Bảng công thức tích phân đạo hàm Mũ logaritBảng công thức tích phân đạo hàm Mũ logaritBảng công thức tích phân đạo hàm Mũ logarit

23 857 1
  • Loading ...
1/23 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 05/06/2016, 09:09

CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I Giá trò lượng giác cung (góc) đặc biệt 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o α 3 1  2 2  5 cosα  3 2 2  2 2  sinα  tanα ∥  -1 cotα ∥ 3  3 -1 3 3 tan 180o  3  -1  ∥  II Giá trò lượng giác cặp góc đặc biệt Góc đối Góc bù Góc phụ Góc Góc 𝛑 𝛑/2   sin      cos    sin( )   sin  sin(   )  sin    sin      cos  2  sin(   )   sin  cos( )  cos  cos(   )   cos    cos      sin  2  cos(   )   cos    cos       sin  2  tan( )   tan  tan(   )   tan    tan      cot  2  tan(   )  tan    tan       cot  2  cot( )   cot  cot(   )   cot    cot      tan  2  cot(   )  cot    cot       tan    III Công thức nghiệm bản: sin sin cos cos tan cot tan cot cos Chú ý: 2k cos 2k k2 sin k k sin k2 k2 k2 sin cos k2 k k CÔNG THỨC LƯNG GIÁC IV Công thức lượng giác Công thức bản:  cot    cos3  cos   cos  tan   tan3   tan 3   tan  cos  Công thức cộng: sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a tan(a  b)  sin a.sin b tan a  tan b tan a.tan b sin3 cos 3 sin cos sin 2  2sin  cos cos 2  cos2   sin   cos2     sin  tan   tan  cot   cot 2  cot  tích:  cos 2  cos 2 cos    cos 2 tan    cos 2 cos sin 4 sin cos sin tan cot sin cot tan cot2  sin4α + cos4 α cos a  cos b  cos ab ab cos 2 ab ab cos a  cos b   2sin sin 2 =1= sin22 α cos 4  4 sin6 α + cos6α sin a  sin b  2sin ab ab cos 2 =1- sin a  sin b  cos ab ab sin 2 = sin22 α cos 4  8 Công thức biểu diễn Hệ quả: (Công thức hạ bậc hai) sin   cos cos Công thức biến đổi tổng thành Công thức nhân đôi: tan 2  sin sin cos sin sin Hệ quả: (Công thức hạ bậc ba) sin2  cos(a  b)  cosa.cos b cos tan cot  1  tan   Công thức bổ xung:  sin 3  3sin   4sin3  sin2  cos2  Công thức nhân ba: Công thức biến đổi tích thành  theo t = tan tổng:  cos(a  b)  cos(a  b)  2 sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b)  sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  cos a.cos b   sin  2t  t2  cos    t2  t2  tan   2t  t2 BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM - NGUYÊN HÀM I Các công thức tính đạo hàm (u v)' (u.v)' u' v' ku ' Hệ Quả: u '.v u.v ' ' v k.u ' u v ' u '.v u.v ' v2 v' v2 II Đạo hàm nguyên hàm hàm số sơ cấp Bảng đạo hàm x ' x    u '   u '.u 1 sin x  '  cos x x   x dx  sin u  '  u '.cos u  cos x  '   sin x  tan x  '  cos1 Bảng ngun hàm  cos u  '  u '.sin u   tan x  tan u  '  cosu ' u  u ' 1  tan u  2  cot x  '  sin1 x   1  cot x   cot u  '  sinu 'u  u ' 1  cot u  2 2 u' u.ln a u' ln u ' u x ln a ln x ' x loga x ' ax ' loga u ' au ' a x ln a ex ' u c  sin xdx   cos x  c  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   c  cos xdx  sin x  c  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c 1 1 1 dx  tan x  c  cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   c  sin2 x dx   cot x  c  sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   c  cos x 2 x  a dx  x x  ax  b dx  a ln ax  b  c a x   c  ln a ax  b ax  b  e dx  a e  c ax c ln a  e dx  e u  1   x dx  ln x  c a u u '.ln a  