BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA VẬT LÝ  BÙI QUỐC LONG XÂY DỰNG LÝ THUYẾT VÀ HỆ THỐNG BÀI TẬP PHẦN TÍCH PHÂN CHO GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH Giảng viên hướng dẫn: TS DƯƠNG MINH THÀNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC 2016 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Dương Minh Thành, người truyền cảm hứng toán học cho tơi, giúp đỡ tơi suốt q trình thực luận văn với ý kiến quý báu để giúp luận văn hoàn thành cách tốt Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm thầy Tổ Toán lý - Khoa Vật Lý - Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM tạo điều kiện để thực luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn hai bạn sinh viên K37: Lê Thị Phi Thuyền Nguyễn Minh Tuyến động viên chia sẻ buồn vui trình làm luận văn Sinh viên thực Bùi Quốc Long MỤC LỤC CHƯƠNG - PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Khách thể đối tượng nghiên cứu 1.4 Giả thuyết khoa học 1.5 Nhiệm vụ nghiên cứu 1.6 Giới hạn nghiên cứu 1.7 Những đóng góp đề tài 1.8 Phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn CHƯƠNG - NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TRỌNG TÂM 2.1 Giáo trình phân tích 2.2 Câu hỏi nghiên cứu 2.3 Cấu trúc nội dung 2.4 Nội dung đề cương chi tiết học phần Giải tích CHƯƠNG - PHÂN TÍCH & SO SÁNH PHẦN TÍCH PHÂN 10 3.1 Phần lý thuyết 10 3.1.1 Cách tiếp cận khái niệm Tích phân 10 3.1.2 Định nghĩa tính chất Tích phân 15 3.1.3 Các phương pháp tính Tích phân 26 3.1.4 Ứng dụng Tích phân 45 3.2 Phần tập 85 3.3 Một vài kết luận 87 CHƯƠNG - VIẾT MẪU PHẦN TÍCH PHÂN 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG Giảng viên hướng dẫn Chủ tịch hội đồng Chương 1: Phần mở đầu Luận văn tốt nghiệp CHƯƠNG - PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài  Roger Bacon có danh ngơn tiếng “Tốn học cánh cửa chìa khóa để vào ngành khoa học khác” Thật vậy, từ thời xa xưa, người bắt đầu với tính tốn bắt nguồn từ việc đếm số Cùng với phát triển khoa học kỹ thuật, tốn học dần trở nên cơng cụ để giải vấn đề thực tiễn Chẳng hạn, khơng có lượng giác ta khơng thể đo chiều cao tịa tháp Tương tự vậy, khơng có Giải tích ta khơng thể định nghĩa xác khái niệm vận tốc, gia tốc…trong Vật lý  Ở cấp trung học phổ thông, ta tiếp cận Giải tích cách tổng quan khía cạnh tính tốn bản, đó, ta chưa thực hiểu nhiều Do vậy, bậc Đại học sinh viên Vật lý, ngoại trừ việc rèn luyện kỹ tính tốn, ta cịn cần biết đến số ứng dụng Vật lý  Có thể nói Giải tích tốn học mơn học có ứng dụng chi phối toàn ngành khoa học - kỹ thuật Kinh tế Chính mơn học đưa vào giảng dạy hầu hết ngành khoa học tự nhiên Với lý đó, ngày có nhiều tài liệu Giải tích toán học đời nhằm phục vụ cho đối tượng khác Nhưng tài liệu dừng lại việc cung cấp thông tin, phương pháp tính tốn chưa ý đến nhấn mạnh tính ứng dụng Tốn học Ở khía cạnh Vật lý, theo chúng tơi giáo trình Giải tích tốn học cần làm rõ thêm khái niệm Cơ học Vận tốc Gia