TRƯờng đại học hùng vơng Khoa toán - công nghệ - - Phạm đăng hải C S GRửBNER V MT S NG DNG Khoá luận tốt nghiệp: đại học s phạm toán Ngời hớng dẫn: ThS Hà Ngọc Phú Phú Thọ, Năm 2010 C S GRửBNER V MT S NG DNG Lời cảm ơn Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp, nỗ lực thân, nhận đợc giúp đỡ tận tình thầy giáo, cô giáo Khoa Toán - Công nghệ, Trờng Đại học Hùng Vơng tận tình bảo suốt thời gian thực đề tài Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS Hà Ngọc Phú Giảng viên Khoa Toán - Công nghệ, Trờng Đại học Hùng Vơng Thầy giành nhiều thời gian quý báu tận tình hớng dẫn suốt trình thực khoá luận tốt nghiệp, đồng thời giúp lĩnh hội đợc kiến thức chuyên môn rèn luyện cho tác phong nghiên cứu khoa học Qua đây, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc thầy giáo, cô giáo Khoa Toán - Công nghệ, tới gia đình, bạn bè ngời sát cánh bên tôi, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên suốt trình học tập nh thực hoàn chỉnh khoá luận Mặc dù cố gắng song khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Vì mong nhận đợc góp ý thầy giáo, cô giáo bạn để khoá luận đợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Phú Thọ, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Phạm Đăng Hải -2- Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG Mục lục Trang Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Chơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành đa thức 1.1.1 Đa thức bậc đa thức 1.1.2 Định lí Hilbert sở 12 1.1.3 Đa thức biến 12 1.2 Iđêan đơn thức 15 1.3 Thứ tự từ 18 1.3.1 Thứ tự từ 18 1.3.2 Một số thứ tự từ 21 Chơng Cơ sở Grửbner số ứng dụng 22 2.1 Cơ sở Grửbner 22 2.1.1 Từ khởi đầu, đơn thức đầu 22 2.1.2 Iđêan khởi đầu 24 2.1.3 Định nghĩa sở Grửbner 25 2.2 Thuật toán chia 30 2.3 Thuật toán Buchberger 36 2.3.1 Tiêu chuẩn Buchberger 36 2.3.2 Thuật toán Buchberger 43 2.4 Một số ứng dụng sở Grửbner 46 2.4.1 Bài toán thành viên 46 2.4.2 Bài toán khử biến 48 -3- Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG 2.4.3 Giao iđêan 50 2.4.4 Thơng iđêan 52 Chơng Bài tập 54 3.1 Bài tập có lời giải 54 3.2 Bài tập tự giải 64 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 Phụ lục 69 -4- Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG Mở đầu Lý chọn đề tài Tính toán hình thức, hay gọi Đại số máy tính, xuất khoảng ba chục năm gần trở thành chuyên ngành độc lập Với đời Đại số máy tính ngời ta giải phơng trình với hệ số chữ, tính tích phân bất định, điều mà trớc máy tính thực đợc với phơng trình có hệ số số, tính tích phân xác định Đây chuyên ngành kết hợp chặt chẽ toán học với khoa học máy tính Một mặt, phát triển đòi hỏi phải xây dựng lí thuyết toán học làm sở cho việc thiết lập thuật toán phần mềm toán học Mặt khác, khả tính toán ngày tăng máy tính giúp triển khai tính toán thực nhiều thuật toán Sự phát triển Đại số máy tính có tác dụng tích cực nghiên cứu toán học lí thuyết Trong Đại số giao hoán, nghiên cứu vành đa thức biến K [ x ] (với K trờng), ta đ biết iđêan đa thức I sinh đa thức g mà ta gọi phần tử sinh I , với f K [ x ] bất kì, ta thực phép chia đa thức f cho đa thức g theo thuật toán chia ơclit để tìm đa thức d r , đa thức xác định f I r = Một lẽ tự nhiên mở rộng lên vành đa thức nhiều biến K [ x1 , x2 , , xn ] , để xác định đa thức f K [ x1 , x2 , , xn ] có thuộc iđêan đa thức I K [ x1 , x2 , , xn ] cho trớc hay không, ta tìm tập phần tử sinh { g1 , g , , g s } := G , gi thuộc I , sau