ChưoTig 8^ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ H Ũ t HẠN 8.1 K H Ả I N IỆM CHUNG Sư xuất phái iriển khòng ngừng raáy lính điện lử (MTĐT) có khả tính toán với tốc độ cao cho phép từ thay đổi vế lượng dần đến thay đổi chất việc nghiên cứu vấn đề học nói chung việc tính toán kết cấu công trình nói riêng Cụ là: - Có thổ chọn lựa hoàn ch ỉn h mô hình tính toán phản ánh xác tối đa làm việc vật liệu cùa kết cấu cồim trình Irong tliực tế - Có thê thay giả thiết gần chấp nhận tĩnh toán trước bảng dicii kiện xác phù htíp với làm việc kết cấu công trình - Khối lượng tính khổng \'ân đề klió khăn dẫn đến \ iệc tăng độ xác kci (ỊUii lính - Có lĩiớ rộng phương pháp lính kết cấu hú học kết cấu dế áị) dụng tính hệ kết cấu hệ kốt cấu dạng bản, vỏ, kèì cấu tổng hợỊ) Với trự giúp cùa MTĐT phưírtig pháp tính đại đáp ứng yêu cầu thường (lẫn đế việc mò tả đại lượng nghiên cứu theo tập hợp số số hữu hạn diêm Irong kết cấu nên gọi chung phương pháp số Thay việc tìm hàm nghiệm giải tích liên tục cứa đại lượng nghiên cứu phưríiig pháp số chí xác định giá trị rời rạc đại lượng nghiên cứu nên phương pháp số gọi phươno pháp rời rạc hoá Có thể chia thành hai cách rời rạc hoá sau: - Rời rạc hoá toán học, nghĩa rời rạc hoá phương trình Cho phương trình đại lượng nghiên cứu thoả mãn số điếm chọn trước Tại điếm thay phương trình đại lượng nghiên cứu hàm xấp xí chứa giá trị số đại lượng nghiên cứu điểm sô hữu hạn điểm lân cặn chọn trước Thuộc loại có phương pháp phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp rời rạc hoá toán tử vi phân - Rời rạc kết cấu nghĩa kết cấu liên tục tướng tưọtig chia nhỏ thành nhiều kết cấu con, kết cấu gọi phần tử hữu hạn (PTHH) Trong phạm vi phần tử hữu hạn chấp nhận kết nghiên cứu gần với sai số chọn 199 trước khống lớn Sau PTHH xem liên kết lại với sò điẽm chung Giá trị đại lượng nghiên cứu lại đicm chung xác định dạna số Các phương pháp thuộc loại gọi phương pháp phần tử hữu hạn Các công thức phương pháp thường biểu diễn dạng ina trận ngôn ngữ phù hợp với việc thực tính toán giá trị số cúa dại lượiig nghiên cứu MTĐT 8.2 NGOẠI L ự c VÀ ÚTVG SUẤT Xét vật thể đàn hổi tuyến lính đạt hệ trục toạ độ Descartes oxyz hình 8.1 Vật thể trạng thái cân chịu tác dụng ỉ ực sau: Lực phân bỏ' tích hay g ọ i lực ihể tích đơn vị, tác dụng lại điểm nằm vật thể V í dụ trọng lượng thân, lực quán tính Cường độ p lực thể tích đơn vị giá trị lực đơn vị thể lích Kí hiệu thành phần lực ihể lích đơn vị tác dụng theo phương ox, oy, oz P y p^, vectơ lực thể tích đơn vị có dạng; Px Py Pz ỊỊình 8.1 Đơn vị lực Đơn vị thể tích Lực phân bố diện lích (ác dụng bể m ặ t vật thể, thường lực tương tác vật thể, vật thể môi trường V í dụ áp lực tải trọng sử dụng lên mặt sàn, nước lên thành đập chắn, gió lên công trình Cường độ f lực phân bố diện tích đơn vị giá trị lực đơn vị diện tích K í hiệu thành phần lực diện tích đơn vị tác dụng theo phương ox, oy, oz f^, fy, , vectơ lực diện tích đơn vị có dạng: fv Đơn vị lực Đơn vị thể tích fz Khi diện tích phân bố lực nhỏ, thay lực tập trung có giá trị cường độ lực nhân với diện tích phàn bố 200 L.