e  '  u '.e ex  ax  b    ax  b  dx  a   x 1  c,   1  1  x  a dx  c Bổ sung: dx x a x arctan a a C x III Vi phân: dy VD: d(ax d(ln x ) b) x ln 2a x dx adx dx , d(tan x ) x a a a C dx a2 x2 arcsin x a C dx x a ln x y ' dx dx d (ax a dx , d(cot x ) cos2 x b ) , d(sin x ) dx sin2 x cos xdx , d(cos x ) sin xdx , x2 a2 C BẢNG CÔNG THỨC MŨõ - LOGARIT I Công thức hàm số Mũ Logarit Hám số mũ  ;a a  a  a a a  a   a.b a    a a a a b ; b   a a : a a    a a b : a  a loga ; loga a a    x  loga b.c loga b b c loga b logb c c x, logb a ;a  loga c loga   loga c.logc b loga b logb a loga  loga  : loga  a  loga b loga c loga b a a ; loga b loga b ; loga a  loga b a    M aM loga x loga   a  a ;  a   a Hàm số Logarit logc b logc a   loga  : loga    loga    II.Một số giới hạn thường gặp lim x x x lim 1  x   e x x  a 1 lim  ln a x 1  x  lim a x x e x 0 a x 0 lim x 0 log 1  x   log e x a a Ơn thi đại học 2010 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A- ĐỀ CHÍNH THỨC: 1, KhốiA-2002: Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2π ) phương trình: cos3 x + sin x    s inx +  = cos2 x + + 2sin x   Đáp số: x = π ;x = 5π cos2 x 2, KhốiA-2003: Giải phương trình cot x − = + sin x − sin x + t anx Đáp số: x = π + kπ (k ∈ ») 3, Khối A-2005: Giải phương trình cos 3x.cos x − cos x = Đáp số: x = k 4, Khối A-2006: Giải phương trình ( cos x + sin x ) − sin x cos x − 2sin x 5π + k 2π 5, Khối A-2007: Giải phương trình (1 + sin x ) cos x + (1 + cos x ) s inx = + sin x 6, Khối A-2008: Giải phương trình + s inx π ,k ∈» + kπ ; x = π (k ∈ ») + k 2π ; x = k 2π ( k ∈ ») 5π + kπ ( k ∈ ») 4π 2π +k 15 ( k ∈ »)  7π  = 4sin  − x 3π     sin  x −    Đáp số: x = − π + kπ ; x = − 7, CĐ khối A-2008: Giải phương trình sin 3x − 3cos3x = 2sin x Đáp số: x = 8, Khối A-2009: Giải phương trình =0 Đáp số: x = Đáp số: x = − π (1 − 2sin x ) cos x = (1 + 2sin x )(1 − s inx ) π π + kπ ; x = + k 2π ; x = Đáp số: x = − π 2π ( k ∈ ») 5π + kπ 12 ( k ∈ ») 18 +k 9, CĐ khối A-2009: Giải phương trình (1 + sin x ) cos x = + s inx + cos x Đáp số: x = − π + k 2π ; x = π 12 2 2 10, Khối B-2002: Giải phương trình sin 3x − cos x = sin x − cos x GV: Hồng Ngọc Quang + kπ ; x = Ơn thi đại học 2010 Đáp số: x = k 11, Khối B-2003: Giải phương trình cot x − t anx + 4sin x = π ;x = k π ( k ∈ ») sin x π + kπ (k ∈ ») 5π + k 2π ( k ∈ ») 2π + k 2π ( k ∈ ») 5π + kπ 12 ( k ∈ ») Đáp số: x = ± 12, Khối B-2004: Giải phương trình 5sin x − = (1 − s inx ) tan x Đáp số: x = π + k 2π ; x = 13, Khối B-2005: Giải phương trình + sin x + cos x + sin x + cos x = Đáp số: x = − π + kπ ; x = ± x  14, Khối B-2006: Giải phương trình cot x + sin  + t anx.tan  = 2  Đáp số: x = π 12 + kπ ; x = 15, Khối B-2007: Giải phương trình sin 2 x + sin x − = s inx 2π 5π 2π ;x = +k 18 18 3 2 16, Khối B-2008: Giải phương trình sin x − 3cos x = s inx.cos x − sin x.cos x Đáp số: x = π +k π ;x = π +k Đáp số: x = π +k π ;x = − π + kπ ( k ∈») ( k ∈ ») 17, CĐ khối B-2008: Giải phương trình sin x − 3cos3 x = 2sin x 4π 2π +k 15 18, Khối B-2009: Giải phương trình sin x + cos x.sin x + 3cos3 x = ( cos4 x + sin x ) Đáp số: x = Đáp số: x = − π + k 2π ; x = π + k 2π ; x = 19, CĐ khối B-2009: Giải phương trình (1 + sin x ) cos x = + s inx + cos x Đáp