Đang tải... (xem toàn văn)
Trong việc học khái niệm cần đặc biệt chú ý thầy giáo đưa khái niệm mới như thế nào và thầy phân tích các tính chất đặc trưng của khái niệm đó ra sao. Trong việc học công thức, quy tắc, định lý thì cần lắng nghe con đường suy nghĩ mà thầy phân tích, chứng minh và cách vận dụng nó để giải bài tập chứ không nên bằng lòng, thỏa mãn ở mức hiểu và nhớ được các kết luận.
PHƯƠNG PHÁP ÉP TÍCH Phạm Quốc Đông 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝒙+𝟏 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒙+𝟐−𝟐 𝒙+𝟒 𝒙 + 𝟐 − 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟓 ⇔ 𝒙+𝟐−𝟐 ⇔ 𝒙+𝟐−𝟐 ⇔ 𝒙=𝟐 𝒙+𝟐=𝟐 ⇔ 𝟑 + 𝟏𝟑 𝒙= 𝒙+𝟐 = 𝒙−𝟏 𝟐 𝒙+𝟐−𝒙+𝟏 𝒙+𝟏 Quảng Bình 08/2015 =𝟎 𝒙 + 𝟐 + 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑 = 𝟎 LỜI MỞ ĐẦU Trong tài liệu trước “phương pháp ép tích” đa phần bạn tiếp thu tốt vận dụng tốt Thế số bạn chưa hiểu nội dung phương pháp Chính thế, tái lại phương pháp theo cách Chắc chắn với phiên bạn tiếp thu tốt phương pháp nhỏ để bạn đáng để học tập rèn luyện phục vụ cho kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2016 đồng thời hỗ trợ cho bạn học cấp THPT Như bạn biết, phương pháp ép tích việc biến đổi phương trình hay bất phương trình phương trình tích để từ giải phương trình Phương pháp ép tích hoàn toàn dựa việc bạn tìm biểu thức ghép với thức phù hợp nhất, đồng thời áp dụng đẳng thức mà học chương trình lớp để xử lí phương trình Công việc tìm biểu thức ghép với thức tìm biểu thức liên hợp phương pháp liên hợp mà bạn học Việc tìm biểu thức phù hợp để liên hợp phân tích hướng dẫn cụ thể cho loại Thực chất phương pháp ép tích mới, tương tự phương pháp liên hợp hay đặt ẩn phụ không hoàn toàn lại có ưu việt riêng Và đáp ứng tất phương trình chứa thức cách nhanh gọn Việc chứng minh lượng lại không phức tạp phương pháp ép tích Cơ Mong tài liệu thực có ích cho bạn đọc Dù tìm hiểu nghiên cứu tránh khỏi thiếu sót định Cũng xin bạn bỏ qua cho Trong trình đọc tài liệu bạn có thắc mắc hay góp ý xin gửi I CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP Chúng ta biết với phương trình có dạng: n g ( x) f ( x) Có nghiệm x a ta đưa dạng n g ( x ) h( x ) Khi phương trình tương đương: f ( x) h( x) n g ( x) h( x) n Và điều đặc biệt f ( x) h( x) chứa g ( x) h ( x) n Nên ta phân tích f ( x) h( x) A( x) g ( x) h ( x) n Mà ta lại có: g ( x) h ( x) B( x) n g ( x) h( x) Như với phương trình ban đầu ta biến đổi được: A( x) B( x) n g ( x) h( x) n g ( x) h( x) n g ( x) h( x) A( x) B( x) 1 Nếu A( x) B( x) 1 nghiệm ta tiếp tục Nhưng vô nghiệm việc chứng minh A( x) B( x) 1 vô nghiệm công việc không khó với đánh giá Ngoài lề: Ta có A( x) f ( x ) h( x ) g ( x) h n ( x) Các đại lượng: g ( x) Là