tốc, …thơng qua cơng cụ Giải tích Từ đó, người đọc thấy mối liên hệ Toán học Vật lý GVHD: TS Dương Minh Thành SVTH: Bùi Quốc Long Chương 1: Phần mở đầu Luận văn tốt nghiệp  Ở năm 2015, thực luận văn [8] để nghiên cứu xem giáo trình Giải tích có ảnh hưởng đến cách dạy & học giảng viên sinh viên Khoa Vật Lý - Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM Ở đó, chúng tơi phân tích giáo trình Giải tích sử dụng trường Đại học có đào tạo ngành Vật lý, chẳng hạn [1], [2], so sánh với giáo trình nước [10] để nhận thấy số điểm mạnh yếu chúng Từ đó, chúng tơi đưa cấu trúc kèm theo yêu cầu dựa theo viết mẫu phần Đạo hàm [8] để minh họa  Để tiếp tục đến mục tiêu hoàn thiện giáo trình Giải tích tiếng Việt với ngơn ngữ viết gần gũi, dễ hiểu có giải thích chi tiết đưa thêm ứng dụng Vật lý cụ thể nhằm mục đích có thêm tài liệu tham khảo phù hợp cho sinh viên ngành Vật lý, định thực luận văn dựa cấu trúc có [8] để phân tích so sánh phần Tích phân giáo trình nước [1], [2] với giáo trình nước [10] cuối viết mẫu phần Tích phân dựa phân tích so sánh Chúng tơi đưa thêm ứng dụng Vật lý cụ thể tham khảo từ tài liệu Vật lý [6], [7] 1.2 Mục đích nghiên cứu  Đề tài đặt nhằm hoàn thiện ý tưởng viết giáo trình Giải tích hồn thiện tiếng Việt dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên Vật lý trường Đại học Sư Phạm TP.HCM Ở luận văn này, trọng đến khái niệm Tích phân hàm biến số - định nghĩa ứng dụng  Các kết cần đạt luận văn là: - Phân tích so sánh khái niệm Tích phân [1], [2] [10] để rút điểm mạnh điểm yếu chúng GVHD: TS Dương Minh Thành SVTH: Bùi Quốc Long Chương 1: Phần mở đầu - Luận văn tốt nghiệp Dựa vào cấu trúc chương cụ thể [7] để viết phần Tích phân thỏa mãn yêu cầu 1.3 Khách thể đối tượng nghiên cứu  Chương trình giải tích Tốn học Vật lý  Mối liên hệ việc ứng dụng Toán học Vật lý 1.4 Giả thuyết khoa học  Nếu luận văn hoàn thiện giúp ích cho sinh viên năm học Giải tích tốn học cách hồn thiện phổ thông, đồng thời thấy ứng dụng cụ thể Toán học Vật lý, đặc biệt khía cạnh Giải tích 1.5 Nhiệm vụ nghiên cứu  Tìm hiểu giáo trình giải tích sử dụng Khoa Vật lý số trường Đại học có đào tạo ngành Vật lý  Phân tích giáo trình so sánh với giáo trình nước ngồi, từ đó, rút kết luận để đến việc viết phần Tích phân 1.6 Giới hạn nghiên cứu  Vì thời gian có hạn nên luận văn này, nêu khác khái niệm Tích phân giáo trình nước nước ngồi, đồng thời phân tích kiến thức phần Tích phân giáo trình tiến hành viết mẫu chương Tích phân theo mẫu có [8]  Trong luận văn này, chúng tơi chưa đủ thời gian để phân tích viết phần Tích phân suy rộng GVHD: TS Dương Minh Thành SVTH: Bùi Quốc Long Chương 1: Phần mở đầu Luận văn tốt nghiệp 1.7 Những đóng góp đề tài  Trong luận văn này, chúng tơi viết phần Tích phân theo ngơn ngữ gần gũi dễ hiểu thông qua giải thích cụ thể từ khó khăn gặp phải Ở đây, lược bỏ số chứng minh, suy luận toán học chặt chẽ mà chúng tơi cho khơng phù hợp với sinh viên Vật lý  Chúng ý đến nội dung, cách