số: x = − π + k 2π ; x = π π ;x = 2π ( k ∈ ») 5π + kπ 12 ( k ∈ ») 42 + kπ ; x = 12 20, Khối D-2002: Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm phương trình: cos x − cos x + 3cos x − = Đáp số: x = π ( k ∈ ») +k 3π 5π 7π ;x = ;x = 2 x x π 21, Khối D-2003: Giải phương trình sin  −  tan x − cos = 2 4 Đáp số: x = π + k 2π ; x = − π + kπ ( k ∈ ») 22, Khối D-2004: Giải phương trình ( cos x − 1)( 2sin x + cos x ) = sin x − s inx GV: Hồng Ngọc Quang Ơn thi đại học 2010 π π + kπ π  π  23, Khối D-2005: Giải phương trình sin x + cos x + cos x −  sin  x −  − = 4  4  Đáp số: x ± + k 2π ; x = − π Đáp số: x = + kπ ( k ∈ ») (k ∈ ») 24, Khối D-2006: Giải phương trình cos x + cos2 x − cos x − = Đáp số: x = kπ ; x = ± 2π + k 2π k ∈ » x x  25, Khối D-2007: Giải phương trình  sin + cos  + cos x = 2 2  π Đáp số: x = π + k 2π ( k ∈ ») 2π π + k 2π ; x = + kπ ( k ∈ ») 4π 2π +k 15 ( k ∈ ») + k 2π ; x = − 26, Khối D-2008: Giải phương trình 2sin x (1 + cos2 x ) + sin x = + cos x Đáp số: x = ± 27, CĐ khối D-2008: Giải phương trình sin x − 3cos3 x = 2sin x π Đáp số: x = 28, Khối D-2009: Giải phương trình + k 2π ; x = 3cos5x − 2sin3x.cos2x − sinx = Đáp số: x = π +k π 18 29, CĐ khối D-2009: Giải phương trình (1 + sin x ) cos x = + s inx + cos x Đáp số: x = − π + k 2π ; x = π 12 ;x = − + kπ ; x = π +k π 5π + kπ 12 ( k ∈ ») ( k ∈ ») B- ĐỀ DỰ BỊ: 30, Dự bị I khối A-2002: Cho phương trình sin x + cos x + = a (a tham số) s inx − cos x + 3 b) Tìm a để phương trình có nghiệm a) Giải phương trình a = x  31, Dự bị II khối A-2002: Giải phương trình tan x + cos x − cos x = s inx  + tan x.tan  2  32, Dự bị I khối B-2002: Giải phương trình tan GV: Hồng Ngọc Quang ( − sin x +1 = ) x sin 3x cos x Ơn thi đại học 2010 33, Dự bị II khối B-2002: Giải phương trình 34, Dự bị I khối D-2002: Giải phương trình sin x + cos x 1 = cot x − 5sin x 8sin x = s inx cos x 35, Dự bị II khối D-2002: Xác định m để phương trình ( sin x + cos x ) + cos4 x + sin x − m =  π có nghiệm thuộc đoạn 0;   2 36, Dự bị I khối A-2003: Giải phương trình cos x + cos x ( tan x − 1) = 37, Dự bị II khối A-2003: Giải phương trình − t anx ( t anx + 2sin x ) + cos x = 38, Dự bị II khối B-2003: Giải phương trình 3cos x − 8cos6 x + cos x + = ( − ) cos x − 2sin 39, Dự bị II khối B-2003: Giải phương trình 40, Dự bị I khối D-2003: Giải phương trình cos x − cos x ( cos x − 1) sin x + cos x 41, Dự bị II khối D-2003: Giải phương trình cot x = tan x + x π   −    =1 = (1 + sin x ) cos x sin x 42, Dự bị I khối A-2004: Giải phương trình ( sin x + cos3 x ) = cos x + 3sin x Đáp số: 43, Dự bị II khối A-2004: Giải phương trình − sin x + − cos x = π 1  44, Dự bị I khối B-2004: Giải phương trình 2 cos  x +  + =  sin x cos x  45, Dự bị II khối B-2004: Giải phương trình sin x.sin x = cos x.cos x 46, Dự bị I khối D-2004: Giải phương trình sin x.cos x + sin x.cos x = sin x.cos x 47, Dự bị II khối D-2004: Giải phương trình sin x + sin x = ( cos x + cos x ) GV: Hồng Ngọc Quang Ơn thi đại học 2010 π  48, Dự bị I khối A-2005: Giải phương trình 2 cos3  x −  − 3cos x − sin x = 4  Đáp số: x = π + kπ ; x = π + kπ sin x  3π  49, Dự bị II khối A-2005: Giải phương trình tan  − x+ =2   + cos x 50, Dự bị I khối B-2005: Giải phương