-1- phần mở đầu Cơ học nghiên cứu quy luật cân chuyển động vật thể dới tác dụng lực Cân hay chuyển động học trạng thái đứng yên hay dời chỗ cđa vËt thĨ kh«ng gian theo thêi gian so với vật thể khác đợc làm chuẩn gọi hệ quy chiếu Không gian thời gian độc lập với / Vật thể học xây dựng dới dạng mô hình chất điểm, hệ vật m rắn co Cơ học đợc xây dựng sở hệ tiên đề Niu tơn đa tác d phẩm tiếng " Cơ sở toán học triết học tự nhiên" năm 1687 - ux học đợc gọi học Niu tơn Cơ học khảo sát vật thể có kích thớc hữu hạn chuyển động với vận ilie tốc nhỏ vận tốc ánh sáng Các vật thể có kích thớc vĩ mô, chuyển động có cđa Anhxtanh w ta vËn tèc gÇn víi vËn tèc ánh sáng đợc khảo sát giáo trình học tơng đối Trong trờng đại học kỹ thuật, học làm tảng cho môn học w kỹ thuật sở kỹ thuật chuyên ngành nh sức bền vật liệu, nguyên lý máy, w động lực học máy, động lực học công trình, lý thuyết tính toán máy nông nghiệp, :// lý thuyết ô tô máy kéo v.v Cơ học đà có lịch sử lâu đời với trình phát triển khoa học tự nhiên, thời kỳ phục hng sau đợc phát triển hoàn thiện dần ht Các khảo sát có tầm quan trọng đặc biệt làm tảng cho phát triển học công trình nhà bác học ngời ý Galilê (1564- 1642) Galilê đà đa định luật chuyển động vật thể dới tác dụng lực, đặc biệt định luật quán tính Đến thời kỳ Niutơn (1643- 1727) ông đà hoàn tất sở thống mở rộng học Galilê, xây dựng hệ thống định luật mang tên ông - định luật Niutơn Tiếp theo Niutơn Đalămbe (1717- 1783), ơle ( 1707 - 1783) ®· cã nhiỊu ®ãng gãp cho học đại ngày Taứi lieọu naứy ủửụùc lửu trửừ taùi http:/www.Tailieuxd.com/ -2ơle ngời đặt móng cho việc hình thành môn học giải tích mà sau Lagơrăng, Hamintơn, Jaccobi, Gaoxơ đà hoàn thiện thêm Căn vào nội dung đặc điểm toán khảo sát, chơng trình học giảng cho trờng đại học kỹ thuật chia thành phần: Tĩnh học, động học, động lực học nguyên lý học Tĩnh học nghiên cứu quy luật cân vật thể dới tác dụng lực Động học nghiên cứu m / quy luật chuyển động vật thể đơn mặt hình học Động lực học nghiên cứu quy luật chuyển động vật thể dới tác dụng lực Các co nguyên lý học nội dung học giải tích Cơ học giải tích d phần động lực học hệ đợc trình bày theo hớng giải tích hoá ux Cơ học khoa học có tính hệ thống đợc trình bày chặt chẽ Khi nghiên cứu môn học đòi hỏi phải nắm vững khái niệm hệ tiên ilie đề, vận dụng thành thạo công cụ toán học nh hình giải tích, phép tính vi phân, tích phân, phơng trình vi phân để thiết lập chứng minh định lý w ta đợc trình bày môn học Ngoài ngời học cần phải thờng xuyên giải tập để củng cố kiến ht :// w toán kỹ thuật w thức đồng thời rèn luyện kỹ áp dụng lý thuyết học giải Taứi lieọu naứy ủửụùc lửu trửừ taùi http:/www.Tailieuxd.com/ -3- Phần I Tĩnh Học Chơng Các khái niệm hệ tiên đề tĩnh học m / lý thuyết mô men lực ngẫu lực co 1.1 khái niệm d Tĩnh học nghiên cứu quy luật cân vật rắn tuyệt đối dới tác ux dụng lực Trong tĩnh học có hai khái niệm vật rắn tuyệt đối lực ilie 1.1.1 Vật rắn tuyệt đối Vật rắn tuyệt đối vật thể có hình dạng bất biến nghĩa khoảng cách hai w ta phần tử luôn không đổi Vật thể có hình dạng biến đổi gọi vật biến dạng Trong tĩnh học khảo sát vật thể rắn tuyệt đối thờng gọi tắt vật rắn Thực tế cho thấy hầu hết vật thể vật biến dạng Song w tính chất biến dạng không ảnh hởng đến độ xác cần có w toán xem nh vật rắn tuyệt đối mô hình tính toán :// 1.1.2 Lực định nghĩa lực Lực đại lợng đo tác dụng học vật thể với Lực đợc ht biểu diễn đại lợng véc tơ có ba yếu tố đặc