trình bày, phơng chữ, màu sắc, với hình ảnh làm cho nội dung trở nên sinh động Điều quan trọng bổ sung thêm toán Vật lý để sinh viên có nhìn khái qt mơn Vật lý học Những thay đổi đề cập phần luận văn - Viết mẫu phần Tích phân 1.8 Phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn  Chương 1: Phần mở đầu Chúng tơi trình bày tổng quan luận văn, cụ thể lý chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, khách thể đối tượng nghiên cứu, giả thuyết khoa học, nhiêm vụ nghiên cứu, giới hạn đóng góp đề tài để thấy sơ lược vấn đề nghiên cứu luận văn  Chương 2: Đặt vấn đề câu hỏi nghiên cứu Để tìm hiểu vấn đề nghiên cứu cách có hệ thống hiệu quả, chúng tơi đặt số câu hỏi trả lời sau phân tích phần Tích phân Chương  Chương 3: Phân tích so sánh phần Tích phân Ở chương này, sử dụng phương pháp tổng hợp phân tích lý thuyết với phương pháp phân loại hệ thống hóa lý thuyết để tìm hiểu sâu sắc phần Tích phân trình bày giáo trình Từ đó, chúng tơi phân GVHD: TS Dương Minh Thành SVTH: Bùi Quốc Long Chương 1: Phần mở đầu Luận văn tốt nghiệp loại so sánh chúng để đến kết luận nhằm trả lời câu hỏi Chương  Chương 4: Viết mẫu phần Tích phân Ở chương này, sử dụng kết Chương để tổng hợp kiến thức vừa phân tích được, đồng thời kết hợp hài hòa ưu - nhược điểm giáo trình nước nước ngồi để tiến hành viết phần Tích phân cho phù hợp với sinh viên Vật lý thỏa mãn u cầu kỹ thuật tính tốn GVHD: TS Dương Minh Thành SVTH: Bùi Quốc Long Chương 2: Giáo trình & câu hỏi nghiên cứu CHƯƠNG - Luận văn tốt nghiệp NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TRỌNG TÂM 2.1 Giáo trình phân tích  Để thấy rõ điểm tương đồng giáo trình nước số trường Đại học có đào tạo ngành Vật lý giáo trình nước ngồi, chúng tơi chọn giáo trình sau để tiến hành phân tích [1] Đậu Thế Cấp (2007), Giải tích tốn học, Nhà xuất Giáo dục (giáo trình sử dụng Khoa Vật Lý - Đại học Sư Phạm TP.HCM) [2] Đỗ Công Khanh (2010), Tốn cao cấp – Giải tích hàm biến, lý thuyết chuỗi, Nhà xuất Đại học Quốc Gia TP.HCM (giáo trình sử dụng trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM Đại học Bách Khoa TP.HCM) => Với nét tương đồng [1] [2] chúng tơi gọi chúng giáo trình G1 [10] James Stewart, Single variable calculus, Canada => Gọi giáo trình G2 2.2 Câu hỏi nghiên cứu  Để việc phân tích có hiệu có hệ thống chúng tơi đặt số câu hỏi sau mà câu trả lời làm rõ vấn đề mà chúng tơi nghiên cứu Cũng cần nói thêm Chương 3, chúng tơi sử dụng lại kết có [8] bổ sung thêm phần phân tích so sánh ứng dụng Tích phân  Cụ thể, C1: Khái niệm Tích phân G1 G2 tiếp cận nào? G1 G2 có dẫn dắt để đến định nghĩa Tích phân hay khơng? GVHD: TS Dương Minh Thành SVTH: Bùi Quốc Long Phân loại phương pháp giải tập 5.4 Tính tích phân hàm hữu tỷ 5.4.1 Phương pháp P( x) d x Q( x) Giả sử cần tính tích phân Bước 1: Kiểm tra bậc P(x), Q(x)  Nếu bậc P( x) lớn bậc Q( x) áp dụng phương pháp chia đa thức chia tử cho mẫu để đưa dạng phân thức hữu tỷ thực S( x ) , Q( x) P( x) Q( x)  