úc Iiàv iroiiíi \ ặl thc xuất hiên thay dc'i i:ủ.a lực tương tác phần tử vật cliáì, uọi ià nội lưc Đế tìm nội lưc ihườne sử dụng phương pháp mạt cắt Tưỏng tirơnu dùntỉ mặt cãt 71 chia vậl ihế xci thành hai phầi: A \ B hình 8.1 Tác dụiiii tưong hỏ aiữa liai phần bị cắl niộl liê iirỊi lực với cường độ phân bố ihco inột quv luâl dó ticn diện lích bị cất s Thavhẽ nội lực phân bố hợp lực Sp \'à iriỏmen s^, dược gọi nội lực lại mặt cát s đượcxác định từ điềư kiện cân bàim phán bị cãt A hay phần bị căl B Cuòna độ phàn bò’ cứa hệ nội lực tai dicm M(.\ z)bãt kì thuộc mật cắt s có pháp luycn \\ kí hióLi Pv gọi ứna suất toàn phần lại điểm M Nếu xem hợp lưc dPcúa hệ nội luc phân bố diện lích vô dS lấy bao quanh điểm M ứng sual toàn phán điếm M dược \ác dịnh ihco biểu thức sau: Pv = lini ^ Như vậ\ ứng suấl toàn phẩn lại điếm M voctư có giá trị phương phụ thuộc \’àt) \ ' irí cúa diCMn M pháp tuyến V úiie suất toàn phan thường phân tích thành ứng suất thành phần llico phirơng trục loạ độ o\ >', oz kí hiệu Xy, Yv, /.v Do đó: P\' = Xv + Y, + Zv Khi inat cãt s song soim vứi inặi toạ dộ pháp tuyên cua mật cắt trục toạ clộ tương ứng Ví (lụ klii mật căt s song song với mật toạ fjộ oyz hình a pháp tuyến mặt cắt trục ox vù ứng suat mat cắr x^, Y^, ' L ^ Ilinh 8.2 ÚiiH suất Ihành phần có phương VLiôno góc với măt cắt (trùng với phương pháp luyến ox) gọi ứng suất pháp Các ứng suất ihành phần nằm mặt cát có pháp tuyến ox \'à có phươiiíỉ song sona với Iruc toạ độ tương ứng oy oz dưực aọi ứno suất tiếp Đc kí hiệu ứn” suãì có ihế sử dụng hệ kí hiệu khác Nếu kí hiệu ứng suất [•)háp (siunia) \'à ứniỉ suâì liếp T (ló), có; ứiiíi suãì pháp irên mặl cắt có pháp tuyến ox Chỉ số X biểu thị phương pháp luvcn cua mãl cãl chứa ứng suất \'à pliương cúa ứng suất pháp 201 = T^y, - ứng suất tiếp nằm mặt cắt có pháp tuyến ox có phương song song với trục oy, oz Như số thứ phương pháp tuyến mặt cắt chứa ứng suất, số thứ hai phương ứng suất tiếp Trên hình 8.2b, c thể thành phần ứng suất mặt cắt song song với mặt toạ độ oxz có pháp tuyến trục oy mặt cắt song song với mặt oxy có pháp tuyên trục oz, qua điểm M(x, y, z) thuộc vật thể Quy định dấu ứng suất sau: - Nếu pháp tuyến mặt cắt chứa ứng suất hướng theo chiều dương trục toạ độ tương ứng chiều ứng suất hướng theo chiều dương trục toạ độ tươne ứng ứng suất xem dương - Nếu pháp tuyến mặt cất chứa ứng suất hướng theo chiều âm trục toạ độ tương ứng chiều ứng suất hướng theo chiều âm trục toạ độ tương ứng ứng suất xem dưcíng - Các trường hợp khác với nội dung ứng suất xem âm Trên hình 8.2 ứng suất thể ứng suất dương Như vậy, ba mật cắt trực giao vuông góc với trục toạ độ ox, oy, oz