TR NG THPT CHUYÊN LÀO CAI T TOÁN – TIN ––––––– Câu (2.0 m) Cho hàm s THI TH THPT QU C GIA L N N M H C 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN Th i gian làm bài: 180 phút y  x3  3x2  a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s cho b) Vi t ph ng trình ti p n c a đ th (C) bi t ti p n song song v i đ 24x  y   Câu (1,0 m) Gi i ph  ng trình sin x  2sin x  1  cos x 2cos x  Câu (1,0 m) Cho s ph c z th a mãn h th c  i  3 z  ph c w  z  i ng th ng  2i    i  z Tìm môđun c a s i Câu (1.0 m) Trong c m thi xét công nh n t t nghi p THPT thí sinh phái thi môn có môn bu c Toán, V n Ngo i ng môn thi tinh t ch n s môn: V t li Hóa h c Sinh h c, L ch s v a lý M t tr ng THPT có 90 h c sinh đ ng ki d thi 30 h c sinh ch n m n V t l v 20 h c sinh ch n môn Hóa h c Ch n ng u nhiên h c sinh b t k c a tr ng Tính x c su t đ h c sinh có c h c sinh ch n môn V t lí h c sinh ch n môn Hóa h c Câu (1,0 m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông c nh b ng 2a Hình chi u vuông góc c a S m t ph ng (ABCD) trung m H c a c nh AB Góc gi a m t ph ng (SCD) m t ph ng (ABCD) b ng 60o Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD Tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA BD Câu (1,0 m) Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho m t c u x6 y z 2 2 Vi t ph ng trình    S  :  x 1   y  2   z  3  đ ng th ng  : 3 2 m t ph ng (P) qua M(4;3;4), song song v i đ ng th ng ∆ ti p xúc v i m t c u (S) Câu (1,0 m) Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình vuông ABCD có đ nh C thu c đ ng th ng d: x + 2y – = 0, m M(1;1) thu c c nh BD Bi t r ng hình chi u vuông góc c a m M c nh AB AD đ u n m đ ng th ng ∆: x + y – = Tìm t a đ đ nh C Câu (1,0 m) Gi i b t ph ng trình:  x   Câu (1,0 m) Cho x, y, z s th c d Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P    x   x   x2  x   ng th a mãn  x2  y2  z2    xy  yz  zx x  y  z  x  y  z 3 H t Thí sinh không đ c s d ng tài li u Cán b coi thi không gi i thích thêm >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! ÁP ÁN Câu a) y  x3  3x2  +TX : D = +S bi n thiên: –Chi u bi n thiên: y '  3x2  x ; y’ = x = ho c x = Các kho ng đ ng bi n: (–∞;0) (2;+∞); kho ng ngh ch bi n (0;2) –C c tr : Hàm s đ t c c đ i t i x = 0; yC = 2; đ t c c ti u t i x = 2; yCT = –2 –Gi i h n t i vô c c: lim y  ; lim y   x x +B ng bi n thiên x –∞ y’ y + + –∞ 0 – +∞ + +∞ –2 th b) Ta có: y '  3x2  x >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! Ph ng trình ti p n v i đ th (C) t i m M(a;b) (C) có d ng y   3a  6a   x  a   b  d  ng th ng (d) song song v i đ ng th ng y = 24x – nên suy a = ho c a = –2 3a  6a  24  a  2a   Th l i: a=4 M(4;18); (d): y = 24x – 78 (th a mãn) a = –2 M(–2;–18); (d): y = 24x + 30 (th a mãn) V y ph ng trình ti p n c n tìm y = 24x – 78 y = 24x + 30 Câu  sin x  2sin x  1  cos x cos x    2sin x  sin x  cos x  cos x  sin x  cos x   cos x  sin x sin x  cos x  cos x 2    sin  x    cos x 3  5    cos  x    cos x     5  x   x  k 2   x  5  2 x  k 2  5   x    k 2   x  5  k 2  18 5   x    k 2 (k V y   x  5  k 2  18 ) Câu >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! G i z = a + bi (a, b ) Suy z  a  bi Ta có: 2i  2  i z i   i  i   i a  bi   i  3 a  bi      1   3a  b    a  3b  i   2i   2a  b    a  2b  i  i  3 z    a  1   2a  5b   i   a   2a  5b   a  1   b   z  1  i  w  z  i  1  i 5 V y môđun c a s ph c w w  26  1       5 Câu G i A bi n c “Trong h c sinh đ môn Hóa h c.” c ch n có c h c sinh ch n môn V t lí h c sinh ch n +Tính s ph n t c a không gian m u: S cách ch n h c sinh t 90 h c sinh C903 +Tính s k t qu có l i cho A: –TH1: Trong h c sinh đ Hóa h c: c ch n, ch có h c sinh ch n môn V t lí h c sinh ch n môn S cách ch n h c sinh ch n môn V t lí: C30 S cách ch n h c sinh ch n môn Hóa h c: C20 S cách ch n h c sinh l i (không ch n V t lí hay Hóa h c): C40 1 Theo quy t c nhân, s h c sinh TH là: C30 C20 C40 >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! –TH2: Có h c sinh ch n môn V t lí, h c sinh ch n môn Hóa h c S cách ch n h c sinh ch n V t lí: C302 S