R( x) S( x ) Q( x) Nếu bậc P( x) nhỏ bậc Q( x) tiếp tục Bước Bước 2: Phân tích phân thức hữu tỷ thực thành phân thức đơn giản  Áp dụng công thức sau S( x ) Q( x) S( x ) B)n (Cx Dx ( Ax Ax B ( Ax Cx  n B)2 1x E )m Dx E ( Ax (Cx B)n 2x Dx E )2 (Cx mx Dx m E )m Tìm hệ số điều chỉnh i , i , i phương pháp hệ số bất định: Cách 1: Cho giá trị x thích hợp Cách 2: Cân hệ số hai vế ( ) Bước 3: Tính tích phân phân thức đơn giản  Tính tích phân Dạng dx (1)  ln Ax A ( Ax B)n B A (n 1)( Ax B)n , n , n Tính tích phân Dạng (2) Biến đổi Cx Dx (Cx E C (x dx Dx a)2 E )m , với Cx2 Dx E có biệt thức b2 áp dụng công thức ( ) Phân loại phương pháp giải tập x a arctan b b 1: + m , xác định số a, b, C, m áp dụng công thức (x b2 x Im  dx a)2 + m C m b2 a a)2 2(m 1) ( x b2 2m 2m m 1 x a arctan b b I m Dx E có biệt thức , với I1 Tính tích phân Dạng C1x (3) (Cx D1 Dx E )m d x với Cx Áp dụng công thức (3) (Cx Dx E ) dx (Cx Dx E )m dx Dx (Cx (3.1) E )m (3.2) Với 1, hệ số điều chỉnh (3.1) (m Dx 1)(Cx ln Cx Dx E E )m , , m m (3.2) đưa Dạng Vậy P( x) dx Q( x) R( x) d x S( x ) dx Q( x) R( x) d x (1) (2) (3) 5.4.2 Bài tập A4 x2 B4 C4 D4 E4 x2 7x x 1)3 (x x3 x5 x d x F4 x4 (3x (5x G4 dx x5 12 d x d x x2 d x ( x 1)2 ( x 1) H4 I4 J4 x4 5x d x 4)2014 d x 6)2016 x 2001 dx (1 x )1002 x4 x6 d x x5 x4 dx 2x3 2x x Phân loại phương pháp giải tập 5.4.3 Hướng dẫn giải A4 : Chia tử cho mẫu áp dụng Bước 2, F4 : Chia tử cho mẫu áp dụng Bước 2, B4 : Thêm-bớt số tử đổi biến số G4 : Biến đổi với t x (3x (5x 4)2014 6)2016 3x 5x đổi biến số với t C4 : Biến đổi x5 x3 3x 5x 2014 (2 x 1)2 x3(x2 1) áp H4 : Biến đổi x 2001 (1 x )1002 dụng Bước 2, t D4 : Thêm-bớt số tử, áp dụng 1 x3 x2 1002 đặt x2 I : Sử dụng đẳng thức a2 b2 đối đẳng thức an bn chia tử cho mẫu, áp với tử số, a3 b3 mẫu số Chia tử dụng Bước 2, vả mẫu cho x Cuối cùng, đổi biến số với t x x E4 : Áp dụng Bước 2, J4 : Sử dụng sơ đồ Hoocne hai lần với mẫu số, nghiệm Phân loại phương pháp giải tập 5.5 Tính tích phân hàm lượng giác 5.5.1 Phương pháp (1) Tích phân chứa sin cos Cách 1: Chứa lũy thừa lẻ sin hay cos  Nếu tích phân đưa dạng f (sin)cosd x (lẻ theo cos tử số) chọn ẩn số phụ sin  Nếu tích phân đưa dạng f (cos)sin d x (lẻ theo sin tử số) chọn ẩn số phụ cos Nếu tích phân chứa lũy thừa lẻ sin hay cos mẫu số nhân thêm-chia bớt thừa số tương ứng Cách 2: Chứa lũy thừa chẵn sin hay cos  Nếu tích phân chứa lũy thừa chẵn sin hay cos tử số (khơng có mẫu số) sử dụng cơng thức hạ bậc  Nếu tích phân chứa lũy thừa chẵn sin hay cos mẫu số ta tách để xuất / cos2 x hay / sin2 x đặt t tan x hay cot x   Nếu tích phân chứa sin2x tử f (sin2 x,cos2 x) đặt t sin2 x (hay cos2 x) Cách 3: Chứa lũy thừa hữu tỷ sin hay cos  Sử dụng Cách tích phân chuyển tích phân nhị thức Cách 4: Chứa tích số sinsin, coscos, sincos  Sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng Cách 5: Tích phân có dạng Pn f (sin x,cos x)d x dùng tích phân phần với u dv Pn ( x) f (sin x,cos x)d x (2) Tích phân chứa tan