SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN NĂM 2015 – 2016 TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG Môn thi: TOÁN ( Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ) Đề thi có 01 trang Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  2x 1 (1) x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Tìm điểm M thuộc đồ thi (C) cho khoảng cách từ M đến đến trục Oy lần khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số (1) Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: 2cos x.cos x   2sin x  cos x Câu (1,0 điểm) Tính nguyên hàm: I  2x2  dx x  Câu (1,0 điểm) 1 Giải phương trình: log (2 x  x  1)  log ( x  1)2  2 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y  8ln x  x đoạn [1;e] Câu (1.0 điểm) Một hộp chứa cầu màu đỏ, cầu màu xanh cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên lúc cầu từ hộp Tính xác suất cho cầu lấy có đủ màu, có cầu màu đỏ có không hai cầu màu vàng Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, biết AB  a; AD  2a , tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi I trung điểm SD Tính thể tích khối chóp S.ACD khoảng cách hai đường thẳng AI SC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD biết AB  điểm thuộc đoạn thẳng BC cho BF  AD Gọi F BC Đường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ABF có phương trình 9   225  Đường thẳng d qua hai điểm A, C có phương trình x  11 y   Tìm x   y   4  4  tọa độ đỉnh C biết điểm A có hoành độ âm  y  y  x3   x  y   Câu (1.0 điểm) Giải hệ phương trình:  3 2 y  x  y  x  1  x  x  1      x; y    Câu (1.0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a2 1  a    5bc 16b  27  a  bc  36  a  c  _ HẾT _ Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ……………………………… Số báo danh: ……………………………………… ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN LẦN NĂM 2015 – 2016 Câu Khảo sát…… * Tập xác định D  R / 1 * Sự biến thiên: Ta có: y '    0, x  D  x  1 1điểm 0,25 Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 1;   Hàm số cực trị * Giới hạn tiệm cận: Ta có: lim y  lim y   đường thẳng y  đường tiệm cận ngang đồ thị (C) x  x  0,25 lim y  ; lim y     đường thẳng x  đường tiệm cận đứng đồ thị (C) x 1 x 1 * Bảng biến thiên: x y' y   - 0,25  1.1  * Đồ thị:   Đồ thị (C) cắt Ox tai điểm   ;0  , cắt trục Oy tai điểm  0; 1   0,25 1điểm 1.2  2a   Gọi M  a;    C  (điều kiện a  )  a 1  Gọi đường thẳng  đường tiệm cận ngang đồ thi (C) 2a  0.a  2 a 1 Ta có d  M , Oy   a ; d  M ,     2 a 1 1 Theo giả thiết khoảng cách từ M đến đến trục Oy lần khoảng cách từ M đến đường tiệm cận ngang đó: a a 1 a  a   a2  a   a   a a 6     a  2  a  a  6  a  a   Vì phương trình a  a   vô nghiệm 0,25 0,25  7 + Với a   M  3;   2 + Với a  2  M  2;1 0,25 Câu 2 Phương trình cho  cos 3x  cos x   2sin x  cos x  cos x   2sin x  cos x  2  cos x    cos x  cos x  cos x    cos x    + Với cos x   x   k ; k     x   k 2  + Với cos x    ; k     x    k 2    1điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 1điểm Câu x2  x 2x2 1 dx   dx x x2 1  udu  xdx 2 Đặt u  x   u  x    x2  u 1  Ta có I   u2 u2 1  1 udu  du  du  du  du      u  1 u  1 u2 1 u2 1 u2 1  u  1   u  1 du du   du   du   du     u  1 u  1 u 1  u 1 Do I   u 1  u  ln u   ln u   C 2 1 Vậy I  x   ln x    ln 2 x2    C 0,25 0,25 0,25 0,5 điểm Câu 4.1 0,25   x  3x   x  Điều kiện:    x 1  x  1 1 Khi phương trình   log (2 x  x  1)  log ( x  1)  2 2  log 2(2 x  3x  1)  log ( x  1)    x  (Ko TM)  2(2 x  x  1)  ( x  1)  3x  x      x  TM   Vậy phương trình cho có nghiệm là: x  0,25 2 0,25 0,5 điểm Điều kiện: x  Hàm số y  8ln x  x xác định liên tục [1;e] 4.2  x   1; e Ta có y '   x  y '    x  x  2  1; e 0,25 Ta lại có: y 1  1 ; y    ln  ; y  e    e Vậy : Max y  8ln  , giá trị lớn đạt x  1;e 0,25 Min y  1 , giá trị nhỏ đạt x  1;e Câu Gọi  không gian mẫu phép thử Số phần tử không gian