cách ch n h c sinh ch n Hóa h c: C20 Theo quy t c nhân, s h c sinh TH là: C302 C20 –TH3: Có h c sinh ch n môn Hóa h c h c sinh ch n môn V t lí S cách ch n h c sinh ch n Hóa h c: C202 S cách ch n h c sinh ch n V t lí: C30 Theo quy t c nhân, s h c sinh TH là: C202 C30 Theo quy t c c ng, s cách ch n b h c sinh cho có c h c sinh ch n môn V t lí 1 1 h c sinh ch n môn Hóa h c C30 C20 C40  C302 C20  C20 C30  38400 Xác su t c n tính là: PA  38400 320  C903 979 Câu +Tính th tích G i N trung m CD Ta có SM (ABCD) nên (SMN) MN // BC MN CD Mà SM (ABCD) CD nên CD (SMN) >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! Mà CD  (SCD) nên (SCD) (SMN) V y m t ph ng (SMN) vuông góc v i (ABCD) (SCD) (SMN)  (ABCD) = MN; (SMN)  (SCD) = SN Góc gi a (SCD) (ABCD) SNM  60 Vì MNCB hình ch nh t nên MN = BC = 2a Tam giác SMN vuông t i M: SM  MN.tan 60  2a 1 8a 3  VS ABCD  SM SABCD  2a  2a   3 +Tính kho ng cách: Qua A k đ V MI ng th ng song song BD H hình chi u vuông góc c a M đ ng th ng SH t i I Vì AH  (SAH) nên BD // (SAH) Do d(BD; SA) = d(BD; (SAH)) = d(B; (SAH)) = d(M; (SAH)) Vì SM AH, MH Suy MI AH nên (SMH) AH Mà MI AH SH nên MI (SAH) Suy d(M; (SAH)) = MI Tam giác AHM vuông cân t i H nên MH  MA a  2 Tam giác SMH vuông t i M: 1 2a    MI  2 MI MH MS 4a  d  SA; BD   2.MI  Câu G i vect pháp n c a (P) n  a ; b; c  ng th ng ∆ có vect ch ph ng u   3; 2;  , qua m N(6;2;2) >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! ∆ // P  n.u   3a  2b  2c   c  3a b  3a  ng trình m t ph ng  P  : a  x    b  y  3    b   z      Ph M t c u (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R = M t ph ng (P) ti p xúc v i m t c u (S) ch d  I ;  P     3a  a 1    b   3    b        3a  a  b2    b    3  3a  13a  12ab  8b  9a  13a  12ab  8b  a  3ab  2b  Ch n b = a = ho c a = a=1 (P): 2x + 2y + z – 18 = (lo i N a=2 (P): 2x + y + 2z – 19 = (th a mãn ∆ // (P)) V y ph (P) ∆  (P)) ng trình m t ph ng c n tìm 2x + y + 2z – 19 = Câu G i H, K l n l t hình chi u vuông góc c a M AB, AD KM c t BC t i F, CM c t KH t i E Tam giác KMD vuông t i K có góc MKD b ng 45o nên tam giác vuông cân >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! Suy KM = KD KDCF hình ch nh t nên KD = FC KM = FC (1) Tam giác MBF vuông cân t i F nên MF = BF MFBH hình ch nh t nên BF = MH MF = MH (2) T (1) (2) suy ∆ MKH = ∆ MCF (hai tam giác vuông có c nh góc vuông t nhau) ng ng b ng  MKE  MCF  MKE  EMK  MCF  FMC  90 Suy ∆ MKE vuông t i E MC HK ng th ng HK có vect pháp n nHK  1;1  uHK  1; 1 Ph ng trình đ ng th ng MC qua M(1;1) nh n uHK  1; 1 làm vect pháp n: (MC): x – y = T a đ c a C nghi m c a h : x  y   C  2;   x  y   V y t a đ m C (2;2) Câu  x  2   x   x   x2  x   (1) K: x ≥ –1 t a  x  3; b  x   a  1, b  0 , (1) tr thành a  2b  1; x2  x   ab; x   a  b a  b   a  2b   ab    a  b  a  b  a  2b   ab     a  b   a  2b  ab   ab     a  b 1  ab   ab     a  b  11  ab   >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! a  b   a  b   a – b – = (2) ho c – ab = ho c  (I) ho c  (II) 1  ab  1  ab  Gi i (2): 2x   x 1 1   2x   x 1 1  2x   x 1 x 1 1  x 1  x 1  x 1   x 1   x = –1 ho c x = (th a mãn) Gi i (3):  x2  5x    x2  5x    x (th a mãn) ho c x = –2 (lo i) Gi i (I):  x  1 x    2x   x 1 1   (I )    x 1  x 1   (lo i) x     x x         2 x  x   Gi i (II):  x  1 1  x   x   x       x 1 x 1        x  (TM K) ( II )   2   x    x  x   2 x  x     V y nghi m c a BPT (1) x = –1   x  Câu t t = y + z, t ≥ 0, ta có b t đ ng th c sau: y z 2  y  z  2  y  z  t t2  ; yz  4 Do t u ki n đ suy ra: >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! x2   y  z   x2  y2  z2    xy  yz  zx  x  y  z   18  x  xt  2t    x  2t  x  t    y  z  x  2t Do đó: P x 2t      3 t y  z  x  y  z  2t  t  t 27t 2 Xét hàm f  t   f 't    (0;+∞)  t 27t 4 1  ; f ' t      t  t  t 9t t 9t 36 1 Ta có: f    16 B ng bi n thiên: 6 x f’(x) f(x) 16 + –∞ C n c b ng biên thiên, ta có f(t) ≤ 16 +∞ – t (0;+∞) Suy P ≤ 16 D u b ng x y   y  z x     x   y  z    y  z  1  y z  12  V y giá tr l n nh t c a P 16 >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! 10