qua điểm M(x, y, z) thuộc vật thể đàn hồi tuyến tính cân bằng, trường hợp tổng quát có thành phần ứng suất Tại điểm khác vật thể ứng suất có giá trị khác hàm sô' toạ độ điểm xét; - Ba ứng suất pháp: - Sáu ứng suất tiếp: y, z), Qy = ơy(x, y, z), ơ_, = ơ^(x y, = T^y (x, y, z), T y , = Ty^ "^zy ^zy (x, y, z), (x, y, z), Ty, = (x, y, z), 8.3 PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG NAVIER Bằng mặt cắt song song với nhau, cách khoảng dx, dy, dz vuông góc với trục toạ độ chia vật thể đàn hồi tuyến tính cân chịu tác dụng ngoại lực hình 8.3 thành: - Những phần tử hình hộp, phần tử có mặt nằm vật thể - Những phần tử có mặt trùng với bề mặt vật thể Trong trường hợp tổng quát, phần tử có mặt gọi phần tử hình tứ diên 202 Hình 8.3 ) (x y, z) (x, y, z) Xéi phấn tứ liìnli hộp có kích thước d.\, dy, dz hình 8.4 Trên mặt phần tử có ba thành phần ứiig suất song sona với trục toạ độ Các úfng suất ba mặt phần tứ di qua đicm (x, y, z) là: - Trên mật oaee có: - Trêii mạt ocgli có: ơỵ, - Trên mặt ohba có: ơ^, Các ứng suất ba mặt phần tử di C|ua điciri d(x + dx, y +dy, z + dz) là; - Trên mặt dghb có: - Trên mật cibac có; ỵ + ^ íiy , + _ liL (jx , ỡx Xvv + - ^ d x , ' ỠƠ- - Trôn mặt egdc có: ^ d x ỡx ỡx ỠTvx Tyx +^d y, d y õ y 5z ỡz Ỡ T y2 T ,, ■ +^ d y õ y õ z Giá sử ứng suất dương hình chiếu lực thể tích đơn vị pliương trục loạ độ dương Pjj, Py, lên Từ điều kiện cân tổng hình chiếu cúa lực tác dụng phần tử hình hộp lên pliươns trục ox bàiiíỉ không có: Z1\ = H - ' (\M(\7 -n d v-d ơ^dvdz ? + T ++ dydz ax -T^,^d.\dz + ỔT rx d xd z- dxdv - X dxdy + p dxdydz = 203 Sau ihực rút gọn nhận phương trình vi phán: õa õĩ —^ ^ õ \ õ y dx + Pv = õ z Từ điểu kiện cân IPy = = cíia phần tử hình hộp nhận hai phương trình vi phân có dạng tương tự Như ba phương trình vi phân biếu thị điều kiện cân tĩnh phần tử hình hộp nằm vật the có dạng sau; ỡx ỡy —^ ỡx ỡa,, ^ ỡy ỔT ỠT +p =0 õ z da ^ Pvx (8-1) ^ + p, = ỡz ^ ỹ y + p, = ỹ ỵ Các phương trình (8-1) dược gọi phương trình cân Navier Từ điểu kiẹn cân tống mômen lực lác dụng trẽn phần lử hình hộp lấy với trục oy khổng, có: \^ A -r A 'ỉ A { õ"Ì/T a Ỡ T , , ^ dz dz í + —^ d x dydzdx 4IM^, = ơ, + ^ d x d y d z y ơ,dydz “ ^x; ỡx J r lx ; V , + í ỠT ỡơ^ ơ, + —^ d z dxdy —- + ơ^dxdy — dvdxdz dz + ^ ỡz ổz J A A -T.,„dxdz^ + 'vx ay Ty^ + ^ d y dy dxdz — + J _ -I J T „ ,,d x d z — d x d z y + p ,d x d y d z y -p ^ d x d y d z y = Bó qua số hạng vô bé bậc bốn Sau rút gọn nhận biểu thức ^,\z ^zx Từ điều kiện cân ZM_, = 0, IM ^ = 0, nhận hai biểu thức có dạng tương tự Như vậy, từ ba điểu kiện cân lổng mômen lực tác dụng phần tứ hình hộp, lấy với trục tọa độ không, có biểu thức sau; ^vz = 204 (8-2) Biếu thức (8-2) biếu thị định luật đối ứng cúa ứim suất tiếp với nội dung sau: ;• - ^~ T-*- Trên hai mặt cắt vLiỏna góc với nhau, ứng suất phưưna vuông g(')c \'ới uiao tuyên chung có trị số \'à