Đang tải... (xem toàn văn)
Đối với môn Toán việc làm bài tập rất quan trọng. Thậm chí có bạn luyện làm bài tập nhiều để nhớ lý thuyết lâu. Sau mỗi bài, mỗi chương bạn nên tìm ra dạng bài cơ bản (làm nhiều bài tập tương tự nhau), sau đấy là làm bài tập mang tính tổng hợp của toàn chương. Từ đó, phát hiện những thiếu sót, sai lầm mắc phải để khắc phục kịp thời. Việc làm bài tập mang tính tổng hợp như vậy cũng là dịp bạn có thể huy động các kiến thức liên quan để giải một bài toán. Việc làm này rất cần thiết vì các bài toán tổng hợp thường giống với đề thi.
SƠ LƯỢC PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. ( Tài liệu lưu hành nội để minh họa cho lớp 11 toán chuyên lớp) Lưu ý: Cách khác nhau tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên đoạn a; b và trên khoảng, hay tập R…. Bài1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) x 4x trên đoạn [2; 3] Lời giải Ta có: f(x) x 4x liên tục trên đoạn [2; 3] x2 x 2; x 4x f(2) 17, f 1, f(3) Vậy f(x) x 2, max f(x) 17 x 2 f(x)/ x 2;3 x 2;3 Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y x x HD: Miền xác định D 2;3 Đạo hàm y ' 1 ; 3 x x2 y ' x Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y Lời giải Đặt t sin x y sin x sin x sin x t 1 , t [1; 1] t2 t t2 2t y/ t [1; 1] (t t 1)2 y(1) 0, y 1, f 1 Vậy y sin x 1 x k2, k y max sin x x k, k y/ Bài Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y Lời giải. Đặt t sin x, t 1;1 y 4cos x 4sin x 1 t là ham số liên tục trên [-1; 1] 4t 16t 40t 16 1 mà y ' , y ' t [-1;1] , y 1; y ( 1) y (1) (5 4t ) 2 7 Suy ra GTLN y 1 khi t x k 2 , x k 2 GTNN y = 0 khi t 1, t 1 x k Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3x trên đoạn [–3; 2]. Lời giải Hàm số y x 3x liên tục trên đoạn 3; Đặt f(x) x 3x liên tục trên đoạn 3; f / (x) 3x2 x 1 [3; 2] f(3) 16, f(1) 4, f(1) 0, f(2) 16 f(x) x [3; 2] f(x) 16 x [3; 2] y 16 x [3; 2] Vậy y max 16, ymin Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số f(x) x 1 x2 Lời giải Hàm số f(x) liên tục trên R. Ta có: 1 x f / (x) x (x 1) x 1 x 1 x lim f(x) lim lim f(x) 1 x x x x 1 x f / (x) Bảng biến thiên f(x) x Vậy hàm số không đạt min và max x R Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y Lời giải Ta có x x2 y/ x x 1 x D x2 x2 x2 2 x2 2 x2 x2 x2 x y , x lim y 1 Giới hạn lim y lim x x x x x x Vậy ymax 2, y y/ x Bài Cho x,y>0 thỏa x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4y Lời giải: 4 x Từ giả thiết ta có y x khi đó P Xét hàm số f ( x) ; x (0; ) 4x x 4x 4 x (5 x)2 f ( x) x x Ta có: f ( x) Sau khi lập bảng biến thiên ta có f ( x ) f (1) Đạt được khi x=1 hoặc x= Bài Cho x, y R thỏa mãn y 0; x x y 12 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P xy x y 17 Lời giải: Từ giả thiết ta có y x x 12 hay 4 x Khi đó x x x Xét hàm số f ( x) x 3x x 7; x [4;3] Ta có f ( x) 3( x x); f ( x ) x 3 x Lập bảng biến thiên ta có f (x) f (1) 12; m ax f (x) f (3) f (3) 20 Vậy min P=-12 đạt được khi x=1;y=-10 và max P=20 đạt được khi x=-3; y=-6 hoặc x=3; y=0 Nhận xét: Bài toán này được giải bằng cách thế một biến qua biến còn lại nhưng phải đánh giá biến còn lại. Từ đó tìm GTLN, GTNN của hàm số chứa biến bị chặn. Bai 10 x,y>0 thỏa x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức K x 1 x y 1 y Lời giải:Từ giả thiết ta có y=1-x, 0