ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2016-2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH MÔN THI: TOÁN (không chuyên) (Thời gian 120 phút không kể thời gian phát đề) Ngày thi 04/6/2016 Bài 1: (1,0 điểm) Biết a b số dương, a  b  a a  b b   a  a  4b   b  b  2a    a a  b b :  ab  ab     2016    a  b a  b a  b       Tính S  a  b Bài 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình x x   x  x  y  x  y  x  b) Giải hệ phương trình  x2  y    Bài 3: (2,0 điểm) Cho phương trình    x  1  x  mx  2m  14  x  1 a) Giải phương trình (1) m = –8 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 cho: x22   m  1 x2  2m  14   x1 Bài 4: (2,0 điểm) a) Ông An định cải tạo mảnh vườn hình chữ nhật, có chiều dài 2,5 chiều rộng Ông thấy đào hồ có mặt hồ hình chữ nhật chiếm 3% diện tích mảnh vườn, giảm chiều dài 5m tăng chiều rộng 2m mặt hồ hình vuông diện tích mặt hồ giảm 20m2 Hãy tính cạnh mảnh vườn b) Lớp 9A có 27 học sinh nam 18 học sinh nữ Nhân dịp sinh nhật bạn X (là thành viên lớp), bạn lớp có nhiều quà tặng X Ngoài bạn nam lớp làm thiệp bạn nữ xếp hạc để tặng bạn X Biết số thiệp số hạc nhau, hỏi bạn X nam hay nữ ? Bài 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có tâm O, AB = 6a điểm M, N thuộc cạnh AB, AC mà AM = AN = 2a Gọi I, J, K trung điểm BC, AC MN a) Chứng minh điểm M, N, B, C thuộc đường tròn T Tính diện tích tứ giác BMNC theo a b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK Chứng minh đường tròn đường kính NC tiếp xúc với AI c) AE tiếp xúc với đường tròn T E (E, B phía AI) Gọi F trung điểm OE, tính số đo  AFJ Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới thiệu) trang SƠ LƯỢC BÀI GIẢI Bài 1: (1,0 điểm) a  a  4b   b  b  2a  a  2ab  b  a  b  Ta có:   ab ab ab a  b a  ab  b a a b b  ab   ab  a  ab  b  a b a b  a a b b  ab  a b a  b Do 2016       a  b a  ab  b a b : a  b   S ab 2016  a b  ab  a  ab  b   a b   a b  2 a  b : a  b  a b     ab ab   x  5  5  x    x  5  x    x  Bài 2: (2,0 điểm) a) ĐK:       x  x  x   x  x      x      x   nhan  Ta có: x x   x  x  x x   x      x   x   ta có: x   x    x  20 x  25  x   x  21x  20   x   nhan    x   x       x   loai   Vậy tập nghiệm phương trình cho S  0;4 b) ĐK: x  0, y      y  x   I    y  x  y  x  x  y      x2  y     y  x   II    x  y      y  x    x   y  Giải hệ (I):     x  y   y  y     x  x   y    y 1    y 1   (TMĐK)  x   y       y        x 3 y   y 1  y 2 0 Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới thiệu) trang Giải hệ (II): y  x   x  y  (vì x  0, y  ) Mà x  y  không thỏa mãn x   x 1 x  y  nên hệ (II) vô nghiệm Vậy hệ cho có hai nghiệm    y 1 y  Bài 3: (2,0 điểm) a) ĐK: x > Khi m = –8, phương trình (1) trở thành:  x  1  x  x    x1     nhan    x2  8x     (Vì x  nên x   ) x x    loai    2 b) ĐK x  , ta có: (1)  x  mx  2m  14    Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  (2) có hai nghiệm phân biệt dương   m   2m  14   m  8m  56       7  m     P 2    2m  14   m  7  *  m  8m  56     m  m0    S 2   x  x  m Khi