cùno hướng vào hướng khỏi cạiih chune irêii hình 8.3 I Hitih 8.5 Từ định luật dối ứng ứng suất tiếp suv mội diểm vật đàn hồi luyến tính càn bằng, ba mặt cắt vuòne góc với iruc toạ độ qua điểm xét, có thành phần ứng suất Vectơ ứnq suất điếm vật thể có dạng: T Phương irình cân Navier (8-1) kò đến (8-2) viết dạng ma trận: (■ í")x 0 ry (; (■ '^y 0 ry i i c \ t c í) ổx Õ z Hay: [v][a| + Px - Py Pz =0 Ị ■*N \ d í ' ^vv J =0 (8-3) Trong đổ: [V] - ma trán toán tử vi phàn có kích thước ( x ) có ý nghĩa với inộl vectơ; [a] - \ ectơ thành phần ứng suất biếu thị trạng thái ứng suất điếm vật ihế ma (rạn cột có kích thước ( X 1); [p] - vectư lực thể tích đơn vị tác dụne điểm nằm vật thê’ ma trận cột có kích thước (3 X 1), 8.4 ÚN(Ỉ SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG ĐIỂU KIỆN CÂN BẰNG TRÊN BỂ MẶT Xét phán từ hình tứ diện hình có mệ-t cắt nghiêng abc với pháp tuyến Trong hệ trục toạ độ oxyz, cosin phưcfng cua pháp tuvến V ỉầiì ỉượt kí hiệu ỉà: / = cos(v, x), m = cos(v, y I, V n = cos(v, z) 205 Gọi diện tích mật cắt nghiêng abc dS, có: - Diện tích mặt oab có pháp tuyến ox bằng: dS| = cos(v, x)dS = /dS - Diện tích mặt obc có pháp tuyến oy bằng: dS, = cos(v, y)dS = mdS - Diện tích mặt oac có pháp tuyến oz bằng: dS3 = cos(v, z)dS = ndS H ì n h Trong trường hợp tổng quát mặt phần tử có ba thành phần ứng suất giả sử ứng suất dương trẽn hình Trên mặt cất nghiêng abc hình chiếu ứng suất toàn phần Pv lên phương trục toạ độ ox, oy, oz kí hiệu Xv, Yy, Zv Từ điều kiện cân tổng hình chiếucủa lực tác dụng phần tử hình tứ diện lên phương ox không có: ZP^ = -ơ^dSị Bỏ qua số hạng vô bé bậc ba - x^^dS3 + X^.dS + p^dv = dv (dv thể tích hình tứ diện vàlà vô bé bậc ba), so với số hạng lại vô bé bậc hai có: (-ơ^/ - Ty^m - T.^^n + X^, )dS = hay: ^ / + Xy^m + = x^, Từ điều kiện cân ZPy = = phần tử hình tứ diện, nhận hai biểu thức có dạng tương tự Như ba phương trình cân biểu thị quan hệ ba ứng suất mặt cắt nghiêng có pháp tuyến V sáu ứng suất ba mặt cát vuông góc với trục toạ độ qua điểm xét (x, y, z) có dạng: (8-4) Nếu mặt cắt nghiêng abc trùng với bề mặt vật thể có: X\ = f^, Yy = fy, Zv = phưofng trình (8-4) lúc có dạng: /ơ, + mty, + /x^y + m ơy + nx^y = 206 (8 Õ Phương trình (8-5) biếu thị điều kiện cân cùa điếm nằm b ề mặt vật thể, gọi điều kiện cân bề mặl viết dạng ma trận: ơ, / 0 m in / 0 n n n m / hay [L ] [ ] = [f] ( 8-6 ) XV Trong đó: [L] - ma trận cosin phương pháp l u v ế n V điểm xét thuộc bề mặt vật th c \'ã c ó k íc h th c (3 X 6): [f] - vectơ lực phân bố diện tích đơn vị tác dụng trèn bé mặt vật thể ma trận cột có kích thước (3 X 1) Như thành phầii ứng suất diêm thuộc vật thoả mãn phưoìig trình cán Navier (8-3) diéu kiện cân bãng bé mặt i -6 ) vật thể ỏ trạng thái cân bàng 8.5 PH Ư Ơ N G TRÌNH CANCHY - QUAN HỄ (ỈIỪA BIẾN D Ạ N G VÀ C H U Y Ể N v ị Trong hệ trục loạ độ Oxyz (liếm A(x, y, z) thuộc vật thể