cot Cách 1: Nếu tích phân chứa tann x (hay cot m x ), ta tách để xuất thừa số tan2 x biến đổi tan2 x (1/ cos2 x) Cách 2: Nếu tích phân chứa tồn tan (hay cot) thừa số / cos2 x (hay / sin2 x ) đặt t cot x ) Cách 3: Nếu tích phân chứa tan (hay cot) ta đặt t (3) Phương pháp tổng quát tan x (hay cot x ) với dx tan x (hay dt / (1 t ) Phân loại phương pháp giải tập Khi gặp tích phân chứa sin x, cos x, tan x, cot x mà không áp dụng cách đặt t d x t2 tan(x / 2) d t Khi ta phải thay 2t ; cos x t2 sin x t2 ; tan x t2 t2 2t 2t ; cot x t2 Ta mở rộng cho tích phân chứa sin nx, cos nx, tan nx, cot nx đặt t tan(nx / 2) 5.5.2 Bài tập A5 B5 sin6 x /2 d x sin x cos5 x cos7 x esin F5 x sin x cos3 x d x 2sin x cos x d x 4sin x cos2 x G5 C5 x sin x cos15 x H5 D5 sin x.cos2 x.cos3x d x I5 E5 tan3 x d x cos2 x J5 dx cos x sin2 x sin x cos4 x (tan2 x tan x dx 2sin x cos x 2015 5) d x sin2015 x sin2013 x cot x d x sin5 x 5.5.3 Hướng dẫn giải A5 : Tách làm ba tích phân sử F5 : Sử dụng (1)-Cách cách đổi biến dụng (1)-Cách 2, Cách số t sin2 x (1 cos2 x)3 Khai triển sử dụng công thức hạ bậc 2, Chú ý sin6 x (sin2 x)3 B5 : Sử dụng biến đổi lượng giác G5 : Sử dụng (1)-Cách cos2x 2sin2 x, sin2 x 2sin x cos x sử dụng (1)-Cách C5 : Sử dụng (1)-Cách với u dv H5 : Sử dụng (2)-Cách x sin x dx 15 cos x D5 : Sử dụng (1)-Cách Chú ý Công thức lượng giác I5 : Sử dụng (3) Phân loại phương pháp giải tập sin(a Biến đổi lượng giác sin A cos A sin A sin a cos b b) sin(a b) E5 : Biến đổi cos2x cos2 x sin2 x Và sử dụng (2)-Cách J5 : Đặt cos2 x (1 tan2 x) sin2015 x làm nhân tử chung đưa ngồi thức Sau sử dụng (2)Cách Phân loại phương pháp giải tập 5.6 Tính tích phân hàm vơ tỷ 5.6.1 Phương pháp (1) n Để tính tích phân có chứa n ax cx b hay ax b , ta thực theo thứ tự ưu tiên cách d sau: n Cách 1: Nếu chứa hai thức đặt t n ax b áp dụng cx d b hay t ax phương pháp hữu tỷ hóa Cách 2: Nếu chứa thức đồng bậc nhân với lượng liên hợp m Cách 3: Nếu chứa thức không đồng bậc đặt t m ax b với m bội cx d b hay t ax chung (nhỏ nhất) bậc thức x m (a Cách 4: Đưa tích phân nhị thức vi phân (2) ax Để tính tích phân có chứa Cách 1: Đặt t ax2 bx n ) p d x c , ta thực theo thứ tự ưu tiên cách sau: bx c biểu thức ngồi thức có dạng giống (gần giống) với bx (ax bx c) A2 Cách 2: Biến đổi thức dạng x2 , A2 X2 , X2 A2 áp dụng phương pháp lượng giác hóa Cách 3: Sử dụng phép Euler x Cách 4: Tích phân có dạng ax ( x ax )d x bx bx (ax c d x áp dụng c bx ax c) d x bx c ( ) với 1, hệ số điều chỉnh ( ) ax Pn ( x) Cách 5: Tích phân có dạng ax Pn ( x) ax 2 bx c dx bx c bx dx ax ( bx c , ) c , ( ) đưa Cách d x áp dụng Qn 1( x) ax bx c dx ax bx c , Phân loại phương pháp giải tập với Qn 1( x) đa thức bậc n , hệ số Qn 1( x) hệ số tìm cách đạo hàm vế đồng 5.6.2 Bài tập A6 dx 2x x x C6 x2 d x x x2 x x x2) x d x x (1 (x3 G6 d x dx H6 x) I6 x2 x dx E6 d x x2 x x2 B6 D6 2x x2 F6 x d x x 5x x4 d x dx J6 x x (x 1)3 x2 3x 5.6.3 Hướng dẫn giải A6 : Sử dụng (1)-Cách F6 : Sử dụng (2)-Cách B6 : Sử dụng (1)-Cách G6 : Sử dụng (2)-Cách C6 : Chia tử cho mẫu, tách thành tích H6 : Sử dụng (2)-Cách phân Sử dụng (2)-Cách bảng nguyên hàm D6 : Sử dụng (1)-Cách I6 : Tách thành tích phân Với tích phân x x3 d x , rút x khỏi thức x4 đổi biến số với t E6 : Đặt x làm nhân tử chung mẫu số, đơn giản Sau đó, đổi biến số với t x J6 : Đặt t x x2 sử dụng (2)-Cách Phân loại phương pháp giải tập 5.7 Tính tích phân hàm mũ logarit 5.7.1 Phương pháp (1) Tích phân chứa hàm mũ Cách 1: Nếu đạo hàm “số mũ” mà (hay gần đúng) với biểu thức hàm mũ ta chọn ẩn số phụ số mũ Cách 2: Nếu hàm số biểu diễn theo e x (hay a x ) ta chọn ẩn số phụ hàm mũ Ta mở rộng cho trường hợp tích phân chứa ex a Cách 3: Nếu tích phân có dạng sau Pn(x) e x dx, e x cos x dx, e x sin x d x sử dụng tích phân phần với u Pn ( x) cos x sin x (2) Tích phân chứa hàm logarit Cách 1: Nếu đạo hàm hàm số logarit mà (hay gần đúng) với biểu thức ngồi hàm logarit ta chọn ẩn số phụ hàm số Cách 2: Nếu hàm số có chứa ln x x ta chọn ẩn số ln x Ta mở rộng cho trường hợp tích phân chứa Chú ý: Nếu đề cho loga x ta biến đổi loga x Cách 3: Nếu tích phân có dạng ln x b ln x ln a Pn ( x)ln x d x sử dụng tích phân phần với u ln x Phân loại phương pháp giải tập 5.7.2 Bài tập e2 x A7 ex d x ln x d x (1 x )3/2 F7 .e2 x ln( x B7 e C7 e D7 E7 x 1)d x ln2 x G7 H7 xe x d x x (e x ln x) I7 9x 6x 3.6 x 2.4 x d x d x x2 3ln x d x x (ln x 3ln x) ln x 1 ln x2)x e( x d x ex dx e x /3 e x /2 ln(1 J7 ex 2016 x 1) e x /6 x2 d x 5.7.3 Hướng dẫn giải A7 : Sử dụng (1)-Cách F7 : Sử dụng (2)-Cách B7 : Sử dụng (2)-Cách G7 : Đổi biến số với t ln x Chú ý t b a C7 : Sử dụng (2)-Cách ln x f ( x) dx x c a et b f ( x) dx c f (x) dx H7 : Nhân lượng liên hợp mẫu tách thành hai tích phân Sau áp dụng (1)Cách D7 : Đổi biến số với t ex E7 : Chia tử mẫu số cho (1)-Cách ln x x áp dụng I : Đặt t x áp dụng (1)-Cách J7 : Sử dụng tính chất ln eX ln X t ln(1 x2 ) đổi ln x biến ln x số với Phân loại phương pháp giải tập 5.8 Ứng dụng tốn học Tích phân 5.8.1 Phương pháp Diện tích Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm, ta sử dụng cách: Cách 1: Sử dụng hình vẽ Nếu S giới hạn đường cong y f (x) y g(x) hai đường thẳng x a, x .b [đường nằm trên] S [đường nằm dưới] dx a Cách 2: Không dùng hình vẽ Nếu S giới hạn đường cong có phương trình phức tạp áp dụng cơng thức b S .b f ( x) g( x) d x f (x) a g(x) d x a Cách 3: Diện tích đường cong kín (1) Sử dụng S y (t ) x (t ) d t  Nếu chiều chuyển động điểm chiều kim đồng hồ S y (t ) x (t ) d t  Nếu chiều chuyển động điểm ngược chiều kim đồng hồ S y (t ) x (t ) d t (2) Sử dụng S x(t ) y (t ) d t  Nếu chiều chuyển động điểm chiều kim đồng hồ S y (t ) x (t ) d t  Nếu chiều chuyển động điểm ngược chiều kim đồng hồ S y (t ) x (t ) d t b Phân loại phương pháp giải tập Chú ý: Ta đưa dấu trị tuyệt đối hàm số ngồi dấu tích phân f (x) g(x) khơng đổi dấu đoạn [a, b] Nếu phương trình không đổi dấu đoạn [a, c] [c, b] b I .c f ( x) g( x) d x .b f ( x) a