hàm có bậc nhỏ bậc bốn f ( x) Là hàm có bậc nhỏ bậc sáu h( x ) Là hàm bậc nhất, bậc hai số A( x) Là hàm có bậc nhỏ bậc ba B( x) Là lượng liên hợp n Chỉ số căn, thường bậc hai, bậc ba, bậc n g ( x) h( x) bốn Trên sở tảng cho phương pháp II HƯỚNG DẪN TÌM NGHIỆM VÀ NHÂN TỬ CHUNG Vấn đề có lẽ tràn lan mạng, học CASIO để giải phương trình biết Chính vậy, không nói cụ thể vấn đề Tìm lưu nghiệm phương trình Bước Nội Dung Nhập biểu thức vào hình nhấn Nhấn “𝑺𝒉𝒊𝒇𝒕” “𝑺𝑶𝑳𝑽𝑬” Máy “𝑺𝒐𝒍𝒗𝒆 𝒇𝒐𝒓 𝑿” bạn chọn giá trị nghiệm khoảng Rồi sau nhấn Lưu nghiệm ( ví dụ lưu vào biến A) Ví dụ: Giải phương trình √𝒙 + 𝟐 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟖 Bước 1: Cách Bấm Bước 2: Nhấn “𝑺𝒉𝒊𝒇𝒕” “𝑺𝑶𝑳𝑽𝑬” Bước 3: Bước 4: Tìm nhân tử chung Thường ta sử dụng nghiệm vô tỷ Bằng cách sử dụng chức 𝑻𝑨𝑩𝑳𝑬 máy Lưu ý: Đối với máy fx – 570 VN Plus bạn nên dùng bảng Bỏ kích hoạt bảng 𝒈(𝒙) nhé! Vào vấn đề chính, lưu nghiệm vào biến A Bước 1: Nhập biểu thức: 𝑨𝟐 + 𝑨𝑿 vào máy nhấn “ = ” Bước 2: Máy “𝑺𝒕𝒂𝒓𝒕? ” Mình thường cho “ − 𝟏𝟒” cho đầy đủ, bạn nhập lớn Sau nhấn “ = ” Bước 3: Máy “𝑬𝒏𝒅? ” tức kết thúc đâu? Bạn nhập “𝟏𝟒” hỳ Cái khuyên dùng Sau nhấn “ = ” Bước 4: Máy “𝑺𝒕𝒆𝒑? ” bạn nhập “𝟏” tìm số nguyên mà Rồi nhấn “ = ” Máy bảng Bạn dò thấy cột 𝒇(𝒙) số nguyên lấy nhé! Nhưng có hạn chế với nghiệm mà lẻ kiểu Và điều quan trọng nữa! Bước ta phải tăng hệ số 𝑨𝟐 lên Nhưng trường hợp gặp Còn ví dụ: 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 = (𝒙𝟐 + 𝟏)√𝒙 + 𝟏 + 𝟏 Dò nghiệm ta nghiệm 𝒙 = 𝟏 𝟔𝟏𝟖 … … ta lưu vào biến A Bước 1: Bước 2: Bước 3: Bước 4: Và kết quả: Vậy nhân tử chung là: 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏 Có số bạn thắc mắc rằng: “Tại dựa vào bảng lại suy nhân tử chung thế?” Rất đơn giản ban đầu cho: 𝒇(𝒙) = 𝑨𝟐 + 𝑨𝑿 (với A giá trị nghiệm) Giả sử ví dụ ta có 𝒇(−𝟏) = 𝟏 hay 𝑨𝟐 − 𝑨 = 𝟏 𝑨𝟐 − 𝑨 − 𝟏 = 𝟎 Nên ta dễ dàng quy nhân tử chung 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏 Do A giá trị nghiệm hay tức biến 𝒙 mà ta cần tìm III HƯỚNG DẪN TÌM BIỂU THỨC LIÊN HỢP Vấn đề chủ yếu nằm !!!! Việc học phương pháp liên hợp thành thạo Nhưng nhắc lại Với phương trình nghiệm nguyên Nếu nghiệm chủ yếu ta thay thẳng vào √ lấy √ xem giá trị trừ cho số Tuy nhiên số trường hợp phương trình có nghiệm nguyên nghiệm nghiệm kép (cách phát nghiệm kép chia nhé! Có INBOX hỏi mình) Ta tìm biểu thức liên hợp đây: ′ Rất đơn giản, ta có 𝒂 = (√ ) có 𝒂 ta thay vào phương trình 𝒂𝒙 + 𝒃 = √ ta tìm 𝒃 Thế xong!!! Đó hướng dẫn Bây vào ví dụ cụ thể: √𝒙 + 𝟐 = 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟖 Ta dễ dàng dò nghiệm 𝒙 = 𝟐 Ta có nhân tử là: √𝒙 + 𝟐 − 𝟐 Thêm ví dụ nữa… 𝟐( 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏𝟎)√𝒙 − 𝟏 + 𝒙𝟑 − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟖𝟓 = 𝟎 Dễ thấy phương trình có nghiệm kép 𝒙 = 𝟓 ′ Vậy ta có: 𝒂 = (√𝒙 − 𝟏) 𝒙 = 𝟓 Suy 𝒂 = 𝟏 𝟒 𝟏 Thay vào ta: 𝟓 + 𝒃 = 𝟐 Suy 𝒃 = 𝟒 Vậy ta có nhân tử: √𝒙 − 𝟏 − ( 𝟑 𝟒 𝒙+𝟑 𝟒 ) Với phương trình có hai nghiệm nguyên Ta có biểu thức liên hợp có dạng: 𝒂𝒙 + 𝒃 = √ Thay giá trị hai nghiệm vào giải hệ bậc hai ẩn ta tìm 𝒂, 𝒃 Xem ví dụ nhé!!! 