BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC Hoàng Minh Quân _Hà Nội Nick:Batigoal_Mathscope.org Email:hoangquan9@gmail.com Bất ñẳng thức lĩnh vực hay toán học Trong số ñó bất ñẳng thức hình học ñòi hỏi tư hình học lẫn kiến thức bất ñẳng thức ñại số Cauchy_Schawrz, AM_GM,…Điều ñó khiến không bạn trẻ ngại làm toán liên quan ñến bất ñẳng thức hình học.Chính batigoal hi vọng chuyên ñề sau giúp ích phần cho bạn Đặc biệt bạn yêu thích bất ñẳng thức yêu thích hình học phẳng Một số kí hiệu sử dụng chuyên ñề: A, B, C ñỉnh tam giác a, b, c ñộ dài cạnh BC , CA, AB , hb , hc ñộ dài chiều cao tam giác ∆ABC tương ứng hạ từ ñỉnh A, B, C ma , mb , mc ñộ dài ñường trung tuyến tam giác ∆ABC tương ứng xuất phát từ ñỉnh A, B, C la , lb , lc ñộ dài ñường phân giác tam giác ∆ABC tương ứng xuất phát từ ñỉnh A, B, C R bán kính ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC r bán kính ñường tròn nội tiếp ∆ABC S diện tích tam giác ∆ABC P Nửa chu vi ∆ABC I.Bất ñẳng thức gữa cạnh tam giác I.1 Tính chất Tính chất Trong ∆ABC tổng hai cạnh lớn cạnh lại: AB + AC > BC , AB + BC > AC , AC + BC > AB Tính chất2 ∆ABC có AC > BC ∠ABC > ∠BAC Tính chất3 ∆ABC có diện tích S ∆ABC ≤ AB AC Chứng minh 1 Ta có S ∆ABC = AB AC sin ∠BAC ≤ AB AC 2 Tính chất Với môt ñiểm O ∆ABC OA + OC < BA + BC Chứng minh Gọi D giao ñiểm AO BC Ta có: OA + OC < OA + OD + DC = AD + DC < AB + BD + DC < AB + BC I.2 Các ví dụ tập Ví dụ 1.1 Gọi O ñiểm nằm ∆ABC Chứng minh rằng: p < OA + OB + OC < p Chứng minh AB < OA + OB BC < OB + OC AC < OA + OC nên AB + BC + CA < 2(OA + OB + OC ) hay p < 2(OA + OB + OC ) ⇔ p < OA + OB + OC (1) Mặt khác lại có: OA + OB < CA + CB OB + OC < AB + AC OA + OC < BA + BC Cộng vế ta có: 2(OA + OB + OC ) < p ⇔ OA + OB + OC < p (2) Từ (1) (2) ta ñược ñiều phải chứng minh Ta có: Ví dụ 1.2 Cho ∆ABC có a, b, c ñộ dài tương ứng cạnh BC,CA,AB Chứng minh rằng: (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) ≤ abc Chứng minh Với p nửa chu vi ∆ABC Ta có: (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) = 8( p − a)( p − b)( p − c) Đặt x = p − a, y = p − b, z = p − c ta có: abc = ( x + y )( y + z )( z + x) Bất ñẳng thức cần chứng minh trở thành: xyz ≤ ( x + y )( y + z )( z + x) (Dễ dàng chứng minh theo Bất ñẳng thức AM-GM) Ví dụ 1.3 Cho ∆ABC có a, b, c ñộ dài tương ứng cạnh BC,CA,AB Chứng minh rằng: 3( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c) ≤ 4( ab + bc + ca ) Chứng minh Dựa vào bất ñẳng thức AM-GM, ta có: a + b ≥ 2ab , c + b ≥ 2cb, a + c ≥ 2ac Cộng bất ñẳng thức ta có: a + b + c ≥ ab + bc + ca ⇔ ( a + b + c) ≥ 3( ab + bc + ca ) (1) Bây ta chứng minh (a + b + c) ≤ 4(ab + bc + ca ) ⇔ a + b + c + 2(ab + bc + ca ) ≤ 4(ab + bc + ca ) ⇔ a + b + c − 2(ab + bc + ca ) ≤ ⇔ a + b + c ≤ 2(ab + bc + ca ) (2) Thật a, b, c ñộ dài cạnh tam giác nên ta có: a < b + c ⇔ a < a (b + c) Tương tự b < b( a + c) , c < c(b + a ) Cộng bất ñẳng thức ta có: a + b + c < 2(ab + bc + ca ) (2) ñúng Từ (1) (2) ta ñược ñiều phải chứng minh Ví dụ 1.4 Cho ∆ABC có a, b, c ñộ dài tương ứng cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: a b c ≤ + +