g( x) d x a f ( x) g( x) d x c Thể tích Gọi V thể tích vật thể cần tìm quay miền phẳng quanh đường thẳng, ta sử dụng cách sau: Cách 1: Tổng quát  Sử dụng phương pháp chia đĩa chia vật thể thành đĩa có diện tích đáy B(x) có bề x dày  Tính vi phân thể tích đĩa thứ i  Lập tổng xấp xỉ V n i Vi n i Vi B( xi ) B(xi ) xi xi b  Cho n , dẫn đến giá trị thể tích xác V B( x)d x a Cách 2: Nếu miền phẳng giới hạn đường cong y f ( x) y c đoạn đường thẳng x d đoạn đường thẳng [a, b]  Quay quanh Ox Sử dụng phương pháp chia đĩa với b [đường nằm trên]2 V [đường nằm dưới]2 dx a .b  Quay quanh Oy Sử dụng phương pháp vỏ hình trụ với V x f ( x) d x a Cách 3: Nếu miền phẳng giới hạn đường cong x g(y) ( , )  Quay quanh Oy Sử dụng phương pháp chia đĩa với b [đường nằm trên]2 V a [đường nằm dưới]2 dx Phân loại phương pháp giải tập  Quay quanh Ox Sử dụng phương pháp vỏ hình trụ với V y f ( y) d y Chú ý: Ở phương pháp chia đĩa, hàm số f ( x) đường thẳng x c nằm sử dụng cơng thức b [đường nằm trên]2 V [đường nằm dưới]2 dx a cần so sánh đường cong sau bình phương lớn phải đặt trước để kết trừ lấy tích phân phải số dương Độ dài cung Giả sử ta cần tìm độ dài đường cong (C ) , tùy vào phương trình (C ) mà sử dụng cách sau: Cách 1: b  f ( x) (a Nếu (C ) cho dạng y x b) l (a x b) f ( x) d x g ( y) d y a d  Nếu (C ) cho dạng x g( y) (c x d) l (c x d) c Cách 2: Nếu (C ) cho dạng phương trình tham số l f (t ) x y f (t ) ( g(t ) t ) g (t) d t 5.8.2 Bài tập Diện tích Phác họa đồ thị hàm số sau tính diện tích giới hạn chúng: (a) A8 : x y2, y (b) B8 : y x2 (c) C8 : y sin x, y (d) D8 : y ex, x x2 x, 2x y cos x, x ,x trục tung Phân loại phương pháp giải tập Tìm diện tích giới hạn đường cong sau: (a) E8 : y x (b) F8 : y x (sin2 x (c) G8 : y (d) H8 : y x, x ln x (x2 e x 1)2 1, x 3), 3x , 2x sin x , y y e trục hoành y 0, x với x Tìm diện tích giới hạn đường cong cho phương trình tham số: (a) I8 : x t2 (b) J8 : x cos4 t, y (c) K8 : x a (t sin t), y a (1 cos t), t 2t, y t trục tung sin4 t Thể tích vật thể trịn xoay Phác họa miền giới hạn đường cong tính vật thể miền phẳng quay quanh trục tọa độ (a) x (b) y y 0, x (x 2)2, y y 0, quay quanh trục Ox , quay quanh trục Ox, Oy Tìm thể tích vật thể miền giới hạn đường cong quay quanh trục tọa độ (a) xe x , y y (b) x 0, x (y b)2 1, x , quay quanh trục Ox a2 (b a) , quay quan trục Ox Miền giới hạn đường cong cho hình Hãy tìm thể tích vật thể cho miền phẳng quay quanh đường thẳng (a) y x 4x 3, y (b) y x3, y x , quay quanh đường thẳng y (Hình 5.1(b)) (c) y x3, y x , quay quanh đường thẳng x (Hình 5.3(c)) Hình 5.1 (a) x , quay quanh đường thẳng y (Hình 5.1(a)) (b) Độ dài cung Tính độ dài cung giới hạn đường sau: (c) Phân loại phương pháp giải tập (a) y (b) y2 x3/2 (0 x 4) 2ax (0 x x0 ) (c) x y (d) y ln cos x ln y (1 y x a e) Tính độ dài cung hàm số cho phương trình tham số: (a) x cos4 t, y sin4 t (b) x a (t (c) x a (cos t sin t), y a (1 cos t) (0 t sin t), y a (sin t t ) t cos t) (0 t )