trng: độ lớn (còn gọi cờng độ), phơng chiều điểm đặt Thiếu ba yếu tố tác dụng lực không đợc xác định Ta thờng dùng chữ có dấu véc tơ để ký hiệu r r r véc tơ lực Thí dơ c¸c lùc P , F1 , N Víi ký hiệu phải hiểu chữ dấu véc tơ ký hiƯu ®é lín cđa nã ThÝ dơ ®é lín r r r cđa c¸c lùc P , F N P, F, N Độ lớn lực có thứ nguyên Niu tơn hay bội số Kilô Niu tơn viết tắt (N hay kN) Sau giới thiệu số định nghĩa: Taứi lieọu naứy ủửụùc lửu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -4HƯ lùc: HƯ lùc lµ mét tËp hợp nhiều lực tác dụng lên vật rắn Lực tơng đơng: Hai lực tơng đơng hay hai hệ lực tơng đơng hai lực hay hai hệ lực có tác động học nh Để biểu diễn hai lực tơng đơng hay hai hệ lực tơng đơng ta dùng dấu tơng đơng nh toán học r r r r r r r r ThÝ dô hai lùc F P tơng đơng ta viết F P Hai hÖ lùc ( F1 , F2 , Fn ) vµ ( P1 , / r r r r r r r r P2 , Pm ) tơng đơng ta viÕt ( F1 , F2 Fn ) ∼ ( P1 , P2 , Pm ) r r r r m Hợp lực: Hợp lực hệ lực lực tơng đơng với hệ lực đà cho Thí r r r r co dô nÕu cã R ∼ ( F1 , F2 , Fn ) R đợc gọi hợp lực hệ lực ( F1 , F2 , Fn ) HƯ lùc c©n b»ng: HƯ lùc c©n hệ lực tơng đơng với không (hợp r r d r lùc cđa nã b»ng kh«ng) ThÝ dơ: hệ lực ( F1 , F2 Fn ) cân b»ng r r ux r ilie ( F1 , F2 Fn ) ∼ w ta 1.2 HƯ tiªn đề tĩnh học Tĩnh học đợc xây dựng sở sáu tiền đề sau đây: Tiên đề 1: (Hệ hai lực cân bằng) w Điều kiện cần đủ để hai lực cân hai lực cã cïng ®é lín, cïng r r r r :// w phơng, ngợc chiều đặt lên vật r¾n Ta cã ( F1 , F2 ) ∼ F1 = - F2 Tiên đề : ( Thêm bớt hệ lực cân bằng) ht Tác dụng hệ lực lên vật rắn không đổi ta thêm vào bớt hệ lực cân Tiên đề 3: ( Hợp lực theo nguyên tắc hình r F2 r R bình hành) Hai lực đặt vào điểm vật rắn có hợp lực đợc biểu diễn đờng chéo hình bình hành mà hai cạnh hai lực đà cho r F1 H×nh 1.1 Tài liệu lưu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -5r r H×nh vÏ 1.1 BiĨu diƠn hỵp lùc cđa hai lùc F1 , F2 VỊ ph−¬ng diƯn vÐc t¬ cã thĨ viÕt: r r r R = F1 + F2 Tiên đề 4: ( Lực tác dụng tơng hỗ) Lực tác dụng tơng hỗ hai vật rắn có độ lớn, phơng nhng ngợc chiều m / Tiên đề 5: (Tiên đề hoá rắn) co Một vật không tuyệt đối rắn trạng thái cân hoá rắn giữ nguyên trạng thái cân ban đầu d Tiên đề 6: ( Giải phóng liên kết) ux Trớc phát biểu tiên đề cần đa số khái niệm về: Vật rắn ilie tự do, vật rắn không tự do, liên kết phản lực liên kết Vật rắn tự vật rắn có khả di chun theo mäi phÝa quanh vÞ trÝ w ta xét Nếu vật rắn bị ngăn cản hay nhiều chiều di chuyển đợc gọi vật rắn không tự Những điều kiện ràng buộc di chuyển vật rắn khảo sát gọi liên kết Trong tÜnh häc chØ xÐt liªn kÕt sù tiÕp xúc vật w rắn với (liên kết hình học) Theo tiên đề vật khảo sát vật liên kết w xuất lực tác dụng tơng hỗ Ngời ta gọi lực tác dụng tơng hỗ :// vật liên kết lên vật khảo sát phản lực liên kết Để khảo sát vật rắn không tự ta phải dựa vào tiên đề giải phóng liên kết ht sau đây: Tiên đề:Vật rắn không tự xem nh vật rắn tự giải phóng liên kết thay vào phản lực liên kết tơng ứng Xác định phản lực liên kết lên vật rắn nội dung toán tĩnh học Sau giới thiệu số liên kết phẳng thờng gặp tính chất phản lực Liên kết tựa (vật khảo sát tựa lên vật liên kết): Trong dạng phản Taứi lieọu lưu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -6lùc liªn kÕt cã phơng theo pháp tuyến chung hai mặt tiếp xúc Trờng hợp đặc biệt tiếp xúc điểm nhọn tựa lên mặt hay ngợc lại phản lực liên kết có phơng pháp tuyến với mặt ®iĨm tiÕp xóc ( H×nh vÏ 1.2, 1.3, 1.4) r NC N r N