đó, theo viét ta có:   x1 x2  2m  14 Lại có x2 nghiệm (2) nên x22  mx2  2m  14   x22   m  1 x2  2m  14  x2 Do x22   m  1 x2  2m  14   x1  x2   x1  x1  x2    x1  x2   x1 x2    m  2m  14   2m  14  m    2m  14    m   2   2m  14    m     m     m  5 (thỏa mãn (*)) Vậy m  5 Bài 4: (2,0 điểm) a) Gọi x, y (m) chiều rộng mảnh vườn chiều rộng mặt hồ ( x  0, y  ) Khi đó: Chiều dài mảnh vườn 2,5x (m); chiều dài hồ y + (m) Vì diện tích mặt hồ chiếm 3% diện tích mảnh vườn, nên có phương trình y  y    3% x  2,5 x Vì giảm chiều dài 5m tăng chiều rộng 2m mặt hồ hình vuông diện tích mặt hồ giảm 20m2, nên có phương trình y  y     y    20  y  y    3% x  2,5 x  x  40 Ta có hệ phương trình  Giải hệ ta   x  0, y    y  y     y    20  y 8 Vậy chiều rộng mảnh vườn 40m; chiều dài mảnh vườn 40.2,5 = 100m b) Gọi x số bạn nữ xếp hạc; y số bạn nữ xếp hạc (x, y nguyên dương) 2 x  y  26  x4 (TMĐK)   y  14  x  y  18   x 2 x  y  27    +) Nếu bạn X nữ, ta có hệ   (không TMĐK)  x  y  17  y  47   +) Nếu bạn X nam, ta có hệ  Vậy bạn X bạn nam Bài 5: (3,0 điểm) a) Chứng minh điểm M, N, B, C thuộc đường tròn T Tính diện tích tứ giác BMNC theo a Ta có AM AN 2a  C  (ABC đều)     MN / / BC Tứ giác BMNC: MN // BC, B AB AC 6a Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới thiệu) trang  tứ giác BMNC hình thang cân  tứ giác BMNC tứ giác nội tiếp Nên điểm M, N, B, C thuộc đường tròn T (đpcm) Tam giác ABC đều, nên S ABC AB  6a     3a 4 AM  2a  Tam giác AMN: AM = AN, A  600  AMN đều, nên S AMN    3a 4 A 2 Do S BMNC  S ABC  S AMN  3a  3a  3a (đvdt) b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK Chứng minh đường tròn đường kính NC tiếp xúc với AI Vì O tâm tam giác ABC, E BC AC , JA  JC   gt   OI  BC , OJ  AC 2  OI  OJ  a  IB  IC  Mặt khác AK  MN (vì KM  KN  MN ), BC ), MN // BC (cmt) AI  BC (vì IB  IC   A, K , O, I thẳng hàng K N M J F B O P C I AB 6a   3a (AI đường cao tam giác ABC) 2 AI 3a AI  3a OI    3a, OA    3a (O tâm tam giác ABC) 3 3 AM 2a Lại có: AK    3a (AK đường cao tam giác AMN) 2  OK  OA  AK  3a  3a  3a  OK  OI  3a  b  Nên AI  Từ (a), (b)  OI  OJ  OK  O tâm đường tròn ngoại tiếp IJK bán kính đường tròn ngoại tiếp IJK OI  3a Tứ giác CNKI: KN // IC (MN // BC) nên tứ giác CNKI hình thang KI (cmt), nên OP đường trung bình hình thang KN  IC a  3a 1 CNKI  OP    2a   4a  CN  CN  AB  AN  6a  2a  4a  2 2 Gọi P trung điểm NC OK  OI   O thuộc đường tròn tâm P đường kính NC (c) Lại có OP // IC (OP đường trung bình hình thang CNKI) AI  IC (cmt)  AI  OP O (d) Từ (c) (d)  đường tròn đường kính NC tiếp xúc với AI (đpcm) c) Tính số đo  AFJ    BAC  300 (AI đường cao ABC đều)   AOJ:  AJO  900  OJ  AC  , OAJ AOJ  600 AE AM   AE  AM  AB  2a  6a  12a  AE  3a AB AE OE Do AE  AO  3a , nên AEO cân A Lại có FE  FO   gt   AF  OE Tứ giác AFOJ có:  AFO  900  AF  OE  ,  AJO  900  OJ  AC  nên tứ giác AFOJ nội tiếp  AFJ   AOJ  600 AEB AME (g.g)  Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Trinh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - giới thiệu) trang