ĐỀ THI THỬ THPT QG NĂM 2016 MÔN TOÁN THỜI GIAN LÀM BÀI: 180 PHÚT Đơn vị thực hiện: Trường THPT Hồng Ngự Câu 1: (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = x +1 x −1 Câu 2: (2,0 điểm) Tìm giá trị m để hàm số y = x − ( m − 1) x + m − có ba điểm cực trị Câu 3: (1,0 điểm) a) Giải phương trình log ( x + 2) − log x = b) Tìm môđun số phức z biết (1 + i ) z + (2 − i ) = − z Câu 4: (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x − x y = x − x Câu 5: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2) , B (−3;2;−2) mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Chứng minh đường thẳng qua hai điểm A, B cắt mặt phẳng (P) điểm Tìm tọa độ điểm Câu 6: (1,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức A = sin 3α sin α biết tan α = −2 b) Đến hè trường A tỉnh Đồng Tháp chọn ngẫu nhiên địa điểm địa điểm: Vũng Tàu, Nha Trang, Long Hải, Phan Thiết, Đà Lạt, Hà Tiên để du lịch Tính xác suất để trường A có cách chọn tương đối hợp lí Câu 7: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân B, hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABC) trung điểm H AB, SH = a SB tạo với đáy góc 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AB SC Câu 8: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có cạnh AC nằm đường thẳng d : x − y + 17 = , điểm M (−1;6) thuộc đường phân giác góc A, tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D, đường phân giác góc ·ADB ∆ : x − y + = Viết phương trình đường thẳng AB  xy − y − x + y − = y − − x Câu 9: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  3 − y + x + y − = x + Câu 10: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 b2 P= + − ( a + b) 2 (b + c ) + 5bc (c + a) + 5ca Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ THPT QG 2016 – MÔN TOÁN ĐƠN VỊ TRƯỜNG THPT HỒNG NGỰ Lưu ý: Học sinh có cách giải khác, lí luận đạt điểm tối đa với số điểm tương ứng với câu Thang Câu Nội dung điểm  Tập xác định D = ¡ \ { 1}  Sự biến thiên 0,25 Câu < 0, ∀x ≠ – Chiều biến thiên: y ′ = − ( x − 1) Suy hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ( 1; +∞ ) – Hàm số cực trị – Giới hạn tiệm cận: lim y = lim y = ⇒ y = tiệm cận ngang đồ thị x →−∞ x →+∞ 0,25 lim y = +∞ lim− y = −∞ ⇒ x = tiệm cận đứng đồ thị x →1 x →1+ – Bảng biến thiên: x y’ – y  Đồ thị: – −∞ 0,25 -3 -2 -1-1 -2 -3 y x 0,25 Ta có y ′ = x − 2(m − 1) x ; Câu Câu 3a x = ′ y = ⇔ x ( x − (m − 1) ) = ⇔  m − x = (*)  Hàm số có ba điểm cực trị ⇔ y′ = có ba nghiệm phân biệt m −1 ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt (khác 0) ⇔ >0 ⇔ m > Vậy m > Điều kiện x > (*) Ta có: log ( x + 2) − log x = ⇔ log ( x + 2) = log 2 + log x ⇔ log ( x + 2) = log 2 x ⇔ x + = 2x ⇔ x = Kết hợp với điều kiện (*), ta nghiệm phương trình cho x = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3b Câu 2 Ta có: (1 + i ) z + (2 − i ) = − z ⇔ ( + i ) z = − (2 − i ) ⇔ (4 + i ) z = −1 + 4i −1 + 4i ⇔z= ⇔ z = i Vậy môđun z = 4+i Hoành độ giao điểm hai đường cong nghiệm phương trình: x = x − x = x − x ⇔ x − x + x = ⇔ x ( x − 1) = ⇔  x = 0,25 0,25 0,25 Diện tích S = ∫ x − x + x dx 0,25 = ∫ ( x − x + x ) dx 0,25  x4 x2  =  − x3 + ÷ =  12  Câu 0,25 uuur uuur Đường thẳng qua AB có véctơ phương u AB = AB = −4(1;0;1) uur Mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến nP = ( 1; −3; ) uuur uur Suy u AB nP không phương ⇒ AB cắt (P) điểm I x = 1+ t  Phương trình đường thẳng AB:  y = z = + t  Vì I ∈ ( P ) ⇔ (1 + t ) − 3(2) + 4(2 + t ) + = ⇒ I ( + t ; 2; + t ) ⇔ t = −1 Vậy I ( 0; 2;1) 0,25 0,25 0,25 0,25 1 ( cos x − cos x ) = − ( (1 − cos 2 x) − cos x ) 2 1 ⇔ cos α = ⇔ cos α = Ta lại có: + tan α = 2 cos α + tan α  3  3 ⇒ A = −   −  ÷ ÷− ÷ = ⇒ cos 2α = − cos α = ÷   5 ÷   25 Số cách chọn địa điểm là: C2 Ta thấy chọn địa điểm địa điểm sau hợp lí: Vũng Tàu, Nha Trang, Long Hải, Phan Thiết, Đà Lạt C5 Số cách chọn địa điểm hợp lí: C2 Vậy xác suất cần tìm p = 26 = C2 · Vì SH ⊥ ( ABC ) nên SBH = 600 Ta có A = − Câu 6a Câu 6b ⇒ BH = SH cot 600 = Câu a 3 3a = BC 2a Diện tích S ABC = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇒ AB = 2a Thể tích VS ABC = SH S ABC = 0,25 Dựng hình chữ nhật HBCD Gọi L hình chiếu vuông góc H SD Ta có SH ⊥ CD, HD ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SHD ) ⇒ CD ⊥ HL Suy HL ⊥ ( SCD) Vì AB//CD nên AB//(SCD) ⇒ d ( AB, SC ) = d ( AB, ( SCD)) = d ( H , ( SCD)) = HL 1 1 3a = + = 2+ = 2 HL SH HD a 4a 4a 7a Vậy khoảng cách HL = Gọi E, F giao điểm ∆ AB, AC Tọa độ điểm F nghiệm hệ phương 3 x − y + 17 =  11  ⇒F ; ÷ trình  2  x − y + = 0,25 Ta có HD = BC = Câu · Ta có ·AEF = ·ADE + DAE ·AFE = FCD · · · + FDC = EAD + ·ADE 0,25 0,25 0,25 Suy AE = AF Câu 3 7 Do E, F đối xứng qua AM AM : x + y − = ⇒ H  ; ÷ trung 2 2 điểm EF giao điểm AM EF  3 Lúc ta có E  − ; ÷ A(1; 4)  2 uuur   uuur ⇒ AE =  − ; − ÷ ⇒ nAB = ( 5; −3) véctơ pháp tuyến AB  2 AB : 5x − y + = Vậy Điều kiện x ≥ ≤ y ≤ , x + y − ≥ (*) Nhận thấy x = y = không nghiệm hệ phương trình y − x −1 Khi ta có: x ( y − 1) − ( y − 1) = y −1 + x   ⇔ ( x − y + 1)  y − + = ⇔ y = x + (do y ≥ 1) ÷  ÷ y − + x   Thay vào phương trình lại, ta được: − x + x − = x + (1) Điều kiện ≤ x ≤ (**) (1) ⇔ − x − (7 − x) + ( 0,25 0,25 0,25 0,25 ) 5x − − x =   ⇔ ( −4 + x − x )  + ÷= 5x − + x  3 5− x +7− x ⇔ −4 + x − x = (do (**) nên ngoặc thứ dương) ⇔ x = x = Với x = 1, y = với x = 4, y = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1;2) (4;5) 0,25 0,25 Áp dụng bất đẳng thức ( x + y ) ≥ xy , ta có: Câu 10 a2 a2 4a ≥ = (b + c) + 5bc (b + c) + (b + c) 9(b + c ) , tương tự: 2 b 4b ≥ (c + a ) + 5ca 9(c + a ) 2 2 Áp dụng bất đẳng thức x + y ≥ ( x + y ) , ta có: 2 2 a b  a2 b2   a b  + ≥  + + ÷≥  ÷ (b + c) + 5bc (c + a ) + 5ca  (b + c) (c + a)   b + c c + a   ( a + b)  + c ( a + b) ÷    a + b + c ( a + b) 2 =  ≥  ÷ ÷  ab + c(a + b) + c   (a + b) 2 ÷ + c( a + b) + c ÷    a + b + c = ⇔ a + b = − c Vì nên 2 2 0,25 0,25 2  2(1 − c) + 4c(1 − c)  8  P≥  − (1 − c) = 1 − ÷ − (c − 1) 2 ÷  (1 − c) + 4c(1 − c) + 4c   c +1  8  Xét hàm số f (c) =  − ÷ − ( c − 1) với c ∈ ( 0;1)  c +1  16   − (c − 1) Ta có: f ′(c) =  − ÷  c +  (c + 1) f ′(c) = ⇔ (c − 1) ( 64 − (3c + 3)3 ) = ⇔ c = Bảng biến thiên: 0,25 – + 1 a = b = c = P = − 9 Vậy giá trị nhỏ P − (Câu câu 10 lấy nguồn Internet tác giả, mong thông cảm) Do P ≥ f (c ) ≥ − 0,25