C A ilie Liên kết khớp lề: Hình 1.4 d Hình 1.3 ux Hình 1.2 co B m r NA / r NB Khíp lề di động ( hình 1.5) hạn chế chuyển động vật khảo sát w ta theo chiều vuồng góc với mặt phẳng trợt phản lực liên kết có phơng vuông góc với mặt trợt Khớp lề cố định ( hình 1.6) cho phép vật khảo sát quay quanh trục lề hạn chế chuyển động vuông góc với trục w quay lề Trong trờng hợp phản lực có hai thành phần vuông góc với r N ht :// r R w trục lề ( hình 1.6) H×nh 1.5 Y Yo X O Xo H×nh 1.6 Liên kết dây mềm hay cứng: (hình 1.7 hình 1.8) Các liên kết dạng hạn chế chuyển động vật thể theo chiều dây Phơng phản lực liên kết phơng dọc theo dây Taứi lieọu naứy ủửụùc lửu trửừ taïi http:/www.Tailieuxd.com/ -7- r T1 r T r T2 r s r sA r sB A B H×nh 1.7 H×nh 1.8 Liên kết ngàm (hình 1.9) Vật khảo sát bị hạn chế di chuyển m / theo phơng mà hạn chế chuyển động quay Trong trờng hợp co phản lực liên kết có lực mô men phản lực ( Khái niệm mô men lực đợc nói tới phần sau) d Liên kết gót trục: ( hình 1.10) Vật khảo sát bị hạn chế chiều chuyển ux động theo phơng ngang, phơng thẳng đứng chuyển động quay quanh ilie trục X Y phản lực liên kết có thành phần nh hình vẽ z mA w ta YA A mX w XA ZA mY YA y w XA :// x H×nh 1.10 H×nh 1.9 ht Các hệ suy từ hệ tiên đề tĩnh học Hệ 1: ( Định lý trợt lực) Tác dụng lực lên vật rắn A không đổi ta trợt lực dọc theo r FA r F 'B B r FB đờng tác dụng đến đặt điểm khác r Thật vậy: Cho lực F đặt A r vật rắn ( FA ) Ta đặt vào điểm B r đờng r Hình 1.11 r tác dụng F cặp lực cân ( FB , FB ) (hình 1.11) Theo tiên đề hai có Taứi lieọu naứy ủửụùc lửu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -8thĨ viÕt: r r r r FA ( FA , FB , FB ) số A, B theo lực để điểm đặt lực đó, lực có độ lớn phơng r r Mặt khác theo tiên đề hai lực ( FA , FB ) cặp lực cân theo tiên đề hai bớt cặp lực vật, nghĩa là: m / r r r r r FA ∼ ( FA , FB , FB′ ) FB r co Nh ta đà trợt lực F ban đầu đặt A dọc theo đờng tác dụng d đặt B mà tác dụng học lên vật rắn không đổi ngợc lại hợp lực lực ux Hệ 2: Hệ lực cân lực bÊt kú hƯ lÊy theo chiỊu r r r ilie Chøng minh: Cho hƯ lùc c©n b»ng ( F1 , F2 , Fn ) Gi¶ sư ta lÊy hệ r lực Fi đổi chiều sau cho tác dụng lên vật rắn Xét vật rắn chịu tác dung w ta r lực - Fi Theo tiên đề thêm vào vật rắn hệ lực cân đà cho, tác dụng lên vật rắn không đổi, nghĩa là: r r r r r r r w w - Fi ∼ (- Fi , F1 , F2 Fi Fn ) r :// Trong hƯ (n+1) lùc ë vÕ ph¶i cã hai lực cân ( Fi , - Fi ) theo tiên đề r r ta bớt Fi , - Fi nghĩa là: r r r r r r ht - Fi ∼ ( F1 , F2 , Fi −1 Fi +1 Fn ) r r BiĨu thøc nµy chøng tá - Fi hợp lực hệ lực đà cho kh«ng cã Fi 1.3 Lý thut vỊ m« men lực ngẫu lực 1.3.1 Mô men lực tâm trục 1.3.1.1 Mô men lực tâm r r r Mô men lực F tâm O đại lợng véc tơ, ký hiệu m o (F) có: Tài liệu lưu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -9r - Độ lớn tích số: F.d, với F độ lớn lực F d khoảng cách từ r tâm O tới đờng tác dụng F gọi cánh tay đòn - Phơng vuông góc với mặt phẳng chứa tâm O lực F (mặt phẳng tác dụng) r r - ChiỊu h−íng vỊ phÝa cho nhìn từ đỉnh véc tơ m o (F) xuống r / mặt phẳng tác dụng thấy véc tơ lực F chuyển động theo chiều mũi tên vòng m quanh O theo ngợc chiều kim đồng hồ (hình 1.12) r r co Dạ vào hình vẽ dễ dàng thấy độ lớn véc tơ m o (F) hai lần r d diện tích tam giác OAB ( tam giác có đỉnh O đáy lực F ) r b»ng biÓu thøc sau: r w ta r r r r r m o (F) = OA x F = r x F ilie ux Với định nghĩa biểu diễn véc tơ mô men lực F tâm O r Trong r véc tơ định vị điểm