đàn hồi tuyến lính, dịch chuyến ;y A ,(x i,y i,z ,) đ ế n vị trí m i A | ( X | , y , , Z|) sau vật thể bị u biến dạng ĐoạnAA|được gọi chuyển vị thẳng điểm A (hình 8,7) Hình chiếu chuyên vị thắng điểm A lên phương trục toạ độ ox oy, oz hiệu số toạ độ điểm A| A: u = X, - X , V = y, - y, w = z, - w A(x,y,z) 1 , ^ u/ H ìn h u, V , w - chuyến vị tháng theo phương ox, oy, oz cúa điếm A xem dưcíng có chiều trùng với chiều trục toạ độ tươna ứno Các chuyển vị hàm số toạ độ điểm A: u = u(x, y, z) v(x, V, z) w = vv(x, y, z) Hiệu s ố chuyến vị điểm vật gọi biến dạng Vớ: giá thiết biến dạng nhỏ xét biến dạng phần tử hình hộp có kích thước bé tuỳ ý dx, dv, dz thông qua biến dạng hình chiếu mặt phần tử mặt toạ độ tương ứng V í dụ xét biến dạng hình chiếu mật phần tử abdc măt toạ oxz hình 8 207 Điểm a có chuyển vị thẳng theo phưcỉng ox u, theo phương oz w Điểm b cách điểm a vi phân chiều dài dx có chuyển vị thẳng theo phương ox u + — dx theo phương oz d x w + — dx Điểm c cách điểm a ỡx vi phân chiểu dài dz, có chuyển vị thẩng theo phương ox u + — dz õ z H ìn h 8 theo phương oz w + — d z õ z Cạnh ab == dx sau biến dạng có vị trí a|b| với hình chiếu lên phương trục ox tà a|bỊ bằng: a,b = dx - u + u + — dx = dx + — dx ' ' õ x ổx Biến thiên chiều dài cạnh ab theo phưcmg ox bằng: Aab = a,b! - ab = dx + — dx -d x = — dx 1^1 a.x ax Biến dạng dài tỉ đối theo phương ox bằng: Aab ổu , ỡu ^ = — = — dx •— = — ab ổx dx õ x Thực tưofng tự cạnh ac nhận biến dạng dài tỉ đối oz bằng: theo phươiig ổw õ z Như hình thay đổi góc cạnh ab ajb| xác định sau: ổw , w + - dx - w , ,, 120 = a b 1 _ - , “au , d x + ’ —dx ổx õ w ỡw , - dx _ õx [...]... đầu nút cứng được xác định theo công thức sau: 22 9 u, EA / V, 9i 0 0 EI 6 0 12EI l\ /2 6 0 EI 4EI ~ẼÃ / 6 0 6 EI 0 V: /2 2EI EI 9, / / /2 [K]e 0 0 / I2EI 0 Uk EA EA 0 0 0 12EI 6 (8-43) / 12EI 6 /■^ 6 EI /2 EI 0 p /2 2EI / 6 0 EI /2 EI 4EI / 9k Ma trận độ cứng [K]^ của PTT là ma trận vuông đối xứng, có kích thước các phần tử chứa các đặc trưng cơ học và hình học của PTT (6 X 6 ) và có h) Veclư lực nút... _ 1 2 ( 1 + v) 2 ( 1 + v) 0 ""y T^xy 0 2 ( 1 + v) [D]-'' lơ [ơ], [ơ] = LDJleJ [D][e] LeJ =LDJ j, suy ra: LơJ w = Hay: (8-11) Trong đó: [D] - ma trận đàn hồi chứa các đặc trưng cơ học E, V của vật liệu hay của vật thể đang xét và là ma trận vuông đối xứng, không suy biến, có kích thước ( 6 X 6 ) Ma trận đàn hồi có cấu trúc sau: 2( 1 - V ) D] = 2 2 12 (l + v ) ( l - 2 v) 2 v 2 v v 2 2(1 - V ) v 2 2 v... - 3 v , - 2/ cp, + 3 v ^ - / ọ k ) x " * - - j ( 2 \ , - / ^ 1 - 2Vị^ + /cp,^)x- 3x- v(x) = Hay: 2x^ 2x^ X-'' v , + X - — + - V ‘■ ^p,l V ỉ 1- J v ( x ) = H (x)v, + H (x)(p, + 2 + ^3x’ í 2x^ ' - 2 X 3^ 4- ' K X l ì- / / 'J (8-39) x>Vị^ -r Hf,(x>(pị^ 3 Trong đó: H,(x) = Hị, với i = 1 ,2, , ; H,= V được gọi là các hàm Hermite của PTT 6 3x" H ,- 2x- / y H3 = 2 x X - i- (8-40) H.s = 3x /2 2x^'' ữ •... lực cùa kết cấu liên tục đang xét và yêu cầu về mức độ chính xác của kết quả tính 4 -^ 3 (3) (1) (4) ^ (2) Hinh 8.13 21 9 Đối với kết cấu có dạng hình khối làm việc thay sơ đồ không gian thì PTHH có thế chọn là PTHH không gian hình chóp có 4 đỉnh hay lãng trụ có 6 đỉnh hoặc hình hộp có 8 đỉnh Đối với kết cấu có dạng tấm thì PTHH có thể chọn là tấm hình tam giác hay hình chữ nhật, đối với kết cấu hệ thanh... + a ^ z + ttgXy + a ộ y z + a -jZ X + agxyz v(x, y, z) = ơọ + ttioX + a ,lY + tt|2Z + a|3xy + a,4yz + a|5ZX + a ,6xyz (8 -29 ) u ( x , y , z ) = a |7 + ttigX + a , 9y + a 2oZ + a 2 |X y + a 22 y z + a 23 Zx + a 9 4 x y z 3 Phương trình cơ bản của P T H H m ô hình chuyến vị Hàm chuyển vị xấp xỉ được chọn theo (8 -26 ) và (8 -27 ) của các PTHH phẳng tuyến tính có thể viết dưới dạng ma trận: "a, au (x ,y ) s:... Ử H l ĩ l l HẠN M ỏ H ÌN H C H U Y Ể N v ị 1 Rời rạc hoá kết cáu liên tục Tướng tượng chia kếl cấu licn tục thành một số hữu hạn các miền nhỏ hay các kết cấu con, mỗi kết cấu con được gọi là một phần tử hiữu hạn f'FrHH) Các PTHH có thể có hình dạng hình học khác nhau và kích thước khác nhau Tính chất cơ lí của vật liệu và cúc đặc trưng hình học được giả thiết là không thay đổi trong phạm vi mỗi PTHH... viết dưới dạng; (1 - v ) - V 0 -V (1 - v ) 0 0 0 2 1+ V E ,Yxy_ Suy ra: hay [s]= ^ [ o r ‘ [a ] _ /xy_ [a ]:= [D ][d (8-19) Trong đó ma trận đàn hồi [D' của trạng thái biến dạng phẳng có hai dạng sau ' 2 (l- v ) E 1 [D] = 2 (l + v ) ( l - 2 v 2 v 0 (1 - v ) 0 2 2 ( 8 - 20 ) v ) 0 0 ( l - 2 v)_ Như vậy trong bài toán biến dạng phẳng các phương trình cơ bản vẫn có dạng như trong bài toán ứng suất phẳng... l ) 3x' 2 x ' - ^ + dx r- IX F:«y [F], -q (x )H 2 dx -q (x ) 2 I(p kx c r(x)H 4 dx x / 2 -q (x ) /2 -q(x)Hftdx (8-44) r(x )-d x \(l) -q (x )H 5 dx dx X - + -q (x ) ~ x-' dx ) dx Vectơ lực nút tương đương trong hệ toạ độ ixy khi PTT chịu một vài dạng tải trọng thường gặp trong bảng 8 1 B ảng 8.1 23 2 Bảng 8.1 (tiếp theo) TY Vectơ lực nút tương đương [F], Sơ đồ p r r Pb sin a / —j- ( / + 2 a)cosa... PTHH được chọn là thanh thẳng hay còn gọi là phần tử thanh (PTT), đối với kết cấu có cạnh cong hay mặt cong thì PTHH được chọn có cạnh cong hay mặt cong như trên hình 8.13 Sau khi rời rạc hoá kết cấu liên tục thành các PTHH, các PTHH được giả thiết lièn kết lại với nhau nhưng chỉ tại một sô' điểm quy định thường là tại các đỉnh hay gọi là nút của PTHH Tập hợp các PTHH được nối lại với nhau tại các... y)][a] = [A][a] Tương tự, hàm chuyển vị chọn xấp xỉ theo (8 -28 ) và (8 -29 ) của PTHH không gian có thể viết dưới dạng ma trận: 22 2 u(x, y, z) u(x, y,z)] = v(x,y, z) = [A ( x, y, z)][a' (8-30c) w(x, y, z) Trong đó: [li] - Vectơ các thành phần chuyên \'ị tại một điểm bâi kì c ó toạ độ X, y, z hay X, y trong phạm vi PTHH và là ma trận cột có kích thước ( 2 x 1 ) đổi với (8-30a, b) và (3 X 1) đói với 8.30c: [