mẫu n     C164  1820 Gọi B biến cố: “ lấy có đủ màu, có cầu màu đỏ không hai màu vàng” Do để lấy có đủ màu, có cầu màu đỏ không hai màu vàng có khả xảy ra: +) lấy có đỏ, xanh, vàng suy số cách lấy là: C41C52C71 0,25 0,25 +) lấy có đỏ, xanh, vàng suy số cách lấy là: C41C51C72 +) Khi n  B   C41C71C52  C41C72C51  700 +) Xác suất biến cố B P  B   nB n    0,25 700  1820 13 0,25 1điểm Câu 0,25 Gọi H trung điểm AB, SAB tam giác  SH  AB  SAB    ABCD   a Ta có  AB   SAB    ABCD   SH   ABCD  SH  SA2  HA2   SH  AB, SH   SAB  1 Vì ABCD hình chữ nhật  SACD  S ABCD  a.2a  a 2 1 a a Do VS ACD  SH SACD  a  (đvtt) 3 Gọi J trung điểm CD  IJ / / SC  SC / /  AIJ   d  AI , SC   d  SC ,  AIJ    d  C ,  AIJ   Ta có CD   AIJ   J  d  C ,  AIJ    d  D,  AIJ   (vì J trung điểm CD) Vậy d  AI , SC   d  D,  AIJ   0,25 0,25 Vì H trung điểm AB, J trung điểm CD tứ giác AHJD hình chữ nhật Gọi K tâm hình chữ nhật AHJD  IK / / SH (vì IK đường trung bình tam giác SHD) SH   ABCD  SH a Ta có   IK   ABCD  IK    IK / / SH a2 Ta có S ADJ  AD.DJ  ; 2 1 a a2 a3 VI ADJ  IK S ADJ   ; 3 24 a 17 AJ  AD  DJ  1 a a 17 a 51 Vì IK   ABCD   IK  AJ  SAIJ  IK AJ   2 16 3.VI ADJ 2a 17 Do d  D,  AIJ     SAIJ 17 0,25 1điểm Câu  A  d Ta có   tọa độ điểm A nghiệm hệ pt  A   T   2  2 225  x     y        3x 11y    0,25  11y  11y x  x      2 2  11y     y    225   11y  19    y    225      12    4  4 8 x  3  11y  x   y   11y x        y   x  93  A 3;1 (vì x A  )  13y2  10 y  23    13 23   y    23 13   y   13  Gọi điểm E thuộc tia đối tia BA cho AF  CE   Đặt BE  xAB  BE  x AB , ta có:           CE  BE  BC  x AB  AD AF  AB  BF  AB  AD Vì AF  CE         CE AF   x AB  AD  AB  AD    xAB  AD   x  4   Vậy E thuộc tia đối tia BA thỏa mãn BE  AB AF  CE   0,25 AF  CE Xét tam giác ACE có   F trực tâm tam giác ACE hay EF  AC CB  AE 2     225 Gọi H  EF  AC  tứ giác ABFH nội tiếp hay H  T  :  x     y    , 4  4   93 23  H giao điểm (khác A) đường thẳng d đường tròn (T)  H  ;    13 13  Qua B kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC K  BK / / HE , ta có  AK AB    KH  BE   AH  12 HC  AH  12 HC   KH  BF   HC FC   93 23    132 36  Gọi C  a; b   HC  a  ; b   ; AH  ;  13 13    13 13  132 93    12  a      13  a   13  Do AH  12 HC     C  8; 2  b   36 23      12 b    13 13   Vậy C  8; 2  0,25 0,25 1điểm Câu Điều kiện: x  Biến đổi pt thứ (2) hệ thành :  x  1  y  x  1  y  Nhận xét y  không nghiệm pt  y  0, pt 0,25  x 1   x 1  2   3  40  y   y  Đặt a  x 1 pt trở thành y  2a  3a     a    2a  a     a  Vì pt 2a  a   vô nghiệm x 1  2  y   x  +) Với a  2  y Thay y   x  vào pt (1) hệ ta pt x2   x  x3   x3    x  1   x  1  x     x    x  1 x3    x  1 x3  x  x  x3    x  1    x  1     x  1 x    x  1 x    x  1   x    x  1 x    x  1 0 0   x  x  1   x2  x 1   x  3      x  3 3 x   x     x    x  1 x    x  1    x  x  1 x  x 1 Vì   0, x  2 3 x    x  1 x    x  1 x    x  1   Với x   y  2   0,25 x3  x  x 0,25 0,25 Vậy hệ pt cho có nghiệm  x; y    3; 2  1điểm Câu a2 Ta có: P   b  c a2 b  c Ta lại có 2   5bc  5bc Do P  36  a  c  16b2  27  a  b  a  c  36  a  c  a2 b  c   16b2  27  a  a  b  c   bc   5bc 4a 9b  c  2 2  a2 b  c 4b2   5bc  a  c    a  b 0,25 a2 4a  2 b  c   b  c  b  c   4b 9a  c 2 a b  2   a  b      a  b bc a c  2  a  b  a2 b2  2  2     a  b      a  b     ab  ac ba  bc   ab  ac  ba  bc  2    a  b     a  b    2ab   a  b  c      a  b    a  b 2     a  b   a  b c     0,25   2   1  c   1 c  2  P    c       1  c   1  c  1 c    1  c  c     2 1 c  8  2 Ta có    1  c       1  c  1 c   1 c  8   P  1   1  c    1 c  Theo giả thiết a, b, c  thỏa mãn a  b  c   c   0;1 8  Xét hàm số f  c   1    1  c  với c   0;1  1 c  16   Ta có f '  c       c  1   c    c  1  f 'c   Bảng biến thiên 0,25  32 27      c  c   0;1  c  1     c  1 64  c f '( c ) – + f (c ) 1 Từ BBT  f  c    , c   0;1 Do P   9 Vậy Min P   , giá trị nhỏ đạt a  b  c  Hết 0,25