trình sin x + cos x + 3sin x − cos x − = 51, Dự bị II khối B-2005: Tìm nghiệm khoảng ( 0; π ) phương trình sin x 3π   − 3cos2 x = + cos2  x −    Đáp số: x1 = 5π 17π 5π ; x2 = ; x3 = 18 18 52, Dự bị I khối D-2005: Giải phương trình sin x.cos2 x + cos x ( tan x − 1) + 2sin x = cos2 x − π  53, Dự bị II khối D-2005: Giải phương trình tan  + x  − tan x = cos2 x 2  54, Dự bị I khối A-2006: Giải phương trình cos x.cos3 x − sin x.sin x = 2+3 π  55, Dự bị II khối A-2006: Giải phương trình sin  x −  + sin x + = 6  56, Dự bị I khối B-2006: Giải phương trình ( sin x − 1) tan 2 x + ( cos x − 1) = 57, Dự bị II khối B-2006: Giải phương trình cos x + (1 + cos x )( s inx − cos x ) = 58, Dự bị I khối D-2006: Giải phương trình sin x + cos3 x + 2sin x = 59, Dự bị II khối D-2006: Giải phương trình sin x + sin x + 3sin x + cos x = 60, Dự bị I khối A-2007: Giải phương trình sin x + s inx − 1 − = cot x 2sin x sin x ( 61, Dự bị II khối A-2007: Giải phương trình cos x + sin x cos x + = s inx + cos x GV: Hồng Ngọc Quang ) Ơn thi đại học 2010 3x  5x π  x π 62, Dự bị I khối B-2007: Giải phương trình sin  −  − cos  −  = 2cos  4 2 4 63, Dự bị II khối B-2007: Giải phương trình sin x cos2 x + = tanx − cot x cos x s inx π   64, Dự bị I khối D-2007: Giải phương trình 2 sin  x −  cos x = 12   65, Dự bị II khối D-2007: Giải phương trình (1 − t anx )(1 + sin x ) = + t anx 66, Dự bị I khối A-2008: Giải phương trình tan x = cot x + cos2 x π π   67, Dự bị II khối A-2008: Giải phương trình sin  x −  = sin  x −  + 4 4   π π   68, Dự bị I khối B-2008: Giải phương trình sin  x +  − sin  x −  = 3 6   69, Dự bị II khối B-2008: Giải phương trình 3sin x + cos2 x + sin x = 4sin x cos2 x 70, Dự bị I khối D-2008: Giải phương trình ( sin x + cos x ) + cos4 x + sin x = C – MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN KHÁC:  3π 1, Giải phương trình: 2 cos 2x + sin 2x cos  x +  Đáp số: x = −   π  − sin  x +  =   4 π + k π ; x = k 2π ; x = 2 2 2, Giải phương trình: sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x Đáp số: x =  π 3, Tìm nghiệm khoảng  0;  phương trình:  2  π  x sin  π −  − sin  − 2x  = + 2cos 2  2  kπ 3π + k 2π ;x = kπ (k ∈» ) (k ∈ » )  3π   x   Đáp số: x= 4, Giải phương trình: sin 2x + sin x − GV: Hồng Ngọc Quang 5π 18 1 − = cot 2x sin x sin 2x Ơn thi đại học 2010 π Đáp số: x = 5, Giải phương trình: +k π (k ∈» ) 3sin 2x − sin x =2 sin 2x cos x π + k 2π (k ∈» ) + k 2π ; x = π + k 2π 7, Tìm nghiệm thực phương trình sau thoả mãn + log x ≥ : (k ∈» ) Đáp số: x = ± 6, Giải phương trình: cos x + = 2(2 − cos x )(sin x − cos x ) x= π sin x tan x + 3(sin x − tan x ) = 3 Đáp số: x = 8, Giải phương trình: cos 3x cos3 x − sin 3x sin x = π ;x = 5π 2+3 π Đáp số: x = ± 16 +k π (k ∈» ) 9, Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = Đáp số: x = π 2 10, Tìm nghiệm phương trình: cos x + cos x + sin x = thoả mãn : x − < (k ∈» ) + k 2π Đáp số: x = (sin x − sin x + 4) cos x − 11, Giải phương trình: =0 2sin x + Đáp số: x = π (k ∈ » ) + k 2π 12, Giải phương trình: s inx − cosx + 4sin x = Đáp số: x = π + kπ ; x = l π , (k , l ∈ » ) `13, Giải phương trình: cos 3xcos2x – cos x = Đáp số: x = k 14, Giải phương trình: π (k ∈ » ) 3sin x − 2sin x =2 sin x.cos x Đáp số: x = ± 15, Giải phương trình: cos x − cos x − cos x + cos π + k 2π 3x = Đáp số: x = 8kπ GV: Hồng Ngọc Quang (k ∈» ) ( k ∈ ») Ơn thi đại học 2010 16, Giải phương trình: cos x ( cos x − 1) = (1 + sin x ) sin x + cos x Đáp số: x = − π + k 2π ; x = π + k 2π (k ∈» ) Đáp số: x = kπ (k ∈» ) x x π x 17, Giải phương trình: + sin sin x − cos sin x = cos2  −  2  2 18, Giải phương trình: sin x.sin x + cos3 x cos x =− π  π  tan  x −  tan  x +  6 3   Đáp số: x = − 19, Giải phương trình: + kπ (k ∈» ) sin x.(1 + cot x ) + cos3 x (1 + tan x ) = 2sin x Đáp số: x = 20, Giải phương trình: π π + kπ (k ∈ » ) π π   sin  3x −  = sin x sin  x +  4 4   Đáp số: x = ± π + kπ (k ∈ » ) 21, Giải phương trình: cos x + cosx + sin x = Đáp số: x=π +k2π ,k ∈ »; x = 22, Giải phương trình: cos 3x − cos x + cos x =   ± ϕ + h 2π , h ∈ »  cosϕ = − 1, < ϕ < 2π    π 2π , k ∈ » , với k ≠ + 7m, m ∈ » 7 23, Tìm tổng tất nghiệm x thuộc [ 2; 40] phương trình: sinx – cos2x = Đáp số: S = 117π π  π  24, Giải phương trình: tan  x −  tan  x +  sin 3x = sin x + sin x 6 3   kπ 2π Đáp số: x = ;x = − + kπ ( k ∈ » ) 25, Giải phương trình : 21π   cos x + cos ( x + 3π ) = + sin 2( x − π ) + 3cos  x +  + s in x 3   Đáp số: x = π +k Đáp số: x = 26, Giải phương trình: GV: Hồng Ngọc Quang sin x + sin x − π + kπ (k ∈ ») 1 − = cot x 2sin x sin x Ơn thi đại học 2010 Đáp số: x = π +k π (k ∈» ) π  sin  − x  4  (1 + sin x ) = + tan x cos x 27, Giải phương trình: Đáp số: x = − π + kπ ; x = kπ (k ∈» ) tan x − tan x.sin x + cos3 x − = 28, Giải phương trình: Đáp số: x = k 2π ; x = 29, Giải phương trình: π + kπ ; x = π + α + k 2π ; x = 4 2cos3x + sinx + cosx = π − α + k 2π Đáp số: x = 30, Giải phương trình: π + kπ (k∈» ) (k ∈» ) sin x + cos x = tan x cos x − sin x Đáp số: Phương trình vơ nghiệm GV: Hồng Ngọc Quang BÀI TẬP : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH( SỬ DỤNG ĐẠO HÀM) Bài 1: Giải phương trình 2 + 32 = x + x +1 + x + x x Giải: Ta có f ( x) = x + x + x tăng R, nên phương trình tương đương f (2 x ) = f ( x + 1) ⇔ x = x + Hàm số g ( x) = x − ( x + 1) xác định R g / ( x) = x ln − ⇒ g / ( x) ≥ ⇔ x ≥ log (log e ) Vậy phương trình có nhiều nghiệm (− ∞ ; log (log e) ) v (log (log e) ; + ∞ ) Thử trực tiếp tìm hai nghiệm x = ; x = Bài 2: Giải phương trình log ⎛⎜ x − x − + x + − x − ⎞⎟ = x−2 x−1 + x+3−4 x−1 −1 − ⎝ ⎠ Giải : Điều kiện x ≥ Đặt t = x − x − + x + − x − − ≥ (chứng minh) phương trình tương đương log (t + 1) = t − ⎧5 t = y + ⎧⎪ ⎧5 t = t + 5t = y + ⇔⎨ y ⇔⎨ t ⇔ ⇔t=0 ⎨ ⎪⎩5 − y = y − t (*) ⎩5 = t + ⎩ y=t ⇔ x − x −1 + x + − x −1 −1 = ⇔2≤ x≤5 Bài 3: Giải phương trình x= 13 x − x + 24 x − Giải : ⇔ x − x − x + 12 x − = Xét hàm số y = x − x − x + 12 x − ⇒ y / = x − 12 x − x + 12 Lập bảng biến thiên, suy hàm số có trục đối xứng x =1 Do đặt x = X + , ta có phương trình ⎡ x = ± − 11 X − 8X + = ⇔ ⎢ ⎣⎢ x = ± + 11 Bài 4: Giải phương trình ( ) (1 + cos x) + cos x = 3.4 cos x Giải : Đặt cos x = y ( ⇔ (1 + y ) + Đặt f ( y ) = −1 ≤ y ≤ y ) = 3.4 y 3.4 y ln 4.4 y / − y − ⇒ f ( y ) = −1 2 + 4y + 4y ( ) ( f / ( y ) = ⇔ 16 ln 4.4 y = + y ) Đây phương trình bậc hai theo y , nên có khơng q nghiệm Vậy theo định lý Roolle phương trình f ( y ) = có khơng q nghiệm , y = nghiệm phương trình f ( y ) = π 2π Suy phương trình có nghiệm x = k 2π , x = + kπ , x = ± + k 2π Ta có y = , y = Bài 5: Giải phương trình log 2008 4x + = x − 3x − x + x +1 Giải : 4x + 2008 x + x +1 = ⇔ x + x + = x + hàm số f ( x) = x.2008 x tăng R 2 +2 x x + x +1 2008 Giải phương trình x − x − = ⇔ u − 3u − u ≥ phương trình có nghiệm (0,2) π Đặt u = cos t < t < ⇒ cos 3t = 2 Suy phương trình có nghiệm x = ± cos π Bài 6: Giải phương trình ⎛5⎞ cos x.