đặt lực F so với tâm O Trong trờng hợp mặt phẳng tác dụng mô men lực đà xác định, để đơn r w giản ta đa khái niệm mô men đại số lực F tâm O nh sau: r :// w Mô men đại số lực F tâm O đại lợng đại sè ký hiÖu: mo = ± F.d r ht Lấy dấu dơng (+) nhìn vào mặt phẳng tác dụng thấy lực F quay theo chiều mũi tên vòng quanh O theo chiều ngợc kim đồng hồ (hình 1.13), lấy dấu trừ (-) trờng hợp quay ngợc lại (hình 1.14) Mô men đại số thờng đợc biểu diễn mũi tên vòng quanh tâm O theo chiều m« men Tài liệu lưu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -10- z r F B B Fr A A(x,y,z) r r m o( F ) O r d 900 A 90 O y O r F d mo(F)=F.d mo(F)= - F.d H×nh 1.13 H×nh 1.14 B x m / Hình 1.12 co 1.3.1.2 Mô men lực trục r r Mô men lực F trục OZ đại lợng đại số ký hiệu mZ( F ) tÝnh d r r theo c«ng thøc: mZ( F ) = ± F'.d' Trong ®ã F' hình chiếu lực F mặt ux phẳng vuông góc với trục Z d' khoảng cách tÝnh tõ giao ®iĨm O cđa trơc Z r ilie với mặt phẳng đến đờng tác dụng F ' (h×nh 1.15) LÊy víi dÊu (+) nh×n tõ hớng w ta dơng trục OZ thấy hình chiÕu F' r B F '' Z quay quanh trôc OZ ngợc chiều kim w đồng hồ F' r FZ A (π) O w LÊy dÊu (-) tr−êng hỵp d B1 r :// ngợc lại Từ hình vẽ ta rút trị số mô men Hình 1.15 r lực F trục OZ hai lần ht diƯn tÝch tam gi¸c OAB1 r 1.3.1.3 Quan hƯ mô men lực F tâm O với trục qua O Trên hình 1.16 ta thấy: r mo( F ) = 2.diÖn tÝch (∆OAB) r mZ( F ) = diƯn tÝch (∆oa1b1) Tài liệu lưu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -222- r t¬ chÝnh R qt mô men chính, Mcqt Sau trình bày kết thu gọn hệ lực quán tính số trờng hợp đặc biệt 15.2.2 Thu gọn hệ lùc qu¸n tÝnh 15.2.2.1 Thu gän hƯ lùc qu¸n tÝnh vật rắn chuyển động tịnh tiến Các chất điểm vËt cã gia tèc nh− vµ b»ng gia tèc khèi t©m : r r Wk = Wc (k = n ) Khi thu gän hÖ lùc quán tính khối tâm C ta đợc : r r r R qtc = ∑ − m k Wc = − MWc ; r r r r r r M qt = − m m W = − r xm W = M rcc xWc = ∑ c k k ∑ k k c c r V× rcc = ta chọn C làm tâm thu gän ( ) Nh− vËy tr−êng hỵp vËt chun động tịnh tiến hợp lực lực r r quán tính véc tơ R qtc = MWc qua khối tâm C 15.2.2.2 Thu gọn hệ lực quán tính vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định qua khối tâm C Gäi vËn tèc vµ gia tèc cđa vËt lµ ω vµ ε ta cã : r r r r R qtc = ∑ − m k Wk = − MWc = v× Wc = ( ) ( ) ( ) N N N r r qt r qt M qtk = ∑ m cz F qt = ∑ m cz Fτ + ∑ m cz Fn k =1 k =1 k =1 C¸c lùc qu¸n tÝnh pháp tuyến luôn qua trục quay : ∑ ( ) r m cz F nqt = Ta cã : k ( ) N r qt M qt = m F = − ∑ d k m k d k ε = − J oz ε ∑ cz cz τ k =1 Mczqt = - Joz Với Joz mô men quán tính vật trục quay Kết thu gọn hệ lực quán tính hệ chuyển động quay quanh trục qua khối tâm : r R qtc = vµ Mczqt = - Jozε Tài liệu lưu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -22315.2.2.3 Thu gän hƯ lùc quán tính vật rắn chuyển động song phẳng Theo ®éng häc chun ®éng song ph¼ng cđa vËt cã thĨ phân tích thành hai chuyển động tĩnh tiến theo khối tâm chuyển động quay quanh trục z qua khối tâm C vuông góc với mặt phẳng sở Thu gọn hệ lực quán tính với chuyển động đà đợc trình bày hai trờng hợp Dễ dàng nhận thấy thu gọn lực quán tính hệ chuyển động song phẳng có kết sau : r r R qtC = − MWc vµ Mczqt = - Jozε M Joz khối lợng mô men quán tính hệ trục quay cz Wc gia tốc khối tâm gia tốc góc hệ Sau giải số toán có vận dụng nguyên lý Đa Lăm Be cho hệ ThÝ dơ 15-3: Hai vËt A vµ B cã träng lợng P1 P2 liên kết với sợi dây không dÃn trọng lợng không đáng kể Hai vật chuyển động mặt phẳng nằm ngang có hệ số ma sát f nhờ tác dụng lực Q vào vật B theo phơng ngang ( hình 15-5 ) Xác định gia tốc hai vật lực căng sợi dây Bài giải : Xét hệ gồm hai vật Các lực tác dụng lên hệ gồm trọng l−ỵng r r r r r r P1 , P2 , phản lực pháp tuyến N1 , N , lực ma sát trợt F1 , F2 lực kéo Q N2 qt F F2 N1 qt B F P2 F1 A Q P1 N2 qt F F2 T P2 b) a) H×nh 15.5 r r Gäi lực quán tính đặt lên vật A B F qt1 , F2qt ta cã : r P r r P r F1qt = − W1 ; F2qt = − W2 g g Tài liệu lưu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -224- r r r víi W1 = W2 = W Theo nguyên lý Đa Lăm Be ta cã : r r r r r r r r r P1 , P2 , N , N , F1 , F2 , Q, F1qt , F2qt = ( ) Các lực đợc biểu diễn hình (15-5a) Phơng trình cân theo phơng trục ox nằm ngang viết đợc: r r r r Q − F1qt − F2qt − F1 − F1 = , hay Q = − P2 + P1 r W − (P2 + P1 )f = g Suy gia tèc hai vËt : ⎞ ⎛ Q W = ⎜⎜ − f ⎟⎟.g ⎠ ⎝ P2 + P1 Từ kết tìm đợc nhận thấy vật chuyển ®éng : ⎛ Q ⎞ ⎟⎟ f < P2 + P1 Để tính lực căng T dây ta phải tách hai vật để xét chẳng r r r r hạn xét vật B Các lực thực tác dụng lên vật B lµ : P2 , N , F2 , Q, T lực quán r tính F2qt Các lực đợc biểu diển hình (15-5b) ( ) áp dụng nguyên lý Đa Lăm Be ta có : r r r r r r ( P , N , F2 , Q , T , F qt2 ) Viết phơng trình hệ cân lên phơng ngang ta có: Q - T - F2 - F2qt = Q - T - p2.f - p2 w = g Thay giá trị tìm đợc w vào phơng trình tính đợc : T= QP1 P1 + P2 KÕt qu¶ cho thÊy lùc căng dây không phụ thuộc lực ma sát Taứi liệu lưu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -225- ThÝ dơ 15-4: r Thanh đồng chất có chiều dài l, trọng lợng P Đầu A đợc giữ khớp r lề đầu B đợc giữ sợi dây (hình 15.6) Xác định lực căng T dây BD trơc quay ®Ịu víi vËn tèc ωo Cho biÕt góc hợp AB trục quay AD Bài giải: Xét chuyển động AB Các lực tác dụng lên là: r r r Träng lùc P , phµn lùc R A vµ lực căng T dây Gọi hợp lực lực quán r tính R qt Theo nguyên lý §a lam be ta cã: r r r r ( P , T , R A, R qt )∼ r Ta cã nhËn xÐt: Lùc qu¸n tÝnh F qt k phần tử có phơng chiều tỷ lệ với toạ độ xk Điều cho phép vẽ biểu đồ phân bố y lực quán tính theo hình (15-6) Ta nhận Rn nghĩa qua điểm F cách A ®o¹n + R qt = ; C yA α 21/3 Dễ dàng tìm thấy phơng trình h cân b»ng cho hÖ lùc: A E B ωo r W c qua trọng tâm tam giác ABE, ∑ X = −T + X E T D r thấy hợp lực hệ lực R qt = M A ω2xdm → P x xA ∑Y=YA - P = ; H×nh 15.8 ∑ m A (Fi ) = T.l.cosα − R cos α − P sin α = Pl sin giải hệ phơng trình ta đợc : Thay R qt = M.Wc = g2 qt ⎞ ⎛ lω2 T = P⎜⎜ sin α + tgα ⎟⎟ ; ⎠ ⎝ 3g ⎛ lω02 ⎞ Pl sin α + tgα ⎟⎟ − sin αω02 YA = P vµ X A = P⎜⎜ ⎝ 3g ⎠ g2 Tài liệu lưu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -226Chơng 16 Phơng trình tổng quát động lực học Phơng trình lagrang loại 16.1 Phơng trình tổng quát động lực học Nh đà biết chơng 12 chơng 13, nguyên lý Đa Lăm Be cho ta phơng pháp tĩnh để giải toán động lực học, nguyên lý di chuyển cho ta phơng pháp tổng quát giải toán cân hệ tự Kết hợp hai nguyên lý cho thiết lập phơng trình vi phân chuyển động hệ tự gọi phơng trình tổng quát động lực học Xét hệ chịu liên kết dừng lý tởng chuyển động dới tác dụng r r hoạt lực phản lực liên kết Gọi Fka , N k hoạt lực phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm Mk Nguyên lý Đa Lăm Be cho chÊt ®iĨm Mk cã thĨ viÕt ; r r r Fk + N k − m k Wk = (a) r Cho hƯ di chun kh¶ dÜ, gọi rk di chuyển chất điểm Mk Nhân hai r vế phơng trình (a) với rk ta đợc r r r r r r Fka ∂ rk + N k ∂ rk − m k Wk ∂ rk = (b) ViÕt ph−¬ng trình (b) cho tất chất điểm hệ nghÜa lµ cho k = N ta sÏ đợc hệ N phơng trình : r r r r r r F a ∂ r1 + N1∂ r1 − m1 W1∂ r1 = ; r r r r r F ∂r2 + N ∂r2 − m W2 ∂r2 = ; r r r r r r Fna ∂ rn + N n ∂ rn − m n Wn ∂ rn = TiÕn hµnh céng vÕ víi vế hệ N phơng trình ta đợc : N r N r N r r r a r F ∂ r + N ∂ r − m W ∑ k k ∑ k k ∑ k k ∂ rk = k =1 k =1 (c) k =1 Vì liên kết đặt lên hệ liên kết lý tởng nên số hàng thứ hai phơng N r r trình (c) triệt tiêu : N k ∂ rk = k =1 Tài liệu lưu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -227Ci cïng ta cã : N r N r r a r F ∂ r − m W ∑ k k ∑ k k ∂ rk = k =1 k =1 N Hay : ∑ (F k =1 k r r − m k Wk ) rk = (16-1) Phơng trình (16-1) phơng trình vi phân chuyển động hệ đợc gọi phơng trình tổng quát động lực học dới dạng véc tơ Cũng viết phơng trình dới dạng toạ độ Đề sau N N r r r a a ( X − m x ) ∂ x + ( Y − m y ) ∂ y + ∑ k ∑ k ∑ ( Z ak − m k z k )∂z k = (16-2) k k k k k k N k =1 k =1 k =1 Từ phơng trình tổng quát động lực học ta thấy hệ chịu liên kết dừng lý tởng tổng vi phân công hoạt lực lực quán tính lu«n lu«n b»ng kh«ng Ta cã : N N k =1 k =1 ∑ ∂A ak + ∑ ∂A qak = (16-3) ThÝ dơ 16-1 Trơc cđa bé ®iỊu chỉnh ly tâm đặt thẳng đứng quay với vận tốc góc (hình 16-1) Trọng lợng O1 văng P1 = P2 = P Trọng lợng B1 trợt CC1là Q Xác địng góc α cđa y O2 α B2 A1O1 vµ A2O2 hợp với trục quay hàm F1n F2n theo vận tèc gãc ω Cho A1O1 = A2O2 = 1; O1B1 = O2B2 = B1C1 = B2C2 = a Bài giải : Xem điều chỉnh bao gồm văng A1A2 trợt hệ Nếu A1 C C2 P1 A2 P2 Q3 x H×nh 16.1 bá qua lực ma sát ổ trục khớp nối ta xem hệ chịu liên kết dừng lý tởng Các hoạt lực tác r r dụng lên hệ bao gồm trọng lợng văng trợt P1 , P2 Q Khi hệ quay ổn định với vận tốc góc lực quán tính hệ bao gåm c¸c Tài liệu lưu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -228- r r lực quán tính ly tâm F1qt , F2qt hai văng Do đối xứng lực quán tính có trị số : r r P F1qt = F2qt = ω2 l sin g Phơng trình tổng quát động lực học viết dới dạng toạ độ Đề đà chọn nh hình vẽ : P1x1 + P2x2 - F1qty1 + F2qty2 + Qx0 = Để xác định biến phân toạ độ từ hình vẽ ta cã : x1 = x2 = lcosα ; y1 = -y2 = -lsinα ; xc = 2acosα Suy ra: ∂x1 =∂x2 = -lsinα.∂α; ∂y1 =-∂y2 = -lcosα.∂α; ∂xc = -2a.sinα.∂α; Thay kết vừa tìm đợc vào phơng trình thiÕt lËp ë trªn : − 2P.2a sin α∂α + 2P ω l sin α.l cos α∂α − 2Q sin α∂α = g Suy : cos α = Pl + Qa g, Pl ω2 Hay : α = arccos Pl + Qa g Pl Vì cos nên từ kết suy : Pl + Qa g Pl 2 Để có góc tách cho tr−íc vËn tèc gãc cđa trơc bao giê cịng lín Pl + Qa Pl g Tài liệu lưu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -229ThÝ dụ 16-2 Cơ cấu nâng hạ có kết cấu biểu diễn hình (16-2) Bánh xe có trọng P1, b¸n kÝnh qu¸n tÝnh ρ1 B¸nh xe δϕ1 cã träng P2, b¸n kÝnh qu¸n tÝnh ρ2 X¸c Mtqt định gia tốc vật nặng A có trọng s1 lợng Q ta tác động lên bánh xe mét m« men quay M δϕ2 M M2qt ε2 A FAqt Bài giải : Q Xét hệ gồm bánh xe 1, bánh xe Hình 16.2 vật nặng A Coi ma sát trục bánh xe không đáng kể liên kết đặt lên hệ liên kết dừng lý tởng Phơng trình vi phân chuyển động hệ đợc viết dới dạng phơng trình tổng quát động lực học N r r a r F ∂ r − m W ∑ k k ∑ k k ∂rk = n k =1 k =1 r r Hoạt lực tác dụng lên hệ bao gồm mô men M trọng lực P1 , P2 , Q r Khi hƯ chun động, lực quán tính tác dụng lên hệ bao gåm FAqt , M1qt , M qt2 Lùc qu¸n tính vật A xác định : Các mô men lực quán tính bánh xe r Q r FAqt = − WA g M1qt = P1 P ρ1 ε1 ; M qt2 = ρ 22 g g r WA gia tèc cđa vËt A ; ε1 vµ ε2 lµ gia tốc góc bánh xe Theo kÕt cÊu cđa hƯ ta cã: ε1 = WA r ; ε = WA r rr2 Cho hƯ mét di chun kh¶ dÜ víi di chun sA vật A làm sở Theo kết cấu ta cịng suy di chun cđa c¸c b¸nh xe lµ : ∂ϕ1 = ∂s A r ; ∂ϕ = r1 r ∂s ∂ϕ = A r2 r2 r Phơng trình tổng quát hệ động lực học viÕt thĨ sÏ lµ : Tài liệu lưu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -230- Q∂s A − P ∂s P r r ∂s Q WA ∂s A − ρ12 ε A − ρ 22 ε ∂s A + M A = g g r g rr2 r2 r Hay : − Q(1 − WA P W P r2 r ) − ρ12 2A − ρ 22 21 W A + M = g g r g r r2 rr2 Suy : r1 M − rQ r2 WA = ρ12 ρ 22 r12 rQ + P + P1 r r r22 16.2 Phơng trình Lagrang loại II Phơng trình trình tổng quát động lực học viết dới dạng toạ độ suy rộng dợc gọi phơng trình Lagrang loại Xét hệ chịu liên kết dừng lý tởng Phơng trình tổng quát cđa hƯ lµ : N N r N r r r r a r ∑ (Fk = m k Wk )∂ rk = , hay : ∑ Fk ∂ rk − ∑ m k Wk ∂ rk = k =1 k =1 k =1 m r F ∂ r = ∑ k k ∑ Q jq j N Nh đà biết chơng 14 ta thay : k =1 j=1 Qj lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng qj Để có phơng trình Lagrang loại ta phải biến đổi trực tiếp số hạng N r r m W ∑ k k ∂ rk sang toạ độ suy rộng ta có : k =1 N m N r r r m ∂rrk r ∂rrk m k Wk ∂ rk = ∑ m k Wk (∑ ∂q j ) = ∑ (∑ m k Wk )∂q j ∑ ∂q j k =1 k =1 j=1 ∂q j j=1 k =1 r r r ∂ rk ∂ rk ∂ rk ∂r ∂q j + ∂q j + ∂q j + k ) ë đà thay : rk = ( q1 q q m t r N r rk Đặt m k Wk = Zj ta đa phơng trình d¹ng: ∂q j k =1 N N r r m ∑ m k Wk ∂rk = ∑ Z j ∂q j k =1 j=1 Sau tìm biểu thức Zj : Tài liệu lưu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -231- r r N r ∂rrk d N r ∂ rk r d ∂ rk Z j = ∑ m k Wk = (∑ m k v k − ∑ m k v k ( ) dt ∂q ∂q1 dt k =1 ∂q k =1 k =1 r r r r r d rk ∂ rk ∂ rk ∂ rk ∂ rk r = q& + q& + q& + ; Thay v k = dt ∂q 1 ∂q ∂q m ∂t r r m ∂r ∂ r r v k = ∑ k q& j + k ∂t j=1 ∂q j N Từ kết suy hai biểu thøc sau : r r ∂rk ∂v k = ∂q j ∂q& j (e) Thay : r r r r r ∂ rk ∂ rk ∂ rk ∂ rk d ∂ rk ( )= q& + q& + + q& + dt ∂q j ∂q j ∂q 1 ∂q j ∂q 2 ∂q j ∂q m m ∂t∂q r r r ∂ rk ∂v k ∂ m ∂ rk = ∑ = q& j + (∑ q& j + )= ∂ ∂ ∂ ∂ q q t q ∂ q ∂ q ∂ t ∂q j j=1 j j=1 j j j j r r ∂v k d ∂ rk Suy : ( (g) )= dt ∂q j ∂q j m r ∂ rk r ∂ rk Thay kết tìm đợc từ biểu thức (e) (g) vào biểu thức Zj ta đợc : r r N d N r ∂v k r ∂v k Z j = ( ∑ m k v k ) − ∑ m k v k ; dt k =1 ∂q& j ∂q j k =1 v 2k d ∂ N r vk ∂ ( ∑ m v (∑ m k = ) dt ∂q& j k =1 k k ∂q j Hay : Z j = d ∂T ∂T ( )− dt ∂q& j q j Thay kết tìm đợc vào phơng tr×nh (d) ta cã : N r N m m r r a r F ∂ r − m W ∂ r = Q ∂ q − ∑ k ∑ k k k ∑ j j ∑ Z j ∂q j = k =1 Hay : k =1 j=1 j=1 d ∂T ∂T ( )− = Q j ( j = m) dt ∂q& j ∂q j (16-4) Tài liệu lưu trửừ taùi http:/www.Tailieuxd.com/ -232Hệ phơng trình dạng (16-4) đợc gọi phơng trình Lagrang loại Trong T động hệ Qj lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng qj Trong trờng hợp lực hoạt động lực Q j = phơng trình q j (16-4) trở thành : d ∂T ∂T ∂π ( )− =− dt ∂q& j ∂q j ∂q j CÇn chó ý r»ng ( j = m) (16-5) ∂π = , ®ã : ∂q j d ∂T ∂π ∂T ∂π ( − )−( − )= dt ∂q& j ∂q j q j q j Nếu đặt T - = L ( qj , q& j ,t) phơng trình Lagrang loại có dạng : d L L ( )− = ( j = m) dt ∂q& j ∂q j (16-6) ThÝ dô 16-1 Mét trụ tròn đồng chất có khối lợng M chuyển động lăn không trợt mặt phẳng nghiêng lăng trụ hình tam giác có khối lợng m có góc nghiêng với mặt ngang Lăng trụ trợt mặt ngang nhẵn (hình 16-3) Lập phơng trình vi phân chuyển động hệ Xét hệ lăng trụ trụ tròn Cơ hệ chịu liên kết dừng, giữ, hô y nô nôm lý tởng Hoạt lực tác dụng lên hệ gồm có : Trọng lực r r P Q trụ tròn lăng trụ A O x P Q tam giác Các lực lµ lùc cã O1 α B x thÕ NÕu chän hệ toạ độ suy rộng đủ hệ q1 = x q2 = s (hình Hình 16.3 16-3) ta thấy hệ có hai bậc tự phơng trình Lagrang loại viết dới dạng : Tài liệu lưu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -233- d ∂T ∂T ∂π ( )− =− dt ∂x& j ∂x j ∂x j (a) d ∂T ∂T ∂π ( )− =− ∂s j dt ∂s& j ∂s j (b) r Thế hệ ứng với lực P tính nh sau : π(P) = -Mg.sinα.s + C1 víi C1 lµ số Thế hệ ứng với lực Q lµ mét h»ng sè π(Q) = const = C2 ThÕ hệ = - Mg.S.sin + C ; C lµ h»ng sè Suy : ∂π ∂π = vµ = − Mg sin α ∂x ∂s Động hệ bao gồm động trụ tròn động lăng trụ Lăng trụ chuyển động tịnh tiến nên động viÕt : mV mx& T1 = = 2 Trụ tròn chuyển động song phẳng nên động tính đợc : MV 2 Ttr = = J0 2 V0 vận tốc tuyệt đối trơc trơ trßn r r v V0 = Vc + Vr Suy : V0 x = Vcx + Vrx = x& + S& cos α V0 y = Vcy + Vry = y& + S& sin α 2 V02 = Vox + Voy = ( x& + S& cos α ) + ( y& + S& sin α ) = x& + S& + x& 2S& cos α Vor Vr S& s& MR ω= = = vµ ω = cßn J = R R R R Thay kết vào biểu thức động hệ ta đợc : Taứi lieọu naứy ủửụùc lửu trữ http:/www.Tailieuxd.com/ -234ThƯ = [ ] mx& M MR s& + ( x& + S& cos α) + ( y& + S& sin α) + w R2 x& 3M s& = ( M + m) + + M x& S& cos α 2 Suy : ∂T ∂T ∂T =0; =0; = (M + m) x& + MS& cos α ∂x ∂s ∂x& d ∂T ( ) = (M + m)&x& + M&S& cos α dt ∂x& ∂T 3M & d ∂T 3M && = S + Mx& cos α ; ( ) = S + M&x& cos s& dt s& Phơng trình vi phân chuyển động hệ phơng trình Lagrang loại nhận ®−ỵc : && cos α = ; (M + m)&x& + MS 3M && S + M&x& cos α = Mg sin Từ hệ phơng trình ta tìm đợc : &x& = Mg sin 0 3(M + m) 2M cos Nếu ban đầu hệ đứng yên sau trụ tròn lăn xuống lăng trụ trợt qua phải Các chuyển động chuyển ®éng biÕn ®ỉi ®Ịu ThÝ dơ 16-2 Con l¾c eliptic gồm trợt A cầu B z nối víi A b»ng mét treo AB Cho biÕt khèi lợng trợt m1, khối lợng cầu m2, khối lợng treo không đáng kể Con trợt y A A trợt theo phơng AY mặt phẳng ngang nhẵn Con lắc AB quay tròn quanh trục A mặt phẳng thẳng đứng oxy (hình 16-4) Thiết lập phơng trình vi phân cđa hƯ y l B H×nh 16.4 Tài liệu ủửụùc lửu trửừ taùi http:/www.Tailieuxd.com/ -235Bài giải Xét hệ gồm trợt A lắc AB Có thể chọn hai toạ độ suy rộng đủ hệ : q1 = y q2 = Phơng trình vi phân hệ viết dới dạng : d ∂T ∂T ( )− = Qy ; dt ∂y& ∂y d ∂T ∂T ( )− = Qϕ dt ∂ϕ& Với T động hệ, Qy Q lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng y r r Các hoạt lực tác dụng lên hệ gồm P1 P2 lực nên viết : Qy = − ∂π ∂π ; Qϕ = − y Thế hệ tính nh sau : π = -m2g.x + const = -m2glcosϕ + const Suy : − ∂π ∂π = Q ϕ = m gl sin ϕ = Q y = y Động hệ T = TA + TB m1VA2 m1 y& = Động trợt : TA = 2 m1VB2 m1 = ( x& B + y& 2B ) Động cầu : TB = 2 Víi xB = lcosϕ vµ x& B = −lϕ sin ϕ ; yB = y + lsinϕ vµ y& B = y& + lϕ& cos ϕ Ta cã : TB = m2 [(−lϕ sin ϕ) ] + ( y& + lϕ& cos ϕ) = m2 2 (l ϕ& + y& + 2ly& ϕ& cos ) Biểu thức động hệ thu đợc : Taứi lieọu naứy ủửụùc lửu trửừ taùi http:/www.Tailieuxd.com/ -236T = TA + TB = Tõ ®ã suy : m y& 2 + m2 (l ϕ& + y& + 2ly& ϕ& cos ϕ) ∂T = m l ϕ& + m ly& cos ϕ ; ∂ϕ d ∂T && + m l&y& cos ϕ − m ly& ϕ& sin ϕ ; ( ) = m 2l2ϕ dt ∂ϕ& ∂T = (m + m1 ) y& + m lϕ& cos ϕ ; ∂y& d ∂T && cos ϕ − ϕ& sin ϕ ) ; ( ) = (m1 + m )&y& + m l(ϕ dt ∂ϕ& ∂T =0; ∂ϕ ∂T = −m l o ϕ& y& sin ϕ ∂ϕ Thay c¸c giá trị tìm đợc vào phơng trình vi phân hệ ta đợc : && + m l&y& cos ϕ − m ly& ϕ& sin ϕ + m ly& ϕ& sin ϕ = −m gl sin ϕ ; m2l2ϕ && cos ϕ − m lϕ& sin ϕ = (m1 + m )&y& + m l Sau rút gọn đợc phơng trình vi phân chuyển động hệ : && + cos ϕ&y& + g sin ϕ = ; lϕ && cos ϕ − m lϕ& sin ϕ (m1 + m )&y& + m lϕ Tài liệu lưu trữ http:/www.Tailieuxd.com/