thực phép chia đa thức f cho tập đa thức G Tuy nhiên, liệu có thực đợc phép chia đa thức f cho tập G để tìm đa thức d r hay không? đa thức d xác định nhất? Thuật toán chia thay đổi so với thuật toán ơclit? Liệu f I r = ? Cơ sở Grửbner Đại số máy tính đ giải đáp đợc tất thắc mắc Đó phải thêm vào thứ tự từ vành đa thức K [ x1 , x2 , , xn ] để phép chia thực đợc, nhiên đa thức d r không xác định Đa thức d r đợc xác định -5- Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG tập đa thức chia G sở Grửbner iđêan I f I r = Mọi iđêan I K [ x1 , x2 , , xn ] có sở Grửbner, hoàn toàn xác định đợc f K [ x1 , x2 , , xn ] có thuộc iđêan đa thức I K [ x1 , x2 , , xn ] cho trớc hay không Do vai trò quan trọng Đại số máy tính chuyên ngành khác toán học nh Đại số giao hoán, Hình học đại số với mong muốn tìm hiểu, đ chọn đề tài khoá luận Cơ sở Grửbner số ứng dụng Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu trình bày cách hệ thống, logic kiến thức vành đa thức, iđêan đơn thức, quan hệ thứ tự, thứ tự từ; khái niệm sở Grửbner, thuật toán chia đa thức nhiều biến, thuật toán Buchberger để tìm sở Grửbner, số ứng dụng sở Grửbner lí thuyết iđêan hệ thống tập vận dụng Đối tợng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tợng nghiên cứu khoá luận sở Grửbner số ứng dụng sở Grửbner lí thuyết iđêan Bên cạnh khoá luận nghiên cứu vành đa thức, iđêan đơn thức, quan hệ thứ tự Các kiến thức đợc xem nh chuẩn bị cho kiến thức khoá luận Phơng pháp nghiên cứu - Phơng pháp nghiên cứu lí luận: Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình vấn đề cần nghiên cứu nh: vành đa thức, iđêan đơn thức, quan hệ thứ tự, thứ tự từ khái niệm sở Grửbner, thuật toán chia đa thức nhiều biến, thuật toán Buchberger để tìm sở Grửbner, số ứng dụng sở Grửbner lí thuyết iđêan hệ thống tập vận dụng - Phơng pháp lấy ý kiến chuyên gia: Gồm ý kiến giảng viên hớng dẫn khoa học giảng viên khác Bộ môn Toán, Khoa Toán - Công nghệ, trờng Đại học Hùng Vơng -6- Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG ý nghĩa khoa học thực tiễn Khoá luận tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành toán trờng Đại học Hùng Vơng có mong muốn tiếp tục tìm hiểu Đại số máy tính Với thân, nghiên cứu lí thuyết sở Grửbner giúp hiểu rõ lí thuyết nắm đợc số ứng dụng lí thuyết iđêan Qua thấy đợc phát triển khoa học máy tính ngày có tác dụng tích cực nghiên cứu toán học lí thuyết Bố cục khoá luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục tài liệu tham khảo, nội dung khoá luận gồm chơng: Chơng Kiến thức chuẩn bị Chơng hệ thống số kiến thức vành đa thức, iđêan đơn thức Tuy nhiên kiến thức vành đa thức đợc tiếp cận trực tiếp vành đa thức nhiều biến không mở rộng từ vành đa thức biến Chơng trình bày khái niệm quan hệ thứ tự đa khái niệm thứ tự từ - quan hệ thứ tự quan trọng lí thuyết sở Grửbner Chơng Cơ sở Grửbner số ứng dụng Chơng trình bày cách hệ thống khái niệm sở lí thuyết sở Grửbner: khái niệm iđêan từ khởi đầu, định nghĩa số tính chất sở Grửbner, thuật toán chia đa thức thuật toán Buchberger tìm sở Grửbner đợc trình bày mục Phần cuối chơng trình bày bốn ứng dụng sở Grửbner lí thuyết iđêan: toán thành viên, toán khử biến, giao iđêan, thơng iđêan Trong ứng dụng có thuật toán sau thuật toán có ví dụ minh hoạ Chơng Bài tập Chơng hệ thống tập gồm: 15 tập có lời giải 14 tập tự giải Các tập chủ yếu mang tính tính toán ứng dụng lí thuyết nhằm giúp ngời đọc hiểu vận dụng đợc lí thuyết -7- Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG Chơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành đa thức 1.1.1 Đa thức bậc đa thức Cho R vành x1 , , xn ( n ) biến Ta gọi đơn thức biểu thức có dạng x1a1 xnan , (a1 , , an ) n đợc gọi số mũ đơn thức Nếu a1 = = an = , đơn thức đợc kí hiệu Phép nhân tập đơn thức đợc định nghĩa nh sau: ( x1a1 xnan )( x1b1 xnbn ) = x1a1 +b1 xnan +bn Do đồng x1 với đơn thức x11 x20 xn0 , , xn với đơn thức x10 xn01 x1n , đơn thức tích biến Từ biểu thức có dạng x1a1 xnan , R đợc gọi hệ số từ Thông thờng phần tử vành sở R đợc gọi phần tử vô hớng Hai từ khác không x1a1 xnan x1a1 xnan đồng dạng với Để cho tiện ta kí hiệu x a x = ( x1 , , xn ) , a = ( a1 , , an ) n = x1a1 xnan Đa thức n biến x1 , , xn vành R tổng hình thức từ: f ( x) = a ax a , n a R có số hữu hạn hệ số a Từ a x a với a đợc gọi từ đa thức f ( x) Hai đa thức f ( x) = a a = a với a ax a a đơn thức f ( x) g ( x) = a n n x ax a đợc xem nhau, n Phép cộng đa thức đợc định nghĩa nh sau: ( axa ) + ( axa ) = a n a n ( a + a )x a a n -8- Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG Vì a + a hai hệ số a a khác 0, nên biểu thức vế phải có hữu hạn hệ số khác đa thức Ta đồng từ x a với đa thức b b a bx b , a = b = với n Theo cách tất từ với hệ số đồng với đa thức có tất hệ số 0, ta gọi đa thức đa thức không, kí hiệu Đa thức đa thức tơng ứng với từ Nếu 1x a1 ,, p x ap tất từ f ( x) xem f ( x) tổng đa thức từ qua phép đồng trên: f ( x) = 1x a1 + + p x p , a a1 ,, a p n số mũ khác Biểu diễn đợc gọi biểu diễn tắc đa thức f ( x) Phép nhân đa thức đợc định nghĩa nh sau: ( a x a )( a x a ) = a a = n a n a ax a , n bc b , c b+ c= a n Ta thấy a tồn b c với b c để b + c = a Do có số hữu hạn hệ số a khác không, phép nhân đa thức hoàn toàn xác định Với hai phép toán cộng đa thức nhân đa thức nêu trên, tập tất đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị đơn thức Tập đợc kí hiệu R [ x1 , , xn ] hay R [ x] Định nghĩa 1.1 Vành R [ x1 , , xn ] xây dựng nh đợc gọi vành đa thức n biến vành R Chú ý 1.2 Khi n = , ta có vành đa thức biến thông thờng Đa thức biến x thờng viết dới dạng -9- Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG f ( x) = an x n + + a1 x + a0 (n , a0 , , an R) Cho m n Bằng cách xem từ x1a1 xnan R nh từ ( x1a1 xmam ) xmam++11 xnan vành R [ x1 , , xn ] , xem R [ x1 , , xn ] nh vành đa thức n m biến xm+1 , , xn vành R [ x1 , , xm ] , tức R [ x1 , , xn ] = R [ x1 , , xm ][ xm+1 , , xn ] Với quan điểm xây dựng vành nhiều biến (vô hạn biến R [ xi , i I ] ) từ vành biến theo qui nạp Tuy nhiên đa thức vành đa thức hữu hạn biến Khi tập biến đ đợc xác định, ta kí hiệu đa thức đơn giản f , g , thay cho f ( x), g ( x), Định nghĩa 1.3 Bậc tổng thể đa thức f ( x) = a ax a số n deg f ( x) = max {a1 + + an a 0} Đối với đa thức biến, bậc tổng thể bậc thông thờng Đôi bậc tổng thể đa thức nhiều biến gọi tắt bậc, nh hiểu nhầm xảy Chú ý 1.4 Bậc tổng thể đa thức Bậc tổng thể đa thức đợc qui ớc số tuỳ ý Nhiều ta dùng bậc đa thức tập biến, chẳng hạn { x1, , xm } , đợc định nghĩa nh sau: deg x1xm f ( x) = max {a1 + am a 0} , m < n cố định Nói cách khác, bậc tổng thể đa thức f ( x) xét nh đa thức vành K [ xm+1 , , xn ][ x1 , , xm ] Mệnh đề 1.5 Nếu R miền nguyên vành R [ x] miền nguyên Chứng minh Theo ý 1.2, cần chứng minh điều khẳng định cho vành đa thức biến, dùng quy nạp theo số biến - 10 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG a) (i) r1 = phần d f chia cho