⎜ ⎟ ⎝2⎠ sin x ⎛5⎞ = sin x.⎜ ⎟ ⎝2⎠ cos x Giải : Cosx = sinx = khơng nghiệm Xét x ≠ sin x ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⇔⎝ ⎠ sin x kπ cos x ⎛5⎞ ⎜ ⎟ =⎝ ⎠ cos x ⎛5⎞ ⎜ ⎟ Xét hàm số f (t ) = ⎝ ⎠ t t Suy sin x = cos x ⇔ x = t < , t ≠ Hàm số f (t ) nghịch biến π + kπ Bài 7: Giải phương trình ( x + 2) + log Giải : Đk x + > [ x + 4x + 2x + ] = 2x + ⇔ ( x + 2) + + log ( x + 2) + = 2 x + + log 2 x + Đặt f (t ) = t + log t (t > 0) Tương tự Phương trình có nghiệm x = −1 Bài 8: Giải phương trình sin 1975 x − cos1975 x = sin 2007 x − cos 2007 x Giải : sin 1975 x − = cos1975 x − 2007 2007 sin x cos x sin x = ; cos x = khơng nghiệm phương trình Đặt hàm số f (t ) = t 1975 − t ∈ (−1 ; 0) ∪ (0 ; 1) t 2007 Ta có f / (t ) = 1975t 1974 + 2008 > nên hàm số tăng khoảng t t ∈ (−1 ; 0) : f (t ) nhận giá trị dương t ∈ (0 ; 1) : f (t ) nhận giá trị âm 2007 Nên f (sin x) = f (cos x) ⇔ sin x = cos x ⇔ x = π + kπ Bài 9: Giải phương trình ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ sin ⎜ sin x ⎟ − cos⎜ cos 2 x ⎟ = sin x sin 3x + cos x − cos x ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ Giải : ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⇔ cos⎜ cos x ⎟ − cos⎜ cos 2 x ⎟ = cos x − cos 2 x + cos x − cos x ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⇔ cos x − cos 2 x + cos⎜ cos 2 x ⎟ = cos x − cos x + cos⎜ cos x ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ Xét hàm số f (t ) = t − 2t + cos⎜ t ⎟ ≤ t ≤ f (t ) giảm ⎝2 ⎠ kπ f (cos 2 x) = f (cos x) ⇔ cos 2 x = cos x ⇔ x = ( Bài 10: Giải phương trình 2x − 34 x + 93 ) [ Giải : Đặt t = x − 34 x + 376 (t ≥ 87) ⇔ t t log (2 t t ) = 35.2 283 = 256.256 log (256 t 256 ) Hàm số f (t ) = t t log (2 t t ) đồng biến [1; + ∞ ) ⇔ t = 256 ⇔ x − 34 x + 376 = 256 ⇔ x = 30 ; x = Bài 11: Giải phương trình ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ Giải : ] ( x − 34 x + 376) x − 34 x + 376 + log + ( x − 34 x + 376) = 35 sin x + = cos x + log (4 cos x − cos x − 1) Đặt y = cos x ( < y ≤ 1) = y + log (3 y − 1) Đặt t = log (3 y − 1) ⇔ t = y − ⇔ y −1 + (t ≤ 1) ⎧2 y = y + t − ⇔ y + y = 2t + t t = y − ⎩ Ta có hệ ⎨ Xét hàm số g (u ) = u + u , hàm số đồng biến R ⇔ t = 3t − ⇔ f (t ) = t − 3t + = Xét hàm số f (t ) = t − 3t + , sử dụng định lý Roll cm phương trình có khơng q nghiệm Phương trình có nghiệm t = t = 3( L) , suy phương trình có nghiệm x = kπ Bài 12: Giải phương trình 64 x − 8.343 x −1 = + 12.4 x x −1 Giải : Đặt a = ; b = −4 x ; c = 2.7 x −1 ⎡ (a − b) + (b − c) + (c − a) ⎤ ⇔ a + b + c − 3abc = ⇔ (a + b + c) ⎢ ⎥ = ⇔ a+b+c = ⎣ ⎦ x x −1 ⇔ − + 2.7 = Xét hàm số f ( x) = − x + 2.7 x −1 ⇒ f / ( x) = −4 x ln + x ln 7 / Phương trình f ( x) = có nghiệm nên theo định lí Lagrange phương trình f ( x) = khơng có q nghiệm phân biệt Phương trình có nghiệm x = ; x = Bài 