𝟑√𝒙 + 𝟏 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑 Ta dễ dàng dò nghiệm 𝒙 = 𝟎 𝒙 = 𝟑 𝒃=𝟏 𝟎𝒂 + 𝒃 = 𝟏 𝟏 Từ ta có hệ: { { 𝒂= 𝟑𝒂 + 𝒃 = 𝟐 𝟑 Vậy ta có nhân tử: √𝒙 + 𝟏 − ( 𝒙+𝟑 𝟑 ) Với phương trình có hai nghiệm lẻ tích, tổng lại số đẹp Điều đương nhiên lưu hai nghiệm vào hai biến A B Ta có biểu thức liên hợp có dạng 𝒂𝒙 + 𝒃 = √ Và giải hệ tìm 𝒂, 𝒃thôi Để đơn giản ta nhập √ vào hình tính giá trị √ kết ta lưu C Tính B kết ta lưu D 𝑨𝒂 + 𝒃 = 𝑪 Lúc ta có hệ phương trình: { Thế xong!!! 𝑩𝒂 + 𝒃 = 𝑫 A Có nghiệm lẻ Có lẻ cách tối ưu lại sử dụng TABLE Nghiệm lưu vào biến A nhé!!!! Bước 1: Nhập biểu thức: √ + 𝑨𝒙 vào máy nhấn “=” Bước 2: Máy “Start?” Mình thường cho “-14” cho đầy đủ, bạn nhập lớn Sau nhấn “=” Bước 3: Máy “End?” tức kết thúc đâu? Bạn nhập “14” hỳ Cái khuyên dùng Sau nhấn “=” Bước 4: Máy “Step?” bạn nhập “1” tìm số nguyên mà Rồi nhấn “=” Máy bảng Bạn dò thấy cột f(x) số nguyên lấy nhé! Trong số trường hợp ta phải tăng hệ số √ Cách thấy tổng quát bao trùm cách Nhưng có ưu nhược riêng Nếu có thời gian bạn thử xem nói Còn ví dụ: (𝒙 + 𝟒)√𝒙 + 𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟓 Dò nghiệm ta 𝑿 = 𝟑 𝟑 … Lưu vào biến A !!!!! Bước 1: Kết cuối ta có bảng: Vậy ta có nhân tử: √𝒙 + 𝟐 − (𝒙 − 𝟏) Đó phân tích riêng Trong số phương trình bao trùm tất nghiệm lẻ nguyên bạn nên tư cách làm tối ưu IV ÁP DỤNG NHƯ THẾ NÀO???? Trước hết điểm qua số đẳng thức thường sử dụng phương pháp này: 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 ) 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 ) 𝒂𝟒 − 𝒃𝟒 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 ) Bài 1: Giải phương trình [0001] (𝟕𝒙 − 𝟗)√𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 Hướng đi: Dò nghiệm ta nghiệm là: {𝟐; 𝟓} Vận dụng điều vừa học trên, ta dễ tìm ta biểu thức liên hợp 𝒂=𝟏 𝟐𝒂 + 𝒃 = 𝟐 nghiệm hệ: { { 𝟓𝒂 + 𝒃 = 𝟓 𝒃=𝟎 Vậy phương trình có nhân tử: √𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 − 𝒙 Mặt khác ta có: (√𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 − 𝒙)(√𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 − 𝒙) = −(𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎) Cơ sở “ép tích” Lời giải: Điều kiện : 𝒙 ≥ 𝟏𝟎 𝟕 Phương trình tương đương: x x x 10 x x x 10 x x x 10 x x 10 x x x 10 x x 10 x x x x 10 Do x2 x x x 10 0x 10 Phương trình tương đương: x 10 x x2 7x 10 x x S 2;5 Vậy Bài 2: Giải phương trình [0002] (𝒙 + 𝟒)√𝒙 + 𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟓 Hướng đi: Dò nghiệm ta 𝑿 = 𝟑 𝟑 … Sử dụng cách tìm biểu thức liên hợp Ta dễ dàng tìm phương trình có nhân tử √𝒙 + 𝟐 − (𝒙 − 𝟏) Mặt khác ta có: (√𝒙 + 𝟐 − (𝒙 − 𝟏)) (√𝒙 + 𝟐 + (𝒙 − 𝟏)) = −(𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏) Lời giải: Điều kiện: 𝒙 ≥ −𝟐 Phương trình tương đương: x 1 x x x x x x x x x 1 x x x 3 x3 x2 x x x x x 1 x 3x 1 x x 1 x x2 0 Ta có: x 1 x x x x 2 Phươn trình tương đương: Vậy x 1 13 x 1 x x x 3x 13 S Bài 3: Giải phương trình: [0003] 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟔 − 𝟐(𝟑𝒙 + 𝟏)√𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟎 Hướng đi: Dò nghiệm ta 𝑿 = 𝟏 𝟑𝟗 … lưu vào biến A nhé! Và nghiệm 𝑿 = −𝟎 𝟖𝟐 … lưu vào biến B nhé! Và nghiệm 𝑿 = 𝟎 𝟕𝟐 … lưu vào biến C nhé! 𝑨 + 𝑩 = 𝒍ẻ 𝟖 Nhận thấy: { 𝑨𝑩 = − 𝟕 Nhưng để ý rằng: 𝟕(𝑨 + 𝑩) = 𝟒 Ta tìm nhân tử cách giải hệ theo cách mục III.3 Và ta dễ dàng giải ra: { 𝒂= 𝟏 𝟐 𝒃=𝟏 Bây ta tìm dựa vào TABLE ( Mục III.4 nhé!!!) Ta dễ thấy với 𝑿 = 𝟏 𝟑𝟗 … ta được: 𝟐√𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 − (𝒙 + 𝟐) Ở ta phải tăng hệ số √𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 lên 𝟐 Với 𝑿 = −𝟎 𝟖𝟐 … ta tìm được: 𝟐√𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 − (𝒙 + 𝟐) Riêng với 𝑿 = 𝟎 𝟕𝟐 … ta tìm được: 𝟐√𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 − (𝟐𝒙 − 𝟏) Đến ta phân tích theo hai hướng, phân tích theo hướng bạn thử phân tích theo hướng nhé!!! Mặt khác ta có: (𝟐√𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 − (𝒙 + 𝟐)) (𝟐√𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 + (𝒙 + 𝟐)) = 𝟕𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟖 Lời giải: Điều kiện: 2 x ; ; Phương trình tương đương: x2 4x 3x 1 x 2 x2 1 3x 1 x 2x 1 x 2 x2 1 x 2 x 1 x 2x2 1 3x 1 x 2x2 1 x 2x2 1 x 1 2 x 1 2 x 1 x x 2 x 1 22 x 7 x x x x x 1 15 Thử lại ta nghiệm phương trình là: 2 S 15 1 ; Bài 4: Giải phương trình [0004] 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏 = 𝟕√𝒙𝟑 − 𝟏 Hướng đi: Dò nghiệm ta nghiệm: 𝑿 = 𝟔 𝟒𝟒𝟗 … (lưu vào A) 𝑿 = 𝟏 𝟓𝟓 … (Lưu vào B) 𝑨𝑩 = 𝟏𝟎 => Nhân tử có là: 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 𝑨+𝑩=𝟖 Nói chẳng để làm :D!!! Òa!!! nhận thấy: { Có lẽ ta nên tìm biểu thức liên hợp cách giải hệ: 𝒂=𝟑 𝑨𝒂 + 𝒃 = 𝑪 { { (cách trình bày nhé!!!) 𝑩𝒂 + 𝒃 = 𝑫 𝒃 = −𝟑 Ngoài bạn tìm thông qua TABLE Dễ dàng biết có nhân tử là: √𝒙𝟑 − 𝟏 − (𝟑𝒙 − 𝟑) Ta có: (√𝒙𝟑 − 𝟏 − (𝟑𝒙 − 𝟑)) (√𝒙𝟑 − 𝟏 + (𝟑𝒙 − 𝟑)) = 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 − 𝟏𝟎 = (𝒙 − 𝟏)(𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟎) Có điều ta nhận thấy biểu thức cần liên hợp có bậc ba Nhưng biểu thức có bậc hai Vậy bây gờ phải làm sao??? Rất đơn giản Ta lấy 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 − 𝟏𝟎 chia cho biểu thức bậc hai xem dư Thì ta lấy biểu thức dư nhân hai vế Còn cách trình bày chung ta nên sử dụng dấu => sau thử lại nghiệm Tất nhiên phải loại nghiệm mà ta cần nhân thêm rồi… Lời giải: Điều kiện: x3 1 x Phương trình tương đương: x 8x 10 x3 3x 3 x2 8x 10 x 1 x 1 x3 1 3x 3 x3 1 3x 3 x3 1 3x 3 x 1 x3 1 3x 3 x3 1 3x 3 x3 1 x 1 x3 1 3x x 1 x x 1 x 8x 10 x x x x x 2 Thử lại, ta thu nghiệm phương trình là: S 4 V BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phương trình sau: Mã 0010: x2 x x 10 x x Mã 0011: x3 x 3x 10 x 11 Mã 0012: 15 x 12 x 12 10 x 1 x Mã 0013: x x x3 x x Mã 0014: 3x x x 15 x x Mã 0015: x x2 x x2 5x Mã 0016: x3 x3 x x Mã 0017: x x x 1 x x Mã 0018: x 3x x x x Mã 0019: x 3x x x x Mã 0020: x2 2x x 1 x2 2x Mã 0021: 5x 16 x2 2 x x2 x 20 5x Mã 0022: x2 12 x 6 Mã 0023: x x3 22 x 11x 6x 15x x (3x 9x 1) x x [...]... 𝟐 − ( − ) Đó là mình phân tích riêng Trong một số phương trình nó bao trùm tất cả các nghiệm lẻ nguyên thì các bạn nên tư duy để cho ra cách làm tối ưu nhất nhé IV ÁP DỤNG NHƯ THẾ NÀO???? Trước hết chúng ta sẽ điểm qua một số hằng đẳng thức thường sử dụng trong phương pháp này: 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = ( + 𝒃 )( − ) 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 = ( − 𝒃 )( 𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 ) 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 = ( + 𝒃 )( 𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 ) 𝒂𝟒 − 𝒃𝟒 = ( + 𝒃 )( − 𝒃 )( 𝟐... x2 7x 10 0 x 2 x 5 S 2;5 Vậy Bài 2: Giải phương trình [0002] ( + ) 𝒙 + 𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟓 Hướng đi: Dò nghiệm ta được 𝑿 = 𝟑 𝟑 … Sử dụng cách tìm biểu thức liên hợp ở trên Ta dễ dàng tìm được phương trình sẽ có nhân tử √𝒙 + 𝟐 − ( − ) Mặt khác ta có: ( 𝒙 + 𝟐 − ( − )) ( 𝒙 + 𝟐 + ( − )) = ( 𝟐 − 𝟑𝒙 − ) Lời giải: Điều kiện: 𝒙 ≥ −𝟐 Phương trình tương đương: x 1 x 1... … thì ta được: 𝟐√𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 − ( + ) Ở đây ta phải tăng hệ số ở √𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 lên 𝟐 Với 𝑿 = −𝟎 𝟖𝟐 … ta cũng tìm được: 𝟐√𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 − ( + ) Riêng với 𝑿 = 𝟎 𝟕𝟐 … thì ta tìm được: 𝟐√𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 − ( 𝒙 − ) Đến đây ta có thể phân tích theo hai hướng, tôi sẽ phân tích theo một hướng các bạn thử phân tích theo hướng kia nhé!!! Mặt khác ta luôn có: ( √𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 − ( + )) ( √𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 + ( + )) = 𝟕𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟖 Lời giải: Điều... (lưu vào A) và 𝑿 = 𝟏 𝟓𝟓 … (Lưu vào B) 𝑨𝑩 = 𝟏𝟎 => Nhân tử sẽ có là: 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 𝑨+𝑩=𝟖 Nói chứ cũng chẳng để làm gì :D!!! Òa!!! nhận thấy: { Có lẽ ta nên tìm biểu thức liên hợp bằng cách giải hệ: 𝒂=𝟑 𝑨𝒂 + 𝒃 = 𝑪 { { (cách này trình bày rồi nhé!! !) 𝑩𝒂 + 𝒃 = 𝑫 𝒃 = −𝟑 Ngoài ra bạn cũng có thể tìm thông qua TABLE Dễ dàng biết sẽ có nhân tử là: √𝒙𝟑 − 𝟏 − ( 𝒙 − ) Ta sẽ luôn có: ( 𝒙𝟑 − 𝟏 − ( 𝒙 − )) ... − 𝒃𝟒 = ( + 𝒃 )( − 𝒃 )( 𝟐 + 𝒃𝟐 ) Bài 1: Giải phương trình [0001] ( 𝒙 − ) 𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 Hướng đi: Dò nghiệm ta được nghiệm là: {𝟐; 𝟓} Vận dụng nhưng điều vừa học ở trên, ta dễ tìm ta biểu thức liên hợp là 𝒂=𝟏 𝟐𝒂 + 𝒃 = 𝟐 nghiệm hệ: { { 𝟓𝒂 + 𝒃 = 𝟓 𝒃=𝟎 Vậy phương trình sẽ có nhân tử: √𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 − 𝒙 Mặt khác ta luôn có: ( 𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 − 𝒙 )( 𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 − ) = ( 𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟏 ) Cơ sở “ép tích” cũng là ở đây... trình bày rồi nhé!! !) 𝑩𝒂 + 𝒃 = 𝑫 𝒃 = −𝟑 Ngoài ra bạn cũng có thể tìm thông qua TABLE Dễ dàng biết sẽ có nhân tử là: √𝒙𝟑 − 𝟏 − ( 𝒙 − ) Ta sẽ luôn có: ( 𝒙𝟑 − 𝟏 − ( 𝒙 − )) ( 𝒙𝟑 − 𝟏 + ( 𝒙 − )) = 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 − 𝟏𝟎 = ( − 𝟏 )( 𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏 ) Có điều là ta nhận thấy biểu thức cần liên hợp sẽ có bậc ba Nhưng biểu thức ngoài chỉ có bậc hai Vậy bây gờ chúng ta phải làm sao??? Rất đơn giản Ta sẽ lấy 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 +... 𝟑𝒙 − 𝟔 − ( 𝒙 + ) 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟎 Hướng đi: Dò nghiệm ta được 𝑿 = 𝟏 𝟑𝟗 … lưu vào biến A nhé! Và nghiệm 𝑿 = −𝟎 𝟖𝟐 … lưu vào biến B nhé! Và còn nghiệm 𝑿 = 𝟎 𝟕𝟐 … lưu vào biến C nhé! 𝑨 + 𝑩 = 𝒍ẻ 𝟖 Nhận thấy: { 𝑨𝑩 = − 𝟕 Nhưng để ý rằng: ( + ) = 𝟒 Ta có thể tìm nhân tử bằng cách giải hệ theo cách ở mục III.3 Và ta dễ dàng giải ra: { 𝒂= 𝟏 𝟐 𝒃=𝟏 Bây giờ ta có thể tìm dựa vào TABLE ( Mục III.4 nhé!! !) Ta dễ thấy... 4: Máy hiện “Step?” bạn nhập “1” vì mình tìm số nguyên mà Rồi nhấn “=” Máy hiện một cái bảng Bạn dò trong đó thấy ở cột f(x) ra số nguyên thì lấy nhé! Trong một số trường hợp ta phải tăng hệ số của √ Cách này có thể thấy rằng tổng quát và bao trùm các cách trên Nhưng mỗi cái sẽ có ưu nhược của riêng mình Nếu có thời gian bạn thử xem tại sao mình nói thế nhé Còn đây là ví dụ: ( + ) 𝒙 + 𝟐 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐... 0020: x2 2x 8 x 1 x2 2x 3 Mã 0021: 5x 16 x2 2 x 1 x2 x 20 5 5x 9 Mã 0022: 6 x2 12 x 6 Mã 0023: 2 x 1 x3 22 x 2 11x 6x 3 15x 2 x 1 (3 x 2 9x 1) x 2 x 1