f1 , f Đa thức bị chia (trung gian) p Đa thức chia x3 x2 y x z + x Phần d r x3 x2 y x2 z + x f1 = x y z x2 y + z x2 z + x + z (chuyển từ p ) x z (chuyển từ p ) x+z z x (chuyển từ p ) z (chuyển từ p ) r1 = x3 x z + x + z Do đó: (ii) r2 = phần d f chia cho f , f1 Đa thức bị chia (trung gian) p Đa thức chia x3 x2 y x z + x x2 y x2 z + x x3 (chuyển từ p ) f = xy z x x2 y + x x2 z x z (chuyển từ p ) Do đó: Phần d r r2 = x3 x z b) Ta thấy: r1 r2 = x + z = f1 + ( x) f Suy r1 r2 ( f1 , f ) Bài (i) Tìm phần d chia đa thức f = x y + x y y + cho f1 = xy x f = x y chọn thứ tự từ điển phân bậc (luôn giả thiết x > y ) - 57 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG (ii) Cũng câu hỏi nhng đổi chỗ f1 f cho Giải Ta viết đa thức theo thứ tự từ điển phân bậc: f = x y + x y y + f1 = xy x , f = y + x (i) Tìm phần d chia đa thức f cho f1 f Đa thức bị chia (trung gian) p Đa thức chia x y + x3 y y + f1 = xy x x7 y x7 x6 x + x3 y y + x3 y3 y + f1 = xy x x y x3 y x2 y Phần d r x (chuyển từ p ) x3 y y + x y (chuyển từ p ) y + y (chuyển từ p ) 5 (chuyển từ p ) r = x + x3 y y + Do đó: (ii) Tìm phần d chia đa thức f cho f , f1 Đa thức bị chia (trung gian) p Đa thức chia x y + x3 y y + f1 = xy x x7 y x7 x6 x + x3 y y + x3 y3 y + x y x4 3 f = y + x Phần d r x (chuyển từ p ) x3 - 58 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG x y+5 Do đó: y + x (chuyển từ p ) y (chuyển từ p ) r = x7 + (chuyển từ p ) x y +5 Bài H y dùng lí thuyết sở Grửbner chứng minh Hệ 1.10: Mọi iđêan vành đa thức K [ x] trờng K hữu hạn sinh Giải Nếu I = {0} , ta có tập sinh {0} , tập hữu hạn Nếu I chứa đa thức khác không đó, tập sinh g1 , , gt I đợc chọn nh sau Giả sử thứ tự từ I Khi in( I ) iđêan đơn thức Theo Bổ đề Dickson, in( I ) hữu hạn sinh ta viết in( I ) = (lm( g1 ), , (lm( gt )) , với hữu hạn đa thức g1 , , g t I Do in( gi ) lm( g i ) khác số khác 0, nên in( I ) = (in( g1 ), , in( g t )) Từ { g1 , , g t } sở Grửbner I Ta chứng minh I = ( g1 , , gt ) Rõ ràng ( g1 , , g t ) I g i I Ngợc lại, với f I đa thức áp dụng Định lí Chia đa thức ta chia f cho { g1 , , g t } , ta nhận đợc biểu diễn f = q1 g1 + + qt g t + r , r = , từ r chia hết cho từ khởi đầu in( g1 ), , in( g t ) Ta chứng minh r = Thấy r = f (q1 g1 + + qt g t ) I - 59 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG Nếu r , in(r ) in( I ) = (in( g1 ), , in( g t )) , theo Bổ đề 1.19 ta suy in(r ) phải chia hết cho in( gi ) Mâu thuẫn Vậy r = , f = q1 g1 + + qt g t + ( g1 , , gt ) I ( g1 , , gt ) Bài Tính S ( f , g ) sử dụng thứ tự từ điển a) f = x z y , g = xyz + xz b) f = x y z , g = xz y c) f = xy + z , g = z z Giải a) f = x z y in( f ) = x z , g = xyz + xz in( g ) = xyz Do S ( f , g ) = yz.(4 x z y ) x.( xyz + xz ) = 12 x z y z b) f = x y z in( f ) = x y , g = xz y in( g ) = xz Do S ( f , g ) = z ( x y z ) x3 y.(3 xz y ) = x3 y z c) f = xy + z in( f ) = xy , g = z z in( g ) = z Do S ( f , g ) = z ( xy + z ) xy.( z z ) = xyz + z Bài 10 Cho thứ tự từ điển x > y K [ x, y ] Sử dụng Tiêu chuẩn Buchberger chứng minh {x y y , x 2 xy} sở Grửbner iđêan I = ( x y y , x3 xy ) Giải Ta có in( x y y ) = x y , in( x3 xy ) = x3 Do - 60 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG S ( x y y , x3 xy ) = x( x y y ) y ( x3 xy ) = Theo Tiêu chuẩn Buchberger { x y y , x3 xy} sở Grửbner iđêan I = ( x y y , x3 xy ) Bài 11 Chứng minh { x y , y + y 5} sở Grửbner rút gọn iđêan I = ( x y , x + xy ) với thứ tự từ điển xác định x > y K [ x, y ] Giải Kí hiệu f1 = x y , f = x + xy , in( f1 ) = x , in( f ) = x Khi đó: { 2} S ( f1 , f ) = x.( x y ) ( x + xy ) = xy xy y6 y5 f ,f f3 = y y in( f3 ) = y Vì in( f1 ) in( f ) nguyên tố nên không cần xét S ( f1 , f ) Tơng tự với S ( f , f ) Mặt khác, in( f ) chia hết cho in( f1 ) ta bỏ f để đợc sở Grửbner tối tiểu, sở Grửbner rút gọn Bài 12 Cho thứ tự từ điển x > y K [ x, y ] a) Chỉ { x y, x y y , xy + y , y y } sở Grửbner rút gọn iđêan I = ( x3 + y, x y y ) b) Xác định xem đa thức f = x x5 y có phần tử iđêan I không? Giải a) Kí hiệu f1 = x3 + y , f = x y y , in( f1 ) = x3 , in( f ) = x y Khi đó: S ( f1 , f ) = y.( x3 + y ) ( x).( x y y ) = xy + y = RemS ( f1 , f ) f3 = xy + y in( f3 ) = xy { 3} S ( f1 , f ) = ( y )( x3 + y ) ( x )( xy + y ) = x y y f ,f ,f { 3} S ( f , f3 ) = ( y )( x y y ) x.( xy + y ) = xy + y y3 y f ,f ,f f = y y in( f ) = y - 61 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG Vì in( f1 ) in( f ) nguyên tố nên không cần xét S ( f1 , f ) { 4} S ( f , f ) = y ( x y y ) x ( y y ) = x y y f ,f ,f ,f { 4} S ( f3 , f ) = y.( xy + y ) ( x).( y y ) = xy + y f ,f ,f ,f Do { f1 , f , f , f } sở Grửbner rút gọn I b) Thực phép chia đa thức f = x x5 y cho { f1 , f , f , f } Đa thức bị chia (trung gian) p Đa thức chia x6 x5 y f1 = x y x6 x3 y Phần d r x3 x y + y x5 y + x3 y x5 y + x y x3 y x2 y x3 y y x2 y + y x2 y + y3 y3 + y y3 + y f2 = x2 y y y f4 = y3 y Từ suy f = ( x3 x y + y ) f1 + ( y ) f f Vậy đa thức f phần tử iđêan I Bài 13 Xác định f = xy z + y z nằm iđêan I = ( x3 + y, x y z ) hay không? Giải - 62 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG Xét thứ tự từ điển với x > y > z Trớc hết ta xác định sở Grửbner I = ( f1 , f ) , f1 = x3 + y, f = x y z Sử dụng Thuật toán Buchberger, ta nhận đợc: S ( f1 , f ) = y.( x3 + y ) ( x).( x y z ) = xz + y = Rem( S ( f1 , f )) f3 = xz + y S ( f1 , f ) = ( z ).( x3 + y ) ( x ).( xz + y ) = x y yz = y f S ( f , f3 ) = ( z ).( x y z ) xy.( xz + y ) = xy + z = Rem( S ( f , f3 )) f = xy + z S ( f1 , f ) = ( y ).( x3 + y ) ( x ).( xy + z ) = x z y = ( xz y ) f S ( f , f ) = ( y ).( x y z ) x.( xy + z ) = xz + y z = z f3 S ( f3 , f ) = ( y ).( xz + y ) ( z ).( xy + z ) = y + z = Rem( S ( f , f )) f5 = y + z S ( f , f5 ) = ( y ).( x y z ) x ( y + z ) = x z + y z = ( xz + y z ) f3 S ( f , f5 ) = ( y ).( xy + z ) ( x).( y + z ) = xz y z = ( z ) f S ( f1 , f ) , S ( f3 , f ) : không cần xét Vậy sở Grửbner I là: f1 = x3 + y, f = x y z , f3 = xz + y , f = xy + z , f5 = y + z Dễ dàng nhận thấy f = xy + y z z = f f5 nên đa thức f nằm iđêan I Bài 14 Giải hệ phơng trình x yz = 3, y xz = 4, z xy = Giải Tính sở Grửbner iđêan sinh f1 = x yz , f = y xz , f3 = z xy với quan hệ thứ tự đơn thức x > y > z , ta đợc sở g1 = 13 x + 11z g = 13 y z - 63 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG g = 36 z 169 Bất kì nghiệm hệ g = (6 z 13)(6 z + 13) nên ta đợc z = - Với z = thoả m n g1 = g = g3 = Vì 13 13 z = 6 13 11 ta có x = y = 6 - Với z = 13 11 x = y = 6 Vậy hệ phơng trình đ cho có hai nghiệm ( x, y , z ) = ( 11 13 11 13 , , )=( , , ) 6 6 6 Bài 15 Sử dụng sở Grửbner để tính giao iđêan ( x y xy + 1, x y y 1) ( x y , x + y ) K [ x, y ] Giải Giả sử J iđêan sinh đa thức sau: f1 = z t , f = zx3 y zxy + z , f3 = zx y zy z , f = tx ty , f5 = tx + ty Ta tính đợc sở Grửbner iđêan J với quan hệ thứ tự từ điển z > t > x > y { xy + y , x y , ty ty t y + y + 1, tx + ty x y, z + t 1} Do ( x y xy + 1, x y y 1) ( x y , x3 + y ) = { xy + y , x y } 3.2 Bài tập tự giải Bài Sắp xếp thứ tự đơn thức x z , x y z , xy z , x3 y, x3 z , x , x yz , x z với thứ tự từ điển x > y > z , tơng ứng với thứ tự từ điển phân bậc thứ tự từ điển ngợc Bài Cho thứ tự từ điển x > y > z K [ x, y, z ] Chứng minh {x + xy + z , xyz + z , xz , z 3} sở Grửbner rút gọn iđêan I = ( x + xy + z , xyz + z ) - 64 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG Bài Cho thứ tự từ điển x > y K [ x, y ] Sử dụng Tiêu chuẩn Buchberger, chứng minh {x y y , x 2 xy} sở Grửbner iđêan I = ( x y y , x3 xy ) Bài Cho I = ( x y, x y z ) K [ x, y, z ] a) Chứng minh { x y, y z} sở Grửbner rút gọn I với quan hệ thứ tự từ điển xác định x > y > z b) Chứng minh { x y, z y } sở Grửbner rút gọn I với quan hệ thứ tự từ điển xác định z > x > y c) Chứng minh { y x , z x } sở Grửbner rút gọn I với quan hệ thứ tự từ điển xác định z > y > x Bài Chứng minh sở Grửbner rút gọn sử dụng thứ tự từ điển x > y iđêan I = ( x + xy , x y , y y ) { x y , y y , xy + y } Bài Chứng minh sở Grửbner rút gọn iđêan I = ( xy + y , x y + xy + x ) {x , xy + y , y } 2 với quan hệ thứ tự từ điển x > y { y + yx, x } với quan hệ thứ tự từ điển y > x Bài Tìm sở Grửbner iđêan I = ( x + xy + y 1, x + y 4) với thứ tự từ điển x > y sử dụng để tìm bốn giao điểm elip x + xy + y = với elip x + y = Bài Sử dụng sở Grửbner để tìm tất nghiệm hệ phơng trình x + x y + y = x5 + x3 y + y = Bài Xác định ( x + x, xy + y ) ( y + y, xy + x ) K [ x, y ] Bài 10 Sử dụng sở Grửbner chứng minh ( x, z ) ( y , x yz ) = ( xy, x yz ) K [ x, y, z ] - 65 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG Bài 11 Chứng minh x y x y ( xy x3 y + x y , x3 y + x y ) Bài 12 Giải hệ phơng trình x xy + y = x x y + y = Bài 13 Chỉ iđêan I = ( x y + xy y, x + xy x + y y, xy x y + y ) J = ( x y , xy y, x y ) K [ x, y ] Bài 14 Cho I = ( xz y , x3 yz ) Chứng tỏ a) I : ( x y z ) = ( x, y ) b) I = ( x, y ) ( xz y , x3 yz , z x y ) - 66 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG Kết luận Với nội dung nghiên cứu đ trình bày, khoá luận C S GRửBNER số ứng dụng đ giải đợc vấn đề đặt ban đầu Nội dung lí thuyết sở Grửbner số ứng dụng đ đợc trình bày cách hệ thống, logic Nhờ lí thuyết sở Grửbner mà vấn đề nh: Có thể thực đợc phép chia đa thức f cho tập đa thức { g1, g , , g s } hay không? Làm để biết đợc đa thức f có thuộc iđêan I cho trớc? Giao thơng iđêan cho trớc đợc xác định nh nào? đợc giải cách triệt để Với sở lí thuyết nh vậy, khoá luận đa số tập có lời giải nh tự giải, phần lớn tập mang tính chất tính toán để bạn đọc thực hành, củng cố kiến thức trớc - 67 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG Tài liệu tham khảo [1] Lê Tuấn Hoa, i s mỏy tớnh: C s Grửbner, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2003 [2] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cơng, NXBGD, 2006 [3] Adams, W W and Loustaunau, P An Introduction to Grửbner Bases, Providence, RI: Amer Math Soc, 1994 [4] D Cox, T.Little and DOshea, Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer Verlag, 1991 [5] David S Dummit, Richard M Foote, Abstract Algebra, third edition [6] David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer Verlag [7] Brendan Hassett, Introduction to Algebraic Geometry, Cambridge, University Press, 2007 - 68 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG Phụ lục Maple Mục trình bày số lệnh Maple 9.5 Đối với khoá luận này, phần quan trọng Maple gói Groebner Để sử dụng đợc gói lệnh phải gọi cách đánh: > with(Groebner); Trong Maple lệnh bắt đầu > kết thúc dấu chấm phẩy ; Một gói Groebner đợc chạy, ta thực thuật toán chia, tính sở Groebner thực lệnh khác đợc mô tả dới Trong Maple, thứ tự từ đợc gọi termorder Khi xét thứ tự từ chơng 2, dễ sử dụng thứ tự từ điển thứ tự từ điển ngợc Thứ tự từ điển đợc gọi plex (tức pure lexicographic), thứ tự từ điển ngợc đợc gọi tdeg (tức total degree) Cẩn thận không bị nhầm lẫn tdeg với glex Maple cần biết termorder muốn dùng (plex hay tdeg) danh sách biến Ví dụ, để Maple sử dụng thứ tự từ điển với biến x > y > z , ta cần nhập plex(x,y,z) Gói biết thứ tự từ khử, nh đ định nghĩa Chơng Để khử k biến từ x1 , , xn , sử dụng lexdeg ([x_1, ,x_k],[x_{k+1}, ,x_n]) (nhớ Maple bao quanh danh sách bên dấu ngoặc [ ]) Các lệnh sử dụng phổ biến gói Groebner Maple normalf, để thực thuật toán chia, gbasis, để tính sở Groebner Tên normalf tơng ứng với normal form, lệnh có cú pháp nh sau: > normalf(f,polylist,term_order); - 69 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG Kết phần d f phép chia cho đa thức danh sách polylist sử dụng thứ tự từ quy định term_order Ví dụ, để chia x + y cho x + y x + xy sử dụng thứ tự từ điển ngợc với x > y , nhập: > normalf(x^3+3*y^2,[x^2+y,x+2*x*y],tdeg(x,y)); x cho kết y + Trờng sở số hữu tỷ Chú ý normalf không cho đợc thơng thuật toán chia Ta đoán trớc đợc, gbasis tơng ứng với Grửbner basis, cú pháp nh sau: > gbasis(polylist,term_order); Tính sở Grửbner iđêan sinh đa thức polylist với quan hệ thứ tự từ quy định term_order Kết sở Grửbner rút gọn Một ví dụ cách tính sở Grửbner, xét lệnh: > gb:=gbasis([x^2+y,2*x*y+y^2],plex(x,y)); Tính toán danh sách (và kí hiệu gb) mà sở Groebner iđêan ( x + y, xy + y ) [ x, y ] sử dụng thứ tự từ điển x > y Nếu bạn sử dụng đa thức với hệ số nguyên hay hữu tỷ normalf hay gbasis, Maple giả định bạn thực trờng Chú ý không giới hạn kích thớc hệ số Để Maple cố định biến trờng sở (một tham số), bạn cần bỏ qua danh sách biến term_order Do đó, > gbasis([v*x^2+y,u*x*y+y^2],plex(x,y)); tính sở Grửbner (vx + y, uxy + y ) (u , v) [ x, y ] với thứ tự từ điển với x > y Một số lệnh phổ biến khác gói Groebner là: leadmon(f, term_order), để tính lm( f ) lc( f ) đa thức f với quan hệ term_order Lệnh liên quan leadterm(f, - 70 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG term_order), để tìm lm( f ) , leadcoeff(f, term_order), để tìm lc( f ) Spoly(f, g, term_order), để tính S - đa thức S ( f , g ) hai đa thức quan hệ term_order is_solvable(F, X), để xác định xem hệ phơng trình đa thức F có nghiệm trờng đóng đại số X is_finite(F, X), để xác định xem hệ phơng trình đa thức F có tối đa hữu hạn nghiệm trờng đóng đại số X - 71 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải [...]... bộ phận , ta nói X là tập đợc sắp (bộ phận) Nếu x, y X mà x y hoặc y x thì ta nói x, y so sánh đợc với nhau Trong trờng hợp ngợc lại, x, y không so sánh đợc với nhau - 18 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG Quan hệ thứ tự trên X đợc gọi là thứ tự toàn phần nếu mọi cặp phần tử của X đều so sánh đợc với nhau Khi đó ta nói tập X là tập sắp hoàn toàn Quan hệ chỉ thỏa m n tính chất... và mọi tập con khác rỗng của nó có phần tử nhỏ nhất Khi đó ta nói thứ tự tơng ứng là thứ tự tốt Ví dụ 2 Cho P( X ) là tập tất cả các tập con của X với quan hệ bao hàm thức P( X ) có một phần tử nhỏ nhất là tập và phần tử lớn nhất là X Tuy nhiên, A = P ( X ) \ {, X } ( X là tập vô hạn) không có phần tử nhỏ nhất, cũng không có phần tử lớn nhất, nhng có vô số phần tử tối tiểu (gồm các tập con chỉ gồm... cả các đơn thức của các đa thức trong I sẽ sinh ra I Do đó điều kiện đủ đợc chứng minh Bổ đề 1.23 (Bổ đề Dickson) Mọi iđêan đơn thức I = ( x a ; a A) bao giờ cũng viết đợc dới dạng I = ( x a(1) ,, x a( s ) ) , trong đó a(1), , a( s ) A Nói riêng I là hữu hạn sinh Từ Bổ đề 1.19 và Bổ đề Dickson suy ra mỗi iđêan đơn thức I chỉ có một tập sinh tối tiểu gồm các đơn thức Tập sinh này đợc gọi là tập sinh... x3 + x 2 + x + 1) K [ x ] , ta tìm ớc chung lớn nhất của hai đa thức x 4 + x3 + 2 x 2 + x + 1 và x 3 + x 2 + x + 1 , dựa vào thuật toán ơclit nh sau: x 4 + x3 + 2 x 2 + x + 1 = x( x3 + x 2 + x + 1) + ( x 2 + 1) x 3 + x 2 + x + 1 = ( x + 1)( x 2 + 1) Vậy I = ( x 2 + 1) K [ x ] 1.2 Iđêan đơn thức Định nghĩa 1.18 Iđêan I K [ x] là iđêan đơn thức nếu có tập con A n (có thể vô hạn) mà ở đó I bao gồm... thức trong một iđêan đơn thức cho trớc Chẳng hạn, nếu I = ( x 2 y 4 , x 4 y 3 , x5 y 2 ) , khi đó số mũ của các đơn thức trong I tạo thành tập ((2,4) + 2 ) ((4,3) + 2 ) ((5,2) + 2 ) Ta có thể hình dung tập này nh hợp các điểm nguyên trong các khối vuông có 3 đỉnh là (2, 4) , (4,3) và (5,2) trong mặt phẳng n (m, n) x m y n m Bổ đề 1.20 Cho I là iđêan đơn thức và f K [ x] Các điều kiện sau là tơng... Với mọi g G không tồn tại g G để in( g ) in( g ) Hệ quả 2.11 Cho là một thứ tự từ Khi đó mọi iđêan đều có cơ sở Grửbner tối tiểu và mọi cơ sở Grửbner tối tiểu của cùng một iđêan đều có chung số phần tử và chung tập từ khởi đầu Dựa vào Thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu của iđêan đơn thức, ta có ngay cách xây dựng cơ sở Grửbner tối tiểu xuất phát từ một cơ sở Grửbner nào đó Thuật toán 4: Thuật... r DO q := q + in(r ) in( g ) r := r (in(r ) in( g )) g Hệ quả 1.12 Vành đa thức K [ x ] trên một trờng tùy ý là vành các iđêan chính, nghĩa là mọi iđêan đều sinh bởi một đa thức Định nghĩa 1.13 ớc chung lớn nhất của các đa thức f1 , , f n K [ x ] là đa thức g sao cho: (i) g chia hết f1 , , f n , nghĩa là f1 = q1 g , , f n = qn g ; q1 , , qn K [ x ] (ii) Nếu h là đa thức khác chia hết f1 , , f n... chất phản xạ và bắc cầu trong định nghĩa trên đợc gọi là giả thứ tự (bộ phận, toàn phần) Ví dụ 1 Quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng thông thờng trên là một thứ tự toàn phần Kí hiệu P( X ) là tập tất cả các tập con của X Quan hệ bao hàm là thứ tự bộ phận trên P( X ) Quan hệ chia hết là thứ tự bộ phận trên , nhng chỉ là giả thứ tự bộ phận trên Định nghĩa 1.25 Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự Phần tử... n Do đó g = s1 f1 + + sn f n = s1q1h + + sn qn h = ( s1q1 + + sn qn )h , - 13 - Sinh viên: Phạm Đăng Hải C S GRửBNER V MT S NG DNG chia hết cho h Nh vậy g = UCLN( f1 , , f n ) Nếu g là một ớc chung lớn nhất khác của f1 , , f n thì g và g chia hết lẫn nhau Do đó chúng phải có cùng bậc và g = g với 0 K Đến đây các kết luận (i) và (ii) đợc chứng minh Để chứng minh (iii), đặt g = UCLN( f1... ( X ) \ {, X } ( X là tập vô hạn) không có phần tử nhỏ nhất, cũng không có phần tử lớn nhất, nhng có vô số phần tử tối tiểu (gồm các tập con chỉ gồm một phần tử) và vô số phần tử tối đại (gồm các tập con nhận đợc từ X bằng cách bỏ đi một phần tử) Định nghĩa 1.26 Thứ tự từ là một thứ tự toàn phần trên tập M tất cả các đơn thức của K [ x] thoả m n các tính chất sau: (a) Với mọi m M , 1 m - 19 - Sinh