13: Giải phương trình log 2+ ( x − x − 2) = log 2+ ( x − x − 3) Giải : Điều kiện x < −1 v < x ⇔ log 8+ ( x − x − 2) = log + ( x − x − 3) Đặt a = + t = x − x − ⇔ log a +1 (t + 1) = log a t Đặt y = log a t y y ⎛ a ⎞ ⎛ ⎞ ⇔⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = ⇔ y = nghiệm ⎝ a + 1⎠ ⎝ a + 1⎠ Phương trình có nghiệm x = ± 11 + Bài 14: Giải hệ phương trình ⎧log x = log ⎪ ⎨log y = log ⎪ log z = log ⎩ ( ( ( ) z + 4) x + 4) y +4 Giải : Hệ phương trình khơng đổi qua phép hốn vị vòng quanh ⇒ x = y = z Từ ta có log x = log x + , đặt t = log x ( ) t t ⎛ 5⎞ ⎟ + 4⎛⎜ ⎞⎟ = ⇔ ⎜⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ t t ⎛ 5⎞ 1⎞ ⎛ Phương trình có ngiệm t = hàm số f (t ) = ⎜⎜ ⎟⎟ + 4⎜ ⎟ = nghịch biến ⎝3⎠ ⎝ ⎠ Hệ phương trình có nghiệm x = y = z = 25 Bài 15: Giải hệ phương trình 1− x ⎧ ⎪ x − y = − xy − ⎨ 2 ⎪ 2 ( ) x y + x − x y + − x=0 ⎩ Giải : Từ phương trình (2) ⇔ x( xy + 2) = ⇔ y = 1− x x2 − 2x x2 1− x 1− x2 − 2x (1) ⇔ + =2 x + 2x 2x t xét hàm số f (t ) = t + ⇒ f / (t ) = t ln + > 2 1− x − 2x ⇔ = 2x 2x Hệ phương trình có nghiệm x = , y = − Bài 16: Giải hệ phương trình 2 ⎧ x2 +1 e y −x = ⎪ ⎨ y +1 ⎪⎩3 log ( x + y + 6) = log ( x + y + 2) + Giải : Đk x + y + > x + y + > (1) ⇔ ln( x + 1) + x + = ln( y + 1) + y + Hàm số f (t ) = ln t + t t > đồng biến (0 ; + ∞) ⇔ x2 +1 = y2 +1 ⇔ x = ± y Nếu x = − y (2) ⇔ log (6 − x) = ⇔ x = ; y = −3 .Nếu x = y (2) ⇔ log ( x + 2) = log ( x + 1) = 6u u u ⎧⎪ x + = 2u ⎛1⎞ ⎛8⎞ ⇔ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1 ⇔⎨ 3u ⎪⎩ x + = ⎝9⎠ ⎝9⎠ u u ⎛1⎞ ⎛8⎞ Hàm số g (u ) = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ nghịch biến R, suy u = nghiệm ⎝9⎠ ⎝9⎠ Hệ phương trình có nghiệm x = , y = − x = ; y = Bài 17: Giải hệ phương trình ⎧ y2 + ⎪⎪2 x +1 − = 3( y − x ) ⎨ ⎪ ( x+ y ) + x+ y = ⎪⎩ 2 Giải : Đk x ; y ≥ ⎧⎪2 x +1 + x = ( y )2 +1 + y ⇔⎨ 2 ( x + y ) +1 + x + y = ⎪⎩ Hàm số f ( x) = x +1 + x đồng biến [0 ; ∞ ) ⎧ ⎧ ⎧ ⎪⎪ f ( x) = f (4 y ) ⎪x = ⎪⎪ x = y ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪x + y = ⎪y = ⎪ f ( x + y ) = f (1) ⎪⎩ ⎪⎩ ⎩ Bài 18: Giải hệ phương trình ⎧ cos x = log (8 cos z − cos x − 5) ⎪ ⎨cos y = log (8 cos x − cos y − 5) ⎪ cos z = log (8 cos y − cos z − 5) ⎩ Giải : ⎧8Z = X + X + ⎪ ⇔ ⎨ X = Y + 2Y + ⎪ 8Y = Z + Z + ⎩ ( ) t ⎛1 + 2t + đồng biến ⎜ ⎝2 ⇔ X = Y = Z = X + 2X + ⎡ X =Y = Z =1 Giải đồ thị ⇔ ⎢ ⎣ X = Y = Z = (l ) Hệ phương trình có nghiệm x = k 2π , y = l 2π Hàm số f (t ) = ( ) ⎤ ;1⎥ ⎦ ; z = m2π Bài 19: Giải hệ phương trình ⎧log (1 + cos x) = log (sin y ) + ⎨ ⎩log (1 + sin y ) = log (cos x) + Giải : Đk cos x ; sin y ≥ ⇒ log (1 + cos x) + log (cos x) = log (1 + sin y ) = log (sin y ) Hàm số f (t ) = log (1 + 3t ) + log t ⇒ f / (t ) = + > đồng biến ∀t > (1 + 3t ) ln t ln ⇒ sin y = cos x Thay vào phương trình (1) ⇒ log (1 + cos x) = log (cos x) + Lập BBT hàm số g (v) = log (1 + 3v) − log v với v = cos x ∈ (0 , 1] phương trình có nghiệm cos x = , cos x = Bài 20: Giải hệ phương trình ⎪⎧ x y − y = 28 ⎨ 2 ⎪⎩ x y + xy + y = 18 Giải: Hệ tương đương ( ) ⎧⎪ y x3 − y = 28 (1) ⎨ ⎪⎩ y ( x + y ) = 18 (2) ⇒x> y>0 ⎡⎛ ⎤ ⎞ 34 (2) ⇒ x = − y ⎟ − y ⎥ = 28 (3) − y , thay vào (1) được: y ⎢⎜ ⎟ ⎢⎜⎝ y ⎥ y ⎠ ⎣ ⎦ ⎡⎛ ⎤ ⎞ Đặt t = y > , (3) trở thành: t ⎢⎜⎜ − t ⎟⎟ − t ⎥ = 28 ⇔ t − − t ⎢⎝ t ⎥ ⎠ ⎣ ⎦ ( ( ) ) + 28t = Xét hàm f (t ) = t − − t + 28t ta có: ( ) f '(t ) = 9t + 9t − t + 28 > 0, ∀t > Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến khoảng (0;+∞) phương trình f(t) = có nghiệm Khoảng (0;+∞) nghiệm nghiệm Từ suy hệ phương trình đă cho có nghiệm (x0, y0) nghiệm nghiệm hệ Nếu chọn x = 2y từ (1) ta có: y = ⇔ y = ⇒ x = 2 Rỏ ràng cặp số (2 2; 2) thỏa (2) Vậy hệ có nghiệm (2 2; 2) Bài 21: Tìm số nghiệm nằm khoảng (0 ; 2π ) phương trình e cos x (8 sin x − 12 sin x + 10 sin x) = e + Giải : Đặt t = sin x = y ≤ t ≤1 2 (1− t ) Xét hàm số f ( x) = e (8t − 12t + 10t ) ⇒ f / ( x) = e (1−t ) (24t − 24t + 10) − 2(8t − 12t + 10t ) = −2.e (1−t ) g (t ) Với g (t ) = 8t − 24t + 22t − ⇒ g / (t ) = 2(12t − 24t + 11) ⇔ e (1−t ) (8t x − 12t x + 10t ) = e + [ ] Lập bảng biến thiên, suy phương trình g (t ) = có nghiệm t = u , < u < − t 1- + g' g -5 _ t + f' f u 0 _ Lập bảng biến thiên hàm số f (t ) , suy phương trình f (t ) = có nghiệm t =v ,0[...]... 2  3 Công thức lượng giác Công thức cộng Công thức nhân đôi, nhân ba cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b sin 2  2sin  cos  cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b cos 2  cos 2   sin 2   2 cos 2   1  1  2sin 2  2 tan  tan 2  1  tan 2  sin 3  3sin   4sin 3  Cần nhớ công thức cộng cho chắc chắn 3 cos 3  4 cos   3cos  Từ công thức cộng... 3  tan 3  công thức còn lại 1  3 tan 2  sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b tan a  tan b 1  tan a tan b tan a  tan b tan(a  b)  1  tan a tan b tan(a  b)   Name:…………………………………………… class:……… [Biên soạn gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com] aug-2012 1 [Công thức lượng giác cần nhớ - Tài liệu tặng miễn phí cho học sinh] Công thức hạ bậc Công thức biến tích thành tổng... − 3 t 1- 0 + g' g -5 1 6 0 _ t + f' 1 f 1 u 0 0 0 _ 6 Lập bảng biến thiên hàm số f (t ) , suy ra phương trình f (t ) = 0 có nghiệm duy nhất t =v ,0 1 đồng biến trên (0 ; + ∞) ⇔ x2 +1 = y2 +1 ⇔ x = ± y Nếu x = − y (2) ⇔ log 3 (6 − x) = 1 ⇔ x = 3 ; y = −3 .Nếu x = y (2) ⇔ 3 log 3 ( x + 2) = 2 log 2 ( x + 1) = 6u u u ⎧⎪ x + 2 = 3 2u ⎛1⎞ ⎛8⎞ ⇔ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1 ⇔⎨ 3u ⎪⎩ x + 1 = 2 ⎝9⎠ ⎝9⎠ u u ⎛1⎞ ⎛8⎞ Hàm số g (u ) = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ nghịch biến trên R, suy ra u = 1 là nghiệm... ⎣ X = Y = Z = 2 (l ) Hệ phương trình có 2 nghiệm x = k 2π , y = l 2π Hàm số f (t ) = ( ) ⎤ ;1⎥ ⎦ ; z = m2π Bài 19: Giải hệ phương trình ⎧log 2 (1 + 3 cos x) = log 3 (sin y ) + 2 ⎨ ⎩log 2 (1 + 3 sin y ) = log 3 (cos x) + 2 Giải : Đk cos x ; sin y ≥ 0 ⇒ log 2 (1 + 3 cos x) + log 3 (cos x) = log 2 (1 + 3 sin y ) = log 3 (sin y ) 3 2 Hàm số f (t ) = log 2 (1 + 3t ) + log 3 t ⇒ f / (t ) = + > 0 đồng biến
- Xem thêm -

Xem thêm: Bảng công thức tích phân đạo hàm Mũ logaritBảng công thức tích phân đạo hàm Mũ logaritBảng công thức tích phân đạo hàm Mũ logarit, Bảng công thức tích phân đạo hàm Mũ logaritBảng công thức tích phân đạo hàm Mũ logaritBảng công thức tích phân đạo hàm Mũ logarit, Bảng công thức tích phân đạo hàm Mũ logaritBảng công thức tích phân đạo hàm Mũ logaritBảng công thức tích phân đạo hàm Mũ logarit

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay