đường thẳng  có vectơ pháp tuyến n  (2; 3) nên  có vec tơ phương r u  (3; 2) Vậy phương trình tham số  là:  x   3t y   2t Ví dụ 1.3 Lập PTTS, PTTQ đường thẳng qua hai điểm A(1;2) B (3; 4) Giải uuur +) Vì  qua hai điểm A(1 ; 2) B(3 ; 4) nên  có vec tơ phương AB  (2; 2) Phương trình tham số  là:  x   2t y   2t uuur +) Vì đường thẳng  có vec tơ phương AB  (2; 2) nên  có vec tơ pháp tuyến r n  (2; 2) Vậy phương trình tổng quát    x  1   y    :  2 x  y    x  y 1  Ví dụ 1.4 Lập PTTS, PTTQ đường thẳng qua M (1; 2) có hệ số góc k  Giải 10 Tọa độ điểm A,B nghiệm hệ phương trình: -Với A suy C - Với A suy C Vậy tọa độ điểm cần tìm A C ,C A , Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD, biết đỉnh A thuộc d1 đỉnh C thuộc d2 đỉnh B,D nằm trục hoành Hướng dẫn giải - đáp số Vì B,D Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình: Gọi I tâm hình vuông I trung điểm AC Mặt khác Ta có IA = IB = ID = Nên điểm B,D nằm đường tròn tâm I bán kính R = Tọa độ điểm B,D nghiệm hệ phương trình: 136 Vậy tọa độ bốn điểm cần tìm là: A(1;1), B(0;0), C(1;-1), D(2;0) A(1;1), B(2;0), C(1;-1), D(0;0) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I(1;-1) Gọi M điểm cạnh CD thỏa mãn MC = 2MD Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết đường thẳng AM có phương trình là: Hướng dẫn giải - đáp số Ta có: cos = Đường thẳng AC qua I(1;-1) có phương trình dạng: AC: Ta có: TH1:a =  AC : x 1  Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x 1   A 1;1  x  y    Vì I trung điểm AC  C 1;1 Đường thẳng BD  AC  BD : y   t  1  D  1; 1  Gọi D  t; 1  BD  ID  IA    t  1    t   D  3; 1 Do I,D khác phía với đường thẳng AM nên nhận D  3; 1 Vì I trung điểm BD nên B  1; 1 TH2: Thực tương tự 137 Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x  y   Đường thẳng BC qua điểm M  4;0  , đường thẳng CD qua N  0;2  thỏa mãn tam giác AMN cân A Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD Hướng dẫn giải - đáp số Phương trình đường trung trực đoạn thẳng MN là:  x  4  y  x2   y  2  2x  y   Do tam giác AMN cân A nên A nằm đường trung trực MN Vậy tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: 2 x  y    A  1; 5   x  y   Đường thẳng BC qua điểm M  4;0  có phương trình:   2 BC: a  x    by  0, a  b  Đường thẳng CD  BC qua N  0;  nên có phương trình: CD: bx  a  y  2  Vì ABCD hình vuông nên d  A; BC   d  A; CD   5a  5b a  b2   a  3b  2 b   a a b  7a  b TH1: Nếu a = 3b, chọn a = 3, b =  AB: 3x  y  12  Đường thẳng CD: x  y   Đường thẳng AB  BC  AB : x  3y  14  Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: 3x  y  12   B  5; 3   x  y  14  Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình: 138 3x  y  12   C  3;3  x  3y   Đường thẳng AD / / BC  AD : x  y   Tọa độ điểm D nghiệm cử hệ phương trình: 3x  y    D  3;1  x  y    TH2: Thực tương tự Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh B,D thuộc trục hoành điểm A thuộc đường thẳng d1 : x  y  , điểm C thuộc đường thẳng d2 : x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD Hướng dẫn giải - đáp số Vì B, D  Ox, AC  BD  AC : x  c  Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x  c   A  c; c   x  y  Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình: x  c   C  c;1  2c   2 x  y    1 c  Tọa độ tâm I hình vuông trung điểmcủa AC nên I  c;    Mặt khác I  BD  1 c   c   A 1;1 , I 1;0  , C 1; 1 b   B  0;0  , D  2;0   b   B  2;0  , D  0;0  Gọi B  b;0   Ox ta có IA  IB   b     Vậy tọa độ bốn điểm cần tìm A 1;1 , B  0;0 , C 1; 1 , D  2;0 A 1;1 , B  2;0 , C ; 1 , D  0;0  Bài 139 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I(1;-1) Gọi M điểm nằm cạnh CD cho MC = 2MD, phương trình đường thẳng Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD Hướng dẫn giải – đáp số   · ·  cos 450  MAD  Ta có: cos MAC  · · cos MAD  sin MAD  1  AD MD          AM AM  2 1 1  1 9         Đường thẳng AC qua I có phương trình: AC : a  x  1  b  y  1  0,  a  b   uuur uuuur nAC nAM 2a  b 2 Ta có uuur uuuur    5 nAC nAM 22   1 a  b b  o   2a  b    a  b b     4a  3b TH1: Nếu b=0  AC : y   Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x 1   A  3; 1  2 x  y   Vì I trung điểm AC  C  5; 1 Đường thẳng BD  AC  BD : x 1  Ta có IB = ID = IA = Suy tọa độ điểm B,D nghiệm hệ phương trình:  x    B 1;3 , D 1; 5   x  1, y     2  x  1, y  5    B 1; 5  , D 1;3  x  1   y  1  16 Kiểm tra thấy B,D phía với AM nên loại trường hợp TH2: Nếu 4a = -3b, chọn a = 3,b = -4  AC : 3x  y   140 Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: 3x  y    A  7; 7   2 x  y   Vì I trung điểm AC  C  9;5 Ta có BD  AC  BD : x  y   Ta có IB = ID = IA = 10 Suy tọa độ điểm B,D nghiệm hệ phương trình: 4 x  y    x  5, y   B  5;7  , D  7; 9    2  x  7, y  9     B  7; 9  ; D  5;7   x  1   y  1  100 Kiểm tra thấy B,D khác phía với AM nên thỏa mãn điều kiện Vậy tọa độ bốn điểm cần tìm A  7; 7  , C 9;5 , B  5;7  , D  7; 9  A  7; 7  , B  7; 9 , C 9;5 , D  5;7  Nhận xét: Với toán hình giải tích phẳng ta giải đa giác theo toán ngược nên cần kiểm tra lại dễ đưa đến kết sai bỏ qua bước kiểm tra nghiệm Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có diện tích băng tâm I  3; 1 , đỉnh B  4;0 Gọi K điểm nằm CD cho góc đường thẳng BK CD  xác định bới cos  Tìm tọa độ đỉnh A,B,D biết K có tung độ dương Hướng dẫn giải - đáp số Vì I trung điểm BD  D  2; 2 Đường thẳng BD : x  y   Đặt độ dài cạnh hình vuông a > Ta có S ABCD  a   a  · · Vì BCD  900 nênBKC   ·  Ta có cos BKC KC KC  BC 2   KC  2a Vậy K điểm đói xứng C qua D điểm đối xứng D qua C TH1: Nếu K điểm đối xứng D qua C 141 Tam giác BDK vuông cân B  BK : x  y    K t;4  t  t   K  6; 2   t   K  2;  Ta có DK  BD    t      t   16   2 Vì K có tung độ dương nên K  2;  Vì C trung điểm DK  C  2;0  Vì I trung điểm AC  A  4; 2  TH2: Nếu K điểm đối xứng C qua D Khi ABDK hình bình hành uuur uuur  AB  KD Giải hệ điều kiện  uuur uuur suy tọa độ điểm A, K  C  AK  BK Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A  1;1 Gọi M điểm · cạnh BC thỏa mãn MC = 2MB N điểm cạnh CD cho MAN  450 Tìm tọa độ đỉnh B,C,D biết phương trình đường thẳng MN x  y  24  Hướng dẫn giải - đáp số Trước hết ta tìm vị trí điểm N cạnh CD:    · · · · Ta có: sin DAN  sin 900  MAN  MAB  cos 450  MAB    1  AB BM · · cos MAB  sin MAB    2  AM AM Suy          10 10   DN   AD  DN  CD  DN N trung điểm canh CD AN Bài toán quy dạng toán quen thuộc ta tính diện tích tam giác AMN theo hai cách để tìm độ dài cạnh hình vuông ABCD Đặt độ dài cạnh hình vuông ABCD a > 5a 7   24 5a   12 Ta có S AMN  MN d  A; MN   142 Mặt khác S AMN  S ABCD  S ADN  S ABM  SCMN  a  a a a 5a    6 12   AC  a   a 5a a 10    a    AM   Do 12  2a   MC   2 Vì M  MN  M  t; 24  7t   AM   M  3;3 t     t  1   23  7t   30   17    17  t  M ;   5   2 TH1: Nếu M  3;3 tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình: C  5;1  x  5, y   x  12   y  12  36      13 29  13 29  2 x  , y  M ;  x  3   y  3    5  5  Đối chiếu với điều kiện A,C nằm khác phía với đường thẳng MN  C  5;1  uuur uuuur  xB      x   B  B  2;  Ta có CB  CM    yB   y     1  B Tọa độ trung điểm I AC I  2;1 Vì I trung điểm BD  D  2; 2 TH2: Thực tương tự Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh D  1;2 Gọi M trung điểm BC N điểm nằm cạnh AC cho AN  , phương trình đường thẳng AC MN là: x  y   Tìm tọa độ đỉnh lại hình vuông ABCD biết M có hoành độ dương Hướng dẫn giải - đáp số Đặt độ dài cạnh hình vuông a > Gọi I tâm hình vuông 143 a ·  1350 , IM  , IN  Ta có MIN AC a  Suy MN  IN  IM  IN IM cos1350  DN  ID  IN  a2 a2 a a 5a  2  4 2 a a 5a 5a   , DM  DC  CM  8 Suy tam giác MN  DN  DM ,vậy tam giác DMN vuông N Suy tọa độ điểm N hình chiếu D MN Dễ tìm N  0;1 Gọi M  t; t  1  MN t  1  M  1;0   t   M 1;  Ta có DM  DN    t  1   t  1    2 Vì M có hoành độ dương nên M 1;  ·  Ta có cos DMC CM  DM Đường thẳng DM : y   Đường thẳng BC qua M 1;  có phương trình: BC : a  x  1  b  y    0,  a  b   Ta có b a  b2   a  2b   a  2b TH1: Nếu a = 2b, chọn a  2, b   BC : x  y   Đường thẳng CD  BC  CD : x  y   Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình: 2 x  y    14   C  ;   5  x  y   7 6 uuur uuur  1  Vì M trung điểm BC  B  ;  Vì BC  AD  A  ;  5 5  5 144 TH2: Nếu a = -2b thực tương tự Nhận xét: Để chứng minh DN  MN ta dùng véc tơ không nhân tính chất vuông góc em vận dụng phương pháp tính diện tích tam giác DMN theo hai cách ta giải toán Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M 1;  trung điểm cạnh BC Phương trình đường trung tuyến kẻ từ A tam giác ADM là: x  y   Tìm tọa độ đỉnh B biết A có hoành độ dương Hướng dẫn giải - đáp số Đặt độ dài cạnh hình vuông a > Theo giả thiết ta có BM  CM  a a  AM  DM  2 Gọi E trung điểm DM Trong tam giác ADM ta có: AE  AD  AM DM 13a a 13    AE  16 Ta có S ADM  S ABCD  S ABM  SCDM  a  a2 a2 a2   4 Mặt khác S ADM  2S AEM  AE.d  M ; AE   a 13 5.1   a  52   1 a a2 a 10   a   AM   Vậy ta có 2 2 Vì A  AE  A  a;5a  1  1 7  a  A ;   2    Ta có phương trình:  a  1   5a  1     a  1  A  1 ; 21      26   26 26  1 7 Vì A có hoành độ dương nên A  ;  2 2 Gọi B  x; y  Ta có AB  2, MB  145 Vậy tọa độ điểm B nghiệm hệ phương 2  3 5   x  , y  B  ;   x  1   y  1      2 trình:    2  x  , y  21  B  ; 21   x     y           10 10  2  2   10 10  3 5    21    Vậy điểm cần tìm B  ;  B  ;  2 10 10 Nhận xét: Ngoài ta viết phương trình đường thẳng AB qua A tạo với AM góc cos  Tính tọa độ điểm B theo hệ thức AB  Để tìm điểm A ta viết phương trình đường thẳng AM qua A tạo với AE góc xác ·  định bởi: cos EAM AE  AM  ME AM AE Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh D  3; 3 Gọi M trung điểm cạnh AD, đường thẳng CM có phương trình là: x  y   Tìm tọa độ đỉnh A,B,C Hướng dẫn giải- đáp số ·  Ta có cos DCM DM  CM Đường thẳng CD : a  x  3  b  y  3  0,  a  b   uuur uuur nCD nCM a b 1   Ta có uuur uuur  5 nCD nCM a  b 12   1  a  3b   a  b    a  b2    b  3a TH1: Nếu a = 3b, chọn a  3, b   CD : 3x  y   Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình: 3x  y    C  2;0   x  y   Đường thẳng BC  CD  BC : x  y    B 3t  2; t 146 t  1  B  1; 1  t   B  5;1 Ta có BC  CD  9t  t  10   Mặt khác B,D nằm khác phía so với CM nên nhận nghiệm B  1; 1 uuur uuur Vì CD  BA  A  0; 4  TH2: Nếu b = 3a thực tương tự Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A  0;0  Gọi M trung điểm cạnh BC Gỉa sử M 10;5 , tìm tọa đọ đỉnh hình vuông ABCD Hướng dẫn giải-đáp số Gọi B  x; y  suy B nằm đương tròn đường kính AM có phương trình: 125  C  :  x     y    2  Mặt khác AM  AB  BM  5 AB  125   x  y   x  y  100 4 Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình:   125   B  6;8  x  6, y   x  5   y     2    x  10, y  B 10;0        x  y  100 TH1: Nếu B  6;8 M trung điểm BC  C 14;2 uuur uuur Vì AD  BC  D 8; 6  TH2: Nếu B 10;0 tương tự ta có C 10;10 , D  0;5 Vậy tọa độ điểm cần tìm B  6;8 , C 14;2 , D 8; 6  B 10;0 , C 10;10 , D  0;5 Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình vuông ABCD có tâm gốc tọa độ cạnh AB,AD qua điểm M  1;2  N  3; 1 Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD Hướng dẫn giải-đáp số 147 Đường thẳng AB : a  x  1  b  y     a  b   Vì AD  AB  AD : b  x  3  a  y  1  Vì O tâm hình vuông nên d  O; AB   d O; AD   a  2b a  b2  b   a  2b  3b  a   a  b2  2a  b 3b  a TH1: Nếu b=0  AB : x   0; AD : y   Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x 1   x  1   A  1; 1   y 1   y  1 Vì O trung điểm AC  C 1;1 Tọa độ điểm Blà hình chiếu vuông góc C AB  B  1;1 Tọa độ điểm D hình chiếu vuông góc C AD  D 1; 1 TH2:Nếu 2a=-b thực tương tự 148 KẾT LUẬN Sáng kiến có kết sau Sáng kiến trình bày số phương pháp giải tập hình học phẳng đề thi thi học sinh giỏi Đại học, Cao đẳng Kết thực nghiệm cho thấy tính khả thi hiệu sáng kiến Việc tự giải hệ thống tập, giúp em hiểu rõ chất, phương pháp giải dạng toán này, từ em tự xây dựng toán tương tự, toán Chính điều kích thích say mê, tìm tòi khám phá, nâng cao lực tự học học sinh Nội dung sáng kiến nội dung quan trọng chương trình giảng dạy Hi vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho em học sinh, bạn đồng nghiệp 149 PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK – SBT Hình Học 10 (Cơ nâng cao) – NXB Giáo Dục Phương pháp giải toán Hình học giải tích mặt phẳng – Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí – NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Hình học giải tích – Phan Huy Khải – NXB Giáo Dục Các đề thi thử Đại học, cao đẳng năm học 2013 – 2014 Các đề thi thử kì thi THPT Quốc Gia năm học 2014 – 2015 Bình Minh, ngày 20 tháng năm 2015 Xác nhận lãnh đạo đơn vị Người thực Đinh Hồng Chinh Đỗ Thị Lan Nguyễn Thị Lan Hương 150 [...]... 300 Bài 5 Cho hình vuông ABCD có tâm I(4; –1) và phương trình một cạnh là 3x  y  5  0 a) Viết phương trình hai đường chéo của hình vuông b) Tìm toạ độ 4 đỉnh của hình vuông 2.2 Các bài tập nâng cao về phương trình đường thẳng Dạng bài tập về viết phương trình đường thẳng xuất hiện nhiều trong các đề thi đại học Để giải được các bài tập khó về phương trình đường thẳng ta cần nắm chắc các kiến thức. .. và các bài tập cơ bản về phương trình đường thẳng Vì khi làm các bài tập này học sinh cần vận dụng linh hoạt các kiến thức về phương trình đường thẳng Sau đây tôi xin mạnh dạn đưa ra 3 dạng viết phương trình đường thẳng mà chúng ta bắt gặp nhiều nhất trong các đề thi đại học và cao đẳng Loại I: Viết phương trình đường thẳng khi biết 1 điểm thuộc đường thẳng và tọa độ véc tơ pháp tuyến, chỉ phương Phương... y  1  0 Bài 6.Cho tam giác ABC với A(0; –1), B(2; –3), C(2; 0) a) Viết phương trình các đường trung tuyến, phương trình các đường cao, phương trình các đường trung trực của tam giác b) Chứng minh các đường trung tuyến đồng qui, các đường cao đồng qui, các đường trung trực đồng qui 2.1.3 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng + Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng : ax... 3.6 Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  : 3 x  4 y  12  0 và cách điểm A(2;3) một khoảng bằng k = 2 Bài làm r Đường thẳng  : 3x  4 y  12  0 có vec tơ pháp tuyến là n  3; 4  Đường thẳng d song song với đường thẳng  : 3x  4 y  12  0 nên đường thẳng d có vec r tơ pháp tuyến là n  3; 4  Nên đường thẳng d có dạng : 3x  4 y  c  0 23 Vì đường thẳng d cách điểm... 2.2 Cho hai đường thẳng d : mx  5 y  1  0 và  : 2 x  y  3  0 Tìm m để hai đường thẳng: a) cắt nhau b) song song c) trùng nhau Giải a) Để hai đường thẳng d và  cắt nhau thì m 5   m  10 2 1 Vậy với m  -10 thì hai đường thẳng d và  cắt nhau b) Để hai đường thẳng d và  song song thì m 5 1    m  10 2 1 3 Vậy với m = -10 thì hai đường thẳng d và  song song c) Để hai đường thẳng d và... các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng d1 : 2 x  4 y  7  0 d2 : x  2 y  3  0 Giải Phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng trên là 2x  4 y  7 x  2y 3  4  16 1 4  2 x  4 y  7  2  x  2 y  3   2 x  4 y  7  2  x  2 y  3 8 y  13  0  4 x  1  0 Vậy phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng trên là 8y +13 =... trị nào của m để hai đường thẳng d và  trùng nhau Ví dụ 2.3 Cho hai đường thẳng  d  x  3 y  7  0 và    4 x  5 y  6  0 Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A(3;-2) và đồng qui với hai đường thẳng trên Giải Tọa độ giao điểm của d và  là nghiệm của hệ   x  3y  7  0 x 1   B 1; 2  4x  5 y  6  0 y2 Vì đường thẳng d1 đồng qui với hai đường thẳng d và  nên đường thẳng d1 đi qua... 16  c  4 2 2 2 +) Với c = 16 đường thẳng d có dạng 3x  4 y  16  0 +) Với c = 16 đường thẳng d có dạng 3x  4 y  4  0 Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề bài là : 3x  4 y  16  0 và 3x  4 y  4  0 Ví dụ 3.7 Cho hai điểm P(2;5) , Q(5;1) Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3 : Giải : Gọi d có phương trình : Ax +By + C = 0 (A2 +B2 > 0)... 3 - Nắm chắc các điểm đặc biệt trong tam giác, tính chất các đường trung trực, đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác trong của tam giác +) Nếu trong tam giác cho đường trung tuyến thì cần liên hệ các tính chất sau Sử dụng công thức trung điểm, công thức tính trọng tâm Vì thế cần tham số hóa tọa độ điểm cần tìm và áp dụng công thức trung điểm, trọng tâm để làm Giao điểm của hai đường trung... lấy M  AC , M ' đối xứng với M qua đường phân giác AD thì M ' AB +) Đường trung trực của một cạnh đi qua trung điểm và vuông góc với cạnh ấy Nên sử dụng công thức trung điểm và quan hệ vuông góc để viết phương trình đường thẳng Bài tập mẫu Câu 1 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1;3) và hai trung tuyến có phương trình là x  2 y  1  0, y  1  